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高中数学竞赛讲义14:极限与导数


高中数学竞赛讲义(十四) ──极限与导数
一、基础知识 1.极限定义: (1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε ,总存在正数 m,当 n>m 且 n∈N 时, 恒有|un-A|<ε 成立 (A 为常数) , 则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限, 记为 另外 =A 表示 x 大于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)极限为 A,称右极限。

类似地 , 表示 x 小于

x0 且趋向于 x0 时 f(x)的左极限。 2.极限的四则运算:如果 f(x)=a, g(x)=b,那么 [f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)?g(x)]=ab,

3.连续:如果函数 f(x)在 x=x0 处有定义,且

f(x)存在,并且

f(x)=f(x0),则称 f(x)在 x=x0 处

连续。 4. 最大值最小值定理: 如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数, 那么 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5.导数:若函数 f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 x 在 x0 处取得一个增量Δ x 时(Δ x 充分小) ,因 变量 y 也随之取得增量Δ y(Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)).若 存在,则称 f(x)在 x0 处可导,此极限值称为

f(x)在点 x0 处的导数(或变化率) ,记作

(x0)或



,即



由定义知 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在 x0 可导的必要条件。若 f(x)在区间 I 上有定义,且在每一点可导,则 称它在此敬意上可导。导数的几何意义是:f(x)在点 x0 处导数 线的斜率。 6 .几个常用函数的导数: ( 1) (4) ;(5) =0 ( c 为常数) ; ( 2) ;(6) ;( 7 ) ( a 为任意常数) ; ( 3) ; (8) (x0)等于曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切

7.导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则 ( 1 ) ;( 2 ) ;( 3 )

(c 为常数) ; (4) 8.复合函数求导法:设函数 y=f(u),u= 可导,则复合函数 y=f[ (x),已知

; (5) (x)在 x 处可导,f(u)在对应的点 u(u= .

。 (x))处

(x)]在点 x 处可导,且(f[

(x)] =

9.导数与函数的性质: (1)若 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上连续; (2)若对一切 x∈(a,b)有 ,则 f(x)在(a,b)单调递增; (3)若对一切 x∈(a,b)有 ,则 f(x)在(a,b)单调递减。

10.极值的必要条件:若函数 f(x)在 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则 11.极值的第一充分条件: 设 f(x)在 x0 处连续, 在 x0 邻域(x0-δ ,x0+δ )内可导, (1) 若当 x∈(x-δ ,x0) 时 ,当 x∈(x0,x0+δ )时 ,当 x∈(x0,x0+δ )时 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2)若当 x∈(x0-δ ,x0)时 ,则 f(x)在 x0 处取得极大值。

12.极值的第二充分条件:设 f(x)在 x0 的某领域(x0-δ ,x0+δ )内一阶可导,在 x=x0 处二阶可导,且 。 (1)若 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2)若 ,则 f(x)

在 x0 处取得极大值。 13.罗尔中值定理:若函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 f(a)=f(b),则存在ξ ∈(a,b),使

[证明] 若当 x∈(a,b),f(x)≡f(a),则对任意 x∈(a,b),

.若当 x∈(a,b)时,f(x)≠f(a),因为

f(x)在[a,b]上连续,所以 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个不等于 f(a),不妨设最大值 m>f(a)且 f(c)=m,则 c∈(a,b),且 f(c)为最大值,故 ,综上得证。

14 . Lagrange 中 值 定 理 : 若 f(x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 上 可 导 , 则 存 在 ξ ∈ (a,b) , 使

[证明] 令 F(x)=f(x)以由 13 知存在ξ ∈(a,b)使 =0,即

,则 F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 F(a)=F(b),所

15. 曲线凸性的充分条件: 设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数, (1) 如果对任意 x∈I, 则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的; (2)如果对任意 x∈I,

,

,则 y=f(x)在 I 内是上凸的。通常称上凸

函数为凸函数,下凸函数为凹函数。 + 16. 琴生不等式: 设α 1,α 2,…,α n∈R , α 1+α 2+…+α n=1。 (1) 若 f(x)是[a,b]上的凸函数, 则 x1,x2,…,xn ∈[a,b]有 f(a1x1+a2x2+…+anxn)?a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn). 二、方法与例题 1.极限的求法。 例 1 求下列极限: (1) ;( 2 ) ;( 3 )

; (4)

[解](1)

=



(2)当 a>1 时,

当 0<a<1 时,

当 a=1 时,

(3)因为



所以

(4)

例 2 求下列极限: (1)

(1+x)(1+x2)(1+

)…(1+

)(|x|<1);

(2)

; (3) (1+x)(1+x2)(1+



[解] (1)

)…(1+

)

=

(2)

=

(3)

=

2.连续性的讨论。 2 例 3 设 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且恒满足 f(x+1)=2f(x),又当 x∈[0,1)时,f(x)=x(1-x) ,试讨论 f(x)在 x=2 处的连续性。 [解] 当 x∈[0,1)时,有 f(x)=x(1-x)2,在 f(x+1)=2f(x)中令 x+1=t,则 x=t-1,当 x∈[1,2)时,利用 f(x+1)=2f(x) 有 f(t)=2f(t-1) ,因为 t-1 ∈ [0,1), 再由 f(x)=x(1-x)2 得 f(t-1)=(t-1)(2-t)2, 从而 t ∈ [1,2) 时 , 有 f(t)=2(t-1)?(2-t)2 ;同理,当 x∈ [1,2)时,令 x+1=t,则当 t∈ [2,3)时,有 f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2. 从而 f(x)=

所以 f(x)= f(x)=f(2)=0,所以 f(x)在 x=2 处连续。

,所以

3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 [解] 因为点(2,0)不在曲线上,设切点坐标为(x0,y0),则 ,切线的斜率为 ,所

以切线方程为 y-y0=

,即

。又因为此切线过点( 2,0 ) ,所以

,所以 x0=1,所以所求的切线方程为 y=-(x-2),即 x+y-2=0. 4.导数的计算。 例 5 求 下 列函 数的 导数 : ( 1 ) y=sin(3x+1) ; (2)
x ; (5)y=(1-2x) (x>0 且

; ( 3 ) y=e

cos2x

; (4)

)。

[解] (1)

3cos(3x+1).

(2)

(3)

(4)

(5)

5.用导数讨论函数的单调性。 例 6 设 a>0,求函数 f(x)= -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。 x2+(2a-4)x+a2>0 ;

[解] x2+(2a-4)x+a+<0.

, 因 为 x>0,a>0 , 所 以

2 2 (1)当 a>1 时,对所有 x>0,有 x +(2a-4)x+a >0,即

(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)当 a=1

2 2 时,对 x≠1,有 x +(2a-4)x+a >0,即

,所以 f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内递增,
2 2 ,即 x +(2a-4)x+a >0,

又 f(x)在 x=1 处连续,因此 f(x)在(0,+∞)内递增; (3)当 0<a<1 时,令 解得 x<2-a或 x>2-a+ ,因此,f(x)在(0,2-a<x<2-a+ )内单调递减。

)内单调递增,在(2-a+

,+∞)

内也单调递增,而当 2-a(2-a,2-a+

2 时, x +(2a-4)x+a2<0 ,即

,所以 f(x) 在

6.利用导数证明不等式。 例7 设 ,求证:sinx+tanx>2x.

[ 证 明 ]



f(x)=sinx+tanx-2x , 则

=cosx+sec2x-2 , 当

时 ,







0<cosx<1 ) , 所 以

=cosx+sec2x-2=cosx+

.又 f(x)在

上连续,所以 f(x)在

上单调递增,所以当 x



时,f(x)>f(0)=0,即 sinx+tanx>2x. 7.利用导数讨论极值。 2 例 8 设 f(x)=alnx+bx +x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值,试求 a 与 b 的值,并指出这时 f(x)在 x1 与

x2 处是取得极大值还是极小值。 [解] 因为 f(x)在(0,+∞)上连续,可导,又 f(x)在 x1=1,x2=2 处取得极值,所以 ,



+2bx+1,所以

解得

所以 所以当 x∈(0,1)时, 当 x∈(1,2)时, 当 x∈(2,+∞)时, ,所以 f(x)在(0,1]上递减; ,所以 f(x)在[1,2]上递增; ,所以 f(x)在[2,+∞)上递减。

.

综上可知 f(x)在 x1=1 处取得极小值,在 x2=2 处取得极大值。 例 9 设 x∈[0,π ],y∈[0,1],试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。 [解] 首先,当 x∈[0,π ],y∈[0,1]时, f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x

=(1-y)2x

,令 g(x)=

,



时,因为 cosx>0,tanx>x,所以





时,因为 cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以



又因为 g(x)在(0,π )上连续,所以 g(x)在(0,π )上单调递减。 又因为 0<(1-y)x<x<π ,所以 g[(1-y)x]>g(x),即 ,

又因为

,所以当 x∈(0,π ),y∈(0,1)时,f(x,y)>0.

其次,当 x=0 时,f(x,y)=0;当 x=π 时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π ?0. 当 y=1 时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当 y=1 时,f(x,y)=sinx?0. 综上,当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=π 且 y=1 时,f(x,y)取最小值 0。 三、基础训练题 1. =_________.

2.已知

,则 a-b=_________.

3.

_________.

4.

_________.

5.计算

_________.

6.若 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且 7.函数 f(x)在(-∞,+∞)上可导,且 ,则

存在,则

_________. _________.

8.若曲线 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 坐标为_________. 9.函数 f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是_________. 10.函数 的导数为_________.

11.若曲线 12.求 sin290 的近似值。

在点

处的切线的斜率为

,求实数 a.

13.设 0<b<a<

,求证:

四、高考水平练习题 1.计算 =_________.

2.计算

_________.

3.函数 f(x)=2x3-6x2+7 的单调递增区间是_________.。 4.函数 的导数是_________.

5. a,b 为实常数, 函数 f(x)在 x0 邻域内可导, 若 _________. 6.函数 f(x)= ex(sinx+cosx),x

, 则

的值域为_________.

7.过抛物线 x2=2py 上一点(x0,y0)的切线方程为_________. 8.当 x>0 时,比较大小:ln(x+1) _________x. 9.函数 f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值为_________,最小值为_________. 10.曲线 y=e-x(x?0)在点 M(t,e-t)处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t),则 S(t)的最 大值为_________. 11.若 x>0,求证:(x2-1)lnx?(x-1)2. 12.函数 y=f(x)在区间(0,+∞)内可导。导函数 是减函数,且 >0,x0∈(0,+∞).y=kx+m 表示 m; (2)证明:

是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程,另设 g(x)=kx+m, (1)用 x0,f(x0),
2 当 x∈(0,+∞)时,g(x)?f(x); (3)若关于 x 的不等式 x +1?ax+b?

在(0,+∞)上恒成立,其中 a,b

为实数,求 b 的取值范围及 a,b 所满足的关系。 13.设各项为正的无穷数列{xn}满足 lnxn+ 五、联赛一试水平训练题 1.设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0? 只取 0 或 1(i=1,2,…,n-1) ,an=1},Tn 是 Mn ,证明:xn?1(n∈N+).

中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则

_________.

2.若(1-2x)9 展开式的第 3 项为 288,则

_________.

3.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, ,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集为_________. 4.曲线 与 的交点处的切线夹角是_________.

5.已知 a∈R+,函数 f(x)=x2eax 的单调递增区间为_________. 6.已知
2 在(a,3-a )上有最大值,则 a 的取值范围是_________.

7.当 x∈(1,2]时,f(x)=

2 恒成立,则 y=lg(a -a+3)的最小值为_________.

8.已知 f(x)=ln(ex+a)(a>0),若对任意 x∈[ln(3a),ln(4a)],不等式|m-f-1(x)|+ln[

]<0 恒成立,则

实数 m 取值范围是_________. 9. 已 知 函 数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx, ( 1 ) 求 函 数 f(x) 的 最 大 值 ; ( 2 ) 设 0<a<b , 证 明 : 0<g(a)+g(b)<(b-a)ln2.

10.(1)设函数 f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0<x<1),求 f(x)的最小值; (2)设正数 p1,p2,…, p1+p2+p3+…+ =1,求证:p1log2p1+p2 log2p2+…+ log2 ?-n.

满足

11.若函数 gA(x)的定义域 A=[a,b), 且 gA(x)= (1)求 gA(x)的最小值; (2)讨论 gA(x)的单调性;
2 2 2 2 (3)若 x1∈Ik=[k ,(k+1) ],x2∈Ik+1=[(k+1) ,(k+2) ],证明:

,其中 a,b 为任意的正实数, 且 a<b,

六、联赛二试水平训练题 1.证明下列不等式: (1) ;

(2)



2.当 0<a?b?c?d 时,求 f(a,b,c,d)= 3.已知 x,y∈(0,1)求证:xy+yx>1.

的最小值。


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