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第十五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题和参考答案


4  6

数 学通报 

21 0 2年  第 5 卷  第 5期  1

第十五届北京高 中数学知 识应用  竞 赛 决 赛 试 题 和 参 考 答案 
21 0 2年 3月 2 日 5  

1( 分 1 .满 6分 ) 0 1年 国庆 期 间 ,上海 新 世  21 界 购物 中心策

划 出一套 “ 积点 购物 ” 营销方 案 . 即  在 活动 期 间 ,商 品的售 价按 照一 定 的 比率 全 部折 

与积 点 的 比率又 有所 增加 ,每一 元折 合 积点 的倍  数 分别 为 A 类 :1倍 ,B类 :1 5 ,C类 :1 9 .倍 .  倍 . 因此顾 客购 买各 类 商 品时实 际得 到 的优 惠 分 
别 为 

算 成积 点 ,这 次全 场商 品共 分为 A、B、C三类 ,  


件 A类 商 品 的售 价 ( ) 折 算 成 的点 数 比是  元 与

A类 商 品 :1 . —4折 , ×0 4   B类 商 品 :1 5  . —6折 , .  0 4 X  

1 ,一件 B类 商 品 的 售 价 ( ) 折 算 成 的 点  :1 元 与 数 比是 1 . ,一 件 C类 商 品 的 售 价 ( ) 折  :1 5 元 与
算 成 的 点 数 比是 1 . . 顾 客 选 定 商 品 后 ,累  :1 9

C类 商 品 :1 9 . —7 6折 . . ×0 4 .   () 据 积 点 方 案 , 顾 客 购 物 的 积 点 是 : 2根  
1 9 + 8 9× 1 5 6 9× 1 9 4 7 . , 而   49 9 . + 9 . — 15 6
4 7 . — 5 0X 8 1 5 6  15 6 0 + 7. .

计 积 点. 顾客 按 每满 5 0个 积点 付 2 0元 的方 式  0 0 付款 .如 果积 点 a不 是 5 0的整 数 倍 ,n 5 0  0 一 0b +C ,其 中 b为 正整 数 ,O c 5 0 < < 0 .这 时 有 两 种  付款 方式 供选 择 .第 一 种 付 款 方 式 是 按 b 1个  +

方 案 一 :付款

2 0 —1 0 ( )  0 ×9 8 0 元 ,

余 点数 为 
1 9 7 ( )  2. 6元 .

5 0 7 . —3 4 4 点 )  0 —1 5 6 2 . ( ,

5 0点 支付 2 0 b ) ,剩余 的 5 0 点 可 与  0 0 ( +1 元 0 一C 再继 续 购物 的积 点合用 ;第二 种付 款方 式是 支 付 
2 0 +c 0 b 元. 无论 哪 种 付 款 方 式 ,顾 客 均 在 积 点 
购 物 中得 到 了 优 惠 .  

余 点 数 折 合 人 民 币  2 0× 3 4 4 5 0— 0 2. ÷ 0  
方 案二 :付款 2 0  +1 5 6 7 5 6 元 ) 0 X 8 7 . —1 7 . ( .   “ 牛 ” 方 案 :付 款 1 9   . 2 8 9   黄 的 4 9X 0 4 + 9   X
0 6 + 6 9 0 7 — 1 3 . 8 元 )  .2 9 × .8 72 1 ( .

() 1 请你 算 一 算 ,当每 一 类 商 品 的 积 点 都 是  5 0的整数 倍 时 ,顾 客 分别 从 这 三 类 商 品 中能 得  0
到相 当于多少 折 的优 惠 ?   () 2 有一 位 顾 客 ,想买 一 双 靴 子 、一 件 呢 外 

若 顾 客 不 再 购 物 ,比 方 案 一 节 省  1 0 —  80
1 3 . 8: 7 8 ( ) 7 2 1 : 6 . 2 元 ;比方 案 二节 省 =
1 3 . 8 4 . 2 元 )  72 1 — 3 4 ( .

1 7 . —  75 6

套 和一 条 牛仔 裤 ,靴 子 原价 1 9 4 9元 ,是 A 类 商  品 ;呢 外 套 原 价 8 9元 ,是 B类 商 品 ;牛 仔 裤  9 原 价 6 9元 ,是 c类商 品. 正 当她要 掏钱 按第 一  9

如果顾 客 为 了不 浪费 “ 余点 ” 续购 物 ,购得  继
的东 西不 见得 有用 ,最 后 也不 见得 不再 出现 舍不 

得 的“ 余点 数 ” ,而且 耗费体 力 和 时间. “ 黄牛 ” 懂 
得 顾 客 的想 法 ,给 了不 想 继 续 购 物 者 一 定 的实 

种 付款 方 式 付 款 时 ,一 位 “ 牛 ” 过 来 说 :“ 黄 走 这  样 做 ,你还 要绞 尽脑 汁处 理剩 余 的积 点 ,不 如 直 
接 按 A 类 4 2折 、B类 6 2折 ,C类 7 8折将 货  . . .

惠 ,而“ 牛 ” 以积 累顾 客 的余点 ,从 中牟 取利  黄 可
益 ,他从 这位 顾 客处 可 以赚得 
19 7 一 (80 1 3. 8 一6. 4 元 ) 2 .6 10 — 7 2 1) 19( .  

款 给我 ,没 有积 分 的事 了 ,由我 为你 去付 款 ,将 
购 货凭 证 给你 ,你 又省钱 又 省事 .  ” 请 你算 一算 ,用 数据 说 明“ 牛 ” 黄 的用 意.   解  ( ) 1 当顾 客 购买 积 点 时 每 2 0元 可 以买  0 5 0个积 点. 他得 到 的折扣 是 2 0 5 O . ,即  0 0 / 0 一0 4 四折 的优 惠.但 是各 类商 品按 积 点 出售时 ,售 价 

2( 分 1 .满 6分 )2月 2 0日,在新 浪 网看 到 ,  
网站 为 网 民提供 了不 少有 趣 和实用 的生活 应 用程 

序 ,其 中的 “ 理财 计算 器 ” 以为 网 民呈现 出最佳  可

存 款 时 间组合 . 下 图是程 序 的一个 截 图 ,上 图是 
存 款 利率 表 .  

21 0 2年  第 5 1卷  第 5期 

数 学通 报 

4  7 ( ) 你 根 据截 图 内 的信 息 ,判 断这 个 结 论  1请

是 否 正确 ,并 给 出说 明.  

( ) 果 这个 结 论 不 正 确 ,请 你 通 过 计 算 得  2如
出最佳 组合 .   解答 ( ) 个 结 论 是 错误 的. 根 据 三 年 期  1这

的利率 5 ,可 以算 出两 个 三年 整 存 整 取存 款 组  5 合 的 本 利 和 为 :1 0 0 1 3×5 ) 00 ( + %  一 1 2 5 32 .   O 元 .这 个 数 值 比 程 序 给 出的 结 果 要 好 ,这 说  0 明程 序 的结 论是错 误 的.  



本计冀器可估簋产生利息最多的银行储蓄方式 .  

初始存人金额 

io o{ oo 元 

髓蒋   饕强
催 营 庄 蝴 
  ’

一侔~…隼盏 年嘲3 |L ¨I 一 j王 … 纛 一陴一 每       四   王 l寅  -  一… 一 :     - 
…  

女 萃 |   静 

囊 

誊    —i

拳…  


利  率
30  5%
’  …  


’ …   ‘  _ 

 

计算结果 

i 序    号
  {
  l
  I 、 

存 期  款 限
年  
5 隼 
… ~   、  …   … …   …

奉金  息额
13   元 05 0   00


1  
2  
…  

55 %  .0
’   ’’   …   ’  

1 162 觉  3 9 5
’   …   一 

}结论/ 建议 :  

}   l

您可以考虑先存谊! 期定期存款,到期奉息蒋转存s 年期定期存款。 到期奉息总额为  

}1 16 5   3 9   元。 2

() 2 存款 六 年 ,有 多 种 组 合 ,几 乎 涉 及 到 了  所 有 的存 款利 率 项 目,为此 我们 先探 讨一 下 有规 
律 性 的大 小关 系 .  

及 3年 以上 的任 何存 款组 合 的本利 和 .这 样 ,只 
需 比较 f( ,3 和 ,( ,1 的大小 就 可 以了 ,而  3 ) 5 ) 这 已由( ) 知 结 果. 所 以 ,结 论 是 :对 于 6年  1可

设 A 为本 金 数 ,a 存 i年 ,P  为  为 相 应 的  利 率 ,,(   , … ,n 为 依 次 经 历 存 人 口 , 口,  )    
口 ,… ,n 年 之后 的本利 和. 则  』  
f a , ,… , (i    
… ?

存期 ,最大 收益 是两 个 三年期 组合 .   3 ( 分1 . 满 6分 ) 2月 1 日至 2 8 2日第 七 届 世 
界草 莓 大会 在北京 市 昌平 区 召开 ,请 你 根据 下 面 

) 一A( + a ) 1 1   ( +  口 )? 』  

的地 图推 算 出 昌平 区的 面积.  
解答 要 点 解 法会 是 多样 的 ,要 给 出 明确 的 

( +P n . 1    )  

由此看 出本利 和 只与 经历 的存 期有 关 ,与它  们 的顺 序无 关 .经 计算 可得 :  
厂 1 > ,( . , 0 5 > f( . , 0 2 , () 05 . ) 0 5 . 5  0 2 )> f O 2 ,0 2 ,0 2 ,0 2 )  .5 (.5 . 5 . 5 . 5 , ( )> 厂( , 1 ,厂 3 2 1 ) ( )> f 2 ) ( ,1 ,f( , 3 
1 )> f( ,2 , 2 ) 

方法 ,比如 ,分割 求 和 的方 法 ,按照 度 量 ,画 出 
足够 细 的 网格 ,通 过 计 算 网格 数 得 到近 似 解 答 ;   或者 图形 割补 的方 法 ,将这 个不 规则 的图形 通过  割补 拼成 近似 规范 的 的图形 ,再 按照 度量 计算 得 

到近似 解答 . ( 昌平 区的实际 面积 是 1 4 3 3平方 公  里 ,在 方法 正确 的基础 上 ,与实 际数 值误 差不 超 
过 4 平 方 公 里即 可) O  

由此 ,可得 f 3 )> f 1 ( ,3 ( ,2 ) ,3 ,f( , 3 

3 )> f 2 ,2 ,也 知 道 , ( ,3 大 于 不 涉  ( ,2 )   3 )

4  8

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21 0 2年  第 5 1卷  第 5期 

4 满分 1 .( 6分 )经 观察 ,人们 发现 鲑鱼 在河  中逆 流行 进 时 ,所 消 耗 的能量 为 E—c 。   T,其 中 
为行 进 时相对 于 河水 的速 度 ,T 为行 进 的时 间 

5 ( . 满分 1 8分 )如 果 有 三 门 高炮 独 立 射 击 

目标 ,用 P 表示 “ i -高炮 命 中 目标 ”   第  I f 的概 率 ,  
那 么“ 门高 炮 都 命 中 目标 ” 概 率 就 是 P 三 的  ?P  z ? 。 三 门 高 炮 都 不 命 中 目标 ” 概 率 是 ( 一  P ,“ 的 1 P ) 一 P ) 1 。. 请 依 据 以 上 的 概 率 计 算    (1   ( 一P )
法 则 , 回答 下 列 问题 :  

( 位 :小 时 ) 单 ,C为 常 数. 如 果 水 的 流 速 为 4  
k h m/ ,鲑鱼 在河 中逆 流行 进 2 0 k 0  m,问它 在 怎 

样 的速 度下 能使 消耗 的能量最 少 ?  
解  由 已 知 ,鲑 鱼 相 对 于 河 岸 的 速 度  一     下』 ,
2 0 0

如果 每 门高炮 击 中敌机 的概 率是 十分 之一 .   ( ) 十 门 高炮 一 定 能 击 中敌 机 吗 ?若 认 为  1用


又可 以表示 为 一 一4 ,所 以 丁一   ( > 4 ,即    )
_



4 

.  

定 能击 中 ,请说 明理 由 ;若认 为不 一 定能 ,请  ( ) 想 能 以不 小 于 0 9的 概 率 击 中敌 机 , 2要 .  

于是 ,E—C。 V T一2 0  0c
E 一 2 0  0c

计算 出击 中敌 机 的概率 .  
至少 需设 置 多少 门高炮 ?  

410q4" - 4  ̄ 一20 0 c0a - 2 z - 8 q 6  

—0fq2k q4 2fz1 -8-  0 -04- 1  ̄


解 答  ( )用 十 门高炮不 一 定能击 中敌机 . 1   因为 ,P( 十 门高炮 击 中敌 机) 用 一P( 门高  十
炮 中至 少有 一 门击 中了敌 机 )   =1 : 一P( 门高 炮都 没有 击 中敌 机 ) = 十  

2c面2+2 + )4. o[一) 3号 吾+4 0( 。 ( ]  

因为 = 2既 是 ( 2  最 小 值 点 ,也 是  = =  — ) 的

一1 1 一[ 一P( 一 门高炮 击 中敌 机 ) 第 ]?[ 一  1 P( 二 门 高 炮 击 中 敌 机 ) … ??[ 一  第 ] 1

(+ )最 值 , 以   2 , 当 詈 吾的 小 点 所 当 一 时 即  
一6时 ,取得 E最 小一2 6 0 . 10 c  

P( 十 门高炮 击 中敌机 )  第 ]
- -

( 或者通 过求 E 的导 数得结 论 , 一4 0v     0 c2?

1 1 如 o5. - 一  ̄.1  ) 67  

若 寺, E 0得 一, 口6 ,  三 令   ,  6当< 时 E   = <
0 ,当 > 6时 ,E  > O ,所 以 7 . / 一6时 E 取得 最  小值 .  ) 鲑鱼 以每 小 时 6k 的 相对 于 河 水 的 速 度行   m 进 时所 消耗 的能量 最少 .  

( ) 至 少 需 要  f 高 炮 就 能 以 不 小 于 0 9 2设 - 1 .  的概 率击 中敌机 ,则 

09 . ≤P( 用  f 1高炮 击 中敌 机 ) 一P( 门高   
炮 中至 少有 一 门击 中 了敌 机 )  

一1 一P( I nf 高炮 都 没有 击 中敌机 ) -  

21 0 2年  第 5 1卷  第 5期 

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(  )     ~ .  
‘  

可 得 s 形 D —r[ 丌 ) i0 o0 ,记 作  弓 AB c   ( 一  +s c s] n s ,S 形 c 。  i0o0 ,记 作 S ,则  D 弓 肛月 —r( 一s c s) n E S —S —S — r[ 7 0 +2 i0o 0 . D E   ( 一2 ) s c s] c n   根 据题 意 可 知 , 弓形 ADB 的重 心 z。 C ,弓 
形 AE C 的重心 Z B  以及月 牙 的重心 Z 都应 位 于 

即  满 足 不等 式 0 9≤ 1 . .  —0 9—0 1 . ,解 得 
≥2 . 2 

至 少需 要 2 2门高炮 才 能 以不小 于 0 .9的概 

率击 中敌 机.   6 ( . 满分 1 分 )初赛 时 ,我们 计 算 了“ 密  8 从 度 均匀 、薄厚 一致 、半 径 为 r的圆形 纸 板 上剪 下 
来 的开 角 为 2  的 弓形 纸 板 AB 的重 心 位 置 ”  D ,

直线 C 上 .如 果记 它们 与 圆心 O点 的距离 分别  D 为z D,z F和 z,则 有 z < D z E < .且 应 用初 赛 
时得 到 的结 论可 知 
5 一 30  n0 o 0一 l   l C E    s c s 一 J00,l — i     L  
一 一


2 r

这 个位 置 是 在 弓形 板 的对 称 轴 上 距 圆心 0 点 的 

距 为  警 离 z一 


的. 点  
‘    .

= = = 

, 3 io  。) k  0s …~, 0s c 一n O s’    /
2  r sn (c ) i 。 7一   

z 一一 。 3  
一 — —

= 

面 = 

  .

2  r sn。   i 0 3 —- —+ ——O — —   —n— O —— —c — ‘ —— — sn— o O — i —s


/  ‘   D
现 在 有两个 半 径均 为 ,的 圆 ,圆心 分别 为 点  一 。 和 0 . A、B 为 两 个 圆 周 的 交 点. 则 圆 弧   
ADB 和 圆 弧 AEB 围 成 了 一 个 月 牙 儿 的 图 形 

注 意 到 S :S +S,所 以 。    
S( — D 一 S ( — z ) x— z ) E  D — E .  

由 此 可 得 
SD D SE   z — zE

z一 — —  _

‘  

将 前 面 分 析 的 结 果 代 人 这 个 式 子 ,化 简 后 
可得 
z   2 o 0 0 sn c s ) c s ( - i0 o 0  r   万一 2  一 sn c s )‘ ( i0o0   ,    、

ADBE.若 设计 一 种特 殊 的月 牙 儿 ,使 得 这个 月  
牙 儿 的重 心 刚好 位 于 月牙 儿 的 内圆 弧 AEB 的 中 

点 E 的位 置上 ,这时  B   O 0: ,如 图所 示 .请  你 根据 上 面得 到 的 弓形 板 重心 的结论 ,求  满 足 
的方程 .  

如 果月 牙 的重 心位 于月’ 的 内 圆弧 的 E 点 , 牙  
则 有 
z— r r c s = r 1 2 o 0 , - 2 oO ( — c s ) 

解答

由问题 可 知 ,四边 形 AO  0 是 一 个  B E B 一0  D B一7 O  , O c 一 

或 
三 一 1— 2 os c 0
.  

边 长 为 r的 菱 形 .  

() 2 

月牙 的 图形 是 由o0上 的弓形 ADB 中挖掉 o  上  的弓形 AE B得 到 的 图形 ,弓形 AD B上 的  A0   一2 n O , A B一2 , l U  一2cs. (- )   0   O l roO  
S ^, △o B— r sn c s , 扇 A B   i 0 o 0  S 形 D o— r 7 一  )    (r ,
S囊形 Eo = r . A B, 。 

联 立 ( ) 2 ,可得 生 成这个 月 牙 的扇 形 的  1 、( )

开 角  满足 的方 程是 
1- 2 刚 - c 一 c 7—
  ∥一  1 z S nuc S '   o O, .

( 接 第 4 页) 上 5  
( tn 5一 5 ( 2a 4 。 )  一 2 一 ( t n 5 + 2 ( ) 5 a 4 。 ) Y一 1 一 0  ) .
3 x+ 7  一 1 — 0  3 . ‘  

问题 变 得 非 常 容 易 ,只 需 一 步 就 可 以得 到 正 确  答案 .  
参 考 文 献 

由例 题 的求解 可 以看 出 ,应用 本 文 中所 给 出 
的定理 解答 过 已知 点 与 已知直 线平 行 、垂 直 ,特 

1 人 民教 育 出 版 社 . 普 通 高 级 中 学 教 科 书 ( 修 ) 学 第 二 册  必 数

别 是 与 已知直 线夹 角 为任 意定 值 的直 线方 程 ,使 

(t) M] - [ .北京 :人 民教育 出版社 ,2 0  04


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