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点线面之间的位置关系的知识点总结


高中空间点线面之间位置关系知识点总结
第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可

以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的 两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L A ∈α B ∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 => L α
0

D α A B

C

α ·

A

L

α ·

A

·

C

·

B

β
P

α

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 不同在任何一个平面内,没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。

·

L

共面直线
异面直线: a∥b。

符号表示为:设 a、b、c 是三条直线

=>a∥c
2 公理 4:平行于 c∥b

强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, );

?
2

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;

⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a b α β => a∥α

a ∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a b β β β ∥α

a∩b = P a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

符号表示: α ∥β α ∩γ = a β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 a∥b

2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的 垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L

p α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。\ β

异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的 直线所成的锐角(或直角).一般通过平移后转化到三角形中求角,注意角的范 围. [例 1]在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,O 是底面 ABCD 的中心,M、N 分别是棱 DD 1 、 D 1 C 1 的中点,则直线 OM( ).

A .是 AC 和 MN 的公垂线. B .垂直于 AC 但不垂直于 MN. C .垂直于 MN,但不垂直于 AC. D .与 AC、MN 都不垂直.

错解:B. 错因:学生观察能力较差,找不出三垂线定理中的射影. 正解:A. [例 2]如图, 已知在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点, 分别是 BC,CD 上的点,且 GC
BG

G,H 交于

?

DH HC

? 2 ,求证:直线 EG,FH,AC 相

一点. 错解:证明:? E 、F 分别是 AB,AD 的中点,

? EF ∥BD,EF= 2
又 GC
BG

1

BD,

?

DH HC

? 2 ,?

GH∥BD,GH=

1 3 BD,

?
?

四边形 EFGH 是梯形,设两腰 EG,FH 相交于一点 T,
DH HC

? 2 ,F 分别是 AD.? AC 与 FH 交于一点.

? 直线 EG,FH,AC 相交于一点
正解:证明:? E 、F 分别是 AB,AD 的中点,

? EF
又 GC
BG

∥BD,EF=

1 2 BD,

?

DH HC

? 2,

?

1 GH∥BD,GH= 3 BD,

? 四边形 EFGH 是梯形,设两腰 EG,FH 相交于一点 T, ? EG ? 平面 ABC,FH ? 平面 ACD, ? T ? 面 ABC,且 T ? 面 ACD,又平面 ABC ? 平面 ACD=AC, ? T ? AC ,? 直线 EG,FH,AC 相交于一点 T.

[例 3] 在立方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 出平面 AC 的斜线 BD1 在平面 AC 内的射影; 线 BD1 和直线 AC 的位置关系如何? 线 BD1 和直线 AC 所成的角是多少度? 解:(1)连结 BD, 交 AC 于点 O

(1)找 (2)直 (3)直

? DD1 ? 平面AC,? BD就是斜线BD1在平面AC上的射影 .
(2)BD1 和 AC 是异面直线. (3)过 O 作 BD1 的平行线交 DD1 于点 M,连结 MA、MC,则∠ MOA 或其补角即为异面直线 AC 和 BD1 所成的角. 不难得到 MA=MC,而 O 为 AC 的中点,因此 MO⊥ AC,即∠ MOA=90°, ∴异面直线 BD1 与 AC 所成的角为 90°.

[例 4] a 和 b 为异面直线,则过 a 与 b 垂直的平面( ). A.有且只有一个 B.一个面或无数个 C.可能不存在 D.可能有无数个 错解:A. 错因:过 a 与 b 垂直的平面条件不清. 正解:C. [例 5] 在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,E、F 分别是棱 AB、BC 的中点,O 是底面 ABCD 的中点.求证:EF 垂直 平面 BB1O. 证明 : 如图,连接 AC、BD,则 O 为 AC 和 BD 的交点. ∵E、F 分别是 AB、BC 的中点, ∴EF 是△ABC 的中位线,∴EF∥AC. ∵B1B⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD ∴AC⊥B1B,由正方形 ABCD 知:AC⊥BO, 又 BO 与 BB1 是平面 BB1O 上的两条相交直线, ∴AC⊥平面 BB1O(线面垂直判定定理) ∵AC∥EF, ∴ EF⊥平面 BB1O. [例 6]如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BB1 的中点,O 是底面正方形 ABCD 的中心,求证:OE ? 平 面 ACD1 . 分析:本题考查的是线面垂直的判定方法.根据线面垂直的判定方法,要证明 OE ? 平面 ACD1 ,只要在平 面 ACD1 内找两条相交直线与 OE 垂直. 证明:连结 B1D 、A!D 、BD ,在△B1BD 中, ∵E,O 分别是 B1B 和 DB 的中点, ∴EO∥B1D . ∵B1A1 ? 面 AA1D1D , ∴DA1 为 DB1 在面 AA1D1D 内的射影. 又∵AD1 ? A1D ,

∴AD1 ? DB1 . 同理可证 B1D ? D1C . 又∵AD1 ?CD1 ? D1 ,AD1,D1C ? 面 ACD1 , ∴B1D ? 平面 ACD1 . ∵B1D∥OE , ∴OE ? 平面 ACD1 . 点 评:要证线面垂直可找线线垂直,这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在证明线线垂直 时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用,也要注意有时是从数量关系方面找垂直,即勾股定理或余弦定 理的应用. [例 7].如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上, 点 M 且 CM=DN,求证:MN∥平面 AA1B1B. 证明: 证法一.如图,作 ME∥BC,交 BB1 于 E,作 NF∥AD,交 AB 于 F,连 平面 AA1B1B. EF 则 EF ? 在 B1C 上,

?
?

ME BC

?

B1M B1C

,

NF AD
NF AD

?

BN BD

,

ME BC

?

BN BD

?

, ? ME=NF

又 ME∥BC∥AD∥NF,? MEFN 为平行四边形,

? MN∥EF. ? MN∥平面 AA1B1B.
证法二.如图,连接并延长 CN 交 BA 延长线于点 P,连 B1P,则 B1P ? 平面 AA1B1B.

? ?NDC ∽ ?NBP ,?
又 CM=DN,B1C=BD,

DN NB

?

CN NP

.

? CM MB1 ?

DN NB

? CN NP .

? MN ∥B1P.
? B1P ? 平面 AA1B1B, ? MN∥平面 AA1B1B.

证法三.如图,作 MP∥BB1,交 BC 于点 P,连 NP.
CM ? ? MP∥BB1,? MB 1 CP PB

.

? ?
CM MB1

BD=B1C,DN=CM,? B1M ? BN.

?

DN NB

,? CP PB ?

DN NB

.

? NP∥CD∥AB.? 面 MNP∥面 AA1B1B.

? MN∥平面 AA1B1B.

点、线、面之间的位置关系单元测试
第 1 题. 下列命题正确的是( ) A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 答案:D. 第 2 题. 如图,空间四边形 ABCD 中, E , F , G , H 分别 是 AB , BC , CD , DA 的中点. 求证:四边形 EFGH 是平行四边形.

A
H

E B

D

G C

答案:证明:连接 BD . 因为 EH 是 △ ABD 的中位线,

F

1 BD . 2 1 同理, FG ∥ BD ,且 FG ? BD . 2 因为 EH ∥ FG ,且 EH ? FG . 所以四边形 EFGH 为平行四边形.
所以 EH ∥ BD ,且 EH ? 第 3 题. 如图,已知长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, AB ? 2 3 , AD ? 2 3 , AA? ? 2 . (1) BC 和 A?C ? 所成的角是多少度? (2) AA? 和 BC ? 所成的角是多少度?

D?
A?

C?

B?

D

C

?; ?. 答案: (1) 45 (2) 60 第 4 题. 下列命题中正确的个数是(



① 若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l ∥? . ② 若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行. ③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. ④ 若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点.
A. 0 B.1 C.2 D.3 答案:B. 第 5 题. 若直线 a 不平行于平面 ? ,且 a ? ? ,则下列结论成立的是( A. ? 内的所有直线与 a 异面 B. ? 内不存在与 a 平行的直线 C. ? 内存在唯一的直线与 a 平行 D. ? 内的直线与 a 都相交



答案:B. 第 6 题. 已知 a , b , c 是三条直线,角 a ∥ b ,且 a 与 c 的夹角为 ? ,那么 b 与 c 夹角为 答案: ? . 第 7 题. 如图, AA? 是长方体的一条棱,这个长方体中与 AA? 垂直的棱共



条.

D?

C?

A?

B?

D A B

C

答案:8 条. 第 8 题 . 如果 a , b 是异面直线,直线 c 与 a , b 都相交,那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个. 答案:2 个.

第 9 题. 已知两条相交直线 a , b , a ∥ 平面? 则 b 与 ? 的位置关系是



答案: b ∥ a ,或 b 与 a 相交. 第 10 题. 如图,三条直线两两平行且不共面,每两条确定一个平面,一共可以确定几个平面?如果三条直 线相交于一点,它们最多可以确定几个平面?

N
答案:3 个,3 个.

D
第 11 题. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:

C

M

E

① BM 与 ED 平行.

② CN 与 BE 是异面直线.

A

B
F

③ CN 与 BM 成 60?角. ④ DM 与 BN 垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是( A. ① , ② , ③ C. ③ , ④ B. ② , ④ D. ② , ③ , ④ )

答案:C. 第 12 题. 下列命题中,正确的个数为( ) ①两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行; ②平行移动两条异面直线中的任何一条,它们所成的角不变; ③过空间四边形 ABCD 的顶点 A 引 CD 的平行线段 AE ,则 ?BAE 是异面直线 AB 与 CD 所成的角; ④四边相等,且四个角也相等的四边形是正方形 A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B. 第 13 题. 在空间四边形 ABCD 中, N , M 分别是 BC , AD 的中点,则 2 MN 与 AB ? CD 的大小关系 是 .答案: 2MN ? AB ? CD . 第 14 题. 已知 a, b 是一对异面直线, 且 a, b 成 70 角,P 为空间一定点, 则在过 P 点的直线中与 a, b 所 成的角都为 70 的直线有 条.

答案: 4 . 第 15 题. 已知平面 ?//? ,P 是平面 ?,? 外的一点, 过点 P 的直线 m 与平面 ?,? 分别交于 A,C 两点, 过点 P 的直线 n 与平面 ?,? 分别交于 B,D 两点,若 PA ? 6,AC ? 9,PD ? 8 ,

24 . 5 第 16 题. 空间四边形 ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是 AB ,BC ,CD ,DA 的中点, 若 AC ? BD ? a ,
则 BD 的长为 .答案: 24或 且 AC 与 BD 所成的角为 90 ,则四边形 EFGH 的面积是 答案: .

1 2 a . 4
BD? P,

第 17 题 . 已知正方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分 别为 D1C1 , C1B1 的中点, AC

AC 1 1

EF ? Q .求证:

(1) D , B , F , E 四点共面;

DBFE 于 R 点,则 P , Q , R 三点共线. (2)若 AC 1 交平面
答案:证明:如图. (1)

EF 是 △D1B1C1 的中位线,? EF ∥ B1D1 .

在正方体 AC1 中, B1D1 ∥ BD ,? EF ∥ BD .

? EF 确定一个平面,即 D , B , F , E 四点共面. BDEF 为 ? . (2)正方体 AC1 中,设 A 1 ACC1 确定的平面为 ? ,又设平面

Q ? AC 1 1 ,? Q ? ? .又 Q ? EF ,? Q ? ? .
则 Q 是 ? 与 ? 的公共点,?? 又 AC 1

E
A1
Q

C1

? ? PQ .

F

? ? R ,? R ? AC 1 .
R D A P

B1

? R ? ? , 且R ? ? ,则 R ? PQ .
故 P , Q , R 三点共线.

C

B

第 18 题. 已知下列四个命题: ① 很平的桌面是一个平面;

② 一个平面的面积可以是 4 m ; ③ 平面是矩形或平行四边形; ④ 两个平面叠在一起比一个平面厚. 其中正确的命题有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 答案:A. 第 19 题. 给出下列命题: 和直线 a 都相交的两条直线在同一个平面内; 三条两两相交的直线在同一平面内; 有三个不同公共点的两个平面重合; 两两平行的三条直线确定三个平面. 其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案:A. 第 20 题. 直线 l1 ∥l2 ,在 l1 上取 3 点, l2 上取 2 点,由这 5 点能确定的平面有( )

2

A. 9 个 B. 6 个 C. 3 个 D. 1 个 答案:D. 第 21 题. 三条直线相交于一点,可能确定的平面有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 1 个或 3 个 答案:D. 第 22 题. 下列命题中,不正确的是( ) ①一条直线和两条平行直线都相交,那么这三条直线共面; ②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面; ③两条相交直线上的三个点确定一个平面; ④两条互相垂直的直线共面. A.①与② B.③与④ C.①与③ D.②与④ 答案:B. 第 23 题. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( ) A.异面直线 B.相交直线 C.不相交直线 D.不平行直线 答案:D.

第 24 题. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 O , O1 分别是四边形 ABCD , A1B1C1D1 的对角线的交点,

O1
A1 B1

C1

点 E ,F 分别是四边形 AA1D1D ,BB1C1C 的对角线的交点, 点 G ,H 分别是四边形 A 1 ABB 1 ,C1CDD 1的 对角线的交点. 求证: △OEG ≌△O1FH . D1 答案:证明:如图,连结 AD1 , AC , CD1 , C1 A1 , C1B , BA1 . 由三角形中位线定理可知 OE ∥

1 CD1 , O1F 2



1 BA1 . 2

又 BA1 ∥ CD1 ,∴ OE ∥ O1F .同理可证 EG ∥ FH . 由等角定理可得 ?OEG ? ?O1FH .

∴ △OEG ≌△O1FH .
第 25 题. 若 a , b 是异面直线, b , c 也是异面直线,则 a 与 c 的位置关系是( ) A.异面 B.相交或平行 C.平行或异面 D.相交或平行或异面 答案:D. 第 26 题. a , b 是异面直线, A , B 是 a 上两点, C , D 是 b 上的两点, M , N 分别是线段 AC 和 BD 的中点,则 MN 和 a 的位置关系是( ) A.异面直线 B.平行直线 C.相交直线 D.平行、相交或异面 答案:A. N 第 27 题. 如下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中 ① BM 与 ED 平行; C M D ② CN 与 BE 是异面直线; ? 角; ③ CN 与 BM 成 60 E ④ DM 与 BN 垂直. A B 以上四个命题中,正确命题的序号是( ) F A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④ 答案:C. 第 28 题. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的( ) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.任意一条直线不相交 D.无数条直线不相交 答案:C. 第 29 题. 如果直线 a 平行于平面 ? ,则 ( ) A.平面 ? 内有且只有一直线与 a 平行 B.平面 ? 内有无数条直线与 a 平行 C.平面 ? 内不存在与 a 平行的直线 D.平面 ? 内的任意直线与直线 a 都平行 答案:B.


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