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2013年常州市中考数学试卷及答案(Word解析版)


江苏省常州市 2013 年中考数学试卷
一.选择题(本大题共有 8 小题,每小题 2 分,共 16 分,在每小题所给的四个选项中,只 有一项是正确的) 1. 分) (2 (2013?常州)在下列实数中,无理数是( ) A.2 B.3.14 C. D.

考点: 无理数. 分析: 根据无理数,有理数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解. 解答: 解:A、2 是有理数,故本选项错误; B、3.14 是有理数,故本选项错误; C、﹣ 是有理数,故本选项错误; D、 是无理数,故本选项正确. 故选 D. 点评: 主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π 等;开方开不尽 的数;以及像 0.1010010001…,等有这样规律的数. 2. 分) (2 (2013?常州)如图所示圆柱的左视图是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 简单几何体的三视图 分析: 找到从左面看所得到的图形即可. 解答: 解:此圆柱的左视图是一个矩形,故选 C. 点评: 本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.
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3. 分) (2 (2013?常州)下列函数中,图象经过点(1,﹣1)的反比例函数关系式是( A. B. C. D.



考点: 反比例函数图象上点的坐标特征 分析: 设将点(1,﹣1)代入所设的反比例函数关系式 y= (k≠0)即可求得 k 的值. 解答: 解:设经过点(1,﹣1)的反比例函数关系式是 y= (k≠0) ,则﹣1= ,

解得,k=﹣1, 所以,所求的函数关系式是 y=﹣ 或 .

故选 A. 点评: 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征. 所有反比例函数图象上点的坐标都满 足该函数解析式. 4. 分) (2 (2013?常州)下列计算中,正确的是( ) 3 2 6 2 4 4 6 2 3 A.(a b) =a b B.a?a =a C.a ÷a =a

D.3a+2b=5ab

考点: 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 分析: 根据积的乘方,等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;同底数幂相乘,底 数不变指数相加;同底数幂相除,底数不变指数相减对各选项分析判断后利用排除法 求解. 3 2 6 2 解答: 解:A、 b) =a b ,故本选项正确; (a B、a?a =a ,故本选项错误; 6 2 6﹣2 4 C、a ÷a =a =a ,故本选项错误; D、3a 与 2b 不是同类项,不能合并,故本选项错误. 故选 A. 点评: 本题考查了同底数幂的除法,同底数幂的乘法,积的乘方的性质,理清指数的变化是 解题的关键.
4 5

5. 分) (2 (2013?常州)已知:甲乙两组数据的平均数都是 5,甲组数据的方差 乙组数据的方差 ,下列结论中正确的是( )



A.甲组数据比乙组数据的波动大 B. 乙组数据的比甲组数据的波动大 C. 甲组数据与乙组数据的波动一样大 D.甲组数据与乙组数据的波动不能比较 考点: 方差. 分析: 方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳 定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好,结合选项进行判 断即可. 解答: 解:由题意得,方差 < ,
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A、甲组数据没有乙组数据的波动大,故本选项错误; B、乙组数据的比甲组数据的波动大,说法正确,故本选项正确; C、甲组数据没有乙组数据的波动大,故本选项错误; D、甲组数据没有乙组数据的波动大,故本选项错误; 故选 B. 点评: 本题考查了方差的意义,解答本题的关键是理解方差的意义,方差表示的是数据波动 性的大小,方差越大,波动性越大.

6. 分) (2 (2013?常州)已知⊙ 的半径是 6,点 O 到直线 l 的距离为 5,则直线 l 与⊙ 的位 O O 置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断 考点: 直线与圆的位置关系. 分析: 根据圆 O 的半径和圆心 O 到直线 l 的距离的大小,相交:d<r;相切:d=r;相离:d >r;即可选出答案. 解答: 解:∵O 的半径为 6,圆心 O 到直线 l 的距离为 5, ⊙ ∵ 6>5,即:d<r, ∴ 直线 L 与⊙ 的位置关系是相交. O 故选;C. 点评: 本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握, 能熟练地运用性质进行判 断是解此题的关键.
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7. 分) (2 (2013?常州)二次函数 y=ax +bx+c(a、b、c 为常数且 a≠0)中的 x 与 y 的部分 对应值如下表: x 0 1 2 3 4 5 ﹣3 ﹣2 ﹣1 y 12 5 0 0 5 12 ﹣3 ﹣4 ﹣3 给出了结论: (1)二次函数 y=ax +bx+c 有最小值,最小值为﹣3; (2)当 时,y<0;
2 2

2

(3)二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧. 则其中正确结论的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 考点: 二次函数的最值;抛物线与 x 轴的交点. 分析: 根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x=1,然后根据二次函数的性质对各小题 分析判断即可得解. 解答: 解;由表格数据可知,二次函数的对称轴为直线 x=1, 2 所以,当 x=1 时,二次函数 y=ax +bx+c 有最小值,最小值为﹣4;故(1)小题错误; 根据表格数据,当﹣1<x<3 时,y<0,
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所以,﹣ <x<2 时,y<0 正确,故(2)小题正确; 二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点,分别为(﹣1,0) (3,0) ,它们分 别在 y 轴两侧,故(3)小题正确; 综上所述,结论正确的是(2) (3)共 2 个. 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数的最值,抛物线与 x 轴的交点,仔细分析表格数据,熟练掌握二 次函数的性质是解题的关键. 8. 分) (2 (2013?常州)有 3 张边长为 a 的正方形纸片,4 张边长分别为 a、b(b>a)的矩 形纸片,5 张边长为 b 的正方形纸片,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取
2

出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接) ,则拼成的正方形的边 长最长可以为( ) A.a+b B.2a+b C.3a+b D.a+2b 考点: 完全平方公式的几何背景. 2 分析: 根据 3 张边长为 a 的正方形纸片的面积是 3a ,4 张边长分别为 a、b(b>a)的矩形
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纸片的面积是 4ab, 张边长为 b 的正方形纸片的面积是 5b , 5 得出 a +4ab+4b = (a+2b) 2 ,再根据正方形的面积公式即可得出答案. 2 解答: 解;3 张边长为 a 的正方形纸片的面积是 3a , 4 张边长分别为 a、b(b>a)的矩形纸片的面积是 4ab, 5 张边长为 b 的正方形纸片的面积是 5b , 2 2 2 ∵ +4ab+4b =(a+2b) , a ∴ 拼成的正方形的边长最长可以为(a+2b) , 故选 D. 2 2 2 点评: 此题考查了完全平方公式的几何背景,关键是根据题意得出 a +4ab+4b =(a+2b) , 用到的知识点是完全平方公式. 二.填空题(本大题共有 9 小题,第 9 小题 4 分,其余 8 小题每小题 4 分,共 20 分, ) 9. 分) (4 (2013?常州)计算﹣(﹣3)= 3 ,|﹣3|=
2 2

2

2

2

3

, (﹣3) = ﹣

﹣1

, (﹣3)

= 9 .

考点: 有理数的乘方;相反数;绝对值;有理数的减法. 分析: 根据相反数的定义,绝对值的性质,负整数指数幂,有理数的乘方的意义分别进行计 算即可得解. 解答: 解:﹣(﹣3)=3, |﹣3|=3,
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(﹣3) =﹣ , (﹣3) =9. 故答案为:3;3;﹣ ;9. 点评: 本题考查了相反数的定义, 绝对值的性质, 负整数指数幂, 以及有理数的乘方的意义, 是基础题. 10. 分) (2 (2013?常州)已知点 P(3,2) ,则点 P 关于 y 轴的对称点 P1 的坐标是 (﹣3, 2) ,点 P 关于原点 O 的对称点 P2 的坐标是 (﹣3,﹣2) . 考点: 关于原点对称的点的坐标;关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 分析: 根据关于 y 轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相同; 关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答. 解答: 解:点 P(3,2)关于 y 轴的对称点 P1 的坐标是(﹣3,2) , 点 P 关于原点 O 的对称点 P2 的坐标是(﹣3,﹣2) . 故答案为: (﹣3,2)(﹣3,﹣2) ; .
2

﹣1

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点评: 本题考查了关于原点对称点点的坐标,关于 y 轴对称的点的坐标,熟记对称点的坐标 特征是解题的关键. 11. 分) (2 (2013?常州)已知一次函数 y=kx+b(k、b 为常数且 k≠0)的图象经过点 A(0, ﹣2)和点 B(1,0) ,则 k= 2 ,b= ﹣2 . 考点: 待定系数法求一次函数解析式. 分析: 把点 A、B 的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求一次函数解析式解答即可. 解答: 解:∵ 一次函数 y=kx+b(k、b 为常数且 k≠0)的图象经过点 A(0,﹣2)和点 B(1, 0) ,
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∴ 解得

, .

故答案为:2,﹣2. 点评: 本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式, 待定系数法是求函数解析式常用的方 法之一,要熟练掌握并灵活运用. 12. 分) (2 (2013?常州)已知扇形的半径为 6cm,圆心角为 150°,则此扇形的弧长是 5π 2 cm,扇形的面积是 15π cm (结果保留 π) . 考点: 扇形面积的计算;弧长的计算. 分析: 根据扇形的弧长公式 l= 和扇形的面积=
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,分别进行计算即可.

解答: 解:∵ 扇形的半径为 6cm,圆心角为 150°, ∴ 此扇形的弧长是:l= 根据扇形的面积公式,得 S 扇= =15π(cm ) .
2

=5π(cm) ,

故答案为:5π,15π. 点评: 此题主要考查了扇形弧长公式以及扇形面积公式的应用, 熟练记忆运算公式进行计算 是解题关键.

13. 分) (2 (2013?常州)函数 y= 值为 0,则 x= .

中自变量 x 的取值范围是 x≥3 ;若分式



考点: 分式的值为零的条件;函数自变量的取值范围. 分析: 根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解; 根据分式的值为 0,分子等于 0,分母不等于 0 列式计算即可得解. 解答: 解:根据题意得,x﹣3≥0, 解得 x≥3;
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2x﹣3=0 且 x+1≠0, 解得 x= 且 x≠﹣1, 所以,x= . 故答案为:x≥3; . 点评: 本题主要考查了分式的值为零,需同时具备两个条件: (1)分子为 0; (2)分母不为 0.这两个条件缺一不可. 14. 分) (2 (2013?常州)我市某一周的每一天的最高气温统计如下表: 25 26 27 28 最高气温(℃ ) 1 1 2 3 天数 则这组数据的中位数是 27 ,众数是 28 .

考点: 众数;中位数. 分析: 根据中位数、众数的定义,结合表格信息即可得出答案. 解答: 解:将表格数据从大到小排列为:25,26,27,27,28,28,28, 中位数为:27; 众数为:28. 故答案为:27、28. 点评: 本题考查了众数、中位数的定义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新 排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数) ,叫做这组数据的中位数,如果 中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.
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15. 分) (2 (2013?常州)已知 x=﹣1 是关于 x 的方程 2x +ax﹣a =0 的一个根,则 a= ﹣2 或1 . 考点: 一元二次方程的解. 分析: 方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值,把 x=﹣1 代入方程,即可得到一 个关于 a 的方程,即可求得 a 的值. 2 解答: 解:根据题意得:2﹣a﹣a =0 解得 a=﹣2 或 1 点评: 本题主要考查了方程的解得定义,是需要掌握的基本内容.
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2

2

16. 分) (2 (2013?常州)如图,△ ABC 内接于⊙ O,∠ BAC=120°,AB=AC,BD 为⊙ 的直径, O AD=6,则 DC= 2 .

考点: 圆周角定理;含 30 度角的直角三角形;勾股定理;圆心角、弧、弦的关系. 分析: 根据直径所对的圆周角是直角可得∠ BAD=∠ BCD=90°,然后求出∠ CAD=30°, 利用同弧 所对的圆周角相等求出∠ CBD=∠ CAD=30°, 根据圆内接四边形对角互补求出∠ BDC=60° 再根据等弦所对的圆周角相等求出∠ ADB=∠ ADC,从而求出∠ ADB=30°,解直角三角 形求出 BD,再根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可. 解答: 解:∵ 为⊙ 的直径, BD O ∴BAD=∠ ∠ BCD=90°, ∵BAC=120°, ∠ ∴CAD=120°﹣90°=30°, ∠ ∴CBD=∠ ∠ CAD=30°, 又∵BAC=120°, ∠ ∴BDC=180°﹣∠ ∠ BAC=180°﹣120°=60°, ∵ AB=AC, ∴ADB=∠ ∠ ADC, ∴ADB= ∠ ∠ BDC= ×60°=30°, ∵ AD=6, ∴ Rt△ 在 ABD 中,BD=AD÷cos60°=6÷ 在 Rt△ BCD 中,DC= BD= ×4 =2 =4 . ,

故答案为:2 . 点评: 本题考查了圆周角定理,直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半,以及圆的 相关性质,熟记各性质是解题的关键. 17. 分) (2 (2013?常州)在平面直角坐标系 xOy 中,已知第一象限内的点 A 在反比例函数 的图象上,第二象限内的点 B 在反比例函数 OB= OA,则 k= ﹣ . 的图象上, 连接 OA、 OB,若 OA⊥ OB,

考点: 反比例函数综合题. 分析: 过点 A 作 AE⊥ 轴于点 E,过点 B 作 BF⊥ 轴于点 F,设点 A 的坐标为(a, ) x x ,点
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B 的坐标为(b, ) ,判断出△ OBF∽AOE,利用对应边成比例可求出 k 的值. △

解答: 解:过点 A 作 AE⊥ 轴于点 E,过点 B 作 BF⊥ 轴于点 F, x x 设点 A 的坐标为(a, ) ,点 B 的坐标为(b, ) , ∵AOE+∠ ∠ BOF=90°,∠ OBF+∠ BOF=90°, ∴AOE=∠ ∠ OBF, 又∵BFO=∠ ∠ OEA=90°, ∴OBF∽AOE, △ △

∴ =

=

,即

= =



则 =﹣

b① ,a=

② ,

① 可得:﹣2k=1, ×② 解得:k=﹣ . 故答案为:﹣ .

点评: 本题考查了反比例函数的综合题,涉及了相似三角形的判定与性质,反比例函数图象 上点的坐标的特点,解答本题要求同学们能将点的坐标转化为线段的长度. 三、解答题(本大题共 2 小题,共 18 分) 18. 分) (8 (2013?常州)化简 (1) (2) .

考点: 分式的加减法;实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题. 分析: (1)分别进行二次根式的化简、零指数幂的运算,代入特殊角的三角函数值即可得 出答案. (2)先通分,然后再进行分子的加减运算,最后化简即可.
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解答: 解: (1)原式=2﹣1+2× =2.

(2)原式=



=

=



点评: 本题考查了分式的加减运算、特殊角的三角函数值及零指数幂的运算,属于基础题, 掌握各部分的运算法则是关键. 19. (10 分) (2013?常州)解方程组和分式方程: (1) (2) .

考点: 解分式方程;解二元一次方程组. 分析: (1)利用代入消元法解方程组; (2)最简公分母为 2(x﹣2) ,去分母,转化为整式方程求解,结果要检验. 解答: 解: (1) ,
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由① x=﹣2y ③ 得 把③ 代入② ,得 3×(﹣2y)+4y=6, 解得 y=﹣3, 把 y=﹣3 代入③ ,得 x=6, 所以,原方程组的解为 ;

(2)去分母,得 14=5(x﹣2) , 解得 x=4.8, 检验:当 x=4.8 时,2(x﹣2)≠0, 所以,原方程的解为 x=4.8. 点评: 本题考查了解分式方程,解二元一次方程组. (1)解分式方程的基本思想是“转化思 想”,把分式方程转化为整式方程求解. (2)解分式方程一定注意要验根. 四、解答题(本大题共 2 小题,共 15 分请在答题卡指定区域内作答,解答或写出文字说明 及演算步骤) 20. 分) (7 (2013?常州)为保证中小学生每天锻炼一小时,某校开展了形式多样的体育活 动项目, 小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计, 并绘制了下面的统计图 (1) (2) 和图 .

(1)请根据所给信息在图(1)中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整; (2)扇形统计图(2)中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为 72° . 考点: 条形统计图;扇形统计图. 分析: (1)首先根据打篮球的人数是 20 人,占 40%,求出总人数,再用总人数减去篮球、 足球和其它人数得出乒乓球的人数,用各个爱好的人数除以总人数,即可得出所占的 百分百,从而补全统计图; (2)用 360°乘以足球所占的百分百,即可得出扇形的圆心角的度数. 解答: (1)总人数是:20÷40%=50(人) 解: , 则打乒乓球的人数是:50﹣20﹣10﹣15=5(人) .
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足球的人数所占的比例是:

×100%=20%, ×100%=10%;

打乒乓球的人数所占的比例是: 其它的人数所占的比例是: 补图如下:

×100%=30%.

(2)根据题意得: 360°× =72°,

则扇形统计图(2)中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为 72°; 故答案为:72°. 点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

21. 分) (8 (2013?常州)一只不透明的箱子里共有 3 个球,其中 2 个白球,1 个红球,它们 除颜色外均相同. (1)从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少? (2)从箱子中随机摸出一个球,记录下颜色后不将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球,求 两次摸出的球都是白球的概率,并画出树状图. 考点: 列表法与树状图法. 专题: 图表型. 分析: (1)根据概率的意义列式即可; (2)画出树状图,然后根据概率公式列式计算即可得解. 解答: (1)∵ 解: 共有 3 个球,2 个白球,
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∴ 随机摸出一个球是白球的概率为 ;

(2)根据题意画出树状图如下:

一共有 6 种等可能的情况,两次摸出的球都是白球的情况有 2 种, 所以,P(两次摸出的球都是白球)= = . 点评: 本题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 五.解答题(本大题共 2 小时,共 13 分,请在答题卡指定区域内作答,解答应写出证明过 程) 22. 分) (6 (2013?常州)如图,C 是 AB 的中点,AD=BE,CD=CE. 求证:∠ B. A=∠

考点: 全等三角形的判定与性质. 专题: 证明题. 分析: 根据中点定义求出 AC=BC,然后利用“SSS”证明△ ACD 和△ BCE 全等,再根据全等三 角形对应角相等证明即可. 解答: 证明:∵ 是 AB 的中点, C ∴ AC=BC,
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在△ ACD 和△ BCE 中,



∴ACD≌BCE(SSS) △ △ , ∴A=∠ ∠ B. 点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,比较简单,主要利用了三边对应相等,两三角 形全等,以及全等三角形对应角相等的性质. 23. 分) (7 (2013?常州)如图,在△ ABC 中,AB=AC,∠ B=60°,∠ FAC、∠ ECA 是△ ABC 的 两个外角,AD 平分∠ FAC,CD 平分∠ ECA. 求证:四边形 ABCD 是菱形.

考点: 菱形的判定. 专题: 证明题. 分析: 根据平行四边形的判定方法得出四边形 ABCD 是平行四边形,再利用菱形的判定得 出. 解答: 证明:∵B=60°,AB=AC, ∠ ∴ABC 为等边三角形, △ ∴ AB=BC, ∴ACB=60°, ∠ ∠ FAC=∠ ACE=120°, ∴BAD=∠ ∠ BCD=120°, ∴B=∠ ∠ D=60°, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∵ AB=BC, ∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.
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点评: 此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容, 注意菱 形与平行四边形的区别,得出 AB=BC 是解决问题的关键. 六.解答题(本大题共 2 小题,请在答题卡指定区域内作答,共 13 分)

24. 分) (6 (2013?常州)在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,AC=1,BC= ,点 O 为 Rt△ ABC 内一 点,连接 A0、BO、CO,且∠ AOC=∠ COB=BOA=120°,按下列要求画图(保留画图痕迹) : 以点 B 为旋转中心,将△ AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60°,得到△ O′ A′ B(得到 A、O 的对 应点分别为点 A′ 、O′,并回答下列问题: ) ∠ ABC= 30° ,∠ BC= 90° ,OA+OB+OC= A′ .

考点: 作图-旋转变换. 专题: 作图题. 分析: 解直角三角形求出∠ ABC=30°,然后过点 B 作 BC 的垂线,在截取 A′ B=AB,再以点 A′ 为圆心, AO 为半径画弧, 以 以点 B 为圆心, BO 为半径画弧, 以 两弧相交于点 O′ , 连接 A′ 、BO′ O′ ,即可得到△ O′ A′ B;根据旋转角与∠ ABC 的度数,相加即可得到 ∠ BC; A′ 根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出 AB=2AC,即 A′ 的长,再 B 根据旋转的性质求出△ BOO′ 是等边三角形,根据等边三角形的三条边都相等可得 BO=OO′ 等边三角形三个角都是 60°求出∠ , BOO′ BO′ =∠ O=60°,然后求出 C、 A′ O、 、 O′ 四点共线,再利用勾股定理列式求出 A′ C,从而得到 OA+OB+OC=A′ C. 解答: 解:∵C=90°,AC=1,BC= , ∠ ∴ ABC= tan∠ = = ,

∴ABC=30°, ∠ ∵AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60°, △ ∴A′ B 如图所示; △ O′ ∠ BC=∠ A′ ABC+60°=30°+60°=90°, ∵C=90°,AC=1,∠ ∠ ABC=30°, ∴ AB=2AC=2, ∵AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60°,得到△ O′ △ A′ B, ∴ B=AB=2,BO=BO′ A′ ,A′ =AO, O′ ∴BOO′ △ 是等边三角形, ∴ BO=OO′ BOO′ BO′ ,∠ =∠ O=60°, ∵AOC=∠ ∠ COB=BOA=120°, ∴COB+∠ ∠ BOO′ BO′ +∠ O=120°+60°=180°, =∠ A′ BO′ ∴ C、O、A′ 、O′ 四点共线, 在 Rt△ BC 中,A′ A′ C= = . = ,

∴ OA+OB+OC=A′ +OO′ O′ +OC=A′ C= 故答案为:30°;90°; .

点评: 本题考查了利用旋转变换作图,旋转变换的性质,直角三角形 30°角所对的直角边等 于斜边的一半的性质,勾股定理,等边三角形的判定与性质,综合性较强,最后一问 求出 C、O、A′ 、O′ 四点共线是解题的关键. 25. 分) (7 (2013?常州)某饮料厂以 300 千克的 A 种果汁和 240 千克的 B 种果汁为原料, 配制生产甲、乙两种新型饮料,已知每千克甲种饮料含 0.6 千克 A 种果汁,含 0.3 千克 B 种 果汁;每千克乙种饮料含 0.2 千克 A 种果汁,含 0.4 千克 B 种果汁.饮料厂计划生产甲、乙 两种新型饮料共 650 千克,设该厂生产甲种饮料 x(千克) . (1)列出满足题意的关于 x 的不等式组,并求出 x 的取值范围; (2)已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每 1 千克 3 元,乙种饮料销售价是每 1 千克 4 元, 那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克,才能使得这批饮料销售总金额最大? 考点: 一次函数的应用;一元一次不等式组的应用. 分析: (1)表示出生产乙种饮料(650﹣x)千克,然后根据所需 A 种果汁和 B 种果汁的数 量列出一元一次不等式组,求解即可得到 x 的取值范围; (2)根据销售总金额等于两种饮料的销售额的和列式整理,再根据一次函数的增减 性求出最大销售额. 解答: (1)设该厂生产甲种饮料 x 千克,则生产乙种饮料(650﹣x)千克, 解:
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根据题意得, 由① 得,x≤425, 由② 得,x≥200, 所以,x 的取值范围是 200≤x≤425;



(2)设这批饮料销售总金额为 y 元, 根据题意得,y=3x+4(650﹣x)=3x+2600﹣4x=﹣x+2600, 即 y=﹣x+2600, ∵ k=﹣1<0, ∴ x=200 时,这批饮料销售总金额最大,为﹣200+2600=2400 元. 当 点评: 本题考查了一次函数的应用,列一元一次不等式组解实际问题,根据 A、B 果汁的数 量列出不等式组是解题的关键, (2)主要利用了一次函数的增减性.

七.解答题(本大题共 2 小题,共 25 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 26. 分) (6 (2013?常州)用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子, 小正方形的顶点称为格点, 以格点为顶点的多边形称为格点多边形. 设格点多边形的面积为 S,该多边形各边上的格点个数和为 a,内部的格点个数为 b,则 S= a+b﹣1(史称“皮克公 式”) . 小明认真研究了“皮克公式”,并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究:正三角 形网格中每个小正三角形面积为 1,小正三角形的顶点为格点,以格点为顶点的多边形称为 格点多边形,下图是该正三角形格点中的两个多边形:

根据图中提供的信息填表: 格点多边形各边上 格点边多边形内部 格点多边形的面积 的格点的个数 的格点个数 8 1 多边形 1 7 3 多边形 2 … … … … b S 一般格点多边形 a 则 S 与 a、b 之间的关系为 S= a+2(b﹣1) (用含 a、b 的代数式表示) .

考点: 规律型:图形的变化类. 分析: 根据 8=8+2(1﹣1) ,11=7+2(3﹣1)得到 S=a+2(b﹣1) . 解答: 解:填表如下: 格点多边形各边上 格点边多边形内部 格点多边形的面积 的格点的个数 的格点个数 8 1 8 多边形 1 7 3 11 多边形 2 … … … … b S 一般格点多边形 a 则 S 与 a、b 之间的关系为 S=a+2(b﹣1) (用含 a、b 的代数式表示) . 点评: 考查了作图﹣应用与设计作图.此题需要根据图中表格和自己所算得的数据,总结出 规律.寻找规律是一件比较困难的活动,需要仔细观察和大量的验算.
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27. 分) (9 (2013?常州)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(6,0) ,点 B(0,6) ,动 点 C 在以半径为 3 的⊙ 上, O 连接 OC, O 点作 OD⊥ 过 OC, 与⊙ 相交于点 D OD O (其中点 C、 O、D 按逆时针方向排列) ,连接 AB. (1)当 OC∥ 时,∠ AB BOC 的度数为 45°或 135° ; (2)连接 AC,BC,当点 C 在⊙ 上运动到什么位置时,△ O ABC 的面积最大?并求出△ ABC 的面积的最大值.

(3)连接 AD,当 OC∥ 时, AD ① 求出点 C 的坐标;② 直线 BC 是否为⊙ 的切线?请作出判断,并说明理由. O

考点: 圆的综合题. 专题: 综合题. 分析: (1) 根据点 A 和点 B 坐标易得△ OAB 为等腰直角三角形, OBA=45°, 则∠ 由于 OC∥ AB, 所以当 C 点在 y 轴左侧时, BOC=∠ 有∠ OBA=45°; C 点在 y 轴右侧时, BOC=180° 当 有∠ ﹣∠ OBA=135°; (2)由△ OAB 为等腰直角三角形得 AB= OA=6 ,根据三角形面积公式得到当点 C 到 AB 的距离最大时,△ ABC 的面积最大,过 O 点作 OE⊥ 于 E,OE 的反向延长 AB 线交⊙ 于 C, O 此时 C 点到 AB 的距离的最大值为 CE 的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出 OE,然后计算△ ABC 的面积;
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(3)① C 点作 CF⊥ 轴于 F,易证 Rt△ 过 x OCF∽ AOD,则 Rt△ CF= ,再利用勾股定理计算出 OF=

=

,即

= ,解得

,则可得到 C 点坐标;

② 由于 OC=3, OF= , 所以∠ COF=30°, 则可得到∴ BOC=60°, AOD=60°, ∠ 然后根据“SAS” 判断△ BOC≌AOD,所以∠ △ BCO=∠ ADC=90°,再根据切线的判定定理可确定 直线 BC 为⊙ 的切线. O 解答: (1)∵ A(6,0) 解: 点 ,点 B(0,6) , ∴ OA=OB=6, ∴OAB 为等腰直角三角形, △ ∴OBA=45°, ∠ ∵ AB, OC∥ ∴ C 点在 y 轴左侧时,∠ 当 BOC=∠ OBA=45°;当 C 点在 y 轴右侧时,∠ BOC=180°﹣ ∠ OBA=135°; (2)∵OAB 为等腰直角三角形, △ ∴ AB= OA=6 , ∴ 当点 C 到 AB 的距离最大时,△ ABC 的面积最大, 过 O 点作 OE⊥ 于 E,OE 的反向延长线交⊙ 于 C,如图,此时 C 点到 AB 的距离 AB O 的最大值为 CE 的长,

∵OAB 为等腰直角三角形, △ ∴ AB= OA=6 , ∴ OE= AB=3 , ,△ ABC 的面积= CE?AB= ×(3+3 )×6 =9 +18.

∴ CE=OC+CE=3+3

∴ 当点 C 在⊙ 上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,△ O ABC 的面积最大, 最大值为 9 +18. (3)① 如图,过 C 点作 CF⊥ 轴于 F, x ∵ AD, OC∥ ∴ADO=∠ ∠ COD=90°, ∴DOA+∠ ∠ DAO=90° 而∠ DOA+∠ COF=90°, ∴COF=∠ ∠ DAO, ∴ OCF∽ AOD, Rt△ Rt△ ∴ = ,即 = ,解得 CF= , = , ) ; ,

在 Rt△ OCF 中,OF= ∴ 点坐标为(﹣ C

② 直线 BC 是⊙ 的切线.理由如下: O 在 Rt△ OCF 中,OC=3,OF= , ∴COF=30°, ∠ ∴OAD=30°, ∠ ∴BOC=60°,∠ ∠ AOD=60°, ∵ BOC 和△ 在△ AOD 中 , ∴BOC≌AOD(SAS) △ △ , ∴BCO=∠ ∠ ADC=90°, ∴ BC, OC⊥ ∴ 直线 BC 为⊙ 的切线. O

点评: 本题考查了圆的综合题:掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判 定与性质;熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算.

28. (10 分) (2013?常州)在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=2x+2 的图象与 x 轴交于 A,与 y 轴交于点 C,点 B 的坐标为(a,0)(其中 a>0) , ,直线 l 过动点 M(0,m) (0< m<2) ,且与 x 轴平行,并与直线 AC、BC 分别相交于点 D、E,P 点在 y 轴上(P 点异于 C 点)满足 PE=CE,直线 PD 与 x 轴交于点 Q,连接 PA. (1)写出 A、C 两点的坐标; (2)当 0<m<1 时,若△ PAQ 是以 P 为顶点的倍边三角形(注:若△ HNK 满足 HN=2HK, 则称△ HNK 为以 H 为顶点的倍边三角形) ,求出 m 的值; (3)当 1<m<2 时,是否存在实数 m,使 CD?AQ=PQ?DE?若能,求出 m 的值(用含 a 的代数式表示) ;若不能,请说明理由.

考点: 一次函数综合题 分析: (1)利用一次函数图象上点的坐标特征求解; (2)如答图 1 所示,解题关键是求出点 P、点 Q 的坐标,然后利用 PA=2PQ,列方 程求解;
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(3)如答图 2 所示,利用相似三角形,将已知的比例式转化为: 程求出 m 的值. 解答: (1)在直线解析式 y=2x+2 中,令 y=0,得 x=﹣1;x=0,得 y=2, 解: ∴ A(﹣1,0) ,C(0,2) ; (2)当 0<m<1 时,依题意画出图形,如答图 1 所示. ∵ PE=CE,∴ 直线 l 是线段 PC 的垂直平分线, ∴ MC=MP,又 C(0,2) ,M(0,m) , ∴ P(0,2m﹣2) ; 直线 l 与 y=2x+2 交于点 D,令 y=m,则 x= 设直线 DP 的解析式为 y=kx+b,则有 ,解得:k=﹣2,b=2m﹣2, ∴ 直线 DP 的解析式为:y=﹣2x+2m﹣2. 令 y=0,得 x=m﹣1,∴ Q(m﹣1,0) . 已知△ PAQ 是以 P 为顶点的倍边三角形,由图可知,PA=2PQ, ∴ 整理得: (m﹣1) = ∴ m= .
2

,据此列方

,∴ D(

,m) ,

,即 ,解得:m= ( >1,不合题意,舍去)或 m= ,



(3)当 1<m<2 时,假设存在实数 m,使 CD?AQ=PQ?DE. 依题意画出图形,如答图 2 所示. 由(2)可知,OQ=m﹣1,OP=2m﹣2,由勾股定理得:PQ= (m﹣1) ; ∵ A(﹣1,0) ,Q(m﹣1,0) ,B(a,0) AQ=m,AB=a+1; ,∴ ∵ OA=1,OC=2,由勾股定理得:CA= . ∵ 直线 l∥ 轴,∴CDE∽CAB, x △ △ ∴ ; , ,

又∵ CD?AQ=PQ?DE,∴ ∴ ,即

解得:m=

. .

∵ 1<m<2,∴ 0<a≤1 时,m≥2,m 不存在;当 a>1 时,m= 当 ∴ 1<m<2 时,若 a>1,则存在实数 m= 当 m 不存在.

,使 CD?AQ=PQ?DE;若 0<a≤1,则

点评: 本题是代数几何综合题,考查了坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相 似三角形、勾股定理、解方程等知识点.题目综合性较强,有一定的难度.第(3) 问中,注意比例式的转化 ,这样可以简化计算.


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