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11.平面向量的代数运算


(十一)平面向量的代数运算 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 1.已知向量 OA ? (4,6), OB ? (3,5), 且 OC ? OA, AC // OB, 则 OC 等于( )
? 3 2? (A) ? ? , ? ? 7 7? ? 2 4 ? ?3 2? (B) ? ? , ? (C) ? ,? ? ?7 7?

? 7 21 ? 4 ? ?2 ( D) ? , ? ? ? 7 21 ?

2.在直角坐标系 xOy 中,i, j 分别是与 x 轴,y 轴平行的单位向量, 在直角三角形 ABC 中,AB ? 2i ? j ,

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??? ? ? ? AC ? 3i ? k j ,则 k 的可能值有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

3.设 A(a,1) , B(2, b) , C (4,5) 为坐标平面上三点, O 为坐标原点,若 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相 同,则 a 与 b 满足的关系式为( A. 4a ? 5b ? 3 B. 5a ? 4b ? 3 ) C. 4a ? 5b ? 14 D. 5a ? 4b ? 14

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4.已知向量 a ? (1, n) , b ? (?1, n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? ( A. 1 B. 2 C. 2 D.4

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5.设 a ? (4,3) , a 在 b 上的投影为 A.(2,14)

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? ? 5 2 ? , b 在 x 轴上的投影为 2,且 b ? 1 ,则 b 为( 2
2 ) 7
C.(-2,



B.(2,-

2 ) 7

D.(2,8) . .

6.平行四边形的三个顶点是 A ? 4,2? ,B?5,7 ? ,C(- 3,4) ,则第四个顶点 D 的坐标是

7. OA ? (3, 4) , OB ? (6,-3) , OC ? (5-m,-3-m) .若 A, B, C 能构成三角形,则 m ?

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? 1 ??? AB ? ? sin? ,cos? ? , ? , ? ? (? ? , ? ) ,则 ? ? ? ? 2 2 2 ??? ? 9.已知 A(7,8) , B(3,5) ,则向量 AB 方向上的单位向量坐标是________。 ? ? ? ? ? ? ? ? 10. a ? 3 , b ? 4 , a, b 不共线,若 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直,则实数 k ? ________。
8.已知 A(2,3) , B (1, 4) , 11.在 ?ABC 中, AB ? (2,3), AC ? (1, k ) ,且 ?ABC 的一个内角为直角,则实数 k ? ________。 12.已知 a ? (1, 3),b ? ( 3 ?1, 3 ?1) ,则 a与b 的夹角是____。

? ? 13.已知 a ? (2, ?1) , b ? (m, m ?1) ,若 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 m 的取值范围是________。
??? ? ??? ? ???? 14.已知 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若 AP ? AB ? ? AC(? ? R) ,则 ? ? ____时点 P 在第三象限内。

15. a ? (2,4) , (1)则与 a 垂直的单位向量的坐标是______; (2)则与 a 平行的单位向量的坐标是______。 16.在四边形 ABCD 中, AB ? (6,1) , BC ? ( x, y) , CD ? (?2, ?3) ,(1)若 BC ∥ DA ,试探究 x 与 y 间的
1

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关系式;(2)在满足(1)的同时又有 AC ⊥ BD ,试求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积.

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17.已知 a ? b ? 4 , ?AOB ? 60? ,①求 a ? b , a ? b ;②求 a ? b 与 a 的夹角及 a ? b 与 a 的夹角.

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18.设 m, n 是两个单位向量,其夹角为 60 ? ,求向量 a ? 2m ? n 与 b ? 2n ? 3m 的夹角。

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19.已知点 A(1, ?1), B(?4,5) ,点 C 在直线 AB 上,且 | AC |? 3| AB | ,求 OC 的坐标。

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20.设两个向量 e1 与 e2 ,满足 e1 ? 2, e2 ? 1, e1 与 e2 的夹角为 60 ? ,若向量 2te1 ? 7e2 与 e1 ? te2 的夹角为 钝角,求实数 t 的取值范围;若向量 2te1 ? 7e2 与 e1 ? te2 的夹角为锐角,求实数 t 的取值范围。

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2


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