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镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷7


江苏省镇江市 2013 届高三高考适应性测试数学卷 7
一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1、若关于 x 的不等式 2 x 2 ? 3x ? a ? 0 的解集为 ( m,1) ,则实数 m= 2、 若将复数 (1 ? i)(1 ? 2i)2 表示为 p ? qi( p, q ? R, i 是虚数单位) 的形式,则 p ? q = 3、已知命题 P :“ ?x

? R , x ? 2 x ? 3 ? 0 ”,请写出命题 P 的否定:
2



4、从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米) 数据绘制成频率分布直方图(如图) 由图中数据可知 a 。 = 。若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加 一项活动,则从身高在 [140,150]内的学生中选取的人数应为 。 5 、 设 向 量 a ? (cos ? , sin ? ) , b ? (cos ? , sin ? ) , 其 中

?

?

? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ,若 | 2a ? b |?| a ? 2b | ,则 ? ? ? ?

.

6、圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离之差是 _____________. 7、已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3) ,则当 n ? 1 时, ?

log2 a1 ? log2 a3 ?? ? log2 a 2n? 1 ? ______
8、已知 F1、F2 是椭圆

x2 y2 =1(5<a<10)的两个焦点,B 是短轴的一个端点,则 ? a 2 (10 ? a) 2

△F1BF2 的面积的最大值是 9、 ? 、 ? 是两个不同的平面, m 、 n 是平面 ? 及 ? 之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m⊥n ②? ⊥ ? ③n⊥? ④ m ⊥?

以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个 命题: .. _____. 10、将正偶数集合 {2,4,6, ? } 从小到大按第 n 组有 2 个偶数进行分组如下: 第一组 第二组 第三组 ????
n

{2,4}

{6,8,10,12}

{14,16,18,20,22,24,26,28} ????

则 2010 位于第_______组。

1

11、 a 为非零实数, 设 偶函数 f ( x) ? x2 ? a x ? m ? 1( x ? R) 在区间 (2,3) 上存在唯一零点, 则实数 a 的取值范围是 。

12、 方程 x ? 4 ? y 2 ? y ? 4 ? x2 ? 0 所表示的曲线与直线 y ? x ? b 有交点, 则实数 b 的 取值范围是 。

13、在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点。定义 P( x1 , y1 ) 、Q( x2 , y2 ) 两点之间的“直 角距离”为 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 。已知 B(1,1) ,点 M 为直线 x ? y ? 4 ? 0 上的 动点,则 d ( B, M ) 的最小值为
x



14、设函数 f ( x) ? x ?

1 ?1? , O 为坐标原点, An 为函数 y ? f ( x) 图象上横坐标为 ? ? ? 2 ? x ?1 ???? ? ? 的 n (n ? N * ) 的 点 , 向 量 OAn 与 向 量 i ? ( 1 , 0 ) 夹 角 为 ?n , 则 满 足
tan ?1 ? tan ? 2 ? ? ? tan ? n ? 5 的最大整数 n 的值为 3


二、解答题(90 分) 15(本题满分 14 分)
??? ? ???? 在△ ABC 中,已知 AB · AC =9,sin B =cos A sin C ,面积 S ?ABC =6.

(Ⅰ)求△ ABC 的三边的长; (Ⅱ)设 P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 AC , BC , AB 的距离分别为 x,y 和 z,求 x+y+z 的取值范围. 16. (本题满分 14 分)如图,棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的所有棱长都等于 2,∠ABC=60°,平面 AA1C1C⊥平面 ABCD,∠A1AC=60°。 (Ⅰ)证明:BD⊥AA1; (Ⅱ)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP//平面 DA1C1?若存在, 求出点 P 的位置;若不存在,说明理由。

17、 (本题满分 15 分)第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 8 分。 如图 1, OA , OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤,线段 CD 和曲线段 EF 分
2

别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要,拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修 建与 OA , OB 平行的栈桥 MG 、 MK ,且以 MG 、 MK 为边建一个跨越水面的三角形观 光 平 台 MGK 。 建 立 如 图 2 所 示 的 直 角 坐 标 系 , 测 得 线 段 CD 的 方 程 是

x ? 2 y ? 20 (0 ? x ? 20) ,曲线段 EF 的方程是 xy ? 200 (5 ? x ? 40) ,设点 M 的坐标
为 ( s, t ) ,记 z ? s ? t 。 (题中所涉及的长度单位均为米,栈桥和防波堤都不计宽度) (1)求 z 的取值范围; (2)试写出三角形观光平台 MGK 面积 S?MGK 关于 z 的函数解析式,并求出该面积的最小 值。

B

F

y B

F K M

D

E

D

G C
图2

E A

O

C
图1

A

O

x

18、 (本题满分 15 分)已知圆 O : x ? y ? 8 交 x 轴于 A, B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,
2 2

直线 l : x ? ?4 为准线的椭圆. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 M 是直线 l 上的任意一点,以 OM 为直径的圆 K 与圆 O 相交于 P, Q 两点,求证: 直线 PQ 必过定点 E ,并求出点 E 的坐标。
M _ G _ y _ P _

A H _ _ Q _

O _

B _

x _

19、 (本题满分 16 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分。 设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2 ,公比为 q (q 为正整数) ,且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的等
3

差中项;数列 ?bn ? 满足 2n ? (t ? bn )n ?
2

3 bn ? 0 (t ? R, n ? N * ) 。 2

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 试确定实数 t 的值,使得数列 ?bn ? 为等差数列; (3) 当数列 ?bn ? 为等差数列时,对每个正整数 k ,在 ak 和 ak ?1 之间插入 bk 个 2,得到一 个新数列 ?cn ? 。设 Tn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数

m。
20. (16 分)已知函数 f ( x) ? e ? kx( x ?R) 。
x

(1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 k ? 0 且对任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;
n n ?1 ? 2) 2 (n ? N ? ) (3)设函数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ,求证: F (1) ? F (2) ? F (n) ? (e

参考答案
一、填空题

? 100 3 1 2 1. ;2.8;3。?x ? R, x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ;4。0.030 3;5。 ;6。6 2 ;7。n ;8. ; 2 2 9
9. m?? , n?? , ??? ? m?n 或 m?n, m?? , n?? ? ??? ;10. 9 组; 11. ? ? 12. ? ?2 2, ?2 ? 13. 4 14.3

? 10 5 ? ,? ? ? 3 2?

?

?

二、解答题 15.解:设 AB ? c,AC ? b,BC ? a .
? bc cos A ? 9 4 4 3 ? tan A ? , sin A ? , cos A ? , bc ? 15 , (Ⅰ) ? 3 5 5 ?bc sin A ? 12

?bc ? 15 ?b ? 3 sin B b 3 ? ,由 ? b 3 ? ? ,用余弦定理得 a ? 4 ? cos A ? ? sin C c 5 ? ?c ? 5 ?c 5 ?
(Ⅱ) 2S△ABC ? 3x ? 4 y ? 5z ? 12 ? x ? y ? z ?
12 1 ? (2x ? y) 5 5

????7 分

4

?3x ? 4 y ≤ 12, ? 设 t ? 2x ? y , ? x ≥ 0, 由线性规划得 0 ≤ t ≤ 8 . ? y ≥ 0, ?



12 ≤ x ? y ? z ≤ 4 .????13 分 5 16. 在 A1 作 A1O⊥AC 于点 O,由于平面 AA1C1C⊥平面 ABCD,由面面垂直的性质定理

知,A1O⊥平面 ABCD, 又底面为菱形,所以 AC⊥BD
由于BD ? AC ? BD ? 平面AA1O ? ? BD ? A1O ?? ? ? AA1 ? BD AA1 ? 平面AA1O ? ? A1 O ? AC ? 0?

????????6 分 (Ⅱ)存在这样的点 P,连接 B1C,因为 A1B1 // AB // DC ∴四边形 A1B1CD 为平行四边形。∴A1D//B1C 在 C1C 的延长线上取点 P,使 C1C=CP,连接 BP 因 B1B // CC1, ∴BB1 // CP 则 BP//B1C ∴四边形 BB1CP 为平行四边形 ∴BP//A1D ∴BP//平面 DA1C1 ???14 分 ???8 分 ???12 分

17.解: (1)由题意,得 M (s, t ) 在线段 CD: x ? 2 y ? 20 (0 ? x ? 20) 上,即 s ? 2t ? 20 , 又因为过点 M 要分别修建与 OA、OB 平行的栈桥 MG、MK, 所以 5 ? s ? 10 -------------------2 分

1 1 z ? s ? t ? s (10 ? s ) ? ? ( s ? 10) 2 ? 50, 5 ? s ? 10 -------------------4 分 2 2 75 ? z ? 50 。 所以 z 的取值范围是 -------------------6 分 2 200 200 ), G ( , t) (2)由题意,得 K ( s, s t
所 以

S?M
-8 分

?

1 2

(

t

------------------ ? M G

1 2

则 S?MGK ?

1 40000 ? 75 ? (z ? ? 400), z ? ? ,50? ,-------------------10 分 2 z ?2 ?

5

因 为 函 数

S ?MGK ?

1 40000 (z ? ? 400) 在 2 z

? 75 ? z ? ? ,50 ? ?2 ?

单 调 递 减

-------------------12 分 所 以 当 z ? 50 时 , 三 角 形 观 光 平 台 的 面 积 取 最 小 值 为 225 平 方 米 -------------------14 分 18.解: (1)设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,则: a 2 b2

?a ? 2 2 ?a ? 2 2 x2 y 2 ? 2 ? ? ? 1。 ,从而: ? ,故 b ? 2 ,所以椭圆的标准方程为 ?a 8 4 ?4 ?c ? 2 ? ? ?c
4 m 则圆 K 方程为 ? x ? 2? ? ? y ? (2) M (?, ) , 设
2

? ?

m ? m2 ?4 ? ? 2? 4

2

与圆 O : x2 ? y 2 ? 8 联

立消去 x2 , y 2 得 PQ 的方程为 4 x ? my ? 8 ? 0 , 过定点 E ? ?2,0 ? 19.解: (1)由题意 6a3 ? 8a1 ? a5 ,则 6q2 ? 8 ? q4 ,解得 q 2 ? 4 或 q 2 ? 2 因为 q 为正整数,所以 q ? 2 , -------------------3 分

又 a1 ? 2 ,所以 an ? 2n (n ? N * ) -------------------6 分 (2)当 n ? 1 时, 2 ? (t ? b1 ) ?

3 b1 ? 0, 得 b1 ? 2t ? 4 , 2

同理: n ? 2 时,得 b2 ? 16 ? 4t ; n ? 3 时,得 b3 ? 12 ? 2t , 则由 b1 ? b3 ? 2b2 ,得 t ? 3 。-------------------8 分
2 而当 t ? 3 时, 2n ? (3 ? bn ) n ?

3 bn ? 0 ,得 bn ? 2n 。-------------------10 分 2

由 bn?1 ? bn ? 2 ,知此时数列 ?bn ? 为等差数列。-------------------12 分 (3)由题意知, c1 ? a1 ? 2, c2 ? c3 ? 2, c4 ? a2 ? 4, c5 ? c6 ? c7 ? c8 ? 2, c9 ? a3 ? 8,? 则当 m ? 1 时, T1 ? 2 ? 2c2 ? 4 ,不合题意,舍去;-------------------13 分 当 m ? 2 时, T2 ? c1 ? c2 ? 4 ? 2c3 ,所以 m ? 2 成立;-------------------14 分 当 m ? 3 时,若 cm?1 ? 2 ,则 Tm ? 2cm?1 ,不合题意,舍去;从而 cm?1 必是数列 ?an ? 中的某 一 项

ak ?1
6





Tm ? a1 ? 2? ? 2 ? a2 ? 2? ? 2 ? a3 ? 2? ? 2 ? a4 ? ?? ak ? 2? ? 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ??? ??? ??? ???
b1个 b2个 b3个 bk 个

? (2 ? 22 ? 23 ? ?? 2k ) ? 2(b1 ? b2 ? b3 ? ?? bk )
? 2(2k ? 1) ? 2 ? (2 ? 2k )k ? 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 -------------------16 分 2
k ?1

又 2cm?1 ? 2ak ?1 ? 2 ? 2k ?1 ,所以 2
k 2

? 2k 2 ? 2k ? 2 ? 2 ? 2k ?1 ,

即 2 ? k ? k ? 1 ? 0 ,所以 2k ? 1 ? k 2 ? k ? k (k ? 1) 因为 2k ? 1 (k ? N * ) 为奇数,而 k 2 ? k ? k (k ? 1) 为偶数,所以上式无解。 即当 m ? 3 时, Tm ? 2cm?1 -------------------17 分

综上所述,满足题意的正整数仅有 m ? 2 。-------------------18 分

20.

(2)? f (| x |) 为偶函数,? f (| x |) ? 0 恒成立等价于 f ( x ) ? 0 对 x ? 0 恒成立
x ? ? 当 x ? 0 时, f ( x ) ? e ? k ,令 f ( x ) ? 0 ,解得 x ? ln k

(1)当 ln k ? 0 ,即 k ? 1 时, f ( x ) 在 (0, lnk ) 减,在 (lnk ,??) 增

? f ( x )min ? f (lnk ) ? k ? kl lnk ? 0 ,解得 1 ? k ? e ,? 1 ? k ? e
x ? (2)当 ln k ? 0 ,即 0 ? k ? 1 时, f ( x ) ? e ? k ? 0 ,? f ( x ) 在 [0,? ?) 上单调递增,

? f ( x)min ? f (0) ? 1 ? 0 ,符合,? 0 ? k ? 1
7

综上, 0 ? k ? e 。 (3) F ( x) ? e ? e
x ?x

(10 分)

, F (1) ? e ? e ?1 , F (n) ? e n ? e ? n

F (1) ? F (n) ? e n?1 ? e ?1? n ? e1? n ? e ?1? n ? e n?1 ? 2 F (2) ? F (n ? 1) ? e n?1 ? e ?2? n ? e 2? n ? e ?1? n ? e n?1 ? 2
。。。 。。。

F (n) ? F (1) ? e n?1 ? 2

? F (1)F (2)?F (n) ? (e n ?1 ? 2) 2 。

n

(16 分)

8


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