当前位置:首页 >> 数学 >>

人教A版高中数学必修1前两章课后习题及答案


高中数学必修 1 课后习题答案 第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
练习(第 5 页) 1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空:
(1)设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则:中国_______ A ,美国_______ A , 印度_______ A ,英国_______ A ; (2)若 A ? {x | x

2 ? x} ,则 ?1 _______ A ; (3)若 B ? {x | x2 ? x ? 6 ? 0} ,则 3 _______ B ; (4)若 C ? {x ? N |1 ? x ? 10} ,则 8 _______ C , 9.1 _______ C . 1. (1)中国 ? A ,美国 ? A ,印度 ? A ,英国 ? A ; 中国和印度是属于亚洲的国家,美国在北美洲,英国在欧洲. (2) ?1 ? A (3) 3 ? B
2 A ?{ x | x ? x } ? { 0 ,. 1} 2 B ?{ x | x ? x? 6 ? 0 } ? {? 3 . , 2}

9.1? N . (4) 8 ? C , 9.1 ? C 2.试选择适当的方法表示下列集合:
2 (1)由方程 x ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合;

(2)由小于 8 的所有素数组成的集合; (3)一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (4)不等式 4 x ? 5 ? 3 的解集.
2 2.解: (1)因为方程 x ? 9 ? 0 的实数根为 x1 ? ?3, x2 ? 3 ,

2 所以由方程 x ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合为 {?3,3} ;

(2)因为小于 8 的素数为 2,3,5,7 , 所以由小于 8 的所有素数组成的集合为 {2,3,5,7} ; (3)由 ?

?y ? x ? 3 ?x ? 1 ,得 ? , ? y ? ?2 x ? 6 ?y ? 4

即一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点为 (1, 4) ,

第 1 页 共 39 页

所以一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合为 {(1, 4)} ; (4)由 4 x ? 5 ? 3 ,得 x ? 2 , 所以不等式 4 x ? 5 ? 3 的解集为 {x | x ? 2} .

1.1.2 集合间的基本关系
练习(第 7 页)
1.写出集合 {a, b, c} 的所有子集. 1.解:按子集元素个数来分类,不取任何元素,得 ? ; 取一个元素,得 {a},{b},{c} ; 取两个元素,得 {a, b},{a, c},{b, c} ; 取三个元素,得 {a, b, c} , 即集合 {a, b, c} 的所有子集为 ?,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c} . 2.用适当的符号填空: (1) a ______ {a, b, c} ; (3) ? ______ {x ? R | x 2 ? 1 ? 0} ; (5) {0} ______ {x | x 2 ? x} ; 2. (1) a ?{a, b, c} (2) 0 ?{x | x2 ? 0} (2) 0 ______ {x | x 2 ? 0} ; (4) {0,1} ______ N ; (6) {2,1} ______ {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} .

a 是集合 {a, b, c} 中的一个元素;
{x |x2 ? 0 ? } {; 0}
2 方程 x ? 1 ? 0 无实数根, {x ? R | x2 ? 1 ? 0} ? ? ;

(3) ? ? {x ? R | x2 ? 1 ? 0} (4) {0,1} (5) {0}

N

(或 {0,1} ? N )

是自然数集合 N 的子集,也是真子集; { 0 , 1}
2 {x | x ? x} ? { 0 ,; 1}

{x | x 2 ? x} (或 {0} ? {x | x2 ? x} )
2

(6) {2,1} ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} 3.判断下列两个集合之间的关系:

2 方程 x ? 3x ? 2 ? 0 两根为 x1 ? 1, x2 ? 2 .

(1) A ? {1, 2, 4} , B ? {x | x是 8 的约数} ; (2) A ? {x | x ? 3k , k ? N} , B ? {x | x ? 6 z, z ? N} ; (3) A ? {x | x是 4 与10 的公倍数,x ? N? } , B ? {x | x ? 20m, m ? N? }.

第 2 页 共 39 页

3.解: (1)因为 B ? {x | x是 8 的约数} ? {1, 2, 4,8} ,所以 A

B;

(2)当 k ? 2 z 时, 3k ? 6 z ;当 k ? 2 z ? 1 时, 3k ? 6 z ? 3 , 即 B 是 A 的真子集, B

A;

(3)因为 4 与 10 的最小公倍数是 20 ,所以 A ? B .

1.1.3 集合的基本运算
练习(第 11 页)
1.设 A ? {3,5,6,8}, B ? {4,5,7,8} ,求 A 1.解: A

B, A B .

B ? {3,5,6,8} {4,5,7,8} ? {5,8} ,

A B ? {3,5,6,8} {4,5,7,8} ? {3, 4,5,6,7,8} .
2.设 A ? {x | x2 ? 4x ? 5 ? 0}, B ? {x | x2 ? 1} ,求 A 2.解:方程 x2 ? 4 x ? 5 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 5 , 方程 x2 ? 1 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 1 , 得 A ? {?1,5}, B ? {?1,1} , 即A

B, A B .

B ? {?1}, A B ? {?1,1,5} . B, A B .

3.已知 A ? {x | x是等腰三角形} , B ? {x | x是直角三角形} ,求 A 3.解: A

B ? {x | x是等腰直角三角形} ,

A B ? {x | x是等腰三角形或直角三角形} .
4.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} , A ? {2, 4,5}, B ? {1,3,5,7} , 求A

(痧 (? U B),( U A) U B) .

4.解:显然 ? U B ? {2, 4,6} , ? U A ? {1,3,6,7} , 则A

(? ( U B) ? {6} . U B) ? {2, 4} , (痧 U A)

1.1 集合
习题 1.1 (第 11 页) 1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空: A组

第 3 页 共 39 页

(1) 3

2 _______ Q ; 7

(2) 32 ______ N ;

(3) ? _______ Q ;

(4) 2 _______ R ; 1. (1) 3

(5) 9 _______ Z ; (6) ( 5)2 _______ N . (2) 32 ? N (4) 2 ? R

2 ?Q 7

2 3 是有理数; 7

32 ? 9 是个自然数;

(3) ? ? Q (5) 9 ? Z

? 是个无理数,不是有理数;
9 ? 3 是个整数;

2 是实数;
是个自然数. ( 52 )? 5

(6) ( 5)2 ? N

2.已知 A ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z } ,用 “ ? ”或“ ? ” 符号填空: (1) 5 _______ A ; (2) 7 _______ A ; (3) ?10 _______ A . 2. (1) 5 ? A ; (2) 7 ? A ; (3) ?10 ? A . 当 k ? 2 时, 3k ? 1 ? 5 ;当 k ? ?3 时, 3k ? 1 ? ?10 ; 3.用列举法表示下列给定的集合: (1)大于 1 且小于 6 的整数; (2) A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ; (3) B ? {x ? Z | ?3 ? 2 x ? 1 ? 3} . 3.解: (1)大于 1 且小于 6 的整数为 2,3, 4,5 ,即 {2,3, 4,5} 为所求; (2)方程 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 的两个实根为 x1 ? ?2, x2 ? 1 ,即 {?2,1} 为所求; (3)由不等式 ?3 ? 2 x ? 1 ? 3 ,得 ?1 ? x ? 2 ,且 x ? Z ,即 {0,1, 2} 为所求. 4.试选择适当的方法表示下列集合: (1)二次函数 y ? x2 ? 4 的函数值组成的集合;

2 的自变量的值组成的集合; x (3)不等式 3x ? 4 ? 2 x 的解集.
(2)反比例函数 y ?
2 2 4.解: (1)显然有 x ? 0 ,得 x ? 4 ? ?4 ,即 y ? ?4 ,

得二次函数 y ? x2 ? 4 的函数值组成的集合为 { y | y ? ?4} ;

2 的自变量的值组成的集合为 {x | x ? 0} ; x 4 4 (3)由不等式 3x ? 4 ? 2 x ,得 x ? ,即不等式 3x ? 4 ? 2 x 的解集为 {x | x ? } . 5 5
(2)显然有 x ? 0 ,得反比例函数 y ? 5.选用适当的符号填空: (1)已知集合 A ? {x | 2 x ? 3 ? 3x}, B ? {x | x ? 2} ,则有:

?4 _______ B ;

?3 _______ A ; { 2 } _______ B ;
第 4 页 共 39 页

B _______ A ;

(2)已知集合 A ? {x | x2 ?1 ? 0} ,则有:

1 _______ A ; {? 1} _______ A ;

? _______ A ; {1 ? _______ A ; , 1}

(3) {x | x是菱形} _______ {x | x是平行四边形} ; _______ {x | x是等边三角形} . {x |x是等腰三角形 } 5. (1) ?4 ? B ;

?3 ? A ; { 2 } B ;

B

A;

2 x ? 3 ? 3x ? x ? ?3 ,即 A ? {x | x ? ?3}, B ? {x | x ? 2} ;
(2) 1 ? A ;

{? 1} A ;

?

A ; {1 ? =A; , 1}

A ? {x | x2 ?1 ? 0} ? {?1,1} ;
(3) {x | x是菱形}

{x | x是平行四边形} ;

菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形,但是平行四边形不一定是菱形;

{x | x是等边三角形}

{x | x是等腰三角形} .

等边三角形一定是等腰三角形,但是等腰三角形不一定是等边三角形. 6.设集合 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | 3x ? 7 ? 8 ? 2 x} ,求 A

B, A B .

6.解: 3x ? 7 ? 8 ? 2 x ,即 x ? 3 ,得 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | x ? 3} , 则A

B ? {x | x ? 2} , A B ? {x | 3 ? x ? 4} .

7.设集合 A ? {x | x是小于 9 的正整数} , B ? {1, 2,3}, C ? {3, 4,5,6} ,求 A

B,

A C , A (B C) , A (B C) .
7.解: A ? {x | x是小于 9 的正整数} ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8}, 则A 而B 则A

B ? {1, 2,3} , A C ? {3, 4,5, 6} , C ? {1, 2,3, 4,5,6} , B C ? {3} , ( B C ) ? {1, 2,3, 4,5,6} ,

A ( B C ) ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} .
8.学校里开运动会,设 A ? {x | x是参加一百米跑的同学},

B ? {x | x是参加二百米跑的同学}, C ? {x | x是参加四百米跑的同学} ,
第 5 页 共 39 页

学校规定,每个参加上述的同学最多只能参加两项,请你用集合的语言说明这项规定, 并解释以下集合运算的含义: (1) A B ; (2) A C . 8.解:用集合的语言说明这项规定:每个参加上述的同学最多只能参加两项, 即为 ( A (1) A

B) C ? ? .

B ? {x | x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学} ;

(2) A C ? {x | x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}. 9.设 S ? {x | x是平行四边形或梯形} , A ? {x | x是平行四边形} , B ? {x | x是菱形} , ,求 B C , ?A B , ?S A . C ? { x | 是矩形 x } 9.解:同时满足菱形和矩形特征的是正方形,即 B

C ? {x | x是正方形} ,

平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形, 即 ?A B ? {x | x是邻边不相等的平行四边形} ,

?S A ? {x | x是梯形}.
10.已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7}, B ? {x | 2 ? x ? 10} ,求 ?R ( A

B) , ?R ( A B) ,

(?R A) B , A (?R B) .
10.解: A

B ? {x | 2 ? x ? 10} , A B ? {x | 3 ? x ? 7} ,

?R A ? {x | x ? 3, 或x ? 7} , ?R B ? {x | x ? 2, 或x ? 10},
得 ?R ( A

B) ? {x | x ? 2, 或x ? 10} ,

?R ( A B) ? {x | x ? 3, 或x ? 7} , (?R A) B ? {x | 2 ? x ? 3, 或7 ? x ? 10} , A (?R B) ? {x | x ? 2, 或3 ? x ? 7或x ? 10} .
B组
1.已知集合 A ? {1, 2},集合 B 满足 A 1. 4 集合 B 满足 A

B ? {1, 2} ,则集合 B 有

个.

B ? A ,则 B ? A ,即集合 B 是集合 A 的子集,得 4 个子集.

2.在平面直角坐标系中,集合 C ? {( x, y) | y ? x} 表示直线 y ? x ,从这个角度看, 集合 D ? ?( x, y ) | ?

?

?

?2 x ? y ? 1 ? ? 表示什么?集合 C , D 之间有什么关系? ? x ? 4 y ? 5?
第 6 页 共 39 页

2.解:集合 D ? ?( x, y ) | ?

? ?

?2 x ? y ? 1 ? ? 表示两条直线 2 x ? y ? 1, x ? 4 y ? 5 的交点的集合, ? x ? 4 y ? 5?

即 D ? ? ( x, y ) | ?

? ?

?2 x ? y ? 1 ? ? ? {(1,1)},点 D(1,1) 显然在直线 y ? x 上, ? x ? 4 y ? 5?

得D

C.
B, A B .

3.设集合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? a) ? 0, a ? R} , B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ,求 A 3.解:显然有集合 B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ? {1, 4} , 当 a ? 3 时,集合 A ? {3} ,则 A 当 a ? 1 时,集合 A ? {1,3} ,则 A 当 a ? 4 时,集合 A ? {3, 4} ,则 A

B ? {1,3, 4}, A B ? ? ;
B ? {1,3, 4}, A B ? {1} ;

B ? {1,3, 4}, A B ? {4} ;

当 a ? 1 ,且 a ? 3 ,且 a ? 4 时,集合 A ? {3, a} , 则A 4.已知全集 U ? A

B ? {1,3, 4, a}, A B ? ? .

B. B ? {x ? N | 0 ? x ? 10} , A (? U B) ? {1,3,5,7} ,试求集合

4.解:显然 U ? {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10} ,由 U ? A 得? U B ? A ,即 A

B,

(痧 U B) ?

U

B ,而 A (? U B) ? {1,3,5,7} ,

得? U B ? {1,3,5,7} ,而 B ? 痧 U ( U B) , 即 B ? {0, 2, 4, 6,8.9,10} .

第一章

集合与函数概念

1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
练习(第 19 页)
1.求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ?

1 ; 4x ? 7

(2) f ( x) ? 1 ? x ? x ? 3 ?1 .

1.解: (1)要使原式有意义,则 4 x ? 7 ? 0 ,即 x ? ?

7 , 4

第 7 页 共 39 页

得该函数的定义域为 {x | x ? ? } ; (2)要使原式有意义,则 ?

7 4

?1 ? x ? 0 ,即 ?3 ? x ? 1 , ?x ? 3 ? 0

得该函数的定义域为 {x | ?3 ? x ? 1} . 2.已知函数 f ( x) ? 3x2 ? 2 x , (1)求 f (2), f (?2), f (2) ? f (?2) 的值; (2)求 f (a), f ( ?a), f (a) ? f ( ?a) 的值. 2.解: (1)由 f ( x) ? 3x2 ? 2 x ,得 f (2) ? 3 ? 22 ? 2 ? 2 ? 18 , 同理得 f (?2) ? 3? (?2)2 ? 2 ? (?2) ? 8 , 则 f (2) ? f (?2) ? 18 ? 8 ? 26 , 即 f (2) ? 18, f (?2) ? 8, f (2) ? f (?2) ? 26 ; (2)由 f ( x) ? 3x2 ? 2 x ,得 f (a) ? 3? a2 ? 2 ? a ? 3a2 ? 2a , 同理得 f (?a) ? 3? (?a)2 ? 2 ? (?a) ? 3a2 ? 2a , 则 f (a) ? f (?a) ? (3a2 ? 2a) ? (3a2 ? 2a) ? 6a 2 , 即 f (a) ? 3a2 ? 2a, f (?a) ? 3a2 ? 2a, f (a) ? f (?a) ? 6a 2 . 3.判断下列各组中的函数是否相等,并说明理由: (1)表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h ? 130t ? 5t 和二次函数 y ? 130 x ? 5 x 2 ;
2

(2) f ( x) ? 1 和 g ( x) ? x0 . 3.解: (1)不相等,因为定义域不同,时间 t ? 0 ; (2)不相等,因为定义域不同, g ( x) ? x0 ( x ? 0) .

1.2.2 函数的表示法
练习(第 23 页)
1.如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为 xcm , 面积为 ycm ,把 y 表示为 x 的函数. 1.解:显然矩形的另一边长为 50 ? x cm ,
2 2
2

第 8 页 共 39 页

y ? x 502 ? x2 ? x 2500 ? x2 ,且 0 ? x ? 50 ,
即 y ? x 2500 ? x 2 (0 ? x ? 50) . 2.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事. (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学; ( 2)我骑着 车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离

O

时间

O

时间

O

时间

O

时间

(A)

(B)

(C)

(D)

2.解:图象(A)对应事件(2) ,在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化; 图象(B)对应事件(3) ,刚刚开始缓缓行进,后来为了赶时间开始加速; 图象(D)对应事件(1) ,返回家里的时刻,离开家的距离又为零; 图象(C)我出发后,以为要迟到,赶时间开始加速,后来心情轻松,缓缓行进. 3.画出函数 y ?| x ? 2 | 的图象. 3.解: y ?| x ? 2 |? ?

? x ? 2, x ? 2 ,图象如下所示. ?? x ? 2, x ? 2

4.设 与 A

A ? {x | x是锐角}, B ? {0,1} ,从 A 到 B 的映射是“求正弦” ,
中元素 60 相对应

的 B 中的元素是什么?与 B 中的元素 素是什么? 4.解:因为 sin 60 ?

2 相对应的 A 中元 2

3 3 ,所以与 A 中元素 60 相对应的 B 中的元素是 ; 2 2 2 2 ,所以与 B 中的元素 相对应的 A 中元素是 45 . 2 2

因为 sin 45 ?

第 9 页 共 39 页

1.2 函数及其表示 习题 1.2(第 23 页) 1.求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ? (3) f ( x) ?

3x ; x?4

(2) f ( x) ? (4) f ( x) ?

x2 ;
4? x . x ?1

6 ; x ? 3x ? 2
2

1.解: (1)要使原式有意义,则 x ? 4 ? 0 ,即 x ? 4 , 得该函数的定义域为 {x | x ? 4} ; (2) x ? R , f ( x) ?

x 2 都有意义,

即该函数的定义域为 R ;
2 (3)要使原式有意义,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ,即 x ? 1 且 x ? 2 ,

得该函数的定义域为 {x | x ? 1且x ? 2} ; (4)要使原式有意义,则 ?

?4 ? x ? 0 ,即 x ? 4 且 x ? 1 , ?x ?1 ? 0

得该函数的定义域为 {x | x ? 4且x ? 1} . 2.下列哪一组中的函数 f ( x ) 与 g ( x) 相等? (1) f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? (3) f ( x) ? x 2 , g ( x) ?
3

x2 ?1 ; x

(2) f ( x) ? x2 , g ( x) ? ( x )4 ;

x6 .
x2 ?1 的定义域为 {x | x ? 0} , x

2.解: (1) f ( x) ? x ? 1 的定义域为 R ,而 g ( x) ?

即两函数的定义域不同,得函数 f ( x ) 与 g ( x) 不相等; (2) f ( x) ? x 的定义域为 R ,而 g ( x) ? ( x ) 4 的定义域为 {x | x ? 0} ,
2

即两函数的定义域不同,得函数 f ( x ) 与 g ( x) 不相等; (3)对于任何实数,都有 x ? x ,即这两函数的定义域相同,切对应法则相同,
3 6 2

得函数 f ( x ) 与 g ( x) 相等. 3.画出下列函数的图象,并说出函数的定义域和值域.

第 10 页 共 39 页

(1) y ? 3x ; (2) y ? 3.解: (1)

8 ; (3) y ? ?4 x ? 5 ; (4) y ? x2 ? 6x ? 7 . x

定义域是 (??, ??) ,值域是 (??, ??) ; (2)

定义域是 (??,0)

(0, ??) ,值域是 (??,0) (0, ??) ;

(3)

定义域是 (??, ??) ,值域是 (??, ??) ;

第 11 页 共 39 页

(4)

定义域是 (??, ??) ,值域是 [?2, ??) . 4.已知函数 f ( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ,求 f (? 2) , f (?a) , f (a ? 3) , f (a) ? f (3) . 4.解:因为 f ( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ,所以 f (? 2) ? 3? (? 2)2 ? 5 ? (? 2) ? 2 ? 8 ? 5 2 , 即 f (? 2) ? 8 ? 5 2 ; 同理, f (?a) ? 3? (?a)2 ? 5 ? (?a) ? 2 ? 3a2 ? 5a ? 2 , 即 f (?a) ? 3a2 ? 5a ? 2 ;

f (a ? 3) ? 3? (a ? 3)2 ? 5 ? (a ? 3) ? 2 ? 3a2 ? 13a ? 14 ,
即 f (a ? 3) ? 3a2 ? 13a ? 14 ;

f (a) ? f (3) ? 3a2 ? 5a ? 2 ? f (3) ? 3a2 ? 5a ? 16 ,
即 f (a) ? f (3) ? 3a2 ? 5a ? 16 . 5.已知函数 f ( x) ?

x?2 , x?6

(1)点 (3,14) 在 f ( x ) 的图象上吗? (2)当 x ? 4 时,求 f ( x ) 的值; (3)当 f ( x) ? 2 时,求 x 的值. 5.解: (1)当 x ? 3 时, f (3) ?

3? 2 5 ? ? ? 14 , 3?6 3

即点 (3,14) 不在 f ( x ) 的图象上; (2)当 x ? 4 时, f (4) ?

4?2 ? ?3 , 4?6
第 12 页 共 39 页

即当 x ? 4 时,求 f ( x ) 的值为 ?3 ; (3) f ( x) ?

x?2 ? 2 ,得 x ? 2 ? 2( x ? 6) , x?6 即 x ? 14 .

6.若 f ( x) ? x2 ? bx ? c ,且 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ,求 f (?1) 的值. 6.解:由 f (1) ? 0, f (3) ? 0 , 得 1, 3 是方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根, 即 1 ? 3 ? ?b,1? 3 ? c ,得 b ? ?4, c ? 3 , 即 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 ,得 f (?1) ? (?1)2 ? 4 ? (?1) ? 3 ? 8 , 即 f (?1) 的值为 8 . 7.画出下列函数的图象: (1) F ( x) ? ?

?0, x ? 0 ; 1, x ? 0 ?

(2) G(n) ? 3n ? 1, n ?{1, 2,3} .

7.图象如下:

8. 如图, 矩形的面积为 10 , 如果矩形的长为 x , 宽为 y , 对角线为 d ,

第 13 页 共 39 页

周长为 l ,那么你能获得关于这些量的哪些函数?

8.解:由矩形的面积为 10 ,即 xy ? 10 ,得 y ?

10 10 ( x ? 0) , x ? ( y ? 0) , x y

由对角线为 d ,即 d ?

x 2 ? y 2 ,得 d ? x 2 ?

100 ( x ? 0) , x2

由周长为 l ,即 l ? 2 x ? 2 y ,得 l ? 2 x ?

20 ( x ? 0) , x

另外 l ? 2( x ? y) ,而 xy ? 10, d 2 ? x2 ? y 2 ,
2 2 2 2 得 l ? 2 ( x ? y ) ? 2 x ? y ? 2 xy ? 2 d ? 20 (d ? 0) ,

即 l ? 2 d 2 ? 20 (d ? 0) . 9.一个圆柱形容器的底部直径是 dcm ,高是 hcm ,现在以 vcm3 / s 的速度向容器内注入某种溶液.求溶 液内溶液的高度 xcm 关于注入溶液的时间 ts 的函数解析式,并写出函数的定义域和值域.
2 9.解:依题意,有 ? ( ) x ? vt ,即 x ?

d 2

4v t, ?d2

显然 0 ? x ? h ,即 0 ?

h? d 2 4v t ? h 0 ? t ? ,得 , ?d2 4v

h? d 2 ] 和值域为 [0, h] . 得函数的定义域为 [0, 4v
10.设集合 A ? {a, b, c}, B ? {0,1} ,试问:从 A 到 B 的映射共有几个? 并将它们分别表示出来. 10.解:从 A 到 B 的映射共有 8 个.

? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? ? ? ? 分别是 ? f (b) ? 0 , ? f (b) ? 0 , ? f (b) ? 1 , ? f (b) ? 0 , ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? ? ? ? ? f (a) ? 1 ? f (a) ? 1 ? f (a) ? 1 ? f (a) ? 1 ? ? ? ? ? f (b) ? 0 , ? f (b) ? 0 , ? f (b) ? 1 , ? f (b) ? 0 . ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? ? ? ?

第 14 页 共 39 页

B组
1.函数 r ? f ( p ) 的图象如图所示. (1)函数 r ? f ( p ) 的定义域是什么? (2)函数 r ? f ( p ) 的值域是什么? (3) r 取何值时,只有唯一的 p 值与之对应? 1.解: (1)函数 r ? f ( p ) 的定义域是 [?5, 0] [2, 6) ; (2)函数 r ? f ( p ) 的值域是 [0, ??) ; (3)当 r ? 5 ,或 0 ? r ? 2 时,只有唯一的 p 值与之对应. 2.画出定义域为 {x | ?3 ? x ? 8, 且x ? 5} ,值域为 { y | ?1 ? y ? 2, y ? 0} 的一个函数的图象. (1)如果平面直角坐标系中点 P( x, y ) 的坐标满足 ?3 ? x ? 8 , ?1 ? y ? 2 ,那么其中哪些点不能在图象 上? (2)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别吗? 2.解:图象如下, (1)点 ( x, 0) 和点 (5, y ) 不能在图象上; (2)省略.

3.函数 f ( x) ? [ x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如, [?3.5] ? ?4 , [2.1] ? 2 . 当 x ? (?2.5,3] 时,写出函数 f ( x ) 的解析式,并作出函数的图象.
第 15 页 共 39 页

??3, ? 2.5 ? x ? ?2 ??2, ? 2 ? x ? ?1 ? ??1, ? 1 ? x ? 0 ? 3.解: f ( x) ? [ x] ? ?0, 0 ? x ? 1 ?1, 1 ? x ? 2 ? ?2, 2 ? x ? 3 ?3, x ? 3 ?
图象如下

4. 如图所示, 一座小岛距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2km , 从点 P 沿海岸正东 12 km 处有一个城镇.

(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3km / h ,步行的速度是 5km / h , t (单位: h )表示他从小岛
第 16 页 共 39 页

到城镇的时间, x (单位: km )表示此人将船停在海岸处距 P 点的距离.请将 t 表示为 x 的函数. (2)如果将船停在距点 P 4km 处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到 1h )? 4.解: (1)驾驶小船的路程为 x ? 2 ,步行的路程为 12 ? x ,
2 2

得t ?

x 2 ? 22 12 ? x , (0 ? x ? 12) , ? 3 5 x 2 ? 4 12 ? x , (0 ? x ? 12) . ? 3 5

即t ?

42 ? 4 12 ? 4 2 5 8 (2)当 x ? 4 时, t ? ? ? ? ? 3 (h) . 3 5 3 5

第一章

集合与函数概念
1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大(小)值
练习(第 32 页)
1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.

1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率 达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人 越多,生产效率就越高. 2.整个上午 (8 : 00

12 : 00) 天气越来越暖,中午时分 (12 : 00 13: 00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许

多.暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山 (18 : 00) 才又开始转凉.画出这一天 8 : 00 作为时间函数的一个可能的图象,并说出所画函数的单调区间. 2.解:图象如下

20 : 00 期间气温

第 17 页 共 39 页

是递增区间, [8, 12 ] [12,13] 是递减区间, [13,18] 是递增区间, [18, 20] 是递减区间.

3.根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.

3.解:该函数在 [?1, 0] 上是减函数,在 [0, 2] 上是增函数,在 [2, 4] 上是减函数, 在 [4,5] 上是增函数. 4.证明函数 f ( x) ? ?2 x ? 1 在 R 上是减函数. 4.证明:设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2( x1 ? x2 ) ? 2( x2 ? x1 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以函数 f ( x) ? ?2 x ? 1 在 R 上是减函数. 5.设 f ( x ) 是定义在区间 [ ?6,11] 上的函数.如果 f ( x ) 在区间 [?6, ?2] 上递减,在区间 [ ?2,11] 上递增,画 出 f ( x ) 的一个大致的图象,从图象上可以发现 f (?2) 是函数 f ( x ) 的一个
第 18 页 共 39 页

.

5.最小值.

1.3.2 单调性与最大(小)值
练习(第 36 页)
1.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? 2 x4 ? 3x2 ; (2) f ( x) ? x3 ? 2x (3) f ( x) ?

x2 ? 1 ; x

(4) f ( x) ? x2 ? 1 .

1.解: (1)对于函数 f ( x) ? 2 x4 ? 3x2 ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f (? x) ? 2(? x)4 ? 3(? x)2 ? 2 x4 ? 3x2 ? f ( x) , 所以函数 f ( x) ? 2 x4 ? 3x2 为偶函数; (2)对于函数 f ( x) ? x3 ? 2x ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f (? x) ? (? x)3 ? 2(? x) ? ?( x3 ? 2 x) ? ? f ( x) , 所以函数 f ( x) ? x3 ? 2x 为奇函数; (3)对于函数 f ( x) ?

x2 ? 1 ,其定义域为 (??,0) (0, ??) ,因为对定义域内 x (? x) 2 ? 1 x2 ? 1 ?? ? ? f ( x) , ?x x

每一个 x 都有 f (? x) ?

所以函数 f ( x) ?

x2 ? 1 为奇函数; x

(4)对于函数 f ( x) ? x2 ? 1 ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f (? x) ? (? x)2 ? 1 ? x2 ? 1 ? f ( x) , 所以函数 f ( x) ? x2 ? 1 为偶函数. 2.已知 f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,试将下图补充完整.

第 19 页 共 39 页

2.解: f ( x ) 是偶函数,其图象是关于 y 轴对称的;

g ( x) 是奇函数,其图象是关于原点对称的.

习题 1.3
A组
1.画出下列函数的图象,并根据图象说出函数 y ? f ( x) 的单调区间,以及在各单调区间 上函数 y ? f ( x) 是增函数还是减函数. (1) y ? x2 ? 5x ? 6 ; 1.解: (1) (2) y ? 9 ? x2 .

函 数 在 (2)

5 5 (??, ) 上递减;函数在 [ , ??) 上递增; 2 2

第 20 页 共 39 页

函数在 ( ??, 0) 上递增;函数在 [0, ??) 上递减. 2.证明: (1)函数 f ( x) ? x2 ? 1 在 ( ??, 0) 上是减函数; (2)函数 f ( x ) ? 1 ?

1 在 ( ??, 0) 上是增函数. x

2.证明: (1)设 x1 ? x2 ? 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) , 由 x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x) ? x2 ? 1 在 ( ??, 0) 上是减函数; (2)设 x1 ? x2 ? 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 1 x1 ? x2 , ? ? x2 x1 x1 x2

由 x1 x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x ) ? 1 ?

1 在 ( ??, 0) 上是增函数. x

3.探究一次函数 y ? mx ? b( x ? R) 的单调性,并证明你的结论. 3.解:当 m ? 0 时,一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是增函数; 当 m ? 0 时,一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是减函数, 令 f ( x) ? mx ? b ,设 x1 ? x2 , 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m( x1 ? x2 ) , 当 m ? 0 时, m( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 得一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是增函数; 当 m ? 0 时, m( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 得一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是减函数.

第 21 页 共 39 页

4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象(示意图). 4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为

5.某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租金 x 元间的关系为

x2 y ? ? ? 162 x ? 21000 ,那么,每辆车的月租金多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多 50
少? 5.解:对于函数 y ? ? 当x??

x2 ? 162 x ? 21000 , 50
, ? 4050 时, ymax ? 307050 (元)

162 1 2 ? (? ) 50

即每辆车的月租金为 4050 元时,租赁公司最大月收益为 307050 元. 6.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) .画出函数 f ( x ) 的图象,并求出函数的解析式. 6.解:当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,而当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) , 即 f (? x) ? ? x(1 ? x) ,而由已知函数是奇函数,得 f (? x) ? ? f ( x) , 得 ? f ( x) ? ? x(1 ? x) ,即 f ( x) ? x(1 ? x) , 所以函数的解析式为 f ( x) ? ?

? x(1 ? x), x ? 0 . ? x(1 ? x), x ? 0

B组
1.已知函数 f ( x) ? x ? 2x , g ( x) ? x ? 2 x ( x ?[2, 4]) .
2 2

(1)求 f ( x ) , g ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x ) , g ( x) 的最小值. 1.解: (1)二次函数 f ( x) ? x ? 2x 的对称轴为 x ? 1 ,
2

则函数 f ( x ) 的单调区间为 (??,1),[1, ??) , 且函数 f ( x ) 在 (??,1) 上为减函数,在 [1, ??) 上为增函数,
第 22 页 共 39 页

函数 g ( x) 的单调区间为 [2, 4] , 且函数 g ( x) 在 [2, 4] 上为增函数; (2)当 x ? 1 时, f ( x)min ? ?1, 因为函数 g ( x) 在 [2, 4] 上为增函数, 所以 g ( x)min ? g (2) ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 0 . 2.如图所示,动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是 30m ,那么宽 x (单位: m )为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大?每间熊猫居室的最大面积 是多少?

2.解:由矩形的宽为 x m ,得矩形的长为 则S ? x

30 ? 3 x m ,设矩形的面积为 S , 2

30 ? 3x 3( x 2 ? 10 x) ?? , 2 2

当 x ? 5 时, Smax ? 37.5 m2 , 即宽 x ? 5 m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大, 且每间熊猫居室的最大面积是 37.5 m2 . 3.已知函数 f ( x ) 是偶函数,而且在 (0, ??) 上是减函数,判断 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上是增函数还是减函数,并 证明你的判断. 3.判断 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上是增函数,证明如下: 设 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0 , 因为函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数,得 f (? x1 ) ? f (? x2 ) , 又因为函数 f ( x ) 是偶函数,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上是增函数.

复习参考题
第 23 页 共 39 页

A组
1.用列举法表示下列集合: (1) A ? {x | x2 ? 9} ; (2) B ? {x ? N |1 ? x ? 2} ; (3) C ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0}. 1.解: (1)方程 x 2 ? 9 的解为 x1 ? ?3, x2 ? 3 ,即集合 A ? {?3,3} ; (2) 1 ? x ? 2 ,且 x ? N ,则 x ? 1, 2 ,即集合 B ? {1, 2}; (3)方程 x2 ? 3x ? 2 ? 0 的解为 x1 ? 1, x2 ? 2 ,即集合 C ? {1, 2} . 2.设 P 表示平面内的动点,属于下列集合的点组成什么图形? (1) {P | PA ? PB} ( A, B是两个定点) ; (2) {P | PO ? 3cm} (O是定点) . 2.解: (1)由 PA ? PB ,得点 P 到线段 AB 的两个端点的距离相等, 即 {P | PA ? PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线; (2) {P | PO ? 3cm} 表示的点组成以定点 O 为圆心,半径为 3cm 的圆. 3.设平面内有 ?ABC ,且 P 表示这个平面内的动点,指出属于集合

{P | PA ? PB} {P | PA ? PC}的点是什么.
3.解:集合 {P | PA ? PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线, 集合 {P | PA ? PC} 表示的点组成线段 AC 的垂直平分线, 得 {P | PA ? PB} {P | PA ? PC}的点是线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 的 垂直平分线的交点,即 ?ABC 的外心. 4.已知集合 A ? {x | x 2 ? 1}, B ? {x | ax ? 1} .若 B ? A ,求实数 a 的值. 4.解:显然集合 A ? {?1,1} ,对于集合 B ? {x | ax ? 1} , 当 a ? 0 时,集合 B ? ? ,满足 B ? A ,即 a ? 0 ; 当 a ? 0 时,集合 B ? { } ,而 B ? A ,则 得 a ? ?1 ,或 a ? 1 , 综上得:实数 a 的值为 ?1, 0 ,或 1 .

1 a

1 1 ? ?1 ,或 ? 1 , a a

第 24 页 共 39 页

5. 已知集合 A ? {( x, y) | 2 x ? y ? 0} , B ? {( x, y) | 3x ? y ? 0} , C ? {( x, y) | 2 x ? y ? 3} ,求 A

B,

A C , ( A B) ( B C ) .
5.解:集合 A

? ?2 x ? y ? 0? B ? ?( x, y) | ? ? ? {(0, 0)} ,即 A B ? {(0, 0)} ; ?3x ? y ? 0 ? ? ? ?2 x ? y ? 0 ? C ? ? ( x, y ) | ? ? ? ? ,即 A C ? ? ; ?2 x ? y ? 3 ? ?
? ?3 x ? y ? 0 ? 3 9 C ? ?( x, y ) | ? ? ? {( , ? )} ; 5 5 ? 2 x ? y ? 3? ?
3 9 B) ( B C ) ? {(0, 0), ( , ? )} . 5 5

集合 A

集合 B

则(A

6.求下列函数的定义域: (1) y ? (2) y ?

x?2? x?5 ;

x?4 . | x | ?5 ?x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 , ?x ? 5 ? 0

6.解: (1)要使原式有意义,则 ?

得函数的定义域为 [2, ??) ;

(2)要使原式有意义,则 ?

?x ? 4 ? 0 ,即 x ? 4 ,且 x ? 5 , ?| x | ?5 ? 0
(5, ??) .

得函数的定义域为 [4,5) 7.已知函数 f ( x ) ?

1? x ,求: 1? x
(2) f (a ? 1)(a ? ?2) .

(1) f (a) ? 1(a ? ?1) ; 7.解: (1)因为 f ( x ) ?

1? x , 1? x 1? a 1? a 2 ?1 ? 所以 f ( a ) ? ,得 f (a) ? 1 ? , 1? a 1? a 1? a 2 即 f (a) ? 1 ? ; 1? a 1? x (2)因为 f ( x ) ? , 1? x 1 ? ( a ? 1) a ?? 所以 f (a ? 1) ? , 1? a ?1 a?2
第 25 页 共 39 页

即 f ( a ? 1) ? ? 8.设 f ( x) ?

a . a?2

1 ? x2 ,求证: 1 ? x2
(2) f ( ) ? ? f ( x ) .

(1) f (? x) ? f ( x) ;

1 x

8.证明: (1)因为 f ( x) ?

1 ? x2 , 1 ? x2

所以 f (? x) ?

1 ? ( ? x) 2 1 ? x 2 ? ? f ( x) , 1 ? ( ? x) 2 1 ? x 2

即 f ( ? x) ? f ( x) ; (2)因为 f ( x) ?

1 ? x2 , 1 ? x2

1 1 ? ( )2 2 1 x ? 1 ? x ? ? f ( x) , 所以 f ( ) ? x 1 ? ( 1 )2 x2 ? 1 x 1 即 f ( ) ? ? f ( x) . x
9.已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性,求实数 k 的取值范围. 9.解:该二次函数的对称轴为 x ?

k , 8

函数 f ( x) ? 4 x 2 ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性,

k k ? 20 ,或 ? 5 ,得 k ? 160 ,或 k ? 40 , 8 8 即实数 k 的取值范围为 k ? 160 ,或 k ? 40 .
则 10.已知函数 y ? x ?2 , (1)它是奇函数还是偶函数? (2)它的图象具有怎样的对称性? (3)它在 (0, ??) 上是增函数还是减函数? (4)它在 ( ??, 0) 上是增函数还是减函数? 10.解: (1)令 f ( x) ? x ,而 f (? x) ? (? x) 即函数 y ? x 是偶函数;
?2 ?2 ?2

? x?2 ? f ( x) ,

第 26 页 共 39 页

(2)函数 y ? x ?2 的图象关于 y 轴对称; (3)函数 y ? x ?2 在 (0, ??) 上是减函数; (4)函数 y ? x ?2 在 ( ??, 0) 上是增函数.

B组
1.学校举办运动会时, 高一 (1) 班共有 28 名同学参加比赛, 有 15 人参加游泳比赛, 有 8 人参加田径比赛, 有 14 人参加球类比赛, 同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人, 同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人, 没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 1.解:设同时参加田径和球类比赛的有 x 人, 则 15 ? 8 ? 14 ? 3 ? 3 ? x ? 28 ,得 x ? 3 , 只参加游泳一项比赛的有 15 ? 3 ? 3 ? 9 (人) , 即同时参加田径和球类比赛的有 3 人,只参加游泳一项比赛的有 9 人. 2.已知非空集合 A ? {x ? R | x2 ? a} ,试求实数 a 的取值范围.
2 2.解:因为集合 A ? ? ,且 x ? 0 ,所以 a ? 0 .

3.设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} , ? U (A 3.解:由 ? U (A 集合 A

B. B) ? {1,3} , A (? U B) ? {2, 4} ,求集合

B) ? {1,3} ,得 A B ? {2, 4,5,6,7,8,9} ,
B, B 里除去 A (? U B) ,得集合

所以集合 B ? {5, 6, 7,8,9} . 4.已知函数 f ( x) ? ?

? x( x ? 4), x ? 0 .求 f (1) , f (?3) , f (a ? 1) 的值. x ( x ? 4), x ? 0 ?

4.解:当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 4) ,得 f (1) ? 1? (1 ? 4) ? 5 ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 4) ,得 f (?3) ? ?3 ? (?3 ? 4) ? 21 ;

?(a ? 1)(a ? 5), a ? ?1 . f (a ? 1) ? ? ?(a ? 1)(a ? 3), a ? ?1
5.证明:

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ; 2 2 x ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 2 )? (2)若 g ( x) ? x ? ax ? b ,则 g ( 1 . 2 2 x ? x2 x ?x a ) ? a 1 2 ? b ? ( x1 ? x2 ) ? b , 5.证明: (1)因为 f ( x) ? ax ? b ,得 f ( 1 2 2 2
(1)若 f ( x) ? ax ? b ,则 f (
第 27 页 共 39 页

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ax1 ? b ? ax2 ? b a ? ? ( x1 ? x2 ) ? b , 2 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 所以 f ( ; 2 2
(2)因为 g ( x) ? x2 ? ax ? b ,

x1 ? x2 x ?x 1 ) ? ( x12 ? x2 2 ? 2 x1 x2 ) ? a( 1 2 ) ? b , 2 4 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 ? [( x12 ? ax1 ? b) ? ( x2 2 ? ax2 ? b)] 2 2 x ?x 1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? a ( 1 2 ) ? b , 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 因为 ( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ? 0 , 4 2 4 1 2 1 2 2 2 即 ( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) , 4 2 x ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) )? 所以 g ( 1 . 2 2
得 g( 6.(1)已知奇函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上是减函数,试问:它在 [?b, ?a] 上是增函数还是减函数? (2)已知偶函数 g ( x) 在 [ a, b] 上是增函数,试问:它在 [?b, ?a] 上是增函数还是减函数? 6.解: (1)函数 f ( x ) 在 [?b, ?a] 上也是减函数,证明如下: 设 ?b ? x1 ? x2 ? ?a ,则 a ? ? x2 ? ? x1 ? b , 因为函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上是减函数,则 f (? x2 ) ? f (? x1 ) , 又因为函数 f ( x ) 是奇函数,则 ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以函数 f ( x ) 在 [?b, ?a] 上也是减函数; (2)函数 g ( x) 在 [?b, ?a] 上是减函数,证明如下: 设 ?b ? x1 ? x2 ? ?a ,则 a ? ? x2 ? ? x1 ? b , 因为函数 g ( x) 在 [ a, b] 上是增函数,则 g (? x2 ) ? g (? x1 ) , 又因为函数 g ( x) 是偶函数,则 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以函数 g ( x) 在 [?b, ?a] 上是减函数. 7.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 2000 元的部分 不必纳税,超过 2000 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算: 某人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,那么他当月的工资、薪金所得是多少?
第 28 页 共 39 页

7.解:设某人的全月工资、薪金所得为 x 元,应纳此项税款为 y 元,则

全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分

税率 ( 0 0 )

5 10 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 15

?0, 0 ? x ? 2000 ?( x ? 2000) ? 5%, 2000 ? x ? 2500 ? y?? ?25 ? ( x ? 2500) ?10%, 2500 ? x ? 4000 ? ?175 ? ( x ? 4000) ?15%, 4000 ? x ? 5000 由 该 人 一 月 份 应 交 纳 此 项 税 款 为 26.78 元 , 得 2500 ? x ? 4000 ,
25 ? ( x ? 2500) ?10% ? 26.78 ,得 x ? 2517.8 ,

所以该人当月的工资、薪金所得是 2517.8 元.

新课程标准数学必修 1 第二章课后习题解答
第二章 基本初等函数(I) 2.1 指数函数 练习(P54) 1. a = a ,a = a ,a
2 3 1 2 3 4

4

3

?

3 5

=

1
5

a3
4

,a

?

2 3

=

1
3

a2

.
3 4 2 3

2. (1) x =x ,
4

3

2

(2) ( a ? b) =(a+b) ,
3

(3) (m - n) =(m-n) ,
3

2

(4) (m - n) =(m-n) ,(5) p q =p q ,(6)
3 3

2

6

5

3

5 2

m3 m

=m

3?

1 2

=m .

5 2

36 2 6 6 216 3. (1)( ) =[( )2] 2 =( )3= ; 49 7 7 343
1

(2)2 3 ×3 1.5 ×6 12 =2× 32 × (
1 1 1 8 1 1 1 ? ? 4 8 5

1? ? ? ? 3 3 ) × (3× 22) 6 =2 3 3 × 3 2 3 6 =2× 3=6; 2 1 3 1 2 1 1 1 2

1

1

1 1

1 1 1

(3)a 2 a 4 a 练习(P58)

?

=a 2

=a 8 ;

(4)2x

?

(

? ? ? ? ? 1 3 4 x -2x 3 )=x 3 3 -4x 2 3 =1-4x-1=1 ? . 2 x

第 29 页 共 39 页

1.如图

图 2-1-2-14 2.(1)要使函数有意义,需 x-2≥0,即 x≥2,所以函数 y=3
1

x -2

的定义域为{x|x≥2};

1 (2)要使函数有意义,需 x≠0,即函数 y=( ) x 的定义域是{x∣x≠0}. 2
3.y=2x(x∈N*) 习题 2.1 A 组(P59) 1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x-y.
3

b3 2 解:(1) a
1

? a 2 2 2?2 a2 b2 ? ( ) = a ? b 2 2 =a0b0=1. = 1 1 6 6? b a2 b 2

2?

1 1
1 1 3 3

1

1

1

1

(2) a 2 a 2 a = a 2 a 2 ? a 2 = a 2 ? a 2 =a 2 .
1 1 1

1

1

1

(3)

m ?3 m ?4 m (6 m )5 ? m
1 4

=

m2 ? m3 ? m4 m m
5 6 1 4

=

m2 m

1 1 1 ? ? 3 4 5 1 ? 6 4

=m0=1.

点评:遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解:对于(1),可先按底数 5,再按 对于(2),先按底数 8.31,再按 键,再按 1 键,再按 1 2,最后按 2,最后按 键,再按 ,即可求得它的值.答案:1.710 0; 即可. 答案:2.881 0; 键,再按 2,最后按 即可. 答案:4.728 8; 对于(4)这种无理指数幂,可先按底数 2,其次按
1 3 3 4 7 12 1 3 7 ? ? 3 4 12 5 3

对于(3)这种无理指数幂,先按底数 3,再按

键,再按 π 键,最后按
2 3 3 4 2 3 5 ? ? 3 4 6

即可. 答案:8.825 0.
7 12

4.解:(1)a a a (3)(x y
2 3 1 3 ?

=a

=a ;
3 ? ?12 4
1

(2)a a ÷ a 6 =a

5

=a

;

3 4 12

) =x

1 ?12 3

y
1

=x4y-9;
2 1 1 1

(4)4a b

?

1 3

? ? ? 2 ? ? 2 ÷ ( ? a 3 b 3 )=( ? × 4) a 3 3 b 3 3 =-6ab0=-6a; 3 3

第 30 页 共 39 页

(5) (

16s t ) 25r 4
1 ? 1 3

2 ?6

?

3 2

=

2

3 4?( ? ) 2

s

3 3 2?( ? ) ?6?( ? ) 2 2

t

5
? 1 2 2

3 2?( ? ) 2
1

r

3 4?( ? ) 2
2

=

2 ?6 s ?3 t 9 125r 9 r 6 = ; 64s 3 5 ?3 r ? 6
1 1 1 ? ? 2 4

(6)(-2x 4 y
1

)(3x
1 4

y 3 )(-4x 4 y 3 )=[-2× 3× (-4)]x x 4
1 ? 1 4 1 2 1

y

1 2 2 ? ? ? 3 3 3

=24y;

(7)(2x 2 +3y (8)4x
1 4

?

)(2x 2 -3y
? 1 3

)=(2x 2 )2-(3y y
? 2 3

?

1 4 2

) =4x-9y
1 1 1

?

1 2

;
1

(-3x y

1 4

)÷ (-6x

?

? 3 ? 4 4 ? 4 ? 2 ?3? 3 )= =2xy 3 . x y ?6

1 2

点评:进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不 能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数. 5.(1)要使函数有意义,需 3-x∈R,即 x∈R,所以函数 y=23-x 的定义域为 R. (2)要使函数有意义,需 2x+1∈R,即 x∈R,所以函数 y=32x+1 的定义域为 R. (3)要使函数有意义,需 5x∈R,即 x∈R,所以函数 y=(
1

1 5x ) 的定义域为 R. 2

(4)要使函数有意义,需 x≠0,所以函数 y=0.7 x 的定义域为{x|x≠0}. 点评: 求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0 的 0 次幂没有意 义. 6.解: 设经过 x 年的产量为 y,一年内的产量是 a(1+

p p 2 ),两年内产量是 a(1+ ) ,…,x 年内的产量是 a(1+ 100 100

p x p x ) ,则 y=a(1+ ) (x∈N*,x≤m). 100 100
点评:根据实际问题,归纳是关键,注意 x 的取值范围. 7.(1)30.8 与 30.7 的底数都是 3,它们可以看成函数 y=3x,当 x=0.8 和 0.7 时的函数值; 因为 3>1,所以函数 y=3x 在 R 上是增函数.而 0.7<0.8,所以 30.7<30.8. (2)0.75-0.1 与 0.750.1 的底数都是 0.75,它们可以看成函数 y=0.75x,当 x=-0.1 和 0.1 时的函数值; 因为 1>0.75,所以函数 y=0.75x 在 R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以 0.750.1<0.75-0.1. (3)1.012.7 与 1.013.5 的底数都是 1.01,它们可以看成函数 y=1.01x,当 x=2.7 和 3.5 时的函数值; 因为 1.01>1,所以函数 y=1.01x 在 R 上是增函数.而 2.7<3.5,所以 1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3 与 0.994.5 的底数都是 0.99,它们可以看成函数 y=0.99x,当 x=3.3 和 4.5 时的函数值; 因为 0.99<1,所以函数 y=0.99x 在 R 上是减函数.而 3.3<4.5,所以 0.994.5<0.993.3. 8.(1)2m,2n 可以看成函数 y=2x,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 2>1,所以函数 y=2x 在 R 上是增函数. 因为 2m<2n,所以 m<n. (2)0.2m,0.2n 可以看成函数 y=0.2x,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 0.2<1, 所以函数 y=0.2x 在 R 上是减函数.因为 0.2m<0.2n,所以 m>n. (3)am,an 可以看成函数 y=ax,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 0<a<1, 所以函数 y=ax 在 R 上是减函数.因为 am<an,所以 m>n. (4)am,an 可以看成函数 y=ax,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 a>1, 所以函数 y=ax 在 R 上是增函数.因为 am>an,所以 m>n. 点评:利用指数函数的单调性是解题的关键. 9.(1)死亡生物组织内碳 14 的剩余量 P 与时间 t 的函数解析式为 P=(
第 31 页 共 39 页
1

1 5730 ) . 2

1 当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳 14 的含量为 P=( ) 2

9?5730 5730

=(

1 9 ) ≈0.002. 2

答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳 14 的含量约为死亡前含量的 2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳 14 的存在. (2)设大约经过 t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳 14,那么(

1 ) 2

10000 t 5370

<0.001,解得 t>5.7.

答:大约经过 6 万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳 14 的. B组 1. 当 0<a<1 时,a2x-7>a4x-12 ? x-7<4x-1 ? x>-3; 当 a>1 时,a2x-7>a4x-1 ? 2x-7>4x-1 ? x<-3. 综上,当 0<a<1 时,不等式的解集是{x|x>-3}; 当 a>1 时,不等式的解集是{x|x<-3}. 2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.
1

解:(1)设 y=x 2 +x

?

1 2

1

,那么 y2=(x 2 +x

?

1 2 2

) =x+x-1+2.由于 x+x-1=3,所以 y= 5 .

(2)设 y=x2+x-2,那么 y=(x+x-1)2-2.由于 x+x-1=3,所以 y=7. (3)设 y=x2-x-2,那么 y=(x+x-1)(x-x-1),而(x-x-1)2=x2-2+x-2= 5 ,所以 y=± 3 5. 点评:整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解:已知本金为 a 元. 1 期后的本利和为 y1=a+a× r=a(1+r), 2 期后的本利和为 y2=a(1+r)+a(1+r)× r=a(1+r)2, 3 期后的本利和为 y3=a(1+r)3, … x 期后的本利和为 y=a(1+r)x. 将 a=1 000,r=0.022 5,x=5 代入上式得 y=a(1+r)x=1 000× (1+0.022 5)5=1 000× 1.02255≈1118. 答:本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为 y=a(1+r)x,5 期后的本利和约为 1 118 元. 4.解:(1)因为 y1=y2,所以 a3x+1=a-2x.所以 3x+1=-2x.所以 x= ? (2)因为 y1>y2,所以 a3x+1>a-2x. 所以当 a>1 时,3x+1>-2x.所以 x> ?

1 . 5

1 . 5 1 . 5

当 0<a<1 时,3x+1<-2x.所以 x< ? 2.2 对数函数 练习(P64) 1.(1) log2 8 ? 3 ;
2 2.(1) 3 ? 9 ;

(2) log 2 32 ? 5 ;
3 (2) 5 ? 125 ;

1 ? ?1 ; 2 1 ?2 (3) 2 ? ; 4
(3) log 2

1 1 ?? 3 3 1 ?4 (4) 3 ? 81
(4) log 27

x 2 3.(1)设 log5 25 ? x ,则 5 ? 25 ? 5 ,所以 x ? 2 ;

第 32 页 共 39 页

(2)设 log 2

1 1 ? x ,则 2 x ? ? 2?4 ,所以 x ? ?4 ; 16 16

(3)设 lg1000 ? x ,则 10 x ? 1000 ? 103 ,所以 x ? 3 ; (4)设 lg 0.001 ? x ,则 10 x ? 0.001 ? 10?3 ,所以 x ? ?3 ; 4.(1)1; 练习(P68) (2)0; (3)2; (4)2; (5)3; (6)5.

1.(1) lg( xyz ) ? lg x ? lg y ? lg z ;

xy 2 ? lg( xy 2 ) ? lg z ? lg x ? lg y 2 ? lg z ? lg x ? 2lg y ? lg z ; (2) lg z
(3) lg

xy3 1 1 ? lg( xy3 ) ? lg z ? lg x ? lg y 3 ? lg z ? lg x ? 3lg y ? lg z ; 2 2 z
x 1 1 ? lg x ? lg( y 2 z) ? lg x ? (lg y 2 ? lg z) ? lg x ? 2lg y ? lg z . y z 2 2
2

(4) lg

2.(1) log3 (27 ? 92 ) ? log3 27 ? log3 92 ? log3 33 ? log3 34 ? 3 ? 4 ? 7 ; (2) lg1002 ? 2lg100 ? 2lg102 ? 4lg10 ? 4 ; (3) lg 0.00001 ? lg10?5 ? ?5lg10 ? ?5 ; 3. (1) log 2 6 ? log 2 3 ? log 2 (4) ln e ?

1 1 ln e ? 2 2

6 ? log 2 2 ? 1 ; (2) lg 5 ? lg 2 ? lg10 ? 1; 3 1 1 (3) log 5 3 ? log 5 ? log 5 (3 ? ) ? log 5 1 ? 0 ; 3 3 5 1 ? log 3 ? log 3 3?1 ? ?1 . (4) log 3 5 ? log 3 15 ? log 3 15 3 5 4.(1)1; (2)1; (3) 4
练习(P73) 1.函数 y ? log3 x 及 y ? log 1 x 的图象如右图所示.
3

相同点:图象都在 y 轴的右侧,都过点 (1, 0) 不同点: y ? log3 x 的图象是上升的,

y ? log 1 x 的图象是下降的
3

关系: y ? log3 x 和 y ? log 1 x 的图象是关于 x 轴对称的.
3

第 33 页 共 39 页

2. (1) (??,1) ;

(2) (0,1)

(1, ??) ;

(3) (??, ) ;

3. (1) log10 6 ? log10 8 习题 2.2 A 组(P74) 1. (1) log3 1 ? x ; (5) lg 25 ? x 2. (1) 5x ? 27 (5) 10 x ? 0.3 3. (1) 0 ;

(2) log0.5 6 ? log0.5 4

1 (4) [1, ??) 3 (3) log 2 0.5 ? log 2 0.6 (4) log1.5 1.6 ? log1.5 1.4
3 3

(2) log 4

1 ? x; 6

(3) log4 2 ? x ;

(4) log2 0.5 ? x

(6) log5 6 ? x (2) 8x ? 7 (6) e ? 3
x

(3) 4 x ? 3

x (4) 7 ?

1 3

(2) 2 ;

(3) ?2 ;

(4) 2 ;

(5) ?14 ; (2) log3 4 ?

(6) 2 .

4. (1) lg 6 ? lg 2 ? lg 3 ? a ? b ;

lg 4 2lg 2 2a ; ? ? lg 3 lg 3 b

(3) log 2 12 ?

lg12 2lg 2 ? lg 3 lg 3 b ? ? 2? ? 2? ; lg 2 lg 2 lg 2 a
m (2) x ? ; n

(4) lg

3 ? lg 3 ? lg 2 ? b ? a 2

5. (1) x ? ab ;

n3 (3) x ? ; m

(4) x ?

b . c

6. 设 x 年后我国的 GDP 在 1999 年的 GDP 的基础上翻两番,则 (1 ? 0.073) x ? 4 解得 x ? log1.073 4 ? 20 . 7. (1) (0, ??) ; 8. (1) m ? n ; 答:设 20 年后我国的 GDP 在 1999 年的 GDP 的基础上翻两番.

(2) ( ,1] . (2)

m? n ;
M m

3 4

(3)

m?n;

(4) m ? n .

9. 若火箭的最大速度 v ? 12000 , 那么 2000ln ?1 ?

? ?

M M M ? ? e6 ? ? 402 ? ? 12000 ? ln(1 ? ) ? 6 ? 1 ? m m m ?

答:当燃料质量约为火箭质量的 402 倍时,火箭的最大速度可达 12km/s. 10. (1)当底数全大于 1 时,在 x ? 1 的右侧,底数越大的图象越在下方. 所以,①对应函数 y ? lg x ,②对应函数 y ? log5 x ,③对应函数 y ? log 2 x . (2)略. 11. (1) log 2 25 ? log3 4 ? log 5 9 ? (3)与原函数关于 x 轴对称.

lg 25 lg 4 lg 9 2lg 5 2lg 2 2lg 3 ? ? ? ? ? ?8 lg 2 lg 3 lg 5 lg 2 lg 3 lg 5

(2) log a b ? logb c ? log c a ?

lg b lg c lg a ? ? ?1 lg a lg b lg c

第 34 页 共 39 页

12. (1)令 O ? 2700 ,则 v ?

1 2700 log 3 ,解得 v ? 1.5 . 答:鲑鱼的游速为 1.5 米/秒. 2 100 1 O ? 0 ,解得 O ? 100 . 答:一条鱼静止时的耗氧量为 100 个单位. (2)令 v ? 0 ,则 log 3 2 100 1 1 10 x ?x ,于是 4 ? 4 ? 3 ? ? 3 3 3

B组
x ?x 1. 由 x log3 4 ? 1 得: 4 ? 3, 4 ?

3 ? 1 恒成立; 4 3 3 3 ②当 0 ? a ? 1 时,由 log a ? 1 ? log a a ,得 a ? ,所以 0 ? a ? . 4 4 4 3 综上所述:实数 a 的取值范围是 {a 0 ? a ? 或 a ? 1} 4 1 3. (1)当 I ? 1 W/m2 时, L1 ? 10 lg ?12 ? 120 ; 10
2. ①当 a ? 1 时, log a (2)当 I ? 10?12 W/m2 时, L1 ? 10lg 答:常人听觉的声强级范围为 0

10?12 ?0 10?12
120dB .

4. (1)由 x ? 1 ? 0 , 1 ? x ? 0 得 ?1 ? x ? 1 ,∴函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域为 (?1,1) (2)根据(1)知:函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域为 (?1,1) ∴ 函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域关于原点对称 又∵

f (? x )? g ? (x ? )

la o g? ( x1? ) a l ? ox g ? (1 f x) ? g x( )

( )

∴ f ( x) ? g ( x) 是 (?1,1) 上的偶函数. 5. (1) y ? log 2 x , y ? log0.3 x ; 习题 2.3 A 组(P79) 1.函数 y= (2) y ? 3 , y ? 0.1 .
x x

1 是幂函数. x2

2.解析:设幂函数的解析式为 f(x)=xα, 因为点(2, 2 )在图象上,所以 2 =2α. 所以 α=

1 ,即幂函数的解析式为 f(x)=x 2 ,x≥0. 2 400 400 400 4 = ,即 v= r; 4 81 81 3

1

3.(1)因为流量速率 v 与管道半径 r 的四次方成正比,所以 v=k· r4; (2)把 r=3,v=400 代入 v=k· r4 中,得 k= (3)把 r=5 代入 v=

400 4 400 4 r ,得 v= × 5 ≈3 086(cm3/s), 81 81
第 35 页 共 39 页

即 r=5 cm 时,该气体的流量速率为 3 086 cm3/s.

第二章 复习参考题 A 组(P82)
1.(1)11; (2)
1 2

7 ; 8
1 2 2

(3)
1 2

1 ; 1000
1 2 2

(4)
1 2 1 2

9 . 25
1 2 1 2

2.(1)原式=

(a ? b ) ? (a ? b ) (a ? b )(a ? b )
1 2 1 2 1 2 1 2

=

a ? 2a b ? b ? a ? 2a b ? b 2 ( a ? b ) = ; a?b a?b

1 a? 2 (a ? a ?1 ) 2 a = a ?1 . (2)原式= = (a ? a ?1 )(a ? a ?1 ) a ? 1 a 2 ? 1 a
10 lg 5 2 = 1 ? lg 2 ,所以 log 5= 1 ? a . 3.(1)因为 lg2=a,lg3=b,log125= = 12 2 2a ? b lg 12 lg 2 ? 3 2 lg 2 ? lg 3 lg
(2)因为 log2 3 ? a , log3 7 ? b

log 7 23 ? 7 3 log7 2 ? 1 3(log3 2 ? log3 7) ? 1 = = = log14 56 ? 1 ? log3 2 ? log3 7 log 7 2 ? 7 1 ? log7 2
4.(1) (-∞, 5.(

1 3( ? b) ? 1 ab ? 3 a = . 1 ab ? 1 1? ? b a

1 1 )∪( ,+∞);(2) [0,+∞). 2 2

2 ,1)∪(1,+∞);(2) (-∞,2);(3) (-∞,1)∪(1,+∞). 3

6.(1)因为 log67>log66=1,所以 log67>1.又因为 log76<log77=1,所以 log76<1.所以 log67>log76. (2)因为 log3π>log33=1,所以 log3π>1.又因为 log20.8<0,所以 log3π>log20.8. 7.证明: (1)因为 f(x)=3x,所以 f(x)· f(y)=3x× 3y=3x+y. 又因为 f(x+y)=3x+y,所以 f(x)· f(y)=f(x+y). x (2)因为 f(x)=3 ,所以 f(x)÷ f(y)=3x÷ 3y=3x-y. 又因为 f(x-y)=3x-y,所以 f(x)÷ f(y)=f(x-y). 8.证明:因为 f(x)=lg

1? x ,a、b∈(-1,1), 1? x

所以 f(a)+f(b)=lg

(1 ? a)(1 ? b) 1? a 1? b ? lg =lg , 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b)

a?b a?b 1 ? ab )=lg 1 ? ab ? a ? b =lg (1 ? a)(1 ? b) . f( )=lg( a?b 1 ? ab 1 ? ab ? a ? b (1 ? a)(1 ? b) 1? 1 ? ab a?b 所以 f(a)+f(b)=f( ). 1 ? ab 1?
9.(1)设保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式为 y=k· ax(a>0,且 a≠1).
第 36 页 共 39 页

因为点(0,192) 、 (22,42)在函数图象上,

?k ? 192, ?192 ? k ? a 0 , ? ? 所以 ? 解得 ? 7 22 ? 0.93. ? ?42 ? k ? a , ?a ? 22 32 ?
所以 y=192× 0.93x, 即所求函数解析式为 y=192× 0.93x. (2)当 x=30 ℃时,y≈22(小时) ; 当 x=16 ℃时,y≈60(小时), 即温度在 30 ℃和 16 ℃的保鲜时间约为 22 小时和 60 小时. (3)图象如图:

图 2-2 10.解析:设所求幂函数的解析式为 f(x)=xα,因为 f(x)的图象过点(2,
1 1

2 ), 2

? ? 1 2 α 所以 =2 ,即 2 2 =2α.所以 α= ? .所以 f(x)=x 2 (x>0). 2 2

图略,f(x)为非奇非偶函数;同时它在(0,+∞)上是减函数. B组 1.A 2.因为 2a=5b=10,所以 a=log210,b=log510,所以 3.(1)f(x)=a ?

1 1 1 1 + = + =lg2+lg5=lg10=1. a b log2 10 log5 10

2 在 x∈(-∞,+∞)上是增函数. 2 ?1
x

证明:任取 x1,x2∈(-∞,+∞),且 x1<x2. f(x1)-f(x2)=a ?

2 2 2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) a + = = . 2x ?1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1)

因为 x1,x2∈(-∞,+∞), 所以 2
x2

? 1 ? 0.2 x1 ? 1 ? 0.

又因为 x1<x2, 所以 2
x1

? 2 x2 即 2 x1 ? 2 x2 <0.所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).
2 在(-∞,+∞)上是增函数. 2 ?1
x

所以函数 f(x)=a ?

(2)假设存在实数 a 使 f(x)为奇函数,则 f(-x)+f(x)=0,

第 37 页 共 39 页

2 1 1 2 1 =0 ? a= ? x + x = x + x =1, 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 即存在实数 a=1 使 f(x)= ? ? x 为奇函数. 2 ?1
即 a?
?x

1

+a ?

x

4.证明:(1)因为 f(x)=

e x ? e?x e x ? e? x ,g(x)= , 2 2

所以[g(x) ]2-[f(x) ]2=[g(x)+f(x) ] [g(x)-f(x) ] =(

e x ? e?x e x ? e?x e x ? e?x e x ? e?x ? )( ) 2 2 2 2

=ex· e-x=ex-x=e0=1, 即原式得证. (2)因为 f(x)=

e x ? e?x e x ? e? x ,g(x)= , 2 2 e 2 x ? e ?2 x e x ? e ? x e x ? e ? x e 2 x ? e ?2 x ,2f(x)· g(x)=2· · = . 2 2 2 2

所以 f(2x)=

所以 f(2x)=2f(x)· g(x).

e x ? e?x e x ? e? x e 2 x ? e ?2 x (3)因为 f(x)= ,g(x)= ,所以 g(2x)= , 2 2 2
[g(x) ]2+[f(x) ]2=(

e x ? e? x 2 e x ? e?x 2 ) +( ) 2 2

=

e 2 x ? 2 ? e ?2 x ? e 2 x ? 2 ? e ?2 x e 2 x ? e ?2 x = . 4 2

所以 g(2x)=[f(x) ]2+[g(x) ]2. 5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当 t=1 时,θ=52,于是 52=15+(62-15)e-k, 解得 k≈0.24,那么 θ=15+47e-0.24t. 所以,当 θ=42 时,t≈2.3;当 θ=32 时,t≈4.2. 答:开始冷却 2.3 和 4.2 小时后,物体的温度分别为 42 ℃和 32 ℃.物体不会冷却到 12 ℃. 6.(1)由 P=P0e-kt 可知,当 t=0 时,P=P0;当 t=5 时,P=(1-10%)P0.于是有(1-10%)P0=P0e-5k, 解得 k= ?
( ln 0.9 ) t 1 ln0.9,那么 P=P0e 5 . 5 1 ?10??n 0.9 1

所以,当 t=10 时,P=P0e 5

=P0eln0.81=81%P0.

答:10 小时后还剩 81%的污染物. (2)当 P=50%P0 时,有 50%P0=P0e
1 ( ln 0.9 ) t 5

,解得 t=

ln 0.5 ≈33. 1 ln 0.9 5

答:污染减少 50%需要花大约 33h.
第 38 页 共 39 页

(3)其图象大致如下:

图 2-3

第 39 页 共 39 页


相关文章:
人教A版高中数学必修1前两章课后习题及答案
人教A版高中数学必修1前两章课后习题及答案_数学_高中教育_教育专区。前两章的所有答案汇总 高中数学必修 1 课后习题答案 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1....
人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案_数学_高中教育_教育专区。人教版高中数学必修1课后习题答案 人 教 版 高 中 数 学 必 修 1 课 后 习 题 答 案 人 教 ...
人教A版高中数学必修1课后习题及答案(全部三章)
人教A版高中数学必修1课后习题及答案(全部三章)_数学_高中教育_教育专区。全部三章答案 高中数学必修 1 课后习题答案 第一 集合与函数概念 1.1 集合 1.1....
人教A版高中数学必修1课后习题及答案(第一章集合与函数概念)
人教A版高中数学必修1课后习题及答案(第一集合与函数概念)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。人教A版高中数学必修1课后习题及答案(第一集合与函数概念)高中...
高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]_数学_高中...1 课后习题答案一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其...2、 (1)逆命题:若两个整数 a 与 b 的和 a ...
高中数学新课标人教A版必修1:2.1.1.1 根式 课后练习(教师版) Word版含答案]
高中数学新课标人教A版必修1:2.1.1.1 根式 课后练习(教师版) Word版含答案]_数学_高中教育_教育专区。高中数学新课标人教A版必修1:2.1.1.1 根式 课后练习...
人教版高一数学必修1第二章测试题
人教版高一数学必修1二章测试题_数学_高中教育_教育专区。人教版高一数学必修 1二章单元测试题一、选择题:(每小题 5 分,共 30 分)。 1.若 a ? 0...
【人教A版】2015版高中数学:必修1课本例题习题改编(含答案)
人教A版】2015版高中数学:必修1课本例题习题改编(含答案)_数学_高中教育_...原题 ( 必修 1 第七页练习第三题( 3 ))判断下列两个集合之间的关系: A=...
人教A版高中数学必修1课后习题及答案(第一章集合与函数概念) - 副本
人教A版高中数学必修1课后习题及答案(第一集合与函数概念) - 副本_数学_高中...| x ? 3x ? 2 ? 0} . 2 3.判断下列两个集合之间的关系: (1) A ?...
更多相关标签: