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7分钟讲课比赛 2.1.1


主讲人:高婷

新课导入
当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的 规律衰减,大约每经过5730年衰减到原来的一半, 据此,人们获得了生物内碳14含量p与死亡年数 t之间的关系:
p
?

??
1 2

t 5730

那么当t=600,10000时p有什么意义?

回顾旧知
n个数a的连乘积,用数学式子表示? (n 取整数) 正整数指数幂:一个数a的n次 幂等于n个a的连乘积,即

an=a· a·· · ·· a
n个

正整数指数幂的运算法则?

1.am· an=am+n; 2.am÷an=am-n; 3.(am)n=amn; 4.(ab)n=an· bn;
a ?a? 5. ? ? = n (b ? 0). b ?b?
n n

前面我们讲的都是正整数指数幂,即 n只取正整数,那么n能否取有理数呢?

n ∈N*

n ∈Q

想一想

(±4)2 = 16

±4 是16的平方根. 5就是125的立方根.

53 = 125

Xn = a

X就是a的n次方根.

新知讲解

根式:
一般地,如xn=a,那么x叫做a的n次方 根,其中n>1,且n∈ N* .

根指数

n

根式

a

被开方数

小练习
求下列根式值:
3

27 = 3
25 =5

3

? 27 = -3
16 =2
4

5

a

5

=a

5

0 =0
0

4

? 64 不存在

6

=0

结论?

能得出什么结论吗?

x ?a
n

x=na

(当n是奇数)

x = ? n a (当n是偶数,且a>0)

说明
当n是奇数,根式的值是唯一的; 当n是偶数且a>0,根式的值有两个,同时互为 相反数,即一个正数有2个偶次方根; 负数没有偶次方根; 0的任何次方根都是0.

探究
n

a

n

表示an的n次方根,等式

n

a

n

= a.
n 等于什么?

一定成立吗?如果不成立,那么 n

a

探究

25

2

= 25
2

?? 25?

= 25

得出什么结论?

公式

n

?a, (当n为奇数) ? n a ?? ?a, a ? 0, ?| a |? ?? a, a ? 0.(当n为偶数) ? ?
3

a = a =
12

6

3

?a ?

2 3

= a = a (a > 0) = a = a (a > 0)
3 12 4

2

6 3

4

4

?a ?

3 4

探究
3

a2 = a (a > 0), b = b (b > 0),
1 2

2 3

4

c = c (c > 0).

5

5 4

正确吗?

知识要 点

正分数指数幂的意义:
a = a (a > 0,m,n ? N*, 且n > 1)
n m m n

负分数指数幂的意义
a
m n

=

1 a
m n

1 = n (a > 0,m,n ? N*,n > 1) m

注意
0的正分数指数幂是0,
0的负分数指数幂没有意义。 整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也 同样适用,即对于任意有理数r,s,均有下面的 运算性质:
(1)a a ? a
r s r?s

(a ? 0, r , s ? Q )

(2)(a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q ) (3)(ab) r ? a r b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q)

想一想

在前面的学习中,我们已经把指数由 正整数推广到了有理数,那么能不能继续 推广到无理数范围(即实数范围)呢?

推 理
52 = 25 51/2 =
5

5

2

=

说明
以上结果无需算出,只需了解结果也是一确 定实数.

探究


2 的不足近似

5

2

的近似值



2 的过剩近似

5

2

的近似值

1.4 9.518 269 694 1.5 11.180 339 89 1.41 9.672 669973 1.42 9.829 635 328 由上表发现: 1.414 9.735 171 039 1.415 9.750 851 808 2 的不足近似值从小于 2 方向逼近 2 时, 1.414 2 9.738 305 174 1.414 3 9.739 872 62 5 2 的近似值从小于 5 2 的方向逼近 5 2 . …… …… …… …… 同理,当 2 的过剩近似值从大于 2 的方向逼 近时, 5 2的近似值从大于 5 2的方向逼近 .
5 2 常数

知识要 点
无理数指数幂:
1.无理数指数幂ax(a>0,x是无理数) 是一个确定的实数. 2.有理数指数幂的运算性质同样适用 于无理数指数幂.

课堂小结

整数指数幂

?a, (当n为奇数) ? n n n a ?? 根式 x =a ?a, a ? 0, ?| a |? ?? a, a ? 0.(当n为偶数) ? ?

无理数指数幂 有理数指数幂 分数指数幂

a = a

m n

n

m

(a > 0,m,n ? N*, 且n > 1)

实数指数幂的运算法则

(1)a a ? a (a ? 0, r , s ? R)
r s

r?s rs

(2)(a ) ? a (a ? 0, r , s ? R)
r s r

(3)(ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R)
r r

课后作业

作业:P59 习题 2.1 第2题


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