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吉林省长春市第十一高中2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试题


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长春市十一高中 2014-2015 学年度高一下学期期末考试 数 学 试 题(理 科)
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1.若 m, n 是互不相同的直线, ? 是平面,则下列命题中正确的是( A.若 m // n, n ? ? , 则 m // ? . C.若 m // n, n ? ? , 则 m ? ? . B.若 m // n, n // ? , 则 m // ? . D.若 m ? n, n ? ? , 则 m ? ? . ) )

2.空间直角坐标系中,点 M (2,5,8) 关于 xoy 平面对称的点 N 的坐标为( A. (?2,5,8) B. (2, ?5,8) C. (2,5, ?8) D. (?2, ?5,8)

3.若平面 α 与 β 的法向量分别是 β 的位置关系是( A.平行 B.垂直 ) C.相交但不垂直 D.无法确定

,则平面 α 与

4.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a5 ? 5, S 5 ? 15, 则数列 ? ( A. ) B.

?

1 ? ? 的前 100 项和为 ? a n a n?1 ?

100 101

99 101

C.

99 100
x

D.

101 100
y

5.点 P?x, y ?是直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 上的动点,则代数式 3 ? 27 有(



A.最小值 6 B.最小值 8 C.最大值 6 D.最大值 8 6.球面上有 A、B、C、D 四个点,若 AB、AC、AD 两两垂直,且 AB=AC=AD=4,则该球的表面积 为( ) A.

80? 3

B. 32?

C. 42?

D. 48?

7.如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得的 几何体,则该几何体的正视图为( )

8.数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 1, 且 ( A. )

an ? an ?1 a ?a ? n n ?1 (n ? 2) ,则数列 {an } 的第 100 项为 an ?1 ? an an ? an ?1
C.

1 2100

B.

1 250

1 100

D.

1 50

9.若等比数列的各项均为正数,前 n 项的和为 S ,前 n 项的积为 P ,前 n 项倒数的和为 M ,则 有( ) S S S S A. P ? B. P ? C. P 2 ? ( ) n D. P 2 ? ( ) n M M M M 10.三棱锥 P ? ABC 三条侧棱两两垂直,PA=a,PB=b,PC=c,三角形 ABC 的面积为 S,则顶 点 P 到底面的距离是( ) A.

abc 6s

B.

abc 3s

C.

abc 2s

D.

abc s

11.正三棱锥 V-ABC 的底面边长为 2 a ,E,F,G,H 分别是 VA,VB,BC,AC 的中点,则四边形 EFGH 的面积的取值范围是( ) A. ?0,??? B. ?

? 3 2 ? ? a , ?? ? 3 ? ? ?

C. ?

? 3 2 ? ? a , ?? ? 6 ? ? ?

D. ?

?1 2 ? a ,?? ? ?2 ?

12.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,过 DD1 的中点作直线 l ,使得 l 与 BD1 所成角为 40°,且与平面 A1ACC1 所成角为 50°,则 l 的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.无数 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
0 13 . 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?C ? 90 , AB ? 2, AC ? 1 , 若 AD ?
? ?

1 AB , 则 2

CD? CB ?
14.若 x>0,y>0,且 y=



8x ,则 x+y 的最小值为 x?2



15.如图,在四面体 ABCD 中,AB⊥平面 BCD,△BCD 是边长为 6 的等边三角形.若 AB=4,则 四面体 ABCD 外接球的表面积为 .
A

B

D

C

16.在一个数列中,如果对任意 n ? N ? ,都有 an an?1an?2 ? k (k 为常数 ) ,那么这个数列叫做

等积数列, k 叫做这个数列的公积.已知数列 ?an ? 是等积数列,且 a1 ? 1, a2 ? 2 ,公积为 8 , 记 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则: (1) a5 ? . (2) S2015 ? .

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 66 分) 17.( 本小题满分 10 分) 设 a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2 (1)求 a ? b 的最大值; (2)求

2 8 ? 最小值. a b
一个 边长

18.( 本小题满分 10 分) 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是 底边长为 8,高为 4 的等腰三角形,侧视图是一个底 为 6,高为 4 的等腰三角形 (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S. 19.( 本小题满分 12 分)

设数列 ?an ? 是公比小于 1 的正项等比数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S3 ? 14 ,且

a1 ? 13, 4a2 , a3 ? 9 成等差数列。
(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn ? an· (n ? 2-? ) ,且数列 ?bn ? 是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围。 20. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底 面 ABCD 是 矩 形 , 且 AD ? 2CD ? 2 , ? 若 O 为 AD 的中点, AA1 ? 2 , ?A1 AD ? . 3 且 CD ? A1O . (1)求证: A1O ? 平面 ABCD ; (2)线段 BC 上是否存在一点 P ,使得二 面角 D ? A1 A ? P 为

? ?若存在,求出 BP 的长;不存在,说明理由. 6

21. (本小题满分 12 分) 如图,已知斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面 ACC1 A1 与底 面 ABC 垂直,

?ABC ? 90?, BC ? 2, AC ? 2 3, AA1 ? A1C, AA 1 ? A 1C
(1)求侧棱 AA1 与底面 ABC 所成的角; (2)求侧面 A1 ABB 1 与底面 ABC 所成的角; (3)求顶点 C 到平面 A1 ABB 1 的距离. 22.(附加题,本小题满分 10 分,该题计入总分)

an ? an ?1 ? ( ) n (n ? N * ) , 已知数列 {an } 中, 记 T2 n 为 {an } 的前 2 n 项的和. 设 bn ? a2n , a1 ? 1 ,
(1)证明:数列 {bn } 是等比数列; (2)不等式: 64 ? T2n ? a2n ? 3(1 ? ka2n ) 对于一切 n ? N 恒成立,求实数 k 的最大值.
*

1 2

2014—2015 学年高一下学期末考试理科数学参考答案
一、CCBAA DBDCC BB 二、13.

3 2

14.18

15. 64?

16.2,4700 ……………………5 分

三、17、 (1)? a ? b ? 2 ab ? ab ? 1

当且仅当a ? b ? 1时取 ? ( ab) max ? 1 2 8 1 4 b 4a ? ? ( a ? b)( ? ) ? 5 ? ( ? )?9 a b a b a b 4a ?b 2 4 ? ? 当且仅当 ? a b 即a ? , b ? 时bc时取 3 3 ? ?a ? b ? 2 (2) ?( 2 8 ? ) min ? 9 a b

……………10 分

18、解:由题设可知,几何体是一个高为 4 的四棱锥,其底面是长、宽分 别为 8 和 6 的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为 8、高为 h1 的等腰 三角形,左、右侧面均为底边长为 6、高为 h2 的等腰三角形,如图. (1) 几 何 体 的 体 积 为

V ?

1 Sh 3

. ……………………5 分

(2) 正侧面及相对侧面的底边上的高为 . 故 几 何 体 . 19、解: (1)由题可设: an ? a1q n?1 ,且 a1 ? 0,0 ? q ? 1

.左、右侧面的底边上的高为 的 侧 面 积 为

……………………10 分

……………………2 分

a1 ? 13, 4a2 , a3 ? 9 成等差数列,所以 8a2 ? a1 ? 13 ? a1 ? 9
S3 ? 14 ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? 14 ,所以 a2 ? 4, q ?
?1? 所以数列 ?an ? 的通项公式为: an ? 4 ? ? ? ?2?
(2) bn ? an ? n ? 2 ? ? ? ? ? n ? 2 ? ? ? ? 2 由 bn ? bn?1 ,得 ? n ? 2 ? ? ? ? 2
4?n
n?2

1 2

……………………4 分

? 24?n ; ……………………6 分


4?n

? ? n ? 3 ? ? ? ? 23?n ,……………………8 分
……………………10 分

即 ? ? n ? 1 ,所以 ? ? ? n ? 1?min ? 2

故? ? 2 . 20、 (1)证明:∵ ?A1 AD ?

……………………12 分
? ,且 AA1 ? 2 , AO ? 1 , 3
? ? 3, 3

∴ A1O ? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ? 1 ? cos
2 ? AD2 ? AA12 ∴ AO 1

∴ A1O ? AD . 又 CD ? A1O ,且 CD ? AD ? D , ∴ A1O ? 平面 ABCD .

……………………3 分

……………………5 分

(2)解:过 O 作 Ox // AB ,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz (如图) , z A1 B1 D1

C1

A B y

x

O O a P r C a r a r

D y e

则 A(0, ?1, 0) , A1 (0,0, 3) ,

……………………6 分

设 P(1, m,0)(m ? [?1,1]) ,平面 A1 AP 的法向量为 n1 = ( x, y, z ) ,
???? ??? ? ∵ AA1 ? (0,1, 3) , AP ? (1, m ? 1,0) ,

???? ? ?n1 ? AA1 ? y ? 3z ? 0, 且 ? ??? ? n ? AP ? x ? (m ? 1) y ? 0. ? ? 1
取 z ? 1,得 n1 = ( 3(m ? 1), ? 3,1) . ……………………8 分

又 A1O ? 平面 ABCD ,且 A1O ? 平面 A1 ADD1 , ∴平面 A1 ADD1 ? 平面 ABCD . 又 CD ? AD ,且平面 A1 ADD1 ? 平面 ABCD ? AD ∴ CD ? 平面 A1 ADD1 . 不妨设平面 A1 ADD1 的法向量为 n 2 = (1,0,0) . 由题意得 cos n1 , n2 ?
3 ? 2 3(m ? 1) 3(m ? 1)2 ? 3 ? 1 ? 1

……………………10 分



解得 m ? 1 或 m ? ?3 (舍去) . ∴当 BP 的长为 2 时,二面角 D ? A1 A ? P 的值为
? . 6

……………………12 分

21、(1)解:作 A1D⊥AC,垂足为 D,由面 A1ACC1⊥面 ABC,得 A1D⊥面 ABC ∴∠A1AD 为 A1A 与面 ABC 所成的角 ……………………2 分 ∵AA1⊥A1C,AA1=A1C, ∴∠A1AD=45°为所求. ……………………4 分 (2)解:作 DE⊥AB,垂足为 E,连 A1E,则由 A1D⊥面 ABC,得 A1E⊥AB, ∴∠A1ED 是面 A1ABB1 与面 ABC 所成二面角的平面角. ……………………6 分 由已知,AB⊥BC,得 ED∥BC 又 D 是 AC 的中点,BC=2,AC=2 ,

∴DE=1,AD=A1D= ,tan∠A1ED= = . 故∠A1ED=60°为所求. ……………………8 分 (3)方法一:由点 C 作平面 A1ABB1 的垂线,垂足为 H,则 CH 的长是 C 到平面 A1ABB1 的距离. 连结 HB,由于 AB⊥BC,得 AB⊥HB. 又 A1E⊥AB,知 HB∥A1E,且 BC∥ED, ∴∠HBC=∠A1ED=60° ∴CH=BCsin60°= 为所求.

方法二:连结 A1B. 根据定义,点 C 到面 A1ABB1 的距离,即为三棱锥 C-A1AB 的高 h. 由 V 锥 C-A1AB=V 锥 A1-ABC 得 S△AA1B·h= S△ABC·A1D,……………………10 分 即 ×2 h= ×2 ×3 ∴h= 为所求. ……………………12 分

1 2 n ?1 bn ?1 a2 n ? 2 a2 n ?1a2 n ? 2 ( 2 ) 1 22、 (1) ? ? ? ? 1 bn a2 n a2 n a2 n ?1 2 ( )2 n 2

1 1 ,公比为 的等比数列. ……………………4 分 2 2 1 n (2)由 (1) 知, bn ? ( ) , 2 1 k 当 n ? 2k (k ? N * ) 时, an ? a2 k ? bk ? ( ) 2 1 2 k ?1 1 1 ? a2 k ? ( ) 2 k ?1 ? 2k ? ( ) k ?1 当 n ? 2k ?1(k ? N * ) 时, an ? a2 k ?1 ? ( ) 2 2 2
所以 {bn } 是以 b1 ?
?1 ? 1 n2 ( ) , n为正奇数 ? ? 2 即 an ? ? n ?( 1 ) 2 , n为正偶数 ? ? 2

……………………6 分

T2n ? (a1 ? a3 ? ... ? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ? ... ? a2n )
1 1 1 1 ? ( )n ( )(1 ? ( ) n ) 2 ? 2 2 ? 3(1 ? ( 1 ) n ) ? 1 1 2 1? 1? 2 2 1 1 1 64T2n a2n ? 3(1 ? ka2n ) 即得 64[3 ? 3( ) n ] ? n ? 3(1 ? k ? n ) 2 2 2 64 n 所以 k ? 2 ? n ? 64 2
因2 ?
n

……………………8 分

64 64 ? 64 ? 2 2n ? n ? 64 ? ?48 (当 n ? 3 时等号成立) , n 2 2
……………………10 分

即所求的 k 最大值 ?48 .


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