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谈一道奥林匹克竞赛题改进的对偶形式


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《 数 学教 学通 讯 } 2 0 0 3年 8月 (I - 半月 ) ( 总第 1 7 7 期)  

重庆  ? 4 7?  

谈 一 道 奥 林 匹 克 竞 赛 题 改 进 的 对 偶 形 式  
( 甘 肃 省 金 昌 市 第 一 中 学  7 3 7 1 0 0 )   张  替 

第 6届 I MO 第 2题 是  设 口 , b , c是 △ ABC 的 三 边 长 , 求 证 
口   ( 6 + c一 口 )+ b 。 ( c十 “ 一 6 )+ c   ( 口+ 

6  

一 1 2 t   户 ̄ / S R 一 2 r  

由欧 拉 不 等 式 R ≥ 2 r得  1 2 t ‘ 户   4 Y ̄ 2 7≥ 1 2 r p   而 一2 4 r 。 户  
( 1 )  

厶一 c )≤ 3 a b c  

一 1 2 r   ( 口+ b+ c ) .所 以 ( 2 )式 获 证 .  

受启发 , 本文得 到 ( 2 )式 的 如下 对 偶 形 式 
定理 1   设 “ , b , c , r是 △AB C 的三 边 长及  内切 圆半 径 , 则 有 
“ 。 ( 6+ c ‘ 一 “ )+ b 。 ( c十 “ 一 , ) )十 ( ‘   ( “ 十 

我们 还 有 ( 2 ) 式 的 如 下 对 称 形 式  定理 2   设 “ , b , C 是 A ABC的 三 边 长 , r为  其 内切 圆半 径 , 则 有 
“( 6+ c— d )  + b ( c+ “ 一 6 )  + C ( “+ 6  


6一 f )≥ 1 2 ,   ( “ + b+ c )  
1  

( 2 )  

c )  ≥ 1 2 r   ( n + 6+ c )  

( 3 )  

证明 : 记 户一 ÷ ( 口+ b+ c ) , R 为 AAB C  
厶 

证明: 同定 理 1的 证 明过 程 得 
“( 6 + c一 口) 。+ b ( c+ 口 一 6 ) 。+ c ( “+ b  


的 外 接 圆半 径 , S 为 △ AB C 的面积 , 由 海 伦 公 
式 S一 , / p( 户一 “ ) ( 户一 6 ) ( 户一 c )一 r p  
ab c: = 4 RS : = 4 Rr p 

c )  一 4 a( 户一 口 )  + 4 b ( p一 6 ) 。 + 4 c ( p— c )  

≥ 4 × 3 × 

一 

得左边 一 2 a 。 ( 户一 口 )+ 2 b   ( 户一 6 ) + 
2 c   ( 户一 ‘ ’ )≥  
2 × 3   _ = =   = = _   _ _ 二  一 

1 2   1 2 r p  

一 1 2 r p  

≥ 

7 — 2 4 r 。 户一 1 2 r   ( “+ b+ f ) .  

所 以( 3 ) 式 获证.  

问 题 7: 已 知 正数 n   , 口   , …,   满 足 条 件  “ t 一1 , 试证 :   巴尔干数学竞赛试题 )   问题 8 : 若 0< 口   < 1 ,i一 1 , 2 , …,  , 且  ≥  1( 1 9 8 4年 

问 题1 0 : 已 知a ,   , y ∈( o , 号 ) , c 。 s 2 a +  
C O S   + C O S   y一 1 , 试证 : c ot   口十 c ot   +c o t   y  

≥ 号 ( 《 数 学 通 报 》 数 学 问 题 8 3 9 题 )  
问题 5~ 问 题 1 0都 可 以 利 用 隔 离 法 给 出 

n t  n , 试证: ∑
等式 )  

≥ 

(  n 户   r 。不 

i = l  

简 捷 的 证 明. 一 般 地,对 于 形 如 ∑ 
≤ 忌, 或 

问题 9 : 已知 ,  ∈R  , 。< z,  ,  <  / 1且 

- r +  +  一1 , 试 证 :  n -+  

+  

≤是 的分式不等式, 当∑ (  ,  , …, z   ) =   ∑  时, 都可以考虑利用隔离法给予证明 .  
J = 1  


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