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2015朝阳高三上学期期中数学文


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北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷(文史类) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. 已知集合 A ? {x x ? 2} ,B= {x ( x ?1)

( x ? 3) ? 0} ,则 A∩B= A. {x x ? 1} B. {x 2 ? x ? 3} C. {x 1 ? x ? 3} D. {x x ? 2 或 x ? 1} 2015.11

2. 设平面向量 a ? ( x,1) , b ? (4, x) , 且 a ? b ? ?1 , 则实数 x 的值是 A. ?2 B. ? 1 C. ?
1 3

D. ?

1 5

3.下列函数在 (??,0) ? (0, ??) 上既是偶函数,又在 (0,??) 上单调递增的是 A. y ? ? x2
1 3

B. y ? x?1
π 4

C. y ? log2 x

D. y ? ?2x

4.已知 tan ? ? ,那么 tan ( ? ? ) 等于 A. 2 B. ?2
? 3

C.

1 2

D. ?

1 2

5. 要得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象
? 6 ? C.向左平移 个单位 3

A.向左平移 个单位

B.向右平移 个单位

? 6 ? D.向右平移 个单位 3

6. 下列命题正确的是 A. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件 B. 若给定命题 p: ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 C. 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 D. 命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题为“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 7.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , BC ? 3 ,M , N 分别是 BC 边上的三等分点,则 AM ? AN 的值是 A. 5 8. 已知函数 f ( x) ? ? 数 a 的取值范围是 B.
x ?2 ,

??? ? ??? ?

21 4

C. 6

D. 8

? x 2 , 0 ? x ? a, x ? a.

若存在实数 b ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点,则实

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A. (0, 2)

B. (2, ??)

C. (2, 4)

D. (4, ??)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.若集合{ a,0,1} ={ c, ,?1} ,则 a ? _____, b ? _______. 10.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a6 ? 12 , S4 ? 8 ,则 a9 的值是 11.给出四个命题: ①平行于同一平面的两个不重合的平面平行; ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行; ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行; ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行; 其中真命题的序号是________. 12. 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? , 则? ? 的 x0= .
π π 6 4
1 b



0 , ) ? 内满足 f ( x0 ) ? 0 , 在(

13. 若函数 f ( x) ? a sin x ? cos x 在区间 ( , ) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 14. 如图,在 ?ABC 中, AB ?

.

???? ? ??? ? ???? AC ? 4 , ?BAC ? 90? , D 是 BC 的中点,若向量 AM ? 1 AB ? mAC 4

( m?R ) ,且点 M 在 ?ACD 的内部(不含边界) ,则 AM ? BM 的取 值范围是 .

???? ? ???? ?

C

D

A

B

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2
x x x 3sin cos ? 2cos2 . 2 2 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调递减区间.

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16. (本小题满分 13 分) 设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , n ? N? ,公差 d ? 0, S3 ? 15, 已知 a1 , a4 , a13 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? a2 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
n

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17. (本小题满分 14 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 底面 ABC , AC ? CB ,点 D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证: AC ? BC1 ; (Ⅱ)求证: AC1 ∥平面 CDB1 . (Ⅲ)设 AB ? 2 AA1 , AC ? BC ,在线段 A1 B1 上是否存在点 M ,使得 BM ? CB1 ?若存在,确定点
M 的位置;

若不存在,说明理由.

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18. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c .已知 cos B ? ? 1 .
2

(Ⅰ)若 a ? 2, b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的取值范围.

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19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?
x2 ? (a ? 1) x , a ? R . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上单调递减,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,证明 f ( x ) ? .
1 2

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20. (本小题满分 14 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ex (ax2 ? bx ? 1) ( 其 中 a , b ? R ), 函 数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ?( x) , 且
f ?(?1) ? 0 .

(Ⅰ)若 b ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [?1,1] 上的最小值为 0 ,求 b 的值.

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北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学答案(文史类) 一、选择题: (满分 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 6 B 7 C 8 C 2015.11

二、填空题: (满分 30 分) 题号 答案 9
?1,1

10
15

11 ①④
2,

12
? 2

13
[1, ??)

14

?? 2,6?

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) (I)由已知可得:
f ( x) ? 3sin x ? cos x ? 1

? ? 2sin( x ? ) ? 1 . 6

所以 f ( x) 的最小正周期为 2 ? .

…………………..7 分

(II)由 2k ? ? ? ? x ? ? ? 2k ? ? ?? , k ? Z ,
2 ? 2 得 2k ? ? ? ? x ? 2k ? ? ?? , k ? Z . 3 3

因此函数 f ( x) 的单调递减区间为 [2k ? ? ? ,2k ? ? ?? ] , k ? Z .
3 3

…………………..13 分 16. (本小题满分 13 分)

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解: (I)依题意,
3? 2 ? d ? 15, ?3a1 ? 2 ? ?( a ? 3d ) 2 ? a ( a ? 12d ). ? 1 1 1

解得 ?

? a1 ? 3, ? d ? 2.

因此 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, 即an ? 2n ? 1 . (Ⅱ)依题意, bn ? a2 ? 2 ? 2n ? 1 ? 2n?1 ? 1.
n

…………………..6 分

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (22 ? 1) ? (23 ? 1) ? ? ? (2n?1 ? 1)

= 22 ? 23 ? ... ? 2n?1 ? n
? 4(1 ? 2n ) ?n 1? 2

? 2n? 2 ? n ? 4.

…………………..13 分

17.(本小题满分 14 分) (I)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,因为 CC1 ? 底面 ABC , AC ? 底面 ABC , 所以 CC1 ? AC . 又 AC ? BC , BC ? CC1 ? C , 所以 AC ? 平面BCC1B1 . 而 BC1 ? 平面BCC1B1 , 则 AC ? BC1 . ( Ⅱ ) 设 CB1 与 C1B 的交点为 E ,连结 因为 D 是 AB 的中点, E 是 BC1 的中 所以 DE ∥ AC1 . 因为 DE ? 平面CDB1 , AC1 ? 平面CDB1 , 所以 AC1 ∥ 平面CDB1 . ………………….
E

…………………..4 分
DE ,

点,

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.9 分 (Ⅲ)在线段 A1 B1 上存在点 M ,使得 BM ? CB1 ,且 M 为线段 A1 B1 的中点. 证明如下: 因为 AA1 ? 底面 ABC ,CD ? 底 所以 AA1 ? CD . 由已知 AC ? BC , D 为线段 AB 的中点, 所以 CD ? AB . 又 AA1 ? AB ? A , 所以 CD ? 平面 AA1B1B . 取线段 A1 B1 的中点 M ,连接 BM . 因为 BM ? 平面 AA1B1B ,所以 CD ? BM . 由已知 AB ? 2 AA1 ,由平面几何知识可得 BM ? B1D . 又 CD ? B1D ? D ,所以 BM ? 平面 B1CD . 又 B1C ? 平面 B1CD , 所以 BM ? CB1 . ………………….. 14 分 18. (本小题满分 13 分) (I)在 ?ABC 中,因为 cos B ? ? 1 ,
2
3 . 2 3 由正弦定理 a ? b , sin A sin B

面 ABC ,
M E

所以 B ? 2π , sin B ?

可得

2 2 3 1 ? , 则 sin A ? . sin A 2 3 2

又 A 为锐角,则 A ? ? ,所以 C ? ? .
6 6

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所以 S?ABC ? 1 ab sin C
2 1 1 ? ? 2? 2 3 ? 2 2

? 3.

.……………………………………………………………6 分
3

(II) sin A ? sin C ? sin( ? ? C) ? sin C = sin C ? ( =
3 1 cos C ? sin C ) 2 2

3 1 sin 2C ? (1 ? cos 2C ) 4 4

1 ? 1 ? sin(2C ? ) ? . 2 6 4

因为 C ? (0, ) , 所以 2C ? ? ? ( ? , 5? ) .
6 6 6

? 3

则 sin(2C ? ? ) ? ( 1 ,1] .
6 2

所以 sin A ? sin C 的取值范围是 (0, 1 ] .
4

………………………………………13 分

19. (本小题满分 13 分) 解: (I)函数的定义域为 (0, ??) . 因为 f ?( x) ? ? x ? (a ? 1) ?
a x x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)( x ? a) ? . x x

又因为函数 f ( x) 在 (1,3) 单调减,所以不等式 ( x ?1)( x ? a) ? 0 在 (1,3) 上成立. 设 g ( x) ? ( x ?1)( x ? a) ,则 g (3) ? 0 ,即 9 ? 3(a ? 1) ? a ? 0 即可,解得 a ? 3 . 所以 a 的取值范围是 [3, ??) . 分 (Ⅱ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? ln x ?
x2 , 2

…………………………………7

1 x 2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? f ( x) ? ? ? x ? ? . x x x

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令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ?1 (舍). 当 x 变化时, f ( x), f ?( x) 变化情况如下表:
x
f ?( x ) (0,1)

1 0 极 小

(1, ??)

?

+

f ( x)

?

?

值 所以 x ? 1 时,函数 f ( x) 的最小值为 f (1) ? . 所以 f ( x ) ? 成立 . 分 20. (本小题满分 14 分) 解:因为 f ( x) ? ex (ax2 ? bx ? 1) ,所以 f ?( x) ? ex [ax2 ? (2a ? b) x ? b ?1] . 因为 f ?(?1) ? 0 ,所以 a ? (2a ? b) ? b ? 1 ? 0 . 所以 a ? 1 . (Ⅰ)当 a ? 1 时, b ? 1 时, f (0) ? 1, f ?(0) ? 2 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ?1 ? 2( x ? 0) . 即 2x ? y ?1 ? 0 . (Ⅱ)由已知得 f ( x) ? ex ( x2 ? bx ? 1) , 所以 f ?( x) ? ex [ x2 ? (2 ? b) x ? b ?1] ? ex ( x ?1)( x ? b ?1) . (1)当 ?b ? 1 ? ?1,即 b ? 0 时, 令 f ?( x) ? ex ( x ?1)( x ? b ?1) ? 0 得, x ? ?1 或 x ? ?b ? 1 ; 令 f ?( x) ? ex ( x ?1)( x ? b ?1) ? 0 得, ?b ? 1 ? x ? ?1 . 所以函数 f ( x) 在 (?1, ??) 和 (??, ?b ? 1) 上单调递增,在 (?b ?1, ?1) 上单调递减. 所以函数 f ( x) 在区间 [?1,1] 上单调递增. ……………………4 分 ……………………2 分
1 2

1 2

………………………………13

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所以函数 f ( x) 在区间 [?1,1] 上的最小值为 f (?1) ? e?1 (2 ? b) ? 0 . 解得 b ? 2 .显然合题意. (2)当 ?b ? 1 ? ?1时,即 b ? 0 时,
f ?( x) ? e x ( x ? 1)2 ? 0 恒成立,所以函数 f ( x) 在 (??, ??) 上单调递增.

所以函数 f ( x) 在区间 [?1,1] 上单调递增. 所以函数 f ( x) 在区间 [?1,1] 上的最小值为 f (?1) ? e?1 (2 ? b) ? 0 . 解得 b ? 2 .显然不符合题意. (3)当 ?b ? 1 ? ?1时,即 b ? 0 时, 令 f ?( x) ? ex ( x ?1)( x ? b ?1) ? 0 得, x ? ?1 或 x ? ?b ? 1 ; 令 f ?( x) ? ex ( x ?1)( x ? b ?1) ? 0 得, ?1 ? x ? ?b ? 1 . 所以函数 f ( x) 在 (??, ?1) 和 (?b ? 1, ??) 上单调递增,在 (?1, ?b ?1) 上单调递减. ①若 ?b ? 1 ? 1,即 b ? ?2 时,函数 f ( x) 在区间 [?1,1] 上单调递减. 所以函数 f ( x) 在区间 [?1,1] 上的最小值为 f (1) ? e(2 ? b) ? 0 . 解得 b ? ?2 .显然合题意. ②若 ?b ? 1 ? 1,即 ?2 ? b ? 0 时,函数 f ( x) 在在 (?1, ?b ? 1) 上单调递减,在 (?b ?1,1) 上单 调递增. 此时,函数 f ( x) 在区间 [?1,1] 上的最小值为 f (?b ?1) ? e?b?1 (b ? 2) ? 0 . 解得 b ? ?2 .显然不合题意. 综上所述, b ? 2 或 b ? ?2 为所求. 分 ……………………14

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