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反比例函数与图形面积


反比例函数与图形面积
中考试卷中的反比例函数问题,许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的,其中 常见的有已知反比例函数的解析式,求其图象围成的某一图形的面积;或已知某一图形的面积,求 符合条件的反比例函数的解析式等题型。下面笔者就有关反比例函数与图形面积的题型略加以说 明。 一. 反比例函数与矩形面积 例1 0年 东 泽 如 ( , 反 例 数 图 上 点 过P点 别 、轴 垂 , 得 的 中 影 分 面 为6 则 个 比 函 的 析 为 ) .( 山 荷 ) 图 1 P是 比 函 y?(k?的 象 一 , 分 向x轴 y 作 线 所 到 图 阴 部 的 积 , 这 反 例 数 解 式 ( 1 ) 0)

9 ,S ? (m ? 3)n 2 9 ② ? (m ? 3)n ? 2 ?S ?
联立①②解,得 m ? 6,n ?

3 2

k x

3 3 ? 点 P 的坐标为(6, )或( ,6)(此种情况的求法与上述方法一样,在此不再详解) 2 2
二. 反比例函数与三角形面积 1. 反比例函数与直角三角形面积

图1 A. y ? ?

解:设点 P 的坐标为(x,y),则 | x|| y| ? 6

6 x

B. y ?

6 x

C. y ? ?

3 x

D.

y?

3 x

例 0 辽锦)图4, A 反例数图上A垂于轴若 ?AOB ? 4 ,么个比函的析为 3 4 宁州如( 点 在比函y?(k?0)的象, 直 x , S . 年 ( ) B 那这反例数解式_ _ 。 AB 垂直于 x 轴,若 S ?AOB ? 4 ,那么这个反比例函数的解析式为 _____________。

k x

又? 点 P 在第四象限,? ? xy ? 6, ? y ? ?

6 x

图4 解:设 A 点坐标为(x,y),则

k 评:图2, A 是比函y?(k图上任一, A垂于轴垂为,的直 y ,足 C则形积 ABOC ?| k | 图 析如( 若 点反例数象的意点且B 直 x ,足 BA 垂于轴垂为,矩面 S ) C 2 ?0) x 直于 x 轴, 垂足为 B, 的垂直于 y 轴, AC 垂足为 C, 则矩形面积 S ABOC ?| k |
图2 例 2. (01 年福建福州)如图(3),已知正方形 OABC 的面积为 9,点 O 为坐标原点,点 A

S ?AOB ?

1 1 OB ? AB ? | x|| y| ? 4 2 2 ? 点 A 在第二象限,? x ? 0,y ? 0 8 ? ? xy ? 8 ? y ? ? x
k 图象上的任意一点,且 AB 垂直于 x 轴(或 y 轴), x
图5

k 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,点 B 在函数 y ? ( k ? 0,x ? 0) 的图象 x k 上,点 P(m,n)是函数 y ? ( k ? 0,x ? 0) 的图象上的任意一点, x
过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 E、F,并设矩形 OEPF 和正方形 OABC 不重合部分的面积为 S。 (1)求 B 点坐标和 k 的值;

评析:如图(5),由上述例题可知,若点 A 是反比例函 数y ?

垂足为 B,则 例 4. (02 年青海)如图(6),过反比例函数 y ?

1 ( x ? 0) 的图 x

9 (2)当 S ? 时,求点 P 的坐标; 2
图3 解:(1)依题意,得 | OA| ?| OB| ? 3 ,? B 点的坐标为(3,3) 依题意易得 | k | ? 9 ,又? 点 P 在第一象限

象上任意两点 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 C、D,连结 OA、 OB。设 AC 与 OB 的交点为 E, ?AOE 与梯形 ECDB 的面积分别为 S1、S2,比较它们的大小,可得( ) A. S1 ? S 2 B. S1 ? S 2 C. S1 ? S 2 D. 大小关系不能确定 图6 解:依题意,得 S ?AOC ? S ?BOD

? k ? 0, ? k ? 9 (2)由题意易得 S OABC ? S OEPF ? 9 ① ? mn ? 9
1

? S ?AOC ? S ?COE ? S ?BOD ? S ?COE

1 ? 2

即 S 1 ? S 2 ,? 选 B

1 的图象上关于原点 x 的任意两点,AC 平行于 y 轴,BC 平行于 x 轴, ?ABC 的面
例 5. 如图(7),A、B 是函数 y ? 则( ) B. 1 ? S ? 2 C. S=2 D. S ? 2 图7 解:设 AC 交 x 轴于 D 点,易得 S ?AOD 又 ?ABC ~ ?AOD ,且 AO ? BO 所以 S ? 4 S ?AOD ? 2 故选取 C 2. 反比例函数与斜三角形面积 例 6. (03 年重庆市)如图(8),函数 y ? ? kx ( k ? 0) 与 A. S=1

O 对称 积为 S,

求:(1)一次函数的解析式 ( 2) ?AOB 的面积 图 10 略解:(1)易得 A、B 的坐标分别为(-2,4),(4,-2)

1 ? , 2

? ?2 k ? b ? 4 解得 k ? ?1,b ? 2 ?? ?4 k ? b ? ?2 ? 所求一次函数的解析式为 y ? ? x ? 2 (2)易得直线 y ? ? x ? 2 与 x 轴的交点 C 的坐标为(2,0) 1 1 ? S ?AOB ? S ?AOC ? S ?BOC ? ? 2 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 6 2 2
评析:反比例函数与斜三角形面积问题和反比例函数与直角三角 形面积类似,解题时要注意将斜三角形转化为直角三角形来思考。 三. 反比例函数与平行四边形面积 例 9. 如图 (11) 正比例函数 y ? kx ( k ? 0) 与反比例函数 y ? ,

2 x

4 y ? ? 的图象交于 A、B 两点,过点 A 作 AC 垂直于 y 轴, x 垂足为点 C,则 ?BOC 的面积为______。
图8 解:由题意易知 S ?AOC

的图象相交于 A、C 两点,过 A 点作 x 轴的垂线,交 x 轴于 B,过 C 作 x 轴的垂线, x 轴于 D, 交 则四边形 ABCD 的面积为____________。 图 11 解:由题意易得,四边形 ABCD 为平行四边形,而 S ?AOB ? 1 ,所以

1 ? |k|? 2 , 2

四边形 ABCD 的面积 ? 4 S ?AOB ? 4

而 ?AOC 与 ?BOC 以 OC 为底时等高 例 7. (00 年天津市)如图(9),正比例函数 y ? kx ( k ? 0) 与反

? S ?BOC ? S ?AOC ? 2

例 10. 如图(12),A、C 是双曲线上关于原点 O 对称的任 意两点,AB 垂直 y 轴于 B,CD 垂直 y 轴于 D,且四边形 ABCD 的面积为 6,则这个函数的解析式为________。 图 12 解:略 评析:此类题的思路是要将平行四边形的问题转化 为三角形来做。 练习题: 1. 如图 1,乙知反比例函数 y ?

1 的图象相交于 A、C 两点,过 A 点作 x 轴的垂线交 x x 轴于 B,连结 BC,若 ?ABC 面积为 S,则( )
比例函数 y ? A. S=1 B. S=2 C. S=3 D. S 的值不能确定 图9 解:此题的解法与例 6 类似, S ? 2 S ?AOB

12 的图象与一次函数 y ? kx ? 4 x

1 ? 2 ? |k|? 1 2

例 8. (03 年四川)如图(10),已知一次函数 y ? kx ? b 的图

?选 A

的图象相交于点 P 和 Q,并且点 P 的纵坐标为 6。 ①求这个一次函数的解析式; ②求 ?POQ 的面积 图1 2. 如图 2,已知一次函数 y ? kx ? b( k ? 0) 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,且与反比

8 象与反比例函数 y ? ? 的图象交于 A、B 两点,且点 A 的横坐标和 x
点 B 的纵坐标都是-2,
2

例函数 y ?

m CD 垂足为 D, ? OB ? OD ? 1 (m ? 0) 的图象在第一象限交于点 C, 垂直于 x 轴, OA x

①求点 A、B、D 的坐标; ②求这一次函数和反比例函数的解析式; ③求 S BODC : S ?ADC 图2 参考答案: 1. ① y ? x ? 4 ;②16 2. ①A(-1,0),B(0,1),D(1,0) ② y ? x ? 1; y ?

2 x

③3:4

3


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