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2-导数习题精选精讲


习题精选精讲

易错点、学法指导及例题研究 例 1、 函数 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的可导函数, 则 f / ( x0 ) ? 0 是函数在 x ? x0 时取得极值的 (B) A、充分不必要条件 条件 例 2、已知函数 y ? f ( x) ? x( x ? c)2 在x ? 2 处有极大值,则常数 c=
? y / ? 3x2 ?

4cx ? c2 , 略解: 则 y / |x ? 2 ? 0

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要

6



?12 ? 8c ? c2 ? 0

? c ? 2或c ? 6 , ?x ? 2
? c ? 3或c ? 1 )

时取得极大值,所以经检验 c ? 6 变式引申: 函数 f ( x ) ? A、 a ? 3, b C、

(如令 x ? 1时, y / ? 0,则3 ? 4c ? c2 ? 0

a ? ?4, b ? 11

x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x=1 ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11
? f (1) ? 10? ? ? / ? f (1) ? 0 ?

?1 ? a ? b ? a ? 10 3 ? 2a ? b ? 0

时有极值 10,则 a,b 的值为(C ) a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 B、 D、 以上都不对 2 ?
a ? 3 ? a ? ?4 或? ? ?b ? ?3 ? b ? 11

略解:由题设条件得:

解之得

通过验证,都合要求,故应选择 A,上述解法错误,正确答案选 C,注意代入检验 说明:若点 ( x0 , y0 )是可导函数f ( x)的极值点,则f ?( x0 ) ? 0 ;若可导函数 f ( x)在点( x0 , y0 ) 的 两侧的导数异号, 则点 ( x0 , y0 )是可导函数f ( x)的极值点. , 函数 f ( x)在极值点( x0 , y0 ) 处不一定可导, 如函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ;函数在取得极值处,如果有切线的话,则切线是水平的,从而
f / ( x) ? 0 ,但反过来不一定,如函数 y ? x3 , 在x ? 0 处 f / ( x) ? 0 ,说明切线是水平的,但这点

的函数值不比它附近的大,也不比它附近的小,此处不一定有极值。 例 3、 函数 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的可导函数, 则 y ? f ( x ) 为 R 上的单调增函数是 f / ( x) ? 0 的 A、充分不必要条件 件(B) B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条

说明: 当 f / ( x) ? 0 时, 函数 y ? f ( x ) 单调递增, 但 y ? f ( x ) 单调递增, 却不一定有 f / ( x) ? 0 , 例如函数 f ( x) ? x3 是 R 上的可导函数, 它是 R 上的增函数, 但当 x ? 0时,f / (0) ? 0 例 4 、 函 数
f ( x) ? x3 ? 3x (| x |? 1)

(D) A、 有最大值,但无最小值 B、 C、无最大值、最小值

B、有最大值、最小值 D、无最大值,有最小值

略解: f / ( x) ? 3x2 ? 3 ?| x |? 1 ? f / ( x) ? 0 ? 函数f ( x)在(?1,1) 上单调递减,所以无最大、最

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小值。 说明:在开区间 (a,b) 内连续的且可导的函数 f ( x ) 不一定有最大值与最小值,如函数
f ( x) ? 1 x

例 5、求 f ( x) ? ln

1 ? x2 的单调递增区间 1 ? x2
1 ? x2 ? 0
即 ?1 ? x ? 1

解:由函数的定义域可知,



f ( x) ? ln

1 ? x2 1 ? [ln(1 ? x2 ) ? ln(1 ? x 2 )] 2 1? x 2

所以 f ?( x) ?

1 2x ?2 x x x ( ? )? ? 2 2 2 2 1? x 1? x 1 ? x 1 ? x2

令 f ?( x) ? 0 ,得

x ? ?1 或 0 ? x ? 1

综上所述, f ( x ) 的单调递增区间为(0,1) 说明:求函数的单调区间时千万要注意定义域 变式引申:已知 a ? R ,求函数 f ( x) ? x e 的单调区间.
2 ax

解: f ' ( x) ? 2xe ? x ? e ? a ? (2x ? ax )e
ax 2 ax 2 2 ax 令 f ' ( x) ? 0 即 (2 x ? ax )e ? 0

ax

? e ax ? 0

? 2 x ? ax2 ? 0

解不等式: 2 x ? ax ? 0 ,
2

x(2 ? ax) ? 0
2 或 x ? 0, a

当 a ? 0 时,解得 x ? 0 ,? a ? 0 时,解得: x ? ? 当 a ? 0 时,解得 0 ? x ? ?

2 ,令 f ' ( x) ? 0 ,即 x(ax ? 2) ? 0 a 2 当 a ? 0 时,解得 x ? 0 ,当 a ? 0 时,解得: ? ? x ? 0 a 2 当 a ? 0 时,解得 x ? 0 或 x ? ? a
综上所述:在 a ? 0 时,函数 f ( x) 在区间 (??,0) 内为减函数,在区间 (0,??) 为增函 数。 在 a ? 0 时,函数 f ( x) 在区间 (?? ,? ) 内为增函数,在区间 (? 间 (0,??) 内为增函数。 在 a ? 0 时,函数 f ( x) 在区间 (??,0) 内为减函数,在区间 (0, ?

2 a

2 ,0) 为减函数,在区 a

2 ) 内为增函数,在区 a

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间 (?

2 ,?? ) 内为减函数。 a
1 3 8 3

说明:本题主要是在解不等式时注意对参数的讨论 例 6、已知曲线 y ? x3上一点P(2 , ) ,求过点 P 的切线方程。 解: ? P(2, )在y ? x3 上, (1)当 P(2, ) 为切点时, y? ? x2 , ? y? |x? 2 ? 4 所求切线方程为 12 x ? 3 y ? 16 ? 0 ( 2 ) 当 P(2, ) 不 是 切 点 时 , 设 切 点 为 ( x0 , y0 ) , 则 y0 ? x03 , 又 切 线 斜 率 为
8 3 ? x0 ? 2 y0 ?
1 3

8 3

1 3

8 3

8 3

1 3

k ? y |x? x0 ? x0

/

2

, 所 以 x0

2

, ? x0 ( x0 ? 2) ? ( x03 ? 8) , 解 得

x0 ? ?1, 或x0 ? 2 (舍去) ,此时切线的斜率为 1,切线方程为 3x ? 3 y ? 2 ? 0 ,

综上所述,所求切线为 12 x ? 3 y ? 16 ? 0 或 3x ? 3 y ? 2 ? 0 。 例 7、求下列直线的方程: (1) 曲线 y ? x3 ? x2 ? 1 在 P(-1,1)处的切线; (2) 曲线 y ? x 2 过点 P(3,5)的切线;

解: (1) ? 点P(?1,1)在曲线y ? x3 ? x2 ? 1上, ? y / ? 3x2 ? 2x ? k ? y/ |x ?-1? 3-2 ? 1
即x ? y ? 2 ? 0 所以切线方程为 y ? 1 ? x ? 1 ,

(2)显然点 P(3,5)不在曲线上,所以可设切点为 A( x0 , y0 ) ,则 y0 ? x02 ①又函数 的导数为 y / ? 2 x , 所以过 A( x0 , y0 ) 点的切线的斜率为 k ? y / |x? x0 ? 2x0 ,又切线过 A( x0 , y0 ) 、P(3,5)点,所以 有 2 x0 ?
? y0 ? 5 x0 ? 5 ②,由①②联立方程组得, ? x0 ? 1 或 ? ? y ? 25 ,即切点为(1,1)时,切线斜 y ? 1 x0 ? 3 0 0 ? ?

率为 k1 ? 2 x0 ? 2; ;当切点为(5,25)时,切线斜率为 k2 ? 2 x0 ? 10 ;所以所求的切线有两条,
即y ? 2 x ? 1 或y ? 10 x ? 25 方程分别为 y ? 1 ? 2( x ? 1)或y ? 25 ? 10( x ? 5),

说明: (1)过点 P 的切线不能等同于在 P 点处的切线; (2)求出两条切线,是否 可以说不在曲线上的点切线一定存在呢?答案是否定的,由例题可知切线的条数取决于关 于 x 0 方程(或方程组)的解的个数; (3)若函数在某点处不存在导数,不一定不存在切线, 存在切线也不一定可导。 例 (B) A、0 8 、 方 程
2 x3 ? 6 x 2 ? 7 ? 0在(0,2)内根的个数为

B、1

C、2

D、3

则f / ( x) ? 6 x2 ? 12x = 6 x ( x ? 2) 略解:令 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7,

由 f / ( x) ? 0得x ? 2或x ? 0 由f / ( x) ? 0得0 ? x ? 2 ,又 f (0) ? 7 ? 0 , f (2) ? ?1 ? 0 ,故得

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结论 例 9 、 若 函 数 (D)
A、 b 2 ? 4ac ? 0
b ? 0 且c ? 0 B、 b ? 0 且c ? 0 C、

y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0)



x?R

是 增 函 数 , 则

b2 ? 4ac ? 0 D、

略解:不等式 f / ( x) ? 0或f / ( x) ? 0 在指定区间上恒成立 例 10、 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 x ? 4在(3,??) 上是增函数, 则实数 a 的取值范围为
1 3

(D)

略解: 方法 (一)f / ( x) ? x2 ? 2ax ? 3a 2 = ( x ? 3a )(x ? a ) ? 0 , 由题意可知当 x ? (3,??)时 ,
由3a ? 3知a ? 1 , 则0 ? a ? 1 , 由 ? a ? 3知a ? ?3, 则?3 ? a ? 0 , 上面不等式成立, 当 a ? 0时, 当 a ? 0时,

若 a ? 0 ,不等式显然不成立,故 ?3 ? a ? 1 ; 方法(二)因为 f / ( x) ? x2 ? 2ax ? 3a 2 ,由题可知当 x ? (3,??)时 , f / ( x) ? x2 ? 2ax ? 3a2 ? 0 恒成立,因为当 x ? a 时, f / ( x) ? x2 ? 2ax ? 3a2 ? ?4a2 ? 0 ,所以 a ? 3且a ? 6a ? 3a2 ? 0 ,所以
?3 ? a ? 1

变式引申 1:已知 a 为实数, f ( x) ? ( x ? 4)(x ? a) 。
2

(1)求导数 f ' ( x) ; (2)若 f ' (?1) ? 0 ,求 f ( x) 在 [?2,2] 上的最大值和最小值; (3)若 f ( x) 在 [??,?2] 和 [2,??) 上都是递增的,求 a 的取值范围。 解: (1) f ( x) ? x ? ax ? 4 x ? 4a ,? f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? 4
3 2 2

1 2 ,此时 f ' ( x) ? 3x ? x ? 4 2 4 9 4 50 由 f ' ( x) ? 0 ,得: x ? ?1 或 x ? ,又 f ( ?1) ? , f ( ) ? ? , f (?2) ? 0 , 3 2 3 27
1 (2)令 f (?1) ? 0 ,解得 a ?

f (2) ? 0
所以 f ( x) 在 [?2,2] 上最大值为 (3) f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? 4
2

9 50 ,最小值为 ? 2 27

? f ' ( x) 为开口向上且过点 (0,?4) 的抛物线,由条件知: f ' (?2) ? 0 , f ' (2) ? 0
即?

?4a ? 8 ? 0 ?8 ? 2a ? 0

解得: ? 2 ? a ? 2 ,所以 a 的取值范围是 [?2,2]
3 2

变式引申 2: (2006 年江西卷)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=-

2 与 x=1 3

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时都取得极值。 (1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间; (2)若对 x?〔-1,2〕 ,不等 2 式 f(x)?c 恒成立,求 c 的取值范围。 3 2 2 解: (1)f(x)=x +ax +bx+c,f?(x)=3x +2ax+b 由 f?( -

2 12 4 1 )= - a+b=0 ,f?(1)=3+2a+b=0 得,a= - ,b=-2 3 2 9 3
(-?, -

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表:
x

2 2 ) - 3 3
0 极 大 值

(- -

2 1 ,1) 3
0 极 小 值

(1, +?) +

f? (x) + f(x) ?

?

?

2 2 )与(1,+?) ,递减区间是(- ,1) 3 3 1 2 22 (2)f(x)=x3- x2-2x+c,x?〔-1,2〕 ,当 x=- 时,f(x)= +c 2 3 27
所以函数 f(x)的递增区间是(-?,- 为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。 2 2 要使 f(x)?c (x?〔-1,2〕 )恒成立,只需 c ?f(2)=2+c,解得 c?-1 或 c?2 变式引申 3 :已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

1 ? ax 2 , x ? (0,?? ) ,设 0 ? x1 ? ,记曲线 a x

y ? f ( x) 在点 M ( x1 , f ( x)) 处的切线为 l 。
(I)求 l 的方程; (II) 设 l 与 x 轴交点为 ( x2 ,0) , 证明 (i)0 ? x 2 ? (ii) 若 x1 ? 解: (I) f ' ( x) ? ?

1 a

1 1 , 则 x1 ? x2 ? a a

1 1 ? ax1 1 ,由此得切线 l 的方程为 y ? ? ? 2 ( x ? x1 ) 2 x x1 x1

(II)切线方程中令 y ? 0 ,有 0 ? 即 x2 ? x1 (2 ? ax1 ) (i)? 0 ? x1 ?

1 ? ax1 1 ? ? 2 ( x ? x1 ) ? x2 ? x1 (1 ? ax1 ) ? x1 ? x1 (2 ? ax1 ) x1 x1
2 a

其中 0 ? x1 ?

2 1 2 1 ,? ax1 ? 2 , x2 ? x1 (2 ? ax1 ) ? 0 ,又 x2 ? ? a ( x1 ? ) ? a a a 1 1 1 ? 0 ? x2 ? ,当且仅当 x1 ? 时, x 2 ? a a a 1 1 (ii)当 x1 ? 时, ax1 ? 1 , 2 ? ax1 ? 1 ,? x2 ? x1 (2 ? ax1 ) ? x1 且由(i) x 2 ? a a 1 所以 x1 ? x2 ? a
说明: 例 7~例 10 及其变式引申 1~3 及解不等式以及不等式恒成立问题、 方程根的问 题,是导数与不等式、方程的综合题

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0,0) , 例 11、y ? x3 ? ax2 ? bx ? c的增区间为(? ?,?1), (1,??);减区间为(?1,1),且过点( 求 a、 b、

c 的值。
解:由题可得 c=0, 所以 y / ? 3x 2 ? 2ax ? b ,由条件可知-1,1 为方程 y / ? 3x 2 ? 2ax ? b =0 的根,则由韦达定理得 a=0,b=-3 例 12、若函数 f ( x) ? x2 ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围为
A、a ? 0
4 3

(B)

B、a ? 0

C、 a ? 0

D、a ? 0

例 13、 若函数 y ? ? x3 ? bx有三个单调区间,则b的取值范围为
A、b ? 0 B、b ? 0 C、b ? 0 D、 b?0

(A)

例 14、已知曲线 s : y ? x3 ? px2 ? qx的图像与x 轴相切于不同于原点的一点,又函数有极 小值为-4,求 p、q 的值。 解 : 由 题 可 知 方 程 x2 ? px ? q ? 0 有 两 个 不 同 的 解 , 则 ? ? p 2 ? 4q ? 0 ①
? y / ? 3x 2 ? 2 px ? q 则 x1 ? ?

p 是方程 ? y / ? 3x2 ? 2 px ? q ? 0 的一个解, 则由韦达定理知另一个 2


(?



x2 ? ?

2p p p ? ?? 3 2 6







线

s







p p3 p3 p2 p ,?4)代入y ? x3 ? px2 ? qx得 ? ? ? ? ? ?4 ,解得 p ? 6 ,代入①得 q ? 9 6 36 ? 6 36 4 6

说明:以上均是导函数对应的方程根的问题,注意根的判别式及其韦达定理的使用。 例 15、计算下列定积分 (1)

?
5 0

27 3

1 x

1

dx

(2) ? 4 cos 2
0

?

x dx 2

(3)

?1 (2

e

x

e ? )dx x

(4)

?

x3 dx x2 ?1
2

(5)

?

3

?4

| x ? 2 |dx

解: (1)令 F(x) ?

3 3 1 x ,F / ( x) ? 3 ,则原式= 2 x

?

27

1

x

?

1 3 dx

?

3 (27 3 ? 1) ? 12 2

2

( 2 ) ?cos 2

x 1 ? cos x 1 ? ,令F ( x) ? ( x ? sin x) , 则 2 2 2

?04 c

?

2 x o sdx 2



F( )-F( 0 ) 4
1 ? 2 ? 2 = ( + )= + 2 4 2 8 4
(3)原式=

?

?

e

1

2 x dx ?

?

e

1

e 1 2e 2 dx ? (2 e ? 2) ? e (ln e ? ln 1) ? ? ?e x ln 2 ln 2 ln 2

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(4)原式=

?

5

0

x3 ? x ? x dx ? x2 ? 1

?

5

0

(x ?

x )dx ? x ?1
2

?

5

0

xdx ?

?

5

0

x dx x ?1
2



25 1 25 1 - (ln 26 ? ln 1) ? - ln 26 2 2 2 2

(5)原式=

?

3

?4
2

dx ? ? (x ? 2) dx | x ? 2 |dx = ?? (x ? 2)
?4 ?2
?2

?2

3

= ?( x ? 2 x) |?4 + ( x ? 2 x) |?2 =
2 3

1 2

1 2

29 2

3 ?2 x ? 1, x ?[?2,2] 40 变式引申 1:已知 f ( x) ? ? ,求 k 值, 使 ? f ( x)dx ? . 2 k 3 ? 1 ? x , x ? (2,4]

解:分2 ? k ? 3和 ? 2 ? k ? 2两种情况讨论: (1)当2 ? k ? 3时

?k

3

f ( x)dx ? ? (1 ? x 2 )dx ? ( x ?
k 3

3

整理得, k ? 3k ? 4 ? 0 又
3

x3 3 k3 40 ) k ? (3 ? 9) ? (k ? ) ? 3 3 3 3 2 2 即k ? k ? k ? 3k ? 4 ? 0

? (k ? 1)(k 2 ? k ? 4) ? 0 ? k ? ?1 2?k ?3
2

? k ? ?1舍去
3

(2)当 ? 2 ? k ? 2时

?k

f ( x)dx ? ? (2 x ? 1)dx ? ? (1 ? x 2 )dx ? ( x 2 ? x) 2 k ? (x ?
k 2

x3 ) 3

3 2

8 40 40 ? (4 ? 2) ? (k 2 ? k ) ? (3 ? 9) ? (2 ? ) ? ? (k 2 ? k ) ? 3 3 3 2 ? k ? k ? 0, 即k ? 0或k ? ?1. 综上所述, k ? 0或k ? ?1
变式引申 2: 计算(1) (2)

?

4

0 4

x 2 ? 4 x ? 4dx ?
2 4-(x-2 ) dx ?

4 (分段函数)
2?

?

0

(利用几何意义)

说明:求定积分要能熟练取出被积函数的原函数,并注意有时要将被积函数进行适 当的变形,对于分段函数要分段求,对于有些求定积分要回到其几何意义上。 例 16、在曲线 y ? x ( x ? 0) 上的某点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积
2



1 .试求:切点 A 的坐标以及切线方程. 12
2 2

解:由题可设切点为 (x 0 , x 0 ) ,? y / ? 2 x ,则切线方程为 y ? 2 x 0 x ? x 0 ,与

x

















x 0, 0 ) 2















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?

x0 2 0

x 2 dx ?

?

2 2 x0 ( x ? 2 x 0 x ? x 0 )dx ? 2

x0

x0 3 1 ? x0 ? 1 , 所以切点坐标与切线方程分别 ? , 12 12

为 A(1,1), y ? 2 x ? 1 说明:求一些曲边图形的面积要注意利用定积分的几何意义以及微积分基本定理,

[0 ,2?] 但要特别注意图形面积不是与定积分一定相等,如函数 y ? sin x x ? 的图像与 x
轴 围 成 的 图 形 的 面 积 为 4, 而 其 定 积 分 为 0. 定 积 分 的 几 何 意 义 是 :

在区间 [a, b]上的曲线y ? f ( x)与直线x ? a, x ? b以及x 轴所围成的图形的面积的代数和,


? f ( x)dx ? x轴上方的面积-x轴下方的面积.
a

b

五、高考题及高考模拟题研究 1、导数的概念、微积分基本定理 高考对导数要求了解其实际背景, 作为函数在某一点处的导数的定义及导数的几何意 义,对于定积分基本定理的考查,主要是定理的应用即简单计算,关键是被积函数的原函 数的寻找,题型一般以选择题、解答题形式出现。 例 1、

? ? (sin x ? cos x)dx 的值为( C
2 ? 2

?



A 解

0 : 令

B

?
4

C

2

D

4

F(x) ? ? c

/ xo ? s sx, i则Fn ( x) ? s

xi? c n xo

, s





??(
2 ? 2

?

x s ? c i xo )dx n= sF ( ) ? F (? ) ? 1 ? (?1) ? 2 2 2

?

?

说明:关键是原函数的寻找,要求能熟悉一些函数的导数。 试求f ?(0) 例 2、已知 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 2)?( x ? 2004) , 分析: 本题考查运用导数定义解决问题的能力, 求一个可导函数 f ( x)的导函数值f ?( x0 ) , 通常是先求出这个函数的导函数,在将 x ? x0 代入,这是一般处理方法, ‘然而在本题情况 下, f ?( x) 不易求出,此时,可返回到原始定义,直接利用函数在某一点的导数的定义来求, 求法如下:
f ?(0) ? lim
x ?0

f ( x) ? f (0) f ( x) ? lim ? lim ( x ? 1)(x ? 2)?( x ? 2004) ? 2004! x ?0 x x ?0 x?0

说明:对运用导数的概念求函数的导数考查较少,但这一点这是是高考要求考生必 须了解的内容,随着高考对导数考查思路的逐步成熟,高考对这一点的考查会适当拓宽, 如还可能在“可导与连续” 、 “可导与有切线”的联系处,或在导数定义的变式处设置选择 题,以考查学生应用导数概念解题的能力。 2、导数、定积分的几何意义 高考对导数的几何意义考查的要求是理解,试题一般以选择题、填空题的形式出现, 常与解不等式、不等式的证明及圆锥曲线有关这是结合起来考查。小题小综合、大题大综 合,尤其是导数与圆锥曲线、不等式的证明等知识的综合,数学思想丰富、解法灵活多变、

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方法多样。请加强这方面的训练 例 3、 (2006 年安徽卷)若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方 程为 A.4 x ? y ? 3 ? 0 B.x ? 4 y ? 5 ? 0 C.4 x ? y ? 3 ? 0 D.x ? 4 y ? 3 ? 0 ( ) 解:与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x4 在某一点的导数 为 4,而 y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 ,故选 A 分析:本题是在导数的几何意义直线的联系处命题的,根据导数的几何意义,过点 M ( x1, f ( x1))处的切线为l 的斜率为 f ?( x1 ) ,于是先求 f ( x ) 的导数,并利用点斜式写出 l 的方程。 例 4、 (2006 年江苏卷)对正整数 n,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点

? a ? 的纵坐标为 a n ,则数列 ? n ? 的前 n 项和的公式是 ▲ ? n ? 1?
解: y
/ x?2

? ?2n ?1 ? n ? 2 ? , 切线方程为 : y ? 2n ? ? 2n?1 ? n ? 2? ( x ? 2) ,令 x=0,求
n

出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2 ,所以

an ? a ? ? 2n ,则数列 ? n ? 的前 n ?1 ? n ? 1?

n 项和 Sn ?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

? 2n?1 ? 2

分析:本题主要考查利用导数求切线方程,再与数列知识结合起来,解决相关问题。
2 例 5:直线 y ? 2 x ? 3 与抛物线 y ? x 所围成的图形面积是( C )

A

20

B

28 3

C

32 3

D

43 3

解 :直 线 y ? 2x ? 3 与 抛物 线 y ? x2 的 交点 坐标 为( - 1, 1) 和( 3 ,9 ) ,则

S= ( 2 x+3 -x 2 )dx ?
?1

?

3

32 3

例 6:如果 1N 能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm,需做功( A ) A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J 说明:力对质点的做功就是求定积分。 3、利用导数研究函数的性态 高考对这一知识点考查的要求为:理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并 会用导数求函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值,注意数形结 合。 例 7、 (2006 年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内 的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 例 8、 (2006 年江西卷)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?(x) ?0,则必有( C ) D. 4 个
y

y ? f ?( x)

b

a

O

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A. f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) 解:依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在 (1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f?(x)?0,f(x)在(-?,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即有 f(0)?f(1) ,f(2)?f(1) ,故选 C
, 在[?2,2] 上有最大值为 3, 变式引申: 已知 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? m(m为常数) 那么此还是在[-2,

2]上的最小值为 解

A、-37 :

B、-29

C、-5

D、-11
f / ( x) ? 0得x ? 0或2

(A) , 有

? f / ( x) ? 6 x2 ? 12 x ? 6 x( x ? 2), 由

? f (0) ? m, f (2) ? ?8 ? m, f (?2) ? ?40 ? m


3 2



f (0) ? f (2) ? f (?2)

?m ? 3

? 最小值为f (?2) ? ?37

例 9、 (2006 年北京卷)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极大值 5 ,其 导函数 y ? f '( x) 的图象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所示.求: (1) x0 的值; (2) a, b, c 的值.

解: (1)? f / ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ,由图可知当

x ? 1时,f / ( x) ? 0,当x ? 1时,f / ( x)=0,当x ? 1时,f / ( x) ? 0 ,
故当 x=1 时,函数取得极大值,所以 x0 =1 (2)由图可知 x ? 1, x ? 2 为方程 f / ( x) ? 0 的两个根, 则有 3a ? 2b ? c ? 0, ① ③ 由①②③解得 a ? 2, b ? ?9, c ? 12 . 例 10: (2006 年福建卷)已知函数 f ( x) ? ? x ? 8x, g ( x) ? 6ln x ? m.
2

12a ? 4b ? c ? 0,

② ,由(1)可知 f (1) ? a ? b ? c ? 5

(1)求 f ( x ) 在区间 ?t , t ? 1? 上的最大值 h(t ); (2) 是否存在实数 m, 使得 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的 交点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 解: (1) f ( x) ? ? x ? 8x ? ?( x ? 4) ? 16.
2 2



t ? 1 ? 4,



t?3





f ( x)



?t, t ? 1?













h(t ) ? f (t ?1) ? ?(t ?1)2 ? 8(t ?1) ? ?t 2 ? 6t ? 7;
当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时, h(t ) ? f (4) ? 16;

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当 t ? 4 时, f ( x ) 在 ?t , t ? 1? 上单调递减, h(t ) ? f (t ) ? ?t 2 ? 8t.

??t 2 ? 6t ? 7, t ? 3, ? 3 ? t ? 4, 综上, h(t ) ? ?16,      ??t 2 ? 8t ,   t ? 4 ?
(2)函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点,即函数

? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

? ( x) ? x 2 ? 8 x ? 6ln x ? m,
?? '( x) ? 2 x ? 8 ? 6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ? ( x ? 0), x x x

当 x ? (0,1) 时, ? '( x) ? 0, ?( x) 是增函数;当 x ? (0,3) 时, ? '( x) ? 0, ?( x) 是减函数; 当 x ? (3, ??) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当

x ? 1,



x?3
最小值





?' x ?

?? (( x

最大值

))

??

m0

( ?

.

?1 x

?

)

?

m ? 7

当 x 充分接近 0 时, ? ( x) ? 0, 当 x 充分大时, ? ( x) ? 0.

? 要使 ? ( x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
? ?? ( x)最大值 ? m ? 7 ? 0, ? ? ?? ( x)最小值 ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0,
即 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3.

所以存在实数 m , 使得函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点, m 的取值范围为 (7,15 ? 6ln 3). 分析:本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函 数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法 和分析问题、解决问题的能力。 例 11 、设函数 y ? f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d的图像与y轴 交于点 P ,若过 P 的切线方程为

12 x ? y ? 29 ? 0 ,且当 x=4 时,函数
的单调递减区间。 解 : 由 y? ? f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c
? c ? k ? ?12 , 把x ? 0

f ( x ) 取极值-19,试求 f ( x ) 的解析式,并求这个函数

? f ?(0) ? c , 这 是 过 P 点 的 切 线 的 斜 率 。
? y ? 29 ,? P (0,29) 即 d ? 29

代 入 切 线 方 程 12 x ? y ? 29 ? 0 ,

? f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 12 x ? 29, 由x ? 4 时 , f ( x ) 的 极 值 为 - 19 , 则 y? | x ? 4 ? 0 ,f (4) ? ?1 9 ,

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? ? 3a ? 42 ? 2b ? 4 ? 12 ? 0 ?? 3 4 ? a ? 42 ? b ? 12 ? 4 ? 29 ? ?19 ? ?

3 ? ?a ? 解得? 4 ? ?b ? ?3

? f ( x) ?

3 3 9 x ? 3x 2 ? 12 x ? 29 令y? ? x 2 ? 6 x ? 12 ? 0 4 4

4 解得- ? x ? 4 3

4 ? f ( x)的单调递减求解为(? ,4) 3

例 12、设函数 f ( x ) 是定义在 [?1,0) ? (0,1] 的奇函数, 当 x ? [?1,0)时, f ( x) ? 2ax ? 数) ; 解 析 式 ; 试 判 断 f ( x)在(0,1]上 的 单 调 性 , (1) 当 x ? (0,1] 时,求f ( x)的 (2) 若 a ? ?1, 使得当x ? (0,1] 时,f ( x)有最大值为-6; (3)是否存在实数 a ,
则 ? x ? [ ?1,0), f ( x) ? ? f (? x) ? ?[ 2a ( ? x ) ? 分析:第( 1 )设 x ? (0,1],

1 x2

( a 为实

并证明你的结论;
? 2ax ?
1 x2

1 ] (? x)2

(2)

2 (3)首先求出导函数 y? ? f ?( x) ? 2a ? 3 ,然后解含参数 a 的不等式 f ?( x) ? 0(? 0, ? 0) ,要进 x

行分类讨论。本题的第(2)实际上为第(3)作铺垫,因为
a ? ?1 ,x ? (0,1] , 1 x3 ?1 , a? 1 x3 ?0, 即f ?( x) ? 0 , 所以f ( x)在(0,1]上单调递增 ;



3


5 f max ( x) ? f (1) ? 6 ? a 单 ?? ( 2


调 不

a ? ?1 时,由f ?( x) ? 0知, f ( x)在(0,1]上


a ? ?1 时, f ?( x) ? 0, x ? 3 ? 1 ? (0,1] , 易求得f max ( x) ? a ? 1? f ? 3 ? ? ? ?6 ? a ? ?2 2, 故存在a ? ?2 2 ? a? ? ?

使

f ( x)在(0,1]上有最大值为-6 。

4、利用导数解应用性问题 利用导数解决科技、经济、生产、生活中的最值问题,是新课程高考要求学生必须掌握 的内容,与应用传统知识解应用题的唯一区别是:解题过程中利用导数求出函数的最值。 例 13、 (2006 年福建卷) 统计表明, 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升) 关 于 行 驶 速 度 x ( 千 米 / 小 时 ) 的 函 数 解 析 式 可 以 表 示 为 :

y?

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 已知甲、乙两地相距 100 千米。 128000 80
(I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗没 (

100 ? 2.5 小时, 40

1 3 ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升) 。 128000 80
100 小时, 设耗油量为 h( x) x

(II) 当速度为 x 千米/小时时, 汽车从甲地到乙地行驶了 升, 依题意得 h( x) ? (

1 3 100 1 2 800 15 x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 128000 80 x 1280 x 4

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h '( x) ?

x 800 x3 ? 803 ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2

令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。

? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25.
因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。 答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。 分析:本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解 决实际问题的能力。由于三个正数的均值不等式高考不作要求,所以关于 x 的三次函数的 最值,只有用导数求其最值。 例 14: (2006 年江苏卷)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱, 上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积最大? 解:设 OO1 为 x m ,则 1 ? x ? 4
2 2 由题设可得正六棱锥底面边长为: 3 ? ( x ? 1) ?

O

8 ? 2x ? x 2 , (单位:
O1

m)
故底面正六边形的面积为: 6 ? (单位: m )
2

3 3 3 ? ( 8 ? 2x ? x 2 ) 2 = ? (8 ? 2 x ? x 2 ) , 4 2

? 帐篷的体积为: V(x)

1 3 3 3 (8 ? 2 x ? x 2 ) [ ( x ? 1) ? 1] ? (16 ? 12x ? x 3 ) (单位: 2 3 2

m3 )

(x) ? 求导得 V'

3 (12 ? 3x 2 ) 。 2

(x) ? 0 ,解得 x ? ?2 (不合题意,舍去) 令 V' ,x ? 2, (x) ? 0 , V ( x) 当 1 ? x ? 2 时, V' 为增函数; (x) ? 0 , V ( x) 当 2 ? x ? 4 时, V' 为减函数。 ∴当 x ? 2 时, V(x) 最大。

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答:当 OO1 为 2 m 时,帐篷的体积最大,最大体积为 16 3 m 。 点评:本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识,以及运用数学知识解决实 际问题的能力 导数应用的题型与方法 四、热点题型分析 题型一:利用导数定义求极限 例 1.已知 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=b,求下列极限:

3

f (a ? h 2 ) ? f (a) f (a ? 3h) ? f (a ? h) (1) lim ; (2) lim ?h ?0 ?h ?0 2h h
解: (1) lim
h ?0

f (a ? 3h) ? f (a ? h) f (a ? 3h) ? f (a) ? f (a) ? f (a ? h) ? lim h ?0 2h 2h

f (a ? 3h) ? f (a) f ( a ) ? f ( a ? h) ? lim h ?0 h ?0 2h 2h 3 f (a ? 3h) ? f (a) 1 f ( a ? h) ? f ( a ) ? lim ? lim 2 h ?0 3h 2 h ?0 ?h 3 1 ? f ' (a) ? f ' (a) ? 2b 2 2 ? lim
( 2 )

lim
h ?0

? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim? h? h ?0 h h2 ? ?
f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim h ? f ' (a) ? 0 ? 0 h ?0 h2

? lim
h ?0

说明:只有深刻理解概念的本质,才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等 价变形,使极限式转化为导数定义的结构形式。 题型二:利用导数几何意义求切线方程 例 2. .已知曲线 C1 : y ? 的方程。 解:设直线 l 与 C1 , C2 的切点分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

x2 ,曲线 C2 : y ? ?( x ? 2)2 ,直线 l 与 C1、C2 都有相切,求直线 l

( x2 )' ? 2 x,? y1?
又 y1 ? x1
2

x ? x1

? ? 2 x1 ? y2

x ? x2

? ?2( x2 ? 2),? x1 ? 2 ? x2

y2 ? ?( x2 ? 2)2 ? ? x12 ? ? y1

?k ?

y2 ? y1 ?2 y1 ?2 x12 x2 ? ? ? 1 ? 2 x1 x2 ? x1 (2 ? x1 ) ? x1 2 ? 2 x1 x1 ? 1


? x1 ? 0 或 x1 ? 2 , ? k ? 0或k ? 4 ? l 的方程为: y ? 0

y ? 4 ? 4( x ? 2) 。

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题型三:利用导数研究函数的单调性、极值、最值。 例 3 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c, 过曲线y ? f ( x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 y=3x+1 (Ⅰ)若函数 f ( x)在x ? ?2 处有极值,求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y ? f ( x) 在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围 解: (1)由 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c, 求导数得f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b. 过 y ? f ( x)上点P(1, f (1)) 的切线方程为:

y ? f (1) ? f ?(1)(x ? 1),即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1).
而过 y ? f ( x)上P[1, f (1)] 的切线方程为 y ? 3x ? 1.

3 ? 2a ? b ? 3 故? ? ?a ? c ? ?3

?2a ? b ? 0 即? ?a ? c ? ?3

① ② ③

∵ y ? f ( x)在x ? ?2时有极值 , 故f ?(?2) ? 0,? ?4a ? b ? ?12 由①②③得 a=2,b=-4,c=5

∴ f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? 4x ? 5.

(2) f ?( x) ? 3x 2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2).

2 当 ? 3 ? x ? ?2时, f ?( x) ? 0; 当 ? 2 ? x ? 时, f ?( x) ? 0; 3
2 当 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0. ? f ( x) 极大 ? f (?2) ? 13 3

又 f (1) ? 4,? f ( x) 在[-3,1]上最大值是

13。 (3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b, 由①知 2a+b=0。
2

依题意 f ?( x) 在[-2,1]上恒有 f ?( x) ≥0,即 3x ? bx ? b ? 0.
2

b ? 1时, f ?( x) min ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0,? b ? 6 ; 6 b ②当 x ? ? ?2时, f ?( x) min ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0,? b ? ? ; 6
①当 x ? ③当 ? 2 ?

6 12b ? b 2 ? 1时, f ?( x) min ? ? 0, 则0 ? b ? 6. b 12

综上所述,参数 b 的取值范围是 [0,??)

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例 4:已知三次函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 . (1) 求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; (3) 若函数 g ( x) ? f ( x ? m) ? 4m (m ? 0) 在区间 [m ? 3, n] 上的值域为 [?4, 16] , 试求 m 、

n 应满足的条件.
解:(1) f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b , 由题意得, 1, ? 1 是 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 的两个根,解得, a ? 0, b ? ?3 . 再由 f (?2) ? ?4 可得 c ? ?2 .∴ f ( x) ? x3 ? 3x ? 2 . (2) f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) , 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .∴函数 f ( x) 在区间 ( ??, ?1] 上是增函数; ] 上是减函数;在区间 [1, ? ?) 上是增函数. 在区间 [?1,1 函数 f ( x) 的极大值是 f (?1) ? 0 ,极小值是 f (1) ? ?4 . (3) 函数 g ( x) 的图象是由 f ( x) 的图象向右平移 m 个单位,向上平移 4 m 个单位得到 的, 所以,函数 f ( x) 在区间 [?3, n ? m] 上的值域为 [?4 ? 4m, 16 ? 4m] ( m ? 0 ) . 而 f (?3) ? ?20 ,f ( x) 在 ?? ?,?1?上 是增函数,f(1)=-5∴ ?4 ? 4m ? ?20 , 即m ? 4. 于是,函数 f ( x) 在区间 [?3, n ? 4] 上的值域为 [?20, 0] . 令 f ( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 2 .由 f ( x) 的单调性知 ,-1 ? n ? 4 ? 2,即3 ? n ? 6 综上所述, m 、 n 应满足的条件是: m ? 4 , 3 ? n ? 6 3 2 例 5:已知函数 f(x)=-x +3x +ax+b 在 x=(1,f(1))处的切线与直线 12x-y-1=0 平 行. (1)求实数 a 的值; (2)求 f(x)的单调递减区间; (3)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 2 解: (1) ∵f ’(x)=-3x +6x+a ∴f ’(1)=3+a=12,∴a=9 2 (2) f ’(x)=-3x +6x+9.令 f ‘(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1) , (3,+∞) . (3)因为 f(-2)=8+12-18+b=2+b,f(2)=-8+12+18+b=22+b, 所以 f(2)>f(-2). 因为在(-1,3)上 f ‘(x)>0, 所以 f(x)在[-1, 2]上单调递增,又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减, 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, 于是有 22+b=20,解得 b=-2. 2 故 f(x)=-x3+3x +9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.

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例 6:已知函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? bx 2 ? 3a 2 x(a ? 0) 在 x ? a 处取得极值, 3

(1)用 x , a 表示 f ( x) ; (2)设函数 g ( x) ? 2 x 3 ? 3af '( x) ? 6a 3 , 如果 g ( x) 在区间 (0,1) 上存在极小值,求实 数 a 的取值范围.

1 解: (1) f '( x) ? ? x2 ? 2bx ? 3a2, f '(a) ? 0 ? b ? 2a ? f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x 3
(2)由已知 g ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 12a2 x ? 3a3 ,

? g ' ( x) ? 6x 2 ? 6ax ? 12a 2 , 令 g ' ( x) =0 ? x ? a或x ? ?2a.
' ①若 a ? 0 ,则当 x ? a或x ? ?2a 时, g ( x) >0;当 ?2a ? x ? a 时, g '( x) ? 0 .

所以当 x ? a ? (0,1) 时, g ( x) 在 (0,1) 有极小值. ②同理当 a ? 0 时, x ? ?2a ? (0,1) ,即 a ? ( ? 综上所述:当 a ? (0,1) 例 7:已知 f ( x ) ? (1)当 | a | ?

1 , 0) 时, g ( x) 在 (0,1) 有极小值. 2

1 ( ? , 0) 时, g ( x) 在 (0,1) 有极小值. 2

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x (a ? R ). 3

1 时, 求证 f ( x ) 在 ( ?1, 1) 内是减函数; 4

(2)若 y ? f ( x ) 在 ( ?1, 1) 内有且只有一个极值点, 求 a 的取值范围. 解: (1) ∵ f ( x ) ?

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x , ∴ f ?(x) ? 2x 2 ? 4ax ? 3. 3

1 ? ? f (?1) ? 4(a ? ) ? 0 ? 1 ? 4 , ∵| a | ? , ∴ ? 1 4 ?f (1) ? ?4(a ? ) ? 0 ? 4 ?
又∵二次函数 f ?( x ) 的图象开口向上, ∴在 ( ?1, 1) 内 f ?( x ) ? 0 , 故 f ( x ) 在 ( ?1, 1) 内是减函数. (2)设极值点为 x 0 ? (?1 ? x ? 1), 则 f ?( x ) ? 0

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1 ? ? f (?1) ? 4(a ? ) ? 0 ? 1 ? 4 , 当 a ? 时, ∵ ? 4 ?f (1) ? ?4(a ? 1 ) ? 0 ? 4 ?
∴在 (?1, x 0 ) 内 f ?( x) ? 0, 在 ( x 0 , 1) 内 f ?( x) ? 0, 即 f ( x ) 在 (?1, x 0 ) 内是增函数, f ( x ) 在 ( x 0 , 1) 内是减函数.

1 时 f ( x ) 在 ( ?1, 1) 内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 4 1 当 a ? ? 时, 同理可知, f ( x ) 在 ( ?1, 1) 内且只有一个极值点, 且是极小值点. 4 1 1 当 ? ? a ? 时, 由(1)知 f ( x ) 在 ( ?1, 1) 内没有极值点. 4 4 1 1 故所求 a 的取值范围为 (?? , ? ) ? ( , ? ?) 4 4 例 8:设函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) . (1)若 f ( x ) 的图象与直线 5x ? y ? 8 ? 0 相切,切点横坐标为2,且 f ( x ) 在 x ? 1 处取极 值,求实数 a , b 的值; (2)当 b=1 时,试证明:不论 a 取何实数,函数 f ( x) 总有两个不同的极值点. 解: (1) f ?( x) ? 3x2 ? 2(a ? b) x ? ab. 由题意 f ?(2) ? 5, f ?(1) ? 0 ,代入上式,解之得:a=1,b=1. (2)当 b=1 时, 令f ?( x) ? 0得方程 3x2 ? 2(a ?1) x ? a ? 0.
当a ? 因 ? ? 4(a 2 ? a ? 1) ? 0, 故方程有两个不同实根 x1 , x 2 . 不妨设 x1 ? x 2 ,由 f ' ( x) ? 3( x ? x1 )(x ? x2 ) 可判断 f ' ( x) 的符号如下: 当 x ? x1时, f ' ( x) >0;当 x1 ? x ? x2时, f ' ( x) <0;当 x ? x2时, f ' ( x) >0 因此 x1 是极大值点, x2 是极小值点. ,当 b=1 时,不论 a 取何实数,函数 f ( x) 总有两个不 同的极值点。 题型四:导数与解析几何、立体几何的结合。 例 9 用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正 方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大? 最大容积是多少? 解:设容器的高为 x,容器的体积为 V, 则 V= (90 ? 2 x)(48 ? 2 x) x ,(0<V<24) = 4 x ? 276 x ? 4320 x
3 2

∵V′= 12 x ? 552 x ? 4320
2

由 V′= 12 x ? 552 x ? 4320 ? 0 得 x1 ? 10, x2 ? 36
2

∵ 0 x 10 时,V′>0,10<x<36 时,V′<0,x>36 时,V′>0, 所以,当 x=10,V 有极大值 V(10)=1960,并且又是最大值 所以当 x=10,V 有最大值 V(10)=1960 题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围 例 10:设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1. 3

习题精选精讲

(1)求函数 f ( x) 的单调区间、极值. (2)若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ?( x) |? a ,试确定 a 的取值范围. 解: (1) f ?( x) ? ? x2 ? 4ax ? 3a 2 = ?( x ? 3a)( x ? a) ,令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? a, x2 ? 3a 列表如下: x (-∞, a) a (a,3a) 3a + 0 极大 (3a,+∞) -

f ?( x )

-

0 极小

f ( x)

∴ f ( x ) 在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减

4 x ? a 时, f极小 ( x ) ? b ? a 3 , x ? 3a 时, f极小 ( x) ? b 3 2 2 (2) f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ∵ 0 ? a ? 1 ,∴对称轴 x ? 2a ? a ? 1 , ∴ f ?( x ) 在[a+1,a+2]上单调递减 ? ? ?(a ? 1)2 ? 4a(a ? 1) ? 3a2 ? 2a ?1 , fmin ? ? ?(a ? 2)2 ? 4a(a ? 2) ? 3a2 ? 4a ? 4 ∴ f Max ? |? a , | f min ? |? a 依题 | f ?( x) |? a ? | f Max 即 | 2a ? 1|? a,| 4a ? 4 |? a 4 4 解得 ? a ? 1 ,又 0 ? a ? 1 ∴a 的取值范围是 [ ,1) 5 5 3 2 2 例 12: (2006 全国卷)设 a 为实数,函数 f ? x ? ? x ? ax ? ? a ? 1? x 在 ? ??,0 ? 和 ?1, ?? ?
都是增函数,求 a 的取值范围。
2 2 2 解: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? (a 2 ?1) ,判别式 ? ? 4a ? 12a ? 12 ? 12 ? 8a

a a 6 ) 时 f ?( x) 0 , f ( x) 在 ,当 x ? (??, ) 或x ?( , ?? 3 3 2 6 (??, ??) 上为增函数,所以 a ? ? 符合题意。 2 2 0 , 恒 有 f ?( x ) 0, f ( x) 在 (??, ??) 上 为 增 函 数 , 所 以 ② 若 ? ? 12 ? 8a
① 若 ? ? 12 ? 8a ? 0, a ? ?
2

3 6 6 ,? a ? (??, )?( , ??) 符合题意。 2 2 2 6 6 2 a , f ( x)在(? ?, ③ 若 ? ? 12 ? 8a 都是增函数, 0)和(, 1 ? ?) 0, 即 ? 2 2 ? ? f ?(1) ? 0 ? 6? ? 6 6 a , 所以 a ? ?1, 只须 ? f ?(0) ? 0 ? 1 ? a 3 ,又 ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? a ?0 1 3 ? a2 6 ] ? [1, ??) 2 3 ' 例 13:已知函数 f ? x ? ? x ? 3ax ?1, g ? x ? ? f ? x ? ? ax ? 5 ,其中 f ? x ? 是的导函数
综上: a 的取值范围为 (??, ? (Ⅰ)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ) 设 a ? ?m , 当实数 m 在什么范围内变化时, 函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只
2

有一个公共点

习题精选精讲

解: (Ⅰ)由题意 g ? x ? ? 3x2 ? ax ? 3a ? 5 令 ? ? x ? ? ? 3 ? x ? a ? 3x2 ? 5 , ?1 ? a ? 1 对 ?1 ? a ? 1 ,恒有 g ? x ? ? 0 ,即 ? ? a ? ? 0 ∴?

? ? ? ?1? ? 0 ? ?? ? ?1? ? 0

即?

?3x 2 ? x ? 2 ? 0 2 ?3 x ? x ? 8 ? 0

解得 ?

2 ? x ?1 3

? 2 ? ? 3 ? (Ⅱ) f ' ? x ? ? 3x2 ? 3m2

故 x ? ? ? ,1? 时,对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0
3 ①当 m ? 0 时, f ? x ? ? x ?1 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点②当 m ? 0 时,列表:

x
f ' ? x? f ? x?

? ??, m ?
?
∴ f ? x ?极小 ? f 递增

?m
0
极大

?? m , m ?
?

m
0
极小

? m , ?? ?
?

? x ? ? ?2m

2

m ? 1 ? ?1 又∵ f ? x ? 的值域是 R ,且在 ? m , ?? ? 上单调

∴当 x ? m 时函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点。
2 当 x ? m 时,恒有 f ? x ? ? f ? m 由题意得 f ? m ? 3 即 2m m ? 1 ? 2 m ? 1 ? 3 3

解得 m ? ? 3 2, 0

?

? ? 0, 2 ?
3

?

?

?

?

;综上, m 的取值范围是 ? 3 2, 3 2
3 2

?

?

例 14. (2006 年江西卷)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=-

2 与 x=1 时都取得极 3

值(1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间 2 (2)若对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c 恒成立,求 c 的取值范围。 解: (1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f?(x)=3x2+2ax+b 由 f?( -

2 12 4 1 )= - a+b=0 ,f?(1)=3+2a+b=0 得 a= - ,b=-2 3 2 9 3
2

f?(x)=3x -x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表: x 1 (1, +?) 2 2 2 (-?, - ) - (- ,1)

3

3

3

f? (x) + f(x) ?

0 极 大 值



?

0 极 小 值



?

2 2 )与(1,+?) ,递减区间是(- ,1) 3 3 1 2 2 22 3 (2)f(x)=x - x -2x+c,x?〔-1,2〕 ,当 x=- 时,f(x)= +c 2 3 27
所以函数 f(x)的递增区间是(-?,- 为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。 2 2 要使 f(x)?c (x?〔-1,2〕 )恒成立,只需 c ?f(2)=2+c,解得 c?-1 或 c?2 题型六:利用导数研究方程的根

1 3 , ). 2 2 (1)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 x = a +(t2-3) b , y =-k a +t b , x ⊥ y ,
例 15:已知平面向量 a =( 3 ,-1).

b =(

习题精选精讲

试求函数关系式 k=f(t) ; (2) 据(1)的结论,讨论关于 t 的方程 f(t)-k=0 的解的情况. 解:(1)∵ x ⊥ y ,∴ x ? y =0
2
2

即[ a +(t -3) b ]?(-k a +t b )=0.
2

2

整理后得-k a +[t-k(t -3)] a ? b + (t -3)? b =0

2

1 2 t(t -3) 4 1 1 2 2 (2)讨论方程 t(t -3)-k=0 的解的情况,可以看作曲线 f(t)= t(t -3)与直线 y=k 的交 4 4
∵ a ? b =0, a =4, b =1,∴上式化为-4k+t(t -3)=0,即 k=
2

2

2

点个数. 于是 f′(t)=

3 2 3 (t -1)= (t+1)(t-1). 4 4
(-∞,-1) + ↗ -1 0 极大值 (-1,1) ↘ 1 0 极小值 (1,+ ∞) + ↗

令 f′(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表: t f′(t) F(t)

1 . 2 1 当 t=1 时,f(t)有极小值,f(t)极小值=- 2 1 2 函数 f(t)= t(t -3)的图象如图 13-2-1 所示, 4
当 t=-1 时,f(t)有极大值,f(t)极大值= 可观察出:

1 1 或 k<- 时,方程 f(t)-k=0 有且只有一解; 2 2 1 1 (2)当 k= 或 k=- 时,方程 f(t)-k=0 有两解; 2 2 1 1 (3) 当- <k< 时,方程 f(t)-k=0 有三解. 2 2 例 16:设 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? a . (Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点. 1 2 解: f ?( x) ? 3x ? 2 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, x1 ? ? , x2 ? 1 ,当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化 3
(1)当 k> 情况如下表所示

x
f ?( x ) f ( x)

1 (??, ? ) 3
+

?
0

1 3

1 ( ? ,1) 3


1
0 极小值

(1, ??)
+

极大值

5 ? a ,极小值 f (1) ? a ? 1 。 27 1 5 ? a 0, 或a ? 1 0 时曲线 f ( x) 与 x 轴仅有一个交点。 (2) f ( ? ) f (1) ,所以当 3 27 5 所以当 a ? (??, ? ) ? (1, ??) 时曲线 f ( x)与x 轴仅有一个交点。 27
所以 f ( x ) 的极大值= f ( ? ) ?

1 3

习题精选精讲

例 17: 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ?

3 . a

(I)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ) 若曲线 y ? f ( x) 上两点 A、 B 处的切线都与 y 轴垂直, 且线段 AB 与 x 轴有公共点, 求实数 a 的取值范围. 2 2 解(Ⅰ)由题设知 a ? 0, f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3ax( x ? ) .令 f ?( x) ? 0得x1 ? 0, x 2 ? . a a 当(i)a>0 时, 2 若 x ? (??,0) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 (??, ) 上是增函数; a 2 2 若 x ? (0, ) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 (0, ) 上是减函数; a a 2 2 若 x ? ( ,??) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 ( ,??) 上是增函数; a a (i i)当 a<0 时, 2 2 若 x ? (??, ) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 (??, ) 上是减函数; a a 2 2 若 x ? (0, ) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 (0, ) 上是减函数; a a 2 2 若 x ? ( ,0) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 ( ,0) 上是增函数; a a 若 x ? (0,??) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 (0,??) 上是减函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线 y ? f ( x) 上的两点 A、B 的纵坐标为函数的极值, 2 4 3 2 3 且函数 y ? f ( x) 在 x ? 0, x ? 处分别是取得极值 f (0) ? 1 ? , f ( ) ? ? 2 ? ? 1 . a a a a a 4 3 3 2 因为线段 AB 与 x 轴有公共点,所以 f (0) ? f ( ) ? 0 .即 (? 2 ? ? 1)(1 ? ) ? 0 a a a a (a ? 1)(a ? 3)(a ? 4) 所以 ? 0 .故 (a ? 1)(a ? 3)(a ? 4) ? 0, 且a ? 0 . a2 解得 -1≤a<0 或 3≤a≤4.即所求实数 a 的取值范围是[-1,0)∪[3,4]. 题型七:导数与不等式的综合 例 18 :已知 a ? 0, 函数 f ( x) ? x 3 ? a, x ?[0,??) ,设 x1 ? 0 ,记曲线 y ? f ( x) 在点

M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 l 。 (Ⅰ)求 l 的方程;
1
2 解: (1) f ( x) 的导数 f ?( x) ? 3x ,由此得切线 l 的方程 3 y ? ( x1 ? a) ? 3x12 ( x ? x1 ) ,

1

1

(Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 ( x2 ,0) ,证明:① x2 ? a 3 ;②若 x1 ? a 3 ,则 a 3 ? x2 ? x1 。

(2)依题意,在切线方程中令 y ? 0 ,得 x2 ? x1 ?
1 1

x13 ? a 2 x13 ? a , ? 3x12 3x12
1 1

(ⅰ) x2 ? a 3 ?
1

1 1 (2 x13 ? a ? 3x12 a 3 ) ? 2 ( x1 ? a 3 ) 2 (2 x1 ? a 3 ) ? 0 , 2 3x1 3x1
1

∴ x2 ? a 3 ,当且仅当 x1 ? a 3 时取等成立。
1

(ⅱ)若 x1 ? a 3 ,则 x1 ? a ? 0 , x2 ? x1 ?
3

x13 ? a ? 0 ,且由(ⅰ) x2 ? a 3 , 2 3x1

1

习题精选精讲
1

所以 a 3 ? x 2 ? x1 。 例 19:设 a ? 0,函数f ( x) ? x 3 ? ax 在 [1,??) 上是单调函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2)设 x0 ≥1, f ( x) ≥1,且 f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0 . 解: (1)

y? ? f ?( x) ? 3x 2 ? a, 若 f ( x) 在 ?1,??? 上 是 单 调 递 减 函 数 , 则 须 y? ? 0,即a ? 3x 2 , 这样的实数 a 不存在.故 f ( x) 在 ?1,??? 上不可能是单调递减函数. 2 若 f ( x) 在 ?1,??? 上是单调递增函数,则 a ≤ 3 x , 由于 x ? ? 1,???, 故3x 2 ? 3 .从而 0<a≤3. ( 2 )方法 1 、可知 f ( x) 在 ?1,??? 上只能为单调增函数 . 若 1 ≤ x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f ( f ( x0 )) ? x0矛盾, 若 1 ≤ f ( x0 ) ? x0 , 则f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ),即x0 ? f ( x0 ) 矛 盾,故只有 f ( x0 ) ? x0 成立.
3 方 法 2 : 设 f ( x0 ) ? u, 则f (u) ? x0 , ? x0 ? ax0 ? u, u 3 ? au ? x0 , 两 式 相 减 得

3 2 ( x0 ? u 3 ) ? a( x0 ? u) ? u ? x0 ? ( x0 ? u)(x0 ? x0u ? u 2 ? 1 ? a) ? 0,? x0 ≥1,u≥1,
2 2 ? x0 ? x0u ? u 2 ? 3, 又0 ? a ? 3 ,? x0 ? x0u ? u 2 ? 1 ? a ? 0 3 2 例 20:已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x ? )( x ? a ) 2 (1)若函数 f ( x ) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围 (2)若 f '( ?1) ? 0 , (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间 5 (Ⅱ)证明对任意的 x1、x2 ? (?1,0) ,不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 恒成立 16 3 3 3 3 2 2 解: f ( x) ? x ? ax ? x ? a ,? f '( x) ? 3x ? 2ax ? 2 2 2 函数 f ( x ) 的图象有与 x 轴平行的切线,? f '( x) ? 0 有实数解 9 3 3 3 ?? ? 4a 2 ? 4 ? 3 ? ? 0 ,a 2 ? , ( ? ?, ? 2] [ 2, ? ?) 所以 a 的取值范围是 2 2 2 2 3 9 9 3 1 f '(?1) ? 0 ,? 3 ? 2a ? ? 0 , a ? ,? f '( x) ? 3x 2 ? x ? ? 3( x ? )( x ? 1) 4 2 2 2 2 1 1 由 f '( x) ? 0, x ? ?1 或 x ? ? ;由 f '( x) ? 0, ?1 ? x ? ? 2 2 1 1 ? f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1), (? , ??) ;单调减区间为 ( ?1, ? ) 2 2 25 1 49 27 易知 f ( x ) 的最大值为 f ( ?1) ? , f ( x ) 的极小值为 f ( ? ) ? ,又 f (0) ? 8 2 16 8 27 49 ? f ( x) 在 [?1, 0] 上的最大值 M ? ,最小值 m ? 16 8 27 49 5 ? ? ? 对任意 x1 , x2 ? (?1,0) ,恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? m ? 8 16 16 ' ' 函数 y ? f ( x) 在区间 (0, ??) 内可导,导函数 f ( x) 是减函数,且 f ( x) ? 0 。 例 21:设 x0 ? (0, ??) , y ? kx ? m 是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程,并设 函数 g ( x) ? kx ? m 。 ' (I)用 x0 , f ( x0 ) , f ( x0 ) 表示 m ;

习题精选精讲

(II)证明:当 x ? (0, ??) 时, g ( x) ? f ( x) ; 解: (I) m ? f ( x0 ) ? x0 f ' ( x0 ) ; (II)令 h( x) ? g ( x) ? f ( x) , h?( x) ? f ?( x0 ) ? f ?( x), 令 h?( x) ? 0 ,因 f ?( x ) 递减,所以

x0 , h?( x) 0, 当 x x0 , h?( x) 0 ,所以 x0 是 h( x) 唯一极值点,也是最 值点,所以得 h( x) ? h( x)极小值 ? h( x)min ? h( x0 ) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, g ( x) ? f ( x) ;
h?( x) 递增,当 x
题型八:导数在实际中的应用 例 22:某工厂每月生产 x 吨高附加值产品的总成本包括不变成本和可变成本两部分,不变 成本为 800(万元) ,可变成本为 20x(万元) .市场对这种商品的需求函数为 p=100-x(0 <x<100) ,其中 p 为这种商品的单价 (单位: 万元) ,x 为市场对这种商品的需求量(单位: 吨) ,假设每月生产的产品能全部售出(产销平衡) . (1)把月利润 y(万元)表示为产量 x(吨)的函数(利润=销售收入-成本) ; (2)每月生产多少吨时,能获得最大利润?此时产品的单价为多少? 解: (1)y=p?x-20x-800 =x?(100-x)-20x-800=-x +80x-800 (0 ? x<100)
2

(2)y=-x +80x-800=-(x-40) +800 ∴当 x=40 时,ymax=800. 此时单价 p=100-x=60 ∴每生产 40 吨,能获得最大利润单价 60 万元. 题型九:导数与向量的结合

2

2

3 1 1 3 , ? ), b ? ( , ). 若存在不同时为零的两个实数 s、t 及实数 2 2 2 2 2 k,使 x ? a ? (t ? k )b, y ? ?sa ? tb,且x ? y , (1)求函数关系式 S ? f (t ) ; (2)若函数 S ? f (t ) 在 ?1 , ? ? ? 上是单调函数,求 k 的取值范围。
例 23:设平面向量 a ? ( 解: (1) a ? (

3 1 1 3 a ?b ? 0 ,? ), b ? ( , ). a ? b ? 1, 2 2 2 2 又 x ? y, x ? y ? 0,得
2 ?a ? b? ? 0, ? (t ? k)( ? ? sa ? tb)

即 ? sa ?( t t 2 ? k) b -(t ? st 2 ? sk) a ? b ? 0。 ?? s ? (t 2 ? k)t ? 0,故s ? ( f t) ? t 3 ? kt。 (2) f ? (t) ? 3t 2 ? k且f(t)在?1 , ? ??上是单调函数, ? t) 则在 ?1,??? 上有 f ?(t ) ? 0或f ( ?0 2 2 2 由 f ?(t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t ? k ? (3t ) min ? k ? 3 ; 2 2 由 f ?(t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t 。
2

2

2

因为在 t∈ ?1,??? 上 3t 是增函数,所以不存在 k,使 k ? 3t 在 ?1,??? 上恒成立。故 k
2

的取值范围是 k ? 3 。 利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题 导数是高中数学的重要内容,它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸 如 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 , x ? 2ln x ? x ? 2 x +2 方程的根的问题时,我们利用导数这
3 2 2

一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。 此类题的一般解题步骤是: 1、 构造函数, 并求其定义域。2、求导数,得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合,挖掘

习题精选精讲

隐含条件,确定函数图象与 x 轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。 一、有关三次方程根的问题: 对 Ax ? Bx ? Cx ? D ? 0 的根,在特殊情况下,我们可以直接猜出一根 x0 ,然后转
3 2
2 ? c? 0 , 再 展 开 , 应 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出 a, b, c 。 再 对 化 为 ? x ? x0 ? a x ? b x

?

?

ax2 ? bx ? c ? 0 求根得解。如 x3 ? 3x2 ? 2 ? 0 ;但大多数三次方程的根不易猜出,这时我
们就可以利用导数,数形结合讨论这一类方程根的情况。 例 1、方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根的个数是
3 2





A 、3

B 、2

C 、1

D 、0

分析:此题是一个三次方程,不易猜根。可先构造函数,再通过求导数判断函数的单调性, 画出其草图,数形结合分析求解。 解:令 f ? x ? = x ? 6 x ? 9 x ? 10
3 2

则f

'

? x ? = 3x2 ?12x ? 9
f ? x ? 为增函数

?

f ' ? x ? = 3? x ?1?? x ? 3?

?当 x ? 1 或 x ? 3 时 f ' ? x? ? 0

当1 ? x ? 3 时

f ' ? x? ? 0

f ? x ? 为减函数

y
0 1 3

? f ? x ?极大值 = f ?1? = ?6 ? 0
故 f ? x ? 的极大值在 x 轴的下方,如图 1,即 f ? x ? 的图象与 x 轴只有一个交点,原方程只有一个实根。 选C 。

x

(图 1) 例 2、已知函数 f ? x ? ? x ? 3bx ? 2b 在 ? ??,0 ? 上是增函数,在 ? 0, 2? 上是减函数,若
3 2 3

f ? x ? ? 16 恰有一解,求实数 b 的取值范围。
分析:此题给出函数的单调区间,求参数 b 的范围。可通过对函数求导得出其单调区间, 它应包含题中给出的单调区间,初步得出 b 的范围。又据 f ? x ? ? 16 恰有一解,即 函数值 16 对应惟一 x 值。可先由单调性画出 f ? x ? 草图,然后数形结合分析求解。 解: 函数 f ? x ? ? x ? 3bx ? 2b 在 ? ??,0 ? 上是增函数,在 ? 0, 2 ? 上是减函数
3 2 3

? 由 f ' ? x ? ? 3x2 ? 6bx ? 0 得 x ?? ??,0?
b?0 ,

? ?2b, ??? ,

y

f ' ? x ? ? 3x2 ? 6bx ? 0 得 x ? ? 0, ?2b?

习题精选精讲

由题意

?0,2? ? ?0, ?2b?
即 b ? ?1 ①

0

?2b

x

? 2 ? ?2b

又 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 和 ? ?2b, ??? 上递增, 在 ? 0, ?2b ? 上递减。如图 2 (图 2)
3 3 即 ? ? 2b , ?2b ? ?

? f ? x ? 在 ?0, ?2b? 的值域为 ? ? f ? ?2b ? , f ? 0 ? ? ?
3

据图 2 可知,若 f ? x ? ? 16 恰有一解,只需 ?2b ? 16 得 b ? ?2 结合①

?

?2 ? b ? ?1
2

(一)导数与向量的交汇 1. (05 湖北卷) 已知向量 a ? ( x , x ? 1),b ? (1 ? x, t ),若函数f ( x) ? a ? b 在区间 (- 1,1)上是增函数,求 t 的取值范围. 点评:根据数量积求出

f ( x) ? x 2 (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t , 则f ?( x) ? ?3x 2 ? 2x ? t.

若f ( x)在(?1,1)上是增函数 , 则在(?1,1)上可设f ?( x) ? 0.
? f ?( x) ? 0 ? t ? 3x 2 ? 2x, 在区间 (?1,1)上恒成立 , 考虑函数g ( x) ? 3x 2 ? 2x,
2 的图像,要使 t ? 3x ? 2 x 在区间(-1,1)上恒成立 ? t ? g (?1),即t ? 5.

故t的取值范围是 t ? 5.
考查意图:本小题考查了向量的坐标运算、导数与单调性之间的关系,不等式恒成立 问题的解法,二次函数的区间最值以及数形结合、等价转化的基本数学思想。它以教材 中新增加的向量、导数为工具揉合了数学中传统的主干知识,综合考查了学生运用数学 知识分析问题解决问题的能力。 (二)导数与解析几何的交汇

x1 例 2. (06 年广东卷)设函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 2 分别在 、 x2 处取得极小值、极
3

大值.

xoy 平面上点 A、B 的坐标分别为 ( x1 , f ( x1 )) 、 ( x2 , f ( x2 )) ,该平面上动点 P 满足

PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点.求(Ⅰ)点 A、B 的坐标 ;(Ⅱ)
动点 Q 的轨迹方程

? ? 点评: (Ⅰ)令 f ( x) ? (? x ? 3x ? 2) ? ?3x ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1
3 2

讨论知,函数在 x ? ?1 处取得极小值,在 x ? 1 取得极大值,故

习题精选精讲

x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4 所以, A(?1,0), B(1,4) .
(Ⅱ) 设 p(m, n) , Q ( x, y ) ,

PA? PB ? ?? 1 ? m,?n? ? ?1 ? m,4 ? n? ? m2 ? 1 ? n 2 ? 4n ? 4
k PQ ? ? 1 y?n 1 ?? 2 ,所以 x ? m 2 ,又 PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上,所以

y?m ?x?n ? ? 2? ? 4? 2 ? 2 ?
消去

m, n 得 ?x ? 8? ? ? y ? 2? ? 9
2 2

考查意图:本题考查了导数的几何意义,极值的判断方法,向量的坐标运算,代入法 求轨迹以及消元的基本数学思想。 (三) 、导数与数列的交汇 例 3、 (06 重庆 22)如图,对每个正整数 n , 过焦点 F 的直线

An ( xn , yn ) 是抛物线 x2 ? 4 y 上的点,

FAn 交抛物线于另一点 Bn (sn , tn ) 。 xn sn ? ?4(n ? 1) ;

(Ⅰ)试证: (Ⅱ)取

xn ? 2n ,并记 Cn 为抛物线上分别以 An 与 Bn

为切点的两条切线的交点。试证:

FC1 ? FC2 ?

? FCn ? 2n ? 2?n?1 ?1



点评: (Ⅰ)根据

xn sn ? ?4(n ? 1) 的特征,类似根 An Bn y ?1 ? kn x, 与抛物线方程 x2 ? 4 y 得:

与系数间的关系。因此联立直线

x2 ? 4kn x ? 4 ? 0 ,由一元二次方程根与系数的关系得 xn sn ? ?4(n ? 1) .
A (Ⅱ)利用导数知识易得 x ? 4 y 在 n 处的切线的方程为:
2

y ? yn ?


xn s ( x ? xn ) y ? t n ? n ( x ? sn ) B 2 2 , ??① 在 n 处的切线的方程为: , ??

由②-①得:

yn ? tn ? ?

xn ? sn x2 ? s2 x2 s2 x? n n ? n ? n 2 2 4 4,

习题精选精讲

xn ? sn x2 ? s2 x ?s x ? n n ,? x ? n n 2 4 2 ??③

x s ? ?4 得交点 Cn 的坐标为 将③代入①并注意 n n
FCn ? (
2

(

xn ? sn , ?1) 2 .

由两点间的距离公式得:

xn ? sn 2 x2 s2 ) ?4? n ? n ?2 2 4 4

2 x xn x 4 22 2 ? ? 2 ?2 ? (n ? )?, FCn ? n ? 4 xn 2 xn 2 xn



现在

xn ? 2n ,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得:
1 ? FCn ? ( x1 ? x2 ? 2 1 1 ? 2n ) ? 2( ? 2 ? 2 2 ? ? xn ) ? 2( 1 1 ? ? x1 x2 ? 1 ) xn

FC1 ? FC2 ? 1 ? (2 ? 22 ? 2

1 ) ? (2n ? 1) ? (2 ? 21?n ) ? 2n ? 2? n ?1 ? 1. n 2

考查意图:本题综合解析几何、导数、数列等知识点,将函数与数列相综合也是高考 命题的一个关注的方向。 (四)利用导数求有关的参数范围问题
3 2 2 (06 安徽文(20)) 例 1 设 a 为实数, 函数 f ( x) = x -a x + ( a ? 1)x 在 ( ?? , 0 )

和 ( 1,

?? ) 都是增函数,求 a 的取值范围.

点评: 此题是一个利用导数来研究函数单调性的问题. 自然地, 首先求函数的 导数, 把研究函数的增减性转化为研究导数的正、负.
2 2 ? 求 f ( x) 的导数, 得 f ( x ) = 3 x -2ax + a -1.

下面则转化为二次函数 3 x -2ax + a -1 在区间 ( ?? , 0 ) 和 ( 1, ?? ) 上
2 2

均为正的问题, 对于解决这个问题没有现成的定理可直接使用, 用纯代数的方法难以奏 效, 必须借助图形来解决.
2 2

f ?( x ) = 3 x 2 -2ax + a 2 -1, 此函数图象为开口向上的抛物
2

线, 其判别式 Δ = 4 a -12 a +12 = 12-8 a .

6 ( i ) 若Δ = 12-8 a = 0 , 即 a =± 2 . 抛物线在 x 轴上方且与 x 轴相切与
2

a a a f ?( x ) > 0, f ( x) 在( ?? , ?? )为增 一点 x = 3 .当 x∈( ?? , 3 )或 x∈( 3 , ?? )时,

习题精选精讲

6 函数. 所以 a=± 2 .
2 ? ( ii) 若Δ = 12-8 a < 0, 抛物线在 x 轴上方, 恒有 f ( x ) > 0, f ( x) 在( ?? , ?? )

3 6 6 为增函数. 所以 a > 2 ,即 a∈( ?? , - 2 )∪( 2 , ?? ) .
2

6 6 ? (iii) 若Δ = 12-8 a > 0, 即- 2 < a < 2 , f ( x ) = 0 有二不同根
2

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 x1 = x 3 3 , 2= .
当 x∈( ?? , 当 x∈(

x1 )或( x2 , ?? )时, f ?( x ) > 0, f ( x) 为增函数;

x1 , x2 )时, f ?( x ) < 0, f ( x) 为减函数.

为使 f ( x) 在( ?? , 0 )和( 1,

?? )为增函数, 必须 x1 ≥0 且 x2 ≤1.

6 x 由 1 ≥0 得 a ≥ 3 ? 2a , 解得 1 ≤ a < 2 .
2



x2 ≤1 得 3 ? 2a ≤3-a,
2

6 6 解得 - 2 < a < 2 .

从而

a∈

6 [1, 2 ). 6 6 6 综上, a 的取值范围为 ( ?? , - 2 ]∪[ 2 , ?? )∪[1 , 2 ). 6 a∈( ?? , - 2 ]∪[1 , ?? ).



考查意图: 本题主要考查导数的概念和计算、应用导数研究函数单调性的基本 方法, 考查数形结合、分类讨论的数学思想和综合运用数学知识解决问题的能力. (五)导数的实际应用 例3 (2006 年福建卷) 统计表明, 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 (升) 关于行驶速度 x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:

y

y?

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 128000 80 已知甲、乙两地相距 100 千米。

习题精选精讲

(I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少 升? 点评: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 100/40=2.5 小时,

1 3 ( ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 80 要耗油 128000 (升) 。
(II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 100/x 小时,设耗油 量为 h( x) 升, 依题意得

1 3 100 1 2 800 15 h( x ) ? ( x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 128000 80 x 1280 x 4

x 800 x3 ? 803 h '( x) ? ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2

令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80.

当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时,

h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。

? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25.
因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。 答:略 考查意图:本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析 和解决实际问题的建模能力。 (六)利用导数证明不等式 (一) 、利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0 时,则该函数在该区间上单调递增 (或递减) 。因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该 函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函 数的单调性。具体有如下几种形式: 1、 直接构造函数, 然后用导数证明该函数的增减性; 再利用函数在它的同一单调递增 (减) 区间,自变量越大,函数值越大(小) ,来证明不等式成立。 例 1:x>0 时,求证;x ?

x2 -ln(1+x)<0 2

证明:设 f(x)= x ?

x2 x2 ' -ln(1+x) (x>0), 则 f (x)= ? 2 1? x

∵x>0,∴f (x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上递减,

'

习题精选精讲

所以 x>0 时,f(x)<f(0)=0,即 x ?

x2 -ln(1+x)<0 成立。 2

2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,达到证明不等式的目 的。 例 2:已知:a,b∈R,b>a>e, 求证:ab>b a, (e 为自然对数的底) 证:要证 ab>b a 只需证 lnab>lnba 即证:blna-alnb>0 设 f(x)=xlna-alnx (x>a>e);则 f (x)=lna- ∵a>e,x>a ∴lna>1,

'

a , x

a ' <1,∴f (x)>0,因而 f(x)在(e, +∞)上递增 x

∵b>a,∴f(b)>f(a);故 blna-alnb>alna-alna=0;即 blna>alnb 所以 ab>b a 成立。 (注意,此题若以 a 为自变量构造函数 f(x)=blnx-xlnb (e<x<b)

b b b ? ln b ,f′(x)>0 时 x ? , f '(x) ? 0 时 x ? ,故 f(x)在区间(e, b)上的 ln b x ln b b b 增减性要由 e与 的大小而定,当然由题可以推测 e ? ln b ln b b 故 f(x)在区间(e, b)上的递减,但要证明 e ? 则需另费周折,因此,本题还是选择以 a ln b
则 f '(x) ? 为自变量来构造函数好,由本例可知用函数单调性证明不等式时,如何选择自变量来构造 函数是比较重要的。 ) (二) 、利用导数求出函数的最值(或值域)后,再证明不等式。 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时, 根据不等式的特点, 有时 可以构造函数,用导数求出该函数的最值;由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成 立,可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。 例 3、求证:n∈N*,n≥3 时,2n >2n+1 证明:要证原式,即需证:2n-2n-1>0,n≥3 时成立 ' 设 f(x)=2x-2x-1(x≥3),则 f (x)=2xln2-2(x≥3), ∵x≥3,∴f ' (x)≥23ln3-2>0 ∴f(x)在[3,+∞ ) 上是增函数, ∴f(x)的最小值为 f(3)=23-2?3-1=1>0 所以,n∈N*,n≥3 时,f(n)≥f(3)>0, 即 n≥3 时,2n-2n-1>0 成立, 例 4、 g

x b +, 2 2 A (x) ? ( a ? 1) ? ( x ? 1) 的定义域是 A=[a,b ) ,其中 a,b∈R a<b

若 x1∈Ik=[k2,(k+1)2 ) , x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2 ) 求证: g

4 (k∈N*) (x1 ) ? g (x 2 ) > k(k ? 1) Ik Ik ?1
'

证明:由题知 g (x)=

2x 2 2b 2b 2 ? ? ? a 2 a x 2 x3

习题精选精讲

g ' (x)=

2x 2 2b 2b 2 ? ? ? =0 时 x4-ax3-a2b2+a2bx=0 2 2 3 a a x x

即(x4-a2b2)-ax(x2-ab)=0,化简得(x2-ab)(x2-ax+ab)=0 所以 x2-ax+ab =0 或 x2-ab=0,∵0<a<b,∴x2-ax+ab =0 无解 由 x2-ab=0 解得 x ?

ab或x= - ab (舍) ab) ,

故 g ' (x)>0 时 x∈[ ab, b) , g ' (x)<0 时 x∈[a, 因而 g(x)在[ ab, b) 上递增,在[a, 所以 x= ab 是 gA(x)的极小值点, 又∵gA(x)在区间[a,b ) 只有一个极值

ab) 上递减

∴gA(

ab )=2 (

b ? 1)2 是 gA(x)的最小值。 a

所以, g

g

Ik ?1

(k ? 1)2 k ?1 2 (k ? 1)2 ? 1)2 ? 2( ? 1)2 ? ) =2 ( (x1 ) 的最小值为 g ( k I Ik k2 k2 k2 k k?2 2 2 ? 1) 2 ? ( ) (x 2 ) 的最小值为 2 ( k ?1 k ?1

又∵

2 2 2 2 4 ? ?2 . ? k 2 (k ? 1)2 k 2 (k ? 1)2 k(k ? 1)

∴x1∈Ik=[k2,(k+1)2 ) , x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2 ) 时

g

4 (k∈N*)成立 (x1 ) ? g (x 2 ) > k(k ? 1) Ik Ik ?1
1 3

3、利用导数求出函数的值域,再证明不等式。 例 5:f(x)= x3-x, x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤ 证明:∵f ' (x)=x2-1, x∈[-1,1]时,f ' (x)≤0, ∴f(x)在[-1,1]上递减.故 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(-1)=

4 3 2 3

2 2 2 ,即 f(x)在 [-1,1]上的值域为 [ ? , ] ; 3 3 3 2 2 所以 x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)| ? , |f(x2)| ? , 3 3 2 2 4 即有 |f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+ |f(x2)| ? ? ? 3 3 3
最小值为 f(1)= ?

习题精选精讲

(七) 、利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题,一般都会涉及到求参数范围,往往把变量分离后可以转化为 m>f(x) (或 m<f(x))恒成立,于是 m 大于 f(x)的最大值(或 m 小于 f(x)的最小值) ,从而把不等式恒 成立问题转化为函数求最值问题。因此,利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的 一种重要方法。 例 6、已知函数 f (x) ? (

a ? x

x)9 (a ? R) ,对 f(x)定义域内任意的 x 的值,

f(x)≥27 恒成立,求 a 的取值范围 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,由 f(x)≥27 对一切 x∈(0,+∞)恒成立 知 a?

x

x ? 9 27 ? 3 3 对一切 x∈(0,+∞)恒成立,

即 a ? 3 3x ? x x 对 x∈(0,+∞)恒成立

3 3 3 设 h(x) ? 3x ? x x, 则 h '(x) ? 3 ? 2

x ,由 h′(x)=0 解 x ?

43 9 9

h (x)>0 时,解得 0<x<



43 9 ′ 43 9 , h (x)>0 时 x> 9 9

所以 h(x)在(0,

43 9 43 9 )上递增,在( ,+∞)上递减, 9 9
4 43 9 4 ) ? ,所以 a ? 9 9 9

故 h(x)的最大值为 h( (八) 、利用导数解不等式 例 8:函数 f(x)=

x 2 ? 1 ? ax(a ? 0) ,解不等式 f(x)≤1

解:由题知 f '(x) ?

1 2 ?1

2x 1 ? x2

?a ?

x 1 ? x2

?a

①∵ ?1 ?

x 1 ? x2

∴a≥1 时,f ' (x)<1-a<0 恒成立,故 f(x)在 R 上单调递减, 又 f(0)=1,所以 x≥0 时 f(x)≤f(0)=1, 即 a≥1 时 f(x)≤1 的解为 {x|x≥0} ②0<a<1 时,若 f '(x) ?

1 2

2x 1 ? x2 a

?a ?

x 1 ? x2

? a =0

则x ?

a 1 ? a2

或x= -

1- a2

习题精选精讲

f '(x) >0 时解得 x∈ (??, ?

a 1 ? a2 a

) ∪(

a 1 ? a2 a 1 ? a2 )

, ??) ,

f '(x) f '(x) <0 时解得 x ? (?

1 ? a2

,

故 f(x)在 (?

a 1 ? a2 a

,

a 1 ? a2 ) 或(

) 上单调递减, a

f(x)在 (??, ?

1 ? a2

1 ? a2
2a

, ??) 上单调递增,

又 f(x)=1 时解得 x=0 或 x=

1 ? a2



且 0<a<1 时 0 ?

a 1 ? a2

?

2a 1 ? a2
2a 1 ? a2 2a 1 ? a2
}

所以 0<a<1 时 f(x)≤1 的解为{x| 0 ? x ?

由上得,a≥1 时 f(x)≤1 的解为 {x|x≥0} 0<a<1 时 f(x)≤1 的解为{x| 0 ? x ? }

2007 年各地模拟题精选解析之函数与导数 1.设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) . 3

(Ⅰ) 求函数 f (x) 的单调区间和极值; (Ⅱ) 若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式| f′ (x)|≤a 恒成立,求 a 的取值范围.
2 2 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a 令 f ?( x) ? 0, 得 f ( x) 的单调递增区间为(a,3a)

令 f ?( x) ? 0, 得 f ( x) 的单调递减区间为(- ? ,a)和(3a,+ ? )∴当 x=a 时, f ( x)
极小值

=?

3 3 a ? b; 4

当 x=3a 时, f ( x) 极小值=b. (Ⅱ)由| f ?( x) |≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.①∵0<a<1,∴a+1>2a. ∴ f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a 在[a ? 1, a ? 2] 上是减函数.
2 2

习题精选精讲

∴ f ?( x) max ? f ?(a ? 1) ? 2a ? 1. f ?( x) min ? f (a ? 2) ? 4a ? 4. 于 是 , 对 任 意 x ? [a ? 1, a ? 2] , 不 等 式 ① 恒 成 立 , 等 价 于

?? a ? 4a ? 4, 4 解得 ? a ? 1. ? 5 ?a ? 2a ? 1.
又 0 ? a ? 1, ∴ 2 . 如 果

4 ? a ? 1. 5

f ( x)

在 某 个 区 间

I

内 满 足 : 对 任 意 的

x ? x2 1 x1 , x2 ? I , 都有 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 ) ,则称 f ( x) 在 I 上为下凸函数;已知函 2 2
数 f ( x) ?

1 ? a ln x. (Ⅰ)证明:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 上为下凸函数; x 1 (Ⅱ)若 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,且 x ? [ ,2] 时, | f ?( x) |? 1, 求实数 a 的取值范围. 2
1 2

解(Ⅰ)任取 x1 , x2 ? (0,??), 则 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ?

1 1 1 [ ? a ln x1 ? ? a ln x2 ] 2 x1 x2

?

x1 ? x2 x ? x2 x ? x2 2 ? a ln x1 x2 , f ( 1 )? ? a ln 1 , 2 x1 x2 2 x1 ? x2 2

2 ? x12 ? x2 ? 2x1 x2 ,? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ,



x1 ? 0, x2 ? 0,

x1 ? x2 2 ? , 2 x1 x2 x1 ? x2



x1 ? x 2 x ? x2 ? x1 x 2 , a ? 0, ? ?a ln x1 x2 ? a ln 1 , 2 2
即 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f ( (Ⅱ) f ?( x) ? ?

1 2

x1 ? x 2 ) .? f ( x)为(0,??) 上的下凸函数. 2

1 a 1 a 1 1 ? , ?| f ?( x) |? 1, 即 | 2 ? |? 1, ? ?( x ? ) ? a ? x ? , 2 x x x x x x 3 1 ? x ? [ ,2]时, | f ?( x) |? 1 恒成立.? a ? ( ?2,? ) 2 2

e?x (ax2 ? a ? 1)(e 为自然对数的底数). (Ⅰ)判断 f ( x) 的 3. 设 a ? R ,函数 f ( x) ? 2
单调性;

习题精选精讲

(Ⅱ)若 f ( x ) ? 解 (

1 在x ? [1,2] 上恒成立,求 a 的取值范围. e2
Ⅰ ) 由 已 知

1 1 1 f ?( x) ? ? e ? x (ax 2 ? a ? 1) ? e ? x ? (2ax ) ? e ? x (?ax 2 ? 2ax ? a ? 1), 2 2 2
令 g ( x) ? ?ax2 ? 2ax ? a ? 1. ① 当 a ? 0时, g ( x) ? ?1 ? 0,? f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 R 上为减函数. ②



a ? 0地, g ( x) ? 0的

? ? 4a 2 ? 4(a 2 ? a) ? ?4a ? 0,



? g ( x) ? 0,即f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在 R 上为减函数.
③ 当 a ? 0 时 , 由 ? ax2 ? 2ax ? a ? 1 ? 0, 得 x ? 1 ?

1 ?a

或x ? 1 ?

1 ?a

,由

? ax2 ? 2ax ? a ? 1 ? 0,
得 1? 函数;

1 ?a

? x ? 1?

1 ?a

, ? f ( x)在(??,

a? ?a a? ?a ), ( ,??) 上 为 增 a a

f ( x)在(
( Ⅱ

a? ?a a? ?a , ) 上为减函数. a a
① 当



a ? 0时, f ( x)在[1,2]









数.? f ( x) min ? f (2) ?

5a ? 1 5a ? 1 1 1 .由 ? 2 得a ? . 2 2 5 2e 2e e 1 5a ? 1 1 ? 2 ? f ( x ) ? 2 在[1,2]上不恒成立,∴a 的取值范 ②当 a ? 0时, f (2) 2 e 2e 2e

围是 ( ,?? ). 4. 设 x1 , x 2 是函数 f ( x) ?

1 5

a 3 b 2 x ? x ? a 2 x(a ? 0) 的两个极值点,且 | x1 | ? | x2 |? 2 3 2

(Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)求证: | b |? 解证: (I) 易得 f ( x) ? ax ? bx ? a
' 2 2

4 3 . 9

? x1 , x2是f ( x) 的两个极值点? x1 , x2是f ' ( x) ? 0 的

两个实根,又 a>0

b x1 x 2 ? ?a ? 0, x1 ? x 2 ? ? ∴ | x1 | ? | x2 |?| x1 ? x2 |? a

b2 ? 4a a2

习题精选精讲



| x1 | ? | x2 |? 2 ?

b2 ? 4a ? 4,即b 2 ? 4a 2 ? 4a 3 ? 4a 2 (1 ? a) ? b 2 ? 0 ? 0 ? a ? 1 2 a

(Ⅱ)设 b 2 ? g (a) ? 4a 2 ? 4a 3 , 则 g ' (a) ? 8a ? 12a 2 ? 4a(2 ? 3a)

2 2 ,由g ' (a) ? 0得 ? a ? 1 3 3 2 2 ? g (a)在(0, )在单调递增,在 ( , 1) 上 3 3
由 g (a) ? 0, 得0 ? a ?
'









2 16 4 3 ? [ g (a )] max ? g ( ) ? ?b ? 3 27 9
5. 已知函数 f ( x) ? ln x (Ⅰ)若 F ( x) ?

f ( x) ? a (a ? R) ,求 F ( x) 的极大值; x

(Ⅱ) 若 G( x) ? [ f ( x)]2 ? kx 在定义域内单调递减, 求满足此条件的实数 k 的取值范围. 解: (Ⅰ)? F ( x) ?

(1 ? a ) ? ln x f ( x) ? a ln x ? a ? 定义域为 x ? (0,??) ? F ( x) ? x x x2
1?a

令 F ?( x) ? 0 得x ? e 即 F ( x)在(0, e
1?a

由 F ?( x) ? 0得0 ? x ? e

1?a

由 F ?( x) ? 0 得x ? e

1?a

) 上单调递增,在 (e1?a ,??) 上单调递减
1? a ? a ) ? e a ?1 e ?a
? G ?( x) ? 2 ln x ?k x

? x ? e1?a 时,F(x)取得极大值 F (e1?a ?
2

(Ⅱ)? G( x) ? (ln x) ? kx 的定义域为(0+∞) 由 G (x)在定义域内单调递减知: G ?( x ) ?

2 ln x ? k ? 0 在(0+∞)内恒成立 x 2 2(1 ? ln x) 令 H ( x ) ? ln x ? k , 则 H ?( x) ? 由 H ?( x) ? 0得x ? e ∵当 x ? (0, e) 时 x x2

H ?( x) ? 0, H ( x) 为增函数
当 x ? (e,??) 时 H ?( x) ? 0

H ( x ) 为减函数 ∴当 x = e 时,H(x)取最大值

H (e) ?

2 ?k e 2 2 故只需 ? k ? 0 恒成立,? k ? e e 2 2 又当 k ? 时,只有一点 x = e 使得 G ?( x) ? H ( x) ? 0 不影响其单调性? k ? . e e

→ → → → → 6.已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,向量OA,OB,OC满足:OA-[y+2f /(1)]OB+ln(x+

习题精选精讲

→ 1)OC=0. (1)求函数 y=f(x)的表达式; (2)若 x>0,证明:f(x)> 2x 1 ; (3)若不等式 x2≤f(x2) 2 x+2

+m2-2bm-3 时,x∈[-1,1]及 b∈[-1,1]都恒成立,求实数 m 的取值范围. → → → → → → 解:(1)∵OA-[y+2f /(1)]OB+ln(x+1)OC=0,∴OA=[y+2f /(1)]OB-ln(x+1)OC 由于 A、B、C 三点共线 即[y+2f /(1)]+[-ln(x+1)]=1 ∴y=f(x)=ln(x+1)+1 -2f /(1) 1 1 f /(x)= ,得 f /(1)= ,故 f(x)=ln(x+1) 2 x+1 2(x+2)-2x 2x 1 x2 (2)令 g(x)=f(x)- ,由 g/(x)= - = ∵x>0,∴g/(x) x+2 x+1 (x+2)2 (x+1)(x+2)2 >0,∴g(x)在(0,+∞)上是增函数 2x 故 g(x)>g(0)=0 即 f(x)> x+2 1 1 1 (3)原不等式等价于 x2-f(x2)≤m2-2bm-3 令 h(x)= x2-f(x2)= x2-ln(1+x2), 2 2 2 x3-x 2x 由 h (x)=x- = 1+x2 1+x2
/

当 x ∈ [ - 1 , 1] 时, h(x)max = 0 ,∴ m2 - 2bm - 3 ≥ 0 令 Q(b) = m2 - 2bm - 3 ,则
?Q(1)=m2-2m-3≥0 ? 得 m≥3 或 m≤-3 2 ?Q(-1)=m +2m-3≥0

7.已知函数. f ( x) ? 2 x ? ax 与 g ( x) ? bx ? cx 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公
3 2

共切线. (1)求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线方程;(2)设 F ( x) ?

mg ( x) ? ln( x ? 1) ,其中 8x

m ? 0 ,求 F(x)的单调区间.
解:(1)∵ f ( x) ? 2 x ? ax 过点 P(2,0), ∴a=-8 f ( x) ? 2 x ? 8x , f ?( x) ? 6x ? 8x
3 3 2

∴切线的斜率 k ? f ?(2) ? 16

∵ g ( x) ? bx ? cx 的图像过点 P(2,0), ∴4b+2c=0,
2

2 ∵ g ?( x) ? 2bx ? c, f ?(2) ? g ?(2) ? 4b ? c ? 16 ,解得: b=8,c=-16 ∴ g ( x) ? 8x ?16x

16 (x-2) 切线方程为 y= .即 16x-y-32=0
(2) ∵

F ( x)? m( x ? 2) ? l nx ( ?

1)

x) x? ( F ?(1 )? m ?

1 mx ? m ? 1 ? ( x ? 1) x ?1 x ?1

当 m<0 时, F ?( x) ?

m[ x ? (1 ?

1 )] m ∵m<0 ∴ 1 ? 1 ? 1 m x ?1

习题精选精讲

1 1 ) 时 F ?( x) ? 0 当 x ? (1 ? , ??) 时 F ?( x) ? 0 m m 1 1 ∴F(x)的单调减区间是 (1 ? , ??) ∴F(x)的单调增区间是(1,1 ? ) 即 m<0 时,F(x) m m 1 1 的单调递增区间是(1, 1 ? ),单调减区间是( 1 ? , ?? ) ?l2 分 m m
又 x>1 当 x ? (1,1 ? 8. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x . 数 a 的取值范围; (Ⅱ )若 x ? 3 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 x ?[1,a]上的最小值和最大值. 解:(Ⅰ ) f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 ,要 f ( x) 在 x ?[1,+∞ ) 上是增函数,则有 (Ⅰ )若 f ( x) 在 x ? [1,+∞ ) 上是增函数,求实

3x2 ? 2ax ? 3 ? 0 在 x ?[1,+∞ ) 内恒成立,即 a ?


3x 3 ? 在 x ?[1,+∞ ) 内恒成立 2 2x

3x 3 ? ? 3 (当且仅当 x=1 时取等号) ,所以 a ? 3 2 2x

(Ⅱ )由题意知 f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0 的一个根为 x ? 3 ,可得 a ? 5 ,
2 所以 f '( x) ? 3x ?10 x ? 3 ? 0 的根为 x ? 3 或 x ?

1 ( ) ? 1? ,f (3) ? ?9 , (舍去), 又 f1 3

f (5) ? 15 ,∴ f(x)在 x ? [1, 5] 上的最小值是 f (3) ? ?9 ,最大值是 f (5) ? 15 .
9. 已知 f(x)=ln(x+2)-x2+bx+c (Ⅰ) 若函数 f(x)在点 ( 1, y) 处的切线与直线 3x+7y+2=0 垂直,且 f(-1)=0,求函数 f(x)在区间[0,3]上的最小值; (Ⅱ)若 f(x)在区间[0,m]上单 调,求 b 的取值范围. 解: (I) f ?( x) ?

1 3 ? 2 x ? b 直线 3x+7y+2=0 斜率为- 7 x?2 3 令 f′(1)= 得 b=4 又 f(-1)=ln1-1-4+c=0 ? c=5 7

? f ?( x) ?
x y′ y

1 ? 2x 2 ? 9 3 2 ? 2x ? 4 ? ? 0得x ? x?2 x?2 2
0 (0, + ln2+5 ∴x=0 时

3 2) 2

3 2 2
0 极大

( -

3 3 2 ,3) 2
8+ln5

因为 8+ln5>5+ln2 (II)令 f ?( x) ?

f(x)在[0,3]上最小值 f(x)=5+ln2.

1 1 ? 2 x ? b ≥0 得 b≥2x- ,在[0,m]上恒成立而 x?2 x?2 1 1 1 y=2x- 在[0,m]上单调递增,最大值为 2m- ∴b≥2m- x?2 m?2 m?2 1 1 1 ? 2 x ? b ≤0 得 b≤2x- 令 f ?( x) ? , 而 y=2x- 在[0, m]单增, x?2 x?2 x?2

习题精选精讲

最小为 y=-

1 2 1 1 故 b≥2m- 2 m?2
或 b≤-

∴b≤-

1 时 f(x)在[0,m]上单调. 2

10. 已知函数 f(x)=ax-x (a>1) (1) 求函数 f(x)的最小值, 并求最小值小于 0 时 a 的取值范 围. (2)令 S(n)=Cn1f '(1)+Cn2f '(2)+ ? +Cnn 1f '(n-1),


n 1 证明: S(n)>(2n-2)?f '( )解:(1) 由 f '(x)=axlna-1 f '(x)>0 即: axlna>1, ∴ax> , 又 a>1, 2 lna ∴x>-logalna 同理: f '(x) <0, 有 x<-logalna 所以 f '(x)在(-∞, -logalna)上递减, 在(-logalna, +∞) 上递增, 所以 f(x)max=f(-logalna) = ln(lna)<-1, ∴lna< 1 a 1+ln(lna) 1+ln(lna) , 若 f(x)max<0, 即 <0, 则 lna lna
1

∴ a 的取值范围是 1<a< e a
- - -

(2) S(n)=Cn1(alna-1)+Cn2(a2lna-1)+ ? +Cnn 1(an 1lna-1), = (Cn1a+Cn2a2+?+Cnn 1an
-1

)lna-(Cn1+Cn2+?+Cnn 1)


=

1 - - - - [Cn1(a + an 1) + Cn2(a2 + an 2) + + Cnn 1(an 1 + a)]lna - (2n - 2 2



n n n a 2 (2n ? 2) ln a ? (2n ? 2) = (2n ? 2)(a 2 ln a ? 1) ? (2n ? 2) f '( ) 2

∴ 不等式成立. 11、已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x .(1)求函数 f ( x) 的单调递减区间; 1 (2)若 x ? ?1 ,求证: 1 ? ≤ ln(x ? 1) ≤x. x ?1 (1)解:函数 f (x)的定义域为(-1,+∞) 1 x f ?( x) ? ?1? ? x ?1 x ?1 x ? ?0 ?? 由 f ?( x) ? 0 得: ? x ? 1 ,∴x>0 ? x ? ? 1 ? ∴f (x)的单调递减区间为(0,+∞) (2)证明:由(1)得 x∈(-1,0)时, f ?( x) ? 0 , 当 x∈(0,+∞)时, f ?( x) ? 0 ,且 f ?(0) ? 0 ∴x>-1 时,f (x)≤f (0),∴ ln(x ? 1) ? x ≤0, ln(x ? 1) ≤x 1 1 x 1 ? ? 令 g ( x) ? ln(x ? 1) ? ? 1 ,则 g ?( x) ? 2 x ? 1 ( x ? 1) x ?1 ( x ? 1) 2 分 ∴-1<x<0 时, g ?( x) ? 0 ,x>0 时, g ?( x) ? 0 ,且 g ?(0) ? 0

2分

4分

8分 10

习题精选精讲

∴x>-1 时,g (x)≥g (0),即 ln(x ? 1) ? 分 ∴ ln(x ? 1) ≥ 1 ? 分 12. 已知 f ( x) ? ln x ? x ? a, x ? (0,2]

1 ? 1≥0 x ?1

12

1 1 ,∴x>-1 时, 1 ? ≤ ln(x ? 1) ≤x. x ?1 x ?1

13

(1)求 f(x)的值域; (2)若 f(x)<a2-3 对于任意 x∈ (0,2] 恒成立,求实数 a 的取值范 围. 解: (1)f′(x)=

1 -1,令 f′(x)=0,得 x=1,fmax(x)=a-1.??????3 分 x
值域是(-∞,a-1 ] ????????6 分

(2)f(x)<a2-3 恒成立 ? fmax(x)<a2-3,??????????????????9 分 a2-a-2>0, a>2 或 a<-1??????????????????????12 分 13 .

1 ? x) ? a( x ? 1), 其 中 a 为 常 数 . ( 1 ) 若 当 已 知 函 数 f ( x) ? x ln(

x ? [1,??)时,f ' ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围;
ax 的单调区间. x ?1 x x ' ? a ? 0, 则a ? ln(1 ? x) ? 解: (1) f ( x) ? ln(1 ? x) ? ) 1? x 1? x
(2)求 g ( x) ? f ( x) ?
'

令 h( x) ? ln( 1 ? x) ?

x 1 1 , 则h ' ( x) ? ? , 当 x ? [1,??)时,h ' ( x) ? 0. 2 1? x 1 ? x (1 ? x)
1 1 ? ln 2 ? a的取值范围是 (?? , ? ln 2) 2 2

上单调增,? a ? h(1) ? ? h( x)在[1 , ? ?) (2) g ( x) ? ln( 1 ? x) ?

(1 ? a) x x?2?a ? a, x ? [?1,??),则g ' ( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2
'

i)当 a>1 时, x ? (?1, a ? 2), g ( x) ? 0, g ( x) 是减函数,

x ? (a ? 2,??), g ' ( x) ? 0, g ( x) 是增函数,
ii)当 a≤1 时, x ? (?1,??), g ( x) ? 0, g ( x) 是增函数,
'

综上所述,当 a>1 时,增区间为(a-2,+∞) ,减区间为(-1,a-2) ; 当 a≤1 时,增区间为(-1,+∞) 14.已知在函数 f ( x) ? ?mx ? x 的图象上以 N(1,n)为切点的切线的倾斜角为
3

? , (1) 4

求 m、n 的值;

习题精选精讲

(2)是否存在最小的正整数 k,使不等式 f ( x) ? k ? 1992对于 x ? [?1,3] 恒成立?求 出最小的正整数 k,若不存在说明理由;

1 )( x ? R, t ? 0). 2t ? 2 1 解: (1) f ( x) ? 3mx2 ? 1, f (1) ? tan ? 1,? m ? , n ? ? . 4 3 3
(3)求证: | f (sin x) ? f (cos x) |? 2 f (t ?
2 0 0

(2)令 f ( x) ? 2( x ?

2 2 2 , )(x ? ) ? 0, 则x ? ? 2 2 2
7 0 3

在[-1,3]中, x ? [?1,? 时,

2 2 2 ]时, f ( x)? ? 0, f ( x) 在此区间为增函数 x ? [? , ] 2 2 2
2 9

f ?( x) ? 0, f ( x) 在此区间为减函数.

f ( x)在x ? ?

2 处取得极大值. 2

x ?[


2 ,3]时 f ?( x) ? 0, f ( x) 在此区间为增函数, f ( x) 在 x=3 处取得极大值.……8 2

比较 f (-

2 )和 f (3) 的大小得: f ( x) max ? f (3) ? 15 … 2

? f ( x) ? k ? 1992 , k ? 2007 , 即存在 k=2007
(3) | f (sin x) ? f (cos x) |?|

2 (sin 3 x ? cos 3 x) ? (sin x ? cos x) | 3

?

1 2 2 ? 2 2 | sin x ? cos x |3 ? | sin 3 ( x ? ) ? 3 3 4 3 1 1 2 1 1 2 1 2 2 ) ? 2(t ? )[ (t 2 ? 2 ) ? ] ? 2 2 ( ? ) ? …………12 分 2t 2t 3 3 3 3 3 4t 1 2 2 ) ? 2 f ( 2) ? ………………………………12 分 2t 3
1 ) ……………………………………………14 分 2t
2

而 2 f (t ?

(也可由单调性: 2 f (t ?

?| f (sin x) ? f (cos x) |? 2 f (t ?
3

15. 已知:三次函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,在 (??,?1), (2,??) 上单调增,在(-1,
2 2)上单调减,当且仅当 x ? 4 时, f ( x) ? x ? 4 x ? 5.

(1)求函数 f (x)的解析式;
2 0

0

7

0

习题精选精讲

(2)若函数 h( x) ?

f ?( x) ? (m ? 1) ln(x ? m) ,求 h( x) 的单调区间. 3( x ? 2)

解: (1)? f ( x) 在 (??,?1), (2,??) 上单增, (-1,2)上单减

? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 有两根-1,2
2a ? 3 ?1? 2 ? ? ? ? 3 2 ? ?a ? ? 3 3 ?? ?? 2 ? f ( x) ? x ? x ? 6 x ? c …………4 分 2 ?? 1 ? 2 ? b ? ?b ? ?6 ? 3 ?
令 H ( x) ? f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ? x ?
2 3

5 2 x ? 2x ? c ? 5 2

H ?( x) ? 3x 2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 1)(x ? 2)
1 1 H ( x)在(?? ,? ), (2,?? ) 单调增, ( ? ,2) 单调减 3 3

?H (4) ? 0 ? 故? ? c ? ?11 1 H ( ? ) ? 0 ? 3 ?
3 2 x ? 6 x ? 11 2 3 2 3 故 f ( x) ? x ? x ? 6 x ? 11. ………………………………………………6 分 2 ? f ( x) ? x 3 ?
(2)? f ( x) ? 3x ? 3x ? 6
2

? h( x) ? x ? 1 ? (m ? 1) ln(x ? m)(x ? ?m且x ? 2) ………………8 分
? h?( x) ? 1 ? m ?1 x ?1 ? ……………………………………… 10 分 x?m x?m

当 m≤-2 时,-m≥2,定义域: (?m,??)

h?( x) ? 0 恒成立, h( x)在(?m,??) 上单增;
当 ? 2 ? m ? ?1 时, 2 ? ?m ? 1 ,定义域: (?m,2) ? (2,??)

h?( x) ? 0 恒成立, h( x)在(?m,2), (2,??) 上单增
当 m >-1 时,-m <1,定义域: (?m,2) ? (2,??) 由 h?( x) ? 0 得 x >1,由 h?( x) ? 0 得 x <1.

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故在(1,2) , (2,+∞)上单增;在 (?m,1) 上单减. ……………………… 12 分 所以当 m≤-2 时,h(x)在(-m,+∞)上单增; 当 ? 2 ? m ? ?1 时, h( x)在(?m,2), (2,??) 上单增; 当 m >-1 时,在(1,2) , (2,+∞)上单增;在(-m,1)单减.…………14 分 16.山东省泰安市(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( x ? R, a ? 0),?2是f ( x) 的一个零点,又 f ( x) 在 x=0 处有极值,在区间(-6,-4)和(-2,0)上是单调的,且在这两个区间上的单调性 相反. (I)求 c 的值;

b 的取值范围; a (III)当 b ? 3a时, 求使 { y | y ? f ( x),?3 ? x ? 2} ? [?3,2] 成立的实数 a 的取值范围.
(II)求 解: (I)? f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d

? f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c

又 f(x)在 x=0 处有极值 ? f ?( x) ? 0,即c ? 0. ????????????2 分
2 (II)由(I)知: f ?( x) ? 3ax ? 2bx

令f ?( x) ? 0

? x ? 0或x ? ?

2b ????????????????????????3 分 3a

又∵f(x)在区间(-6,-4)和(-2,0)上单调且单调性相反.

? ?4 ? ?

2b ? ?2 3a



3?
3

b ? 6 ????????????6 分 a
2

(III)? b ? 3a, 且 ? 2是f ( x) ? ax ? 3ax ? d 的一个零点

? f (?2) ? ?8a ? 12a ? d ? 0
从而 f ( x) ? ax ? 3ax ? 4a
3 2

? d ? ?4a ????????????7 分

? f ?( x) ? 3ax2 ? 6ax.令f ?( x) ? 0,? x ? 0或x ? ?2. ??????????8 分
列表讨论如下: x f′(x) f(x) -4a -3 (-3,-2) a >0 + a <0 - -2 0 0 (-2,0) a >0 - a <0 + 0 0 -4 a (0,2) a <0 + a <0 - 16 a 2

∴当 a >0 时,若-3≤x≤2,则-4 a≤f(x)≤16 a 当 a <0 时,若-3≤x≤2,则 16 a≤f(x)≤-4 a

习题精选精讲

?a ? 0 ?a ? 0 ? ? 从而 ?16a ? 2 或?16a ? ?3 ?? 4a ? ?3 ?? 4a ? 2 ? ?
1 3 或? ? a ? 0 ??????????????????????11 分 8 16 3 1 ∴存在实数 a ? [? ,0) ? (0, ] ,满足题目要求.????????????12 分 16 8
即0 ? a ? 17.广东省韶关市(本题满分 14 分) 已知函数 f(x)=

a ? x2 ? ln x x

1 ? ? ? a ? R , x ?[ , 2] ? 2 ? ?

(Ⅰ)当 a ?[?2, ) 时, 求 f ( x) 的最大值; (Ⅱ) 设 g ( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x2 , k 是 g ( x) 图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数 a , 使得 k ? 1 恒成立?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)当-2≤ a < 显然-1≤x1<

1 4

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 , x2 ? . 时,由 f '( x ) =0 得 x1= 4 2 2

…………..3 分

1 1 ?1 ? ?1 ? , <x2≤2,? x1 ? ? , 2 ? , x2 ? ? , 2 ? . 2 2 ?2 ? ?2 ?

又 f '( x ) =- 当

? x ? x1 ?? x ? x2 ?
x2

1 ≤x≤x2 时, f '( x ) ≥0, f ( x) 单调递增; 2

当 x2<x≤2 时, f '( x ) <0, f ( x) 单调递减,………………………………..5 分 ∴ f ( x) max= f (x2)= =- 1 ? 4a ? ln

2a 1 ? 1 ? 4a

?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ? ln 2 2

1 ? 1 ? 4a . ………………………………………………………..7 分 2 (Ⅱ)答: 存在 a ? (??,13) 符合条件……………………………………………………..8 分
解: 因为 g ( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x 2 = ax ? x3 不妨设任意不同两点 p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x2 则k ?
3 y1 ? y2 a( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x13 ) 2 ? ? a ? ( x12 ? x1 x2 ? x2 ) ????????11 分 x1 ? x2 x1 ? x2

2 2 2 由 k ? 1 知: a ? 1+ ( x1 ? x1 x2 ? x2 ) <1 ?3x2 …………………12 分

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1 7 2 故a ? ? x2 ?4 4 4 故存在 a ? (??,13) 符合条件.………………………14 分
又 解法二:据题意在 y ? g ( x) 图象上总可以在找一点 P( x0 , y0 ) 使以 P 为切点的切线平行图象 上任意两点的连线,即存在 k ?

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 2 ? g '( x0 ) ? a ? 3x0 ?1 x1 ? x2

2 ? a ? 1 ? 3x0 ?

7 7 故存在 a ? (??, ) 符合条件 4 4

18.深圳市高三年级第一次调研考试(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? loga x 和 g ( x) ? 2loga (2x ? t ? 2),(a ? 0, a ? 1, t ? R) 的图象在

x ? 2 处的切线互相平行.
(Ⅰ)求 t 的值; (Ⅱ)设 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ,当 x ??1, 4? 时, F ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)

f ?( x) ?

1 4 log a e, g ?( x) ? log a e x 2x ? t ? 2

∵ 函 数 f ( x ) 和 g ( x) 的 图 象 在 x ? 2 处 的 切 线 互 相 平 行 ? f ?(2) ? g ?(2)

1 4 ? log a e ? log a e ? t ? 6 2 t?2
(Ⅱ)

t ? 6 ? F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 2loga (2x ? 4)-loga x

? log a
h?( x) ? 4 ?

(2 x ? 4)2 , x ? ?1, 4? x

令 h( x ) ?

(2 x ? 4)2 16 ? 4 x ? ? 16, x ? ?1, 4? x x

16 4( x ? 2)( x ? 2) ? , x ? ?1, 4? ∴ 当 1 ? x ? 2 时 , h?( x )? 0, 当 x2 x2

2 ? x ? 4 时, h?( x) ? 0 .
∴ h( x) 在 ?1, 2 ? 是单调减函数,在 ? 2, 4? 是单调增函数.

? h( x)min ? h(2) ? 32 ,

?h( x)max ? h(1) ? h(4) ? 36
∴当 0 ? a ? 1 时,有 F ( x)min ? log a 36 ,当 a ? 1 时,有 F ( x)min ? log a 32 . ∵当 x ??1, 4? 时, F ( x) ? 2 恒成立, ∴ F ( x)min ? 2 不等式组 ∴满足条件的 a 的值满足下列

?0 ? a ? 1, ?a ? 1, ①,或 ? ②不等式组①的解集为空集,解不等式组② 得 ? ?loga 36 ? 2; ?loga 32 ? 2.

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1? a ? 4 2
综上所述,满足条件的 a 的取值范围是: 1 ? a ? 4 2 . ????????13 分

透视高考数学试题与导数有关的三大热点问题 热点一:导数的几何意义 函数 y=f (x) 在点 x0 导数的几何意义,就是曲线 y=f (x) 在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜 率,也就是说,曲线 y=f (x) 在 P (x0, f (x0))处的切线的斜率是 f′ (x0),于是相应的切线方程 为 y-y0=f′ (x0) (x-x0),巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现,因此也就成为 了高考命题的一个热点。 【错题分析】 [错例1](06全国II)过点(-1,0)作抛物线 y ? x2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切线 方程为 (A) 2 x ? y ? 2 ? 0 (B) 3x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0 (D) x ? y ? 1 ? 0

2 误解: y ? x ? x ? 1 ,根据导数的几何去何从意义可知,曲线的切线斜率 k ? f ' (-1)=

-1,所以曲线的切线方程为y=-(x+1),即 x ? y ? 1 ? 0 ,选择(C) 剖析:本题错在对导数的几何意义理解有误,切线的斜率 k 是应是在切点处的导数, 而点(-1,0) 不在曲线上。故本题应先设切点,再求斜率,写出直线的方程。 正 确 解 法 : y? ? 2 x ? 1 , 设 切 点 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , 则 切 线 的 斜 率 为 2 x0 ? 1 , 且

y0 ? x2 1 0 ? x0 ?
于是切线方程为 y ? x0 ? x0 ?1 ? (2x0 ? 1)( x ? x0 ) ,因为点(-1,0)在切线上,可解得
2

x0 =0 或-4,代入可验正 D 正确。选 D
【典型题例】 例 1 已知双曲线 C : y ?

m ( m ? 0) 与点 M(1,1) ,如图所示.(1)求证:过点 M 可 x

作两条直线,分别与双曲线 C 两支相切; (2)设(1)中的两切点分别为 A、B,其△MAB 是正三角形,求 m 的值及切点坐标。 【考查目的】 本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用,使代数与几何实现了 和谐的勾通。

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(1)证明:设 Q (t , 个符号相反的实根。

m ) ? C ,要证命题成立只需要证明关于 t 的方程 y? |x?t ? kMQ 有两 t

y? |x?t ? kMQ
2

m ?1 m t ?? 2 ? ? t 2 ? 2mt ? m ? 0 ,且 t≠0,t≠1。 t t ?1

设方程 t ? 2mt ? m ? 0 的两根分别为 t1 与 t2,则由 t1t2=m<0,知 t1,t2 是符号相反的 实数,且 t1,t2 均不等于 0 与 1,命题获证。 (2)设 A(t1 ,

m m ), B(t2 , ) ,由(1)知,t1+t2=2m,t1t2=m,从而 t1 t2

t1 ? t2 1 m m m(t1 ? t2 ) 2m2 ? m, ( ? ) ? ? ? m ,即线段 AB 的中点在直线 y ? x 上。 2 2 t1 t2 2t1t2 2m
m m ? m(t1 ? t2 ) t2 t1 ? ? ? ?1 ,? AB 与直线 y ? x 垂直。 t2 ? t1 t2t1 (t2 ? t1 )



k AB

故 A 与 B 关于 y ? x 对称, 设 A(t ,

m m )(t ? 0) ,则 B( , t ) t t


有 t2-2mt+m=0 由 k MA ? ?

m m2 , k ? ? , ?AMB ? 60? 及夹角公式知 MB t2 k

?t 2 m ? 2 m t2 tan 60? ? m 2 t ,即 2 ? ? 2 3 t m t m 1? ? 2 m t
由①得 m ?



t2 2t ? 1



从而

m t2 1 4t (1 ? t ) ? ? ? (2t ? 1) ? ?0 2 t m 2t ? 1 2t ? 1 m t2 m 3 ?1 ? ? 2 3, 2 ? 3 ? 2 ,代入③知 t ? ? 2 t m t 2

由②知

因此, m ? ? , A( ?

1 2

3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 , ), B( ,? )。 2 2 2 2

探究:求切线方程的常见方法有:1、数刑结合。2、将直线方程代入曲线方程利用判

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别式。3、利用导数的几何意义。 小结:深刻理解导数作为一类特殊函数,其几何意义所在,熟练掌握利用导数求函数 的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法;导数的应用为研究函数性质、函 数图象开辟了新的途径,成为勾通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁;此外,导数 还具有方法程序化,易掌握的显著特点。 【热点冲刺】 1. (06 安徽卷)若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 A. 4 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0
4

解: 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 , 即 y ? x 在某一点的导数为 4, 而 y? ? 4 x3 ,所以 y ? x 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 ,故选 A
4

2.(06 四川卷)曲线 y ? 4 x ? x 在点 ? ?1, ?3? 处的切线方程是
3

(A) y ? 7 x ? 4

(B) y ? 7 x ? 2

(C) y ? x ? 4

(D) y ? x ? 2

3 2 解:曲线 y ? 4 x ? x ,导数 y ' ? 4 ? 3x ,在点 ? ?1, ?3? 处的切线的斜率为 k ? 1 ,所以切

线方程是 y ? x ? 2 ,选 D. 3.(06 湖南卷)曲线 y ? 是 .

1 2 和 y ? x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积 x

1 和 y ? x 2 在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是 y=-x+2 和 x 3 y=2x-1,它们与 x 轴所围成的三角形的面积是 . 4
解析:曲线 y ? 4. (07 预测题)设抛物线 y=x2 与直线 y=x+a(a 是常数)有两个不同的交点,记抛物线在 两交点处切线分别为 l1,l2,求值 a 变化时 l1 与 l2 交点的轨迹。 解答:将 y=x+a 代入 y=x2 整数得 x2-x-a=0,为使直线与抛物线有两个不同的交点, 必须△= (-1)2+4a>0,所以 a>-

1 4

设此两交点为(α ,α 2),(β , β 2),α <β ,由 y=x2 知 y′ =2x,则切线 l1,l2 的方程为 y=2α x-α 2,y=2β x-β 2. 两切线交点为(x,y)

??? ? x? 则 ? 2 ? ? y ? ?? ?

因为α ,β 是①的解,由违达定理可知α +β =1,α β =-a

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1 1 ,y=-a< 2 4 1 1 从而,所求的轨迹为直线 x= 上的 y< 的部分。 2 4
由此及②可得 x= 热点二:利用导数研究函数性质 运用导数的有关知识,研究函数的性质(单调性、极值和最值)必将是 07 年高考的热 点问题。高考试题常以解答题形式出现,主要考查利用导数为工具解决函数、不等式及数列 有关的综合问题,题目较难。 【错解分析】 [错例 2] (06 湖南十校大联考)已知函数 f(x) = 数 a 的取值范围是__________________ 误解:f′ (x)=

ax ? 1 在(-2,+∞)内单调递减,求实 x?2

2a ? 1 ,由 f (x)在(-2,+∞)内单调递减,知 f′ (x)≤0 在 x∈(-2,+ ( x ? 2) 2

∞)内恒立,即

1 2a ? 1 ≤0 在 x∈(-2,+∞)内恒立。因此,a≤ 。 2 2 ( x ? 2)

剖析:(1)本题看似正确,实际上却忽视了一个重要问题:未验证 f′ (x)是否恒为零。因 为 f (x)在区间 D 上单调递增(或递减)的充要条件 f′ (x)≥0 (f′ (x))≤0 且 f′ (x)在任一子区 间上不恒为零。而当 a=

1 1 时,f(x) = 不是单调递减函数,不合题意。 2 2

(2)在区间 D 内可导数 f(x) ,利用导数判别 f(x)单调性法则为:若 x∈D 时,有 f′ (x) >0(<0=, 则 f(x)在 D 内是增(减)函数;反之,若 f(x)在 D 内是增(减)函数,则 x∈D 时, 恒有 f′ (x)≥0(≤0) 。 (不恒为 0) (3)再由函数的单调性过渡到函数的极值,由[错例 2] 到 [错例 3] [错例 3] (06 江苏南通三模)函数 f (x) = (x2-1)3+2 的极值点是( A、x=2 B、x=-1 C、x=1 或-1 或 0 ) D、x=0

误解: f (x) =x6-3x4+3x2+1,则由 f′ (x)=6x5-12x3+6x=0 得极值点为 x=1, x=-1 和 x=0,故正确答案为 C. 剖析:满足 f′ (x0)=0 的点 x=x0(称为驻点)只是它为极大(小)值点的必要而不充分 条件,如果一味地把驻点等同于极值点,往往容易导致失误。

正确解法: 事实上,这三点只是驻点(导数等于 0 的点),由 f′ (x) =6x5-12x3+6x=6x(x +1)2(x-1)2 知,当 x∈(-∞,-1)时,f′ (x)<0;当 x∈(-1,0)时,f′ (x)<0;当 x∈(0, 1),f′ (x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′ (x)>0. f (x)在 (-∞,-1)、(-1,0)单调递增,在(0,

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1)、(1,+∞)单调递减。则 x=0 为极小值点,x=-1 或 1 都不是极值点(称为拐点) 。故应 选 D。 【典型题例】 例 2: (06 湖南卷) 已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,数列{ an }满足: 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ), n ? 1,2,3, . 证明:(ⅰ) 0 ? an?1 ? an ? 1; (ⅱ) an ?1 ?

1 3 an . 6

证明: (I) .先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 ,n=1,2,3,? (i).当 n=1 时,由已知显然结论成立. (ii).假设当 n=k 时结论成立,即 0 ? ak ? 1 .因为 0<x<1 时

f ' ( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数. 又 f(x)在[0,1]上连续,
从而 f (0) ? f (ak ) ? f (1),即0 ? ak ?1 ? 1 ? sin1 ? 1 .故 n=k+1 时,结论成立. 由(i)、(ii)可知, 0 ? an ? 1 对一切正整数都成立. 又因为 0 ? an ? 1 时, an?1 ? an ? an ? sin an ? an ? ? sin an ? 0 , 所以 an?1 ? an ,综上所述 0 ? an?1 ? an ? 1 . (II) .设函数 g ( x) ? sin x ? x ? x3 , 0 ? x ? 1 .由(I)知,当 0 ? x ? 1 时, sin x ? x , 从而 g ( x) ? cos x ? 1 ?
'

1 6

x2 x x2 x x2 ? ?2sin 2 ? ? ?2( ) 2 ? ? 0. 所以 g (x)在(0,1)上是增函 2 2 2 2 2
1 3 a 0 an ?1 ? an 3 . n ? .故 6

数 . 又 g (x) 在 [0,1] 上 连 续 , 且 g (0)=0, 所 以 当 0 ? x ? 1 时 , g (x)>0 成 立 . 于 是

1 g( a 即 , s ia n n )? 0 n ? a n ? 6

点评:由导数研究函数的单调性,再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必 将会成为 2007 高考的重点内容,在学习中要足够地重视。 例 3:设函数 f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈ R)的图象关于原点对称,且 x=1 时,f(x) 取极小值-

2 。 3

(1)求 a、b、c、d 的值; (2)当 x∈ [-1,1]时,图象上是否存在两点,使得过此两点的切线互相垂直?试证明你的 结论; (3)若 x1,x2∈ [-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤ 【考查目的】

4 。 3

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本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理 能力。 解(1) ∵ 函数 f(x)图象关于原点对称,∴ 对任意实数 x,都有 f(-x)=- f(x). 3 2 3 2 ∴ -ax -2bx -cx+4d=-ax +2bx -cx-4d,即 bx2-2d=0 恒成立. ∴ b=0,d=0,即 f(x)=ax3+cx. ∴ f′(x)=3ax2+c. ∵ x=1 时,f(x)取极小值即 3a+c=0 且 a+c=-

2 . 3

∴ f′(1)=0 且 f(1)=-

2 , 3

2 1 . 解得 a= ,c=-1. 3 3

(2)证明:当 x∈ [-1,1]时,图象上不存在这样的两点使结论成立,假设图象上存在 两点 A(x1,y1)、B(x2+y2),使得过这两点的切线互相垂直, 则由 f′(x)=x2-1,知两点处的切线斜率分别为 k1=x12-1,k2=x22-1, 且(x12-1)(x22-1)=-1. (*) 2 ∵ x1、x2∈ [-1,1], ∴ x1 -1≤0,x22-1≤0 ∴ (x12-1)(x22-1)≥0,这与(*)相矛盾,故假设不成立. (3)证明:∵ f′(x)=x2-1,由 f′(x)=0,得 x=± 1. 当 x∈ (-∞,-1)或(1,+∞)时,f′(x)>0; 当 x∈ (-1,1)时,f′(x)<0. ∴ f(x)在[-1,1]上是减函数,且 fmax(x)=f(-1)= ∴ 在[-1,1]上,|f(x)|≤

2 2 , fmin(x)=f(1)= - . 3 3

2 . 3 2 2 4 + = . 3 3 3

于是 x1,x2∈ [-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤ 故 x1,x2∈ [-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤

4 . 3

探究:①若 x0 点是 y=f(x)的极值点,则 f′(x0)=0,反之不一定成立; ②在讨论存在性问题时常用反证法; ③利用导数得到 y=f(x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键. 【热点冲刺】 1.(06 浙江卷) f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间 ??1,1? 上的最大值是
3 2

(A)-2

(B)0

(C)2

(D)4

2 解: f ?( x) ? 3x ? 6x ? 3x( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 可得 x=0 或 2(2 舍去) ,当-1?x?0

时, f ?( x ) ?0,当 0?x?1 时, f ?( x ) ?0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 2。选 C 2. (06 安徽卷)已知函数 f ? x ? 在 R 上有定义,对任何实数 a ? 0 和任何实数 x ,都有

f ? ax ? ? af ? x ?
(Ⅰ)证明 f ? 0 ? ? 0 ;

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(Ⅱ)证明 f ? x ? ? ?

?kx, x ? 0, ?hx, x ? 0,

其中 k 和 h 均为常数;

(Ⅲ)当(Ⅱ)中的 k ? 0 时,设 g ? x ? ? 内的单调性并求极值。

1 ? f ? x ? ( x ? 0) ,讨论 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? f ? x?

? ? 假设 x ? 0 时, f ( x) ? kx ( k ? R ) ,则 f ? x ? ? kx ,而 xf ? x ? ? x ? kx ? kx ,∴ f ? x ? ? xf ? x ? ,即 f ( x) ? kx 成立。 ②令 x ? ?a ,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 , f ? ? x ? ? ? xf ? x ? 假设 x ? 0 时, f ( x) ? hx ( h ? R ) , 则 f ? ? x ? ? ? hx , 而 ?x f ? x ???x ?h x ?? h x
2 (Ⅱ)①令 x ? a ,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 ,则 f x ? xf ? x ? 。 2 2

证明(Ⅰ)令 x ? 0 ,则 f ? 0? ? af ? 0? ,∵ a ? 0 ,∴ f ? 0? ? 0 。

2

2

2

2

2

2



2 ∴ f ? x ? ? xf ? x ? ,即 f ( x) ? hx 成立。∴ f ? x ? ? ?

?

?

? kx, x ? 0 成立。 ?hx, x ? 0

(Ⅲ)当 x ? 0 时, g ? x ? ?

1 x2 ?1 1 1 ? ? f ? x ? ? ? kx , g ( x) ? ? 2 ? k ? kx kx 2 f ? x? kx

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 1或x ? ?1 ; 当 x ? (0,1) 时, g ?( x)<0 ,∴ g ( x) 是单调递减函数; 当 x ? [1, ??) 时, g ?( x)>0 ,∴ g ( x) 是单调递增函数; 所以当 x ? 1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 内取得极小值,极小值为 g (1) ?

1 ?k k

3. (06 福建卷)已知 f ( x) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 且 f ( x) 在区 间 ? ?1, 4? 上的最大值是 12。 (I)求 f ( x) 的解析式; (II)是否存在实数 m, 使得方程 f ( x ) ?

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不等 x

的实数根?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质 的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析 问题、解决问题的能力。 解: (I) f ( x) ? ? x ? 8x ? ?( x ? 4) ? 16.
2 2

当 t ? 1 ? 4, 即 t ? 3 时, f ( x ) 在 ?t , t ? 1? 上单调递增,

h(t ) ? f (t ? 1) ? ?(t ? 1)2 ? 8(t ? 1) ? ?t 2 ? 6t ? 7;

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当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时, h(t ) ? f (4) ? 16; 当 t ? 4 时, f ( x ) 在 ?t , t ? 1? 上单调递减, h(t ) ? f (t ) ? ?t 2 ? 8t.

??t 2 ? 6t ? 7, t ? 3, ? 3 ? t ? 4, 综上, h(t ) ? ?16,      ??t 2 ? 8t ,   t ? 4 ?
(II)函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点,即函数

? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

? ( x) ? x 2 ? 8 x ? 6ln x ? m,
6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ?? '( x) ? 2 x ? 8 ? ? ? ( x ? 0), x x x
当 x ? (0,1) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? (0,3) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是减函数; 当 x ? (3, ??) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? 1, 或 x ? 3 时, ? '( x) ? 0.

?? ( x)最大值 ? ? (1) ? m ? 7,? ( x)最小值 ? ? (3) ? m ? 6ln3 ?15.
当 x 充分接近 0 时, ? ( x) ? 0, 当 x 充分大时, ? ( x) ? 0.

? 要使 ? ( x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
? ?? ( x)最大值 ? m ? 7 ? 0, ? ? ?? ( x)最小值 ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0,
即 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3.

所以存在实数 m , 使得函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点, m 的取值范围为 (7,15 ? 6ln 3). 4.(预测题)证明方程 x=sinx 在(-∞,+∞)内只有一个实根。 解答:设 f(x)=x-sinx,即证 f(x)=0 只有一个实数。 因为 f′ (x)=1-cosx≥0,其中等号只在孤立点 x=2kπ (k∈Z)时成都市立。 故 f(x)在(-∞,+∞)上是递增的。 又由于 f(0)=0,故当 x>0 时,f(x)>0,当 x<0 时,f (x)<0。

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因此 f (x)=0 只有一个实数根 x=0. 5(预测题).已知 0≤x≤1,n 为大于 1 的正整数,求证:

1 2
2 n ?1

≤xn+(1-x)n≤1

解答:设 f ( x) ? x n ? (1 ? x)n , 则 f ?( x) ? n[ xn?1 ? (1 ? x)n?1] , 令 f ?( x ) ? 0 ,得 x n ?1 ? (1 ? x)n ?1 ,由于 0≤x≤1,则有 x=1-x,解得 x=

1 2

又 f( )? 以

1 2

2

, f (0) ? 1, f (1) ? 1, 经比较知 f(x)在[0,1]上的最小值、最大值分别为 n ?1

1

1 2 2 n ?1

,所

1 2
2 n ?1

≤xn+(1-x)n≤1

热点三:运用导数解决实际问题: 学习的目的,就是要会实际应用,学生要有运用导数知识解决实际问题的意识,思想 方法以及能力。近几年,高考越来越注重对实际问题的考查,因此要学会应用导数解决有 关最优化的问题及即时速度、边际成本等问题。实际应用问题的考查必将是 07 年高考的又 一热点. 【错解分析】 [错例 4]从边长为 2a 的正方形铁片的四个角各截去一小块边 为 x 的正方形(如右图所示) ,再将四边向上折起,做成一个 无盖的长方体铁盒,要求长方体的高度 x 与底面正方形边 长的比值不超过常数 t. 问: x 取何值时,容积 V 有最大值。 误解: V ' ? 12 x 2 ? 16ax ? 4a 2

?4(3 x ?a )x (? a ).
因为

2ta x ? t 所以函数的定义域为(0, ] 2a ? 2 x 1 ? 2t
a 3

这时 V 在定义域内有惟一极值点 x ? . 由问题的实际意义可知, x ? 时,Vmax ?

a 3

16 3 a. 27

剖析:求解函数的最值问题,应注意函数的定义域,本例由导数为 0 的点是否落在定 义域内,引出了讨论。有时还要注意对导数为 0 的情形进行讨论。

a 2ta 1 a ? ,即t ? 时由 , v ' ? 0, 解得x ? , 这时 V 在定义域内有惟一极值 3 1 ? 2t 4 3 a a 16 3 点 x ? . 由问题的实际意义可知, x ? 时,Vmax ? a. 3 3 27
正确解法: ①当

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②当 ?

a 2ta 1 ,即0 ? t ? 时,3x ? a, 这时有V? ? 0,知 V 在定义域内为增函数,故当 3 1 ? 2t 4

x?

2at 2at 4at 2 8a 3t 时,Vmax ? (2a ? ) ? . 1 ? 2t 1 ? 2t 1 ? 2t (1 ? 2t )3

【典型题例】 1.(06 福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶 速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=

1 3 x3 ? x ? 8 (0<x≤120).已知 128000 80

甲、乙两地相距 100 千米。 (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗没 (

100 ? 2.5 小时, 40

1 3 ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升) 。 128000 80

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。

100 小时, 设耗油量为 h( x) 升, x 1 3 100 1 2 800 15 x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 依题意得 h( x) ? ( 128000 80 x 1280 x 4
(II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了

x 800 x3 ? 803 h '( x) ? ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2
令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。

? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25.
因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。 2(预测题) .A、B 两队进行某项运动的比赛,以胜三次的一方为冠军,设在每次比赛 中 A 胜的概率为 p ,B 胜的概率为 q( p ? q ? 1, p ? 0.q ? 0) ,又 A 得冠军的概率为 P,冠军 的概率为 Q,决定冠军队的比赛次数为 N. (1)求使 P- p 为最大的 p 值;

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(2)求使 N 的期望值为最大的 p 值及期望值。 (1)要决定冠军队,至少需要比赛三次,最多需要比赛 5 次。 解答:如果比赛 3 次 A 获冠军,A 需连胜三次,其获冠军的概率为 p 3; 如果比赛 4 次 A 获冠军,前三次有一次 B 胜,其余三次 A 胜,A 获冠军的概率为
1 C3 qp3 ? 3 p3q.

如果比赛 5 次 A 获冠军,前四次有两次 B 胜,其余三次 A 胜,A 获冠军的概率为
2 2 3 C4 q p ? 6 p3q2 .故P ? p 3 ?3 p2q ? 6 p3q2 .

于是

P ? p ? p3 ? 3 p3q ? 6 p3q 2 ? p ? f ( p).

将 q ? 1 ? p 代入整理得 f ( p) ? 6 p5 ?15 p4 ? 10 p3 ? p(0 ? p ? 1). 令 f '( p) ? 30 p2 (1 ? p)2 ?1 1 1 ? 30[ p (1 ? p ) ? ][ p (1 ? p ) ? ] ? 0. 30 30 即 P2 ? p ?

1 1 4 1 4 ? 0, 解得P (1 ? 1 ? ), p2 ? (1 ? 1 ? ). 1 ? 2 2 30 30 30

当 0 ? p ? p1 时, f '( p) ? 0;当p1 ? p ? p2时, f '( p) ? 0;当p2 ? p ? 1时, f '( p) ? 0. 又

1 4 lim f ( p) ? 0,lim f ( p) ? 0, 故当p= (1 ? 1 ? )时, f ( p) ? P ? p最大. 2 p?0 p?1 30
(2)随机变量 N 的概率分布为 N Q 3 4 5

p3 ? q3

3 p3q ? 3q3 p

6 p3q2 ? 6q3 p2

则 E( N ) ? 3( p3 ? q3 ) ? 4(3 p3q ? 3q3 p) ? (6q3 p2 )

? 6 p2q2 ? 3 pq ? 3

1 21 ? 6( pq ? )2 ? . 4 8 p?q 2 1 1 21 33 而 pq ? ( ) ? , 所以E( N ) ? 6 ( )2 ? ? , 2 4 2 8 8 1 这时, p ? . 2


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