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2016年广州市高二数学竞赛试卷(含答案)


2016 年广州市高二数学竞赛试题
2016.5.7
考生注意: ⒈ 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; ⒉ 不准使用计算器; ⒊ 考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分. 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 若 sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,

则 A.

10 3

2 的值是 sin 2? ? cos 2 ? 5 5 B. C. ? 3 4

D. ?2

2. 用 min ?a,b? 表示 a,b 两数中的最小值.若函数 f ? x ? ? min

? x , x ? t ? 的图象关于直线
D. 1

1 x ? ? 对称,则 t 的值为 2 A. ?2 B. 2

C. ?1

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 3. 设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0, 若目标函数 z ? abx ? y ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0. ?
8, 则
A. 1

4 1 ? 的最小值为 a b
B.

2

C. 2
2 2

D. 2 2

4. 已知动点 P ? x, y ? 满足 A. 直线

? x ? 3? ? ? y ? 1?

?

3x ? 4 y ? 5 , 则点 P 的轨迹是 5
D. 椭圆

B. 圆

C. 抛物线

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. 5. 已知复数 z ?

?

1 ? 3i 3 ?i

?

2

的共轭复数为 z , 则 z ? z =

.

6. 某战争的模拟训练, 我军两支部队从不同驻地到某攻击点会师, 实行合围, 其到达攻击点 的时刻均在 5 时与 6 时之间, 敌军一旦发现情况后只需 20 分钟集结就会遁逸, 则全歼敌军 胜算的概率是 .
? 7. 在△ ABC 中, 角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , c ? 3 , C ? 60 , 则 a ? b 的取值范围



.
1

8. 考查集合 ?1, 2,3, 4,5,6,7,8,9? 的所有非空子集, 若一个非空子集中的偶数的个数不少于 奇数的个数, 称这个子集是“好子集”, 则“好子集”的个数为 9.如图,一个箱子的每个面都是矩形且边长都是整数,若它的 主对角线 XY ? 9 ,则这个箱子的体积的最大值可以是 . .
X

10.设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的函数, 若 f ? 0? ? 2016 , 且对任意 x ?R, 满足 f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 8 ? 3x , f ? x ? 4? ? f ? x ? ? 80 ? 3x , 则 f ? 2016? ?

Y

.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 11. (本小题满分 15 分) 我们规定:对于 ? A ? R, 若存在数列 ?an ? 和实数 x ? x ? 0? ,使得

A ? a1 ? a2 x ? a3 x2 ??? an xn?1 , 则称数 A 可以表示成 x 进制形式,简记为:
A ? x ? ? a1 ?? a2 ?? a3 ?? ? an ? .
2 (1) 已知 m ? ?1 ? 2 x ? 1 ? 3 x ( 其中 x ? 0) ,试将 m 表示成 x 进制的简记形式;

?

?

(2) 记 bn ? 2 ? ? a1 ?? a2 ?? a3 ?? ? an ?1 ?? an ? (n ? N * ) , 若数列 ?an ? 是等差数列,且满足

a1 ? a2 ? 3 , a3 ? a4 ? 7 . 当 bn ? 9217 时, 求 n 的值.

12. (本小题满分 15 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90 , M , N 分别为 A 1B 和 B 1C1 的中点. (1) 证明: MN ∥平面 A 1 ACC1 ; (2) 若 AB ? AC ? 2 ,且二面角 A 1 ? MN ? C 为直二面角, 求三棱锥 A1 ? CMN 的体积.
B1 M A B C A1 N C1
?

2

13. (本小题满分 20 分) 设椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? ? c ? 0 ? . m ?1

(1) 设 E 是直线 y ? x ? 2 与椭圆 C 的一个公共点, 求使得 EF 1 ? EF 2 取最小值时椭圆

C 的方程;
(2) 已知 N ? 0, ?1? , 设斜率为 k ? k ? 0? 的直线 l 与条件(1)下的椭圆 C 交于不同的两点

???? ??? ? ???? ??? ? A, B , 点 Q 满足 AQ ? QB , 且 NQ ? AB ? 0 , 求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围.

14. (本小题满分 20 分) 设函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x2 . (1) 若曲线 f ? x ? 在点 0, f ? 0? 处的切线方程为 y ? x ? b , 求实数 a , b 的值; (2) 若 f ? x ? 存在极值, 求实数 a 的取值范围, 并证明所有极值之和大于 ln

?

?

e . 2

15. (本小题满分 20 分)

? 1? * 设函数 f ? x ? ? ?1 ? ? (n ? N , 且 n ? 1 , x ?R ) . ? n?
(1) 设 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导数, 证明: f ? 2x ? ? f ? 2? ? 2 f ? ? x ? ; (2) 是否存在 a ?N , 使得 an ?
*

x

? 1? ? ?1 ? ? ? ? a ? 1? n 恒成立? 若存在, 求 a 的值; k? k ?1 ?
n

k

若不存在, 说明理由.

3

2016 年广州市高二数学竞赛试题 参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:每小题 6 分,满分 24 分. 1.A 2.C 二、填空题:每小题 6 分,满分 36 分. 5.

3.C

4.A 9. 112 10. 3
2016

1 4

6.

5 9

7. ? 3, 3

?

?

8. 255

? 2015

三、解答题:满分 90 分. 11. (本小题满分 15 分)
2 2 3 (1) 解: m ? ?1 ? 2 x ? 1 ? 3 x ? 1 ? 2 x ? 3 x ? 6 x ? x ? ?1?? 2 ?? ?3?? ?6 ? .

?

?

(2 )解: 设数列 ?an ? 的公差为 d , 由?

? a1 ? a2 ? 3, ? 2a1 ? d ? 3, 得? 解得 a1 ? 1 , d ? 1 . ? 2a1 ? 5d ? 7, ? a3 ? a4 ? 7,

所以 bn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3? 22 ? ?? n ? 2n?1 , ① 于是 2bn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n , ② ① ? ②得 ?bn ? 1 ? 2 ? 22 ? ?? 2n?1 ? n ? 2n

?

1 ? 2n ? n ? 2n 1? 2

? ?1 ? ?1 ? n? ? 2n .
所以 bn ? ? n ?1? ? 2 ?1 .
n

因为 bn ? 9217 , 所以 n ? 10 . 12. (本小题满分 15 分) (1) 证明: 连接 AB1 , AC1 ,
4

∵三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, M 为 A 1B 的中点, ∴ M 为 AB1 的中点. ∵ N 为 B1C1 的中点, ∴ MN ∥ AC1 . ∵ AC1 ? 平面 A 1 ACC1 , MN ? 平面 A 1 ACC1 ,
x B1 M A B C y z A1 N C1

∴ MN ∥平面 A 1 ACC1 . (2)解: 以 AB 所在直线为 x 轴, AC 所在直线为 y 轴, AA1 所在直线为 z 轴, 建立空间直角 坐标系 A ? xyz . 设 AA 2 , 则 A1 ? 0,0, a ? , C 0, 2, 0 , M ? 1 ? a , 由于 AB ? AC ? ?

?

?

? 2 a? , 0, ? ?, 2 2 ? ?

? 2 2 ? N? ? 2 , 2 ,a? ?. ? ?
∴ A1 N ? ?

???? ?

? 2 2 ? ????? ? 2 a? ? 2 , 2 ,0? ? , A1M ? ? ? 2 , 0, ? 2 ? ?, ? ? ? ?

???? ? 2 ? ? 2 2 ? ???? a? CN ? ? , ? , a , ? 2, , CM ? ? ? ?. ? 2 ? ? 2 2 2? ? ? ? ?
设平面 A1MN 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? , 由 A1 N ? n1 ? 0 , A 1 ? 0, 1M ? n

???? ?

?????

? ? ? 得? ? ? ?

2 2 x1 ? y1 ? 0, 2 2 2 a x1 ? z1 ? 0. 2 2
? ? 2? ?. a ? ?

令 x1 ? 1 ,则 y1 ? ?1, z1 ?

2 . a

∴ n1 ? ?1, ?1, ?

设平面 CMN 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? , 由 CN ? n2 ? 0 , CM ? n2 ? 0 ,
5

????

???? ?

? ? ? 得? ? ? ?

2 2 x2 ? y2 ? az2 ? 0, 2 2 2 令 y2 ? 1 , 则 z2 ? ? , x2 ? 3 . a 2 a x2 ? 2 y2 ? z2 ? 0. 2 2
? ? ? 2? ?. a ? ?

∴ n2 ? ? 3,1, ?

∵二面角 A 1 ? MN ? C 为直二面角, ∴ n1 ? n2 ? 0 . ∴ 1? 3 ? 1? 1 ? ∴ a ? 1. ∴点 C 到平面 A1MN 的距离 d ?

2 2 ? ? 0. a a
???? CN ? n1 n1

?

2 2 ? 2. 2

∵ MN ?

1 1 3 1 3 , A1M ? A1 B ? , A1 N ? B1C1 ? 1 , AC1 ? 2 2 2 2 2

∴ S? A1MN ?

1 2 ?1 ? ? A1 N ? MN 2 ? ? A1 N ? ? . 2 4 ?2 ?
1 1 2 1 ? d ? S? A1MN ? ? 2 ? ? . 3 3 4 6

2

∴三棱锥 A1 ? CMN 的体积为 V ? 13. (本小题满分 20 分) (1) 解:由题意, 知 m ? 1 ? 1 ,即 m ? 0 .

? y ? x ? 2, ? 2 由 ? x2 得 ? m ? 2? x ? 4 ? m ?1? x ? 3? m ?1? ? 0 , 2 ? y ? 1, ? ? m ?1
由 ? ? 16 ? m ? 1? ? 12 ? m ? 2 ?? m ? 1? ? 0 ,解得 m ? 2 或 m ? ?1 (舍去)
2

所以 m ? 2 . 此时 EF 1 ? EF 2 ? 2 m ?1 ? 2 3 ,

C 的方程为 当且仅当 m ? 2 时, EF 1 ? EF 2 取得最小值 2 3 , 此时椭圆
(2) 设直线 l 的方程为 y ? kx ? b ,
6

x2 ? y 2 ? 1. 3

? y ? kx ? b, ? 2 2 2 由 ? x2 得 ?1 ? 3k ? x ? 6kbx ? 3b ? 3 ? 0 , 2 ? ? y ? 1, ?3
因为直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B , 所以 ? ? ? 6kb ? ? 4 1 ? 3k
2

?

2

??3b

2

? 3? ? 0 , 即 b2 ? 1 ? 3k 2 . ①

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ? ?

由 AQ ? QB , 得点 Q 为线段 AB 的中点, 则 xQ ?

????

??? ?

6kb . 1 ? 3k 2

x1 ? x2 3kb ?? , 2 1 ? 3k 2

yQ ? kxQ ? b ?

因为 NQ ? AB ? 0 ,所以 k AB ? kNQ ? ?1 .

???? ??? ?

b . 1 ? 3k 2

b ?1 2 即 1 ? 3k ? k ? ?1 , 化简得 1 ? 3k 2 ? 2b , 3kb ? 1 ? 3k 2
代入①得 b ? 2b ,解得 0 ? b ? 2 .
2

2 又 3k ? 2b ? 1 ? 0 ,得 b ?

1 2

所以直线 l 在 y 轴上截距的取值范围为 ? 14. (本小题满分 20 分)

?1 ? ,2? . ?2 ?

2 (1)解:由 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x , 得 f ? ? x ? ?

1 ? 2x , x?a

依题意,得 f ? ? 0 ? ? 所以, a ? 1 .

1 ? 1, a
2

所以, f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x 。 因为,点 0, f ? 0? 在直线 y ? x ? b 上, 所以, b ? f ? 0? ? 0 (2) 解: 函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?a, ?? ? , f ? ? x ? ?
2 2

?

?

2 x 2 ? 2ax ? 1 . x?a

方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a ? 8 .
7

当? ? 0, 即a ?
2

2或a ? ? 2 ,

则 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不同的实根,其中

x1 ?

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 , x2 ? . 2 2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a , x2 ? ?a , 从而 f ? ? x ? 在定义域内没有零点, 故 f ? x ? 没有极值. 当a ?

2 时, x1 ? ?a , x2 ? ?a ,从而 f ? ? x ? 在定义域内有两个不同零点,

于是, f ? x ? 在 x ? x1 , x ? x2 处取得极值. 综上所述, f ? x ? 存在极值, 实数 a 的取值范围为

?

2, ?? .

?

f ? x ? 的极值之和为
2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ln ? x1 ? a ? ? x12 ? ln ? x2 ? a ? ? x2

1 ? ln ? a 2 ? 1 2 ? 1 ? ln 2 e ? ln . 2
15.(本小题满分 20 分)

? 1? ? 1? (1) 证明: f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? n? ? n?
2x

2x

2

? 1? ? 1? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? n? ? n?

2

? 1? ? 2 ?1 ? ? ? n?

x

? 1? ? ?1 ? ? ? n?
x

? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? n? ? n? ? 2? ? 1? ? 1? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? n? ? n?
x

x

? 2 f ? ? x? .
8

(2) 解: 对 m ?N , 且 m ? 1 , 有
*

? 1? 0 1 ? 1 ? 2? 1 ? k ? k ? m? 1 ? ?1 ? ? ? Cm ? Cm ? ? ? Cm ? ? ? ? ? Cm ? ? ? ? ? Cm ? ? ? m? ? m? ? m? ? m? ? m?
2 k

m

2

k

m

m ? m ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1??? m ? k ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1??2 ?1 ? 1 ? ? 1?1? ? ? ??? ? ? ??? ? ? 2! ? m ? k! m! ?m? ?m?

m

? 2?
? 2?

1? 1? 1 ? 1 ?? 2 ? ? k ?1 ? 1 ? 1 ? ? m ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? 1 ? ? 2! ? m ? k ! ? m ?? m ? ? m ? m! ? m ? ? m ?
1 1 1 1 ? ??? ??? 2! 3! k! m!

? 2?

1 1 1 1 ? ??? ??? 1? 2 2 ? 3 k ? k ? 1? m ? m ? 1?

1 1? 1? ? 1? ?1 1? ? 1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3? ? 3 . m ? 2? ? 2 3? ? k ?1 k ? ? m ?1 m ?
k 又因为 Cm ?

?1? ? ? 0 ? k ? 2,3,?, m ? , ?m?
1 k

k

故 2 ? ?1 ?

? ?

1? ? ? 3. m?

m

n ? 1? ? 1? 因为 2 ? ?1 ? ? , 从而 2n ? ? ?1 ? ? ? 3n , k? ? 1? k ?1 ?

? 1? 即存在 a ? 2 ,使得 2n ? ? ?1 ? ? ? 3n 恒成立. k? k ?1 ?
n

k

9


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