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2014年高三数学(理)2第8章 8讲 曲线与方程


第8讲 曲线与方程

第八章

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

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1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
2. 了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的 基本方法. 3. 能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

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1个重要主题 通过坐标法,由已知条件求轨迹方程,通过对方程的研 究,明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两

大任务,是解析几何的核心问题,也是高考的热点之一.
1点必记区别 轨迹与轨迹方程的区别:求轨迹方程只求出方程即可,求 轨迹时,首先求出轨迹方程,然后说明轨迹的形状、位置、大 小.若轨迹有不同的情况,应分别讨论,以保证它的全面性.

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4种必会方法 1. 直接法:也叫直译法,即根据题目条件,直译为关于动

点的几何关系,再利用解析几何有关公式(两点间距离公式、点
到直线距离公式等)进行整理、化简. 2. 定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方 程,再确定其中的基本量. 3. 代入法:也叫相关点法,其特点是,动点M(x,y)的坐标

取决于已知曲线C上的点(x′,y′)的坐标,可先用x,y表示x′、
y′,再代入曲线C的方程,即得点M的轨迹方程.
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4. 参数法:选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标x、
y,得出轨迹的参数方程,消去参数,即得其普通方程. 常见的 参数有角度、直线的斜率、点的横纵坐标、线段长度等.

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课前自主导学

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1. 曲线与方程 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或 适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的

实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲 线.

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若曲线与方程的对应关系中只满足(2)条会怎样?

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下列命题是否正确 x ①方程 =1 表示斜率为 1, y 轴上的截距为 2 的直线 在 y-2 ( ) ②△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(0,3), B(-2,0), C(2,0), BC 边上的中线的方程是 x=0( )

③到 x 轴的距离为 5 的点的轨迹方程为 y=5( ) ④曲线 2x2-3y2-2x+m=0 过原点的充要条件是 m=0( )
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2.求曲线方程的基本步骤

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(1)直角坐标平面 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y) → OA → 满足OP· =4,则点 P 的轨迹方程是 ________. (2)曲线 y=- 1-x2与曲线 y+|x|=0 的交点的个数为 ________. x2 2 (3)设 P 为双曲线 4 -y =1 上一动点, 为坐标原点, O M 为线段 OP 的中点,则点 M 的轨迹方程是________.
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1. 想一想:提示:若只满足“以这个方程的解为坐标的点 都是曲线上的点”,则以这个方程的解为坐标的点的集合形成 的曲线可能是已知曲线的一部分,也或许是整条曲线. 判一判:①× ②× ③× ④√ 提示:①表示去掉(0,2)的直线,②中,BC边长的中线方程

为x=0(0≤y≤3),③中轨迹方程为y=±5.

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2.填一填:(1)x+2y-4=0 提示:(x,y)· (1,2)=4,即 x+2y-4=0. (2)2 个 提示:y=- 1-x2即 x2+y2=1(y≤0), 而
?-x,x≥0, ? y=-|x|=? ?x,x<0, ?

如图可知有两个交点. (3)x2-4y2=1 提示:设M(x,y),则P(2x,2y),代入双曲

线方程得x2-4y2=1,即为所求.
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核心要点研究

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例1

[2012·四川高考]如图,动点M与两定点A(-1,0)、

B(1,0)构成△MAB,且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的

轨迹为C.求轨迹C的方程.
[审题视点] 设出点M的坐标,把几何条件或等量关系用 坐标表示为代数方程,化简整理即可.

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[解] 设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1 时,直线 MA 的 斜率不存在; 当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在. 于是 x≠1 且 x≠-1, y y 此时,MA 的斜率为 ,MB 的斜率为 , x+1 x-1 y y 由题意,有 · =4,化简可得,4x2-y2-4=0. x+1 x-1 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2-y2-4=0(x≠1 且 x≠ -1).
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奇思妙想:平面内与两定点A1(-a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的 斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1 、A2 两点所成的

曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.求曲线C的方程,并讨论C的
形状与m值的关系.

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解:设动点为 M,其坐标为(x,y), y2 y y 当 x≠± 时, a 由条件可得 kMA1· 2= kMA · = x-a x+a x2-a2 =m, 即 mx2-y2=ma2(x≠± a). 又 A1(-a,0)、A2(a,0)的坐标满足 mx2-y2=ma2. 故依题意,曲线 C 的方程为 mx2-y2=ma2.

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x2 y2 当 m<-1 时,曲线 C 的方程为a2+ =1,C 是焦点 -ma2 在 y 轴上的椭圆; 当 m=-1 时,曲线 C 的方程为 x2+y2=a2,C 是圆心 在原点的圆; x2 y2 当-1<m<0 时,曲线 C 的方程为a2+ =1,C 是焦 -ma2 点在 x 轴上的椭圆; x2 y 2 当 m>0 时,曲线 C 的方程为a2-ma2=1,C 是焦点在 x 轴上的双曲线.
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1.直接法求轨迹方程是求曲线方程的基本方法.圆锥曲线的 标准方程都是由直接法求得的.当轨迹易于列出动点(x,y)满

足的方程时可用此法.
2.求动点轨迹时应注意它的完备性.化简过程破坏了方程的 同解性,要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点.“轨迹” 与“轨迹方程”是两个不同的概念,前者指曲线的形状、位 置、大小等特征,后者指方程(包括范围).

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[变式探究]

[2012· 江西高考]已知三点 O(0,0), A(-2,1),

→ → → (OA B(2,1),曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足|MA+MB|=OM·→ → +OB)+2.求曲线 C 的方程. → → 解:由MA=(-2-x,1-y),MB=(2-x,1-y),

→ → |MA+MB|= ?-2x?2+?2-2y?2, → (OA → OM·→ +OB)=(x,y)· (0,2)=2y, 由已知得 ?-2x?2+?2-2y?2=2y+2, 化简得曲线 C 的方程:x2=4y.
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例2 迹方程.

[2013·西安调研]已知定点A(0,7)、B(0,-7)、

C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,求另一焦点F的轨
由于椭圆过A,B两点,且以C、F为焦点,所

[审题视点]

以可利用椭圆的定义寻找点F所满足的关系.

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[解] 设 F(x,y)为轨迹上的任意一点, ∵A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上, ∴|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a(其中 a 表示椭圆的长 半轴长). ∴|FA|+|CA|=|FB|+|CB|. ∴|FA|-|FB|=|CB|-|CA| = 122+92- 122+?-5?2=2.

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∴|FA|-|FB|=2<14. 由双曲线的定义知,F 点在以 A、B 为焦点,2 为实轴长 的双曲线的下支上, x2 ∴点 F 的轨迹方程是 y2-48=1(y≤-1).

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1.运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可 从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立

关系式,从而求出轨迹方程.
2.定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线,其方程 是什么形式的方程.利用条件把待定系数求出来,使问题得 解.

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[变式探究]

如图,已知定点 F(-1,0)、N(1,0),以线

段 FN 为对角线作周长是 4 2的平行四边形 MNEF.平面上的 → 动点 G 满足|OG|=2(O 为坐标原点).求点 E、M 所在曲线 C1 的方程及动点 G 的轨迹 C2 的方程.

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解:因为四边形 MNEF 为周长为 4 2的平行四边形,所 以点 E 到点 F、N 的距离之和是 2 2,又|NF|=2<2 2,由椭 圆的定义知,曲线 C1 为椭圆,a= 2,c=1,b=1. x2 2 故椭圆 C1 的方程为 2 +y =1. → 由|OG|=2 知,动点 G 的轨迹为以坐标原点 O 为圆心、 2 为半径的圆,其方程为 x2+y2=4.

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例3

[2012·湖北高考]设A是单位圆x 2 +y 2 =1上的任意一

点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M

在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).当点A在圆上
运动时,记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点 坐标.

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[解] 如图, M(x, A(x0,0), 设 y), y 则由|DM|=m|DA|(m>0, 且 m≠1),可得 x=x0,|y|=m|y0|, 1 所以 x0=x,|y0|=m|y|.① 因为 A 点在单位圆上运动, 所以 x2+y2=1.② 0 0 y2 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 + m2 = 1(m>0,且 m≠1).
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因为 m∈(0,1)∪(1,+∞),所以 当 0<m<1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为(- 1-m2,0),( 1-m2,0); 当 m>1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为(0,- m2-1),(0, m2-1).

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动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,

y)却随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律地运动,且动点
Q的轨迹方程为给定或容易求得,则可先将x′、y′表示为 x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得点P的轨迹方 程,此法称为代入法,也称相关点法.

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[变式探究]

[2013·唐山模拟]已知点A,B分别是射线l1:y

=x(x≥0),l2:y=-x(x≥0)上的动点,O为坐标原点,且△OAB

的面积为定值2,则线段AB中点M的轨迹方程为________.
答案:x2-y2=2(x>0)

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解析:由题意可设 A(x1,x1),B(x2,-x2),M(x,y),其 ? x1+x2 ?x= 2 ,① ? 中 x1>0,x2>0,则? ? x1-x2 ?y= 2 .② ? ∵△OAB 的面积为定值 2, 1 1 ∴S△OAB=2OA· OB=2( 2x1)( 2x2)=x1x2=2. ①2-②2 得 x2-y2=x1x2,而 x1x2=2,∴x2-y2=2. 由于 x1>0,x2>0,∴x>0. 即所求点 M 的轨迹方程为 x2-y2=2(x>0).
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课课精彩无限

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【选题· 热考秀】[2012· 辽宁高考]如图,动圆 C1:x2+y2 x2 2 =t2,1<t<3,与椭圆 C2: 9 +y =1 相交于 A,B,C,D 四点, 点 A1,A2 分别为 C2 的左,右顶点. (1)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的 面积取得最大值?并求出其最大面积; (2)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程.
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[规范解答] 4|x0||y0|.

(1)设 A(x0,y0),则矩形 ABCD 的面积 S=

2 ? x0? x2 2 x2 1 0 0 2 2 2 2 ?1- ?=- 由 9 +y0=1,得 y0=1- 9 ,从而 x0y0=x0 9? 9 ?

? 2 9? 9 ?x0- ?2+ . 2? 4 ?



9 2 1 2 x0= ,y0= 时,Smax=6.从而 2 2

t= 5时,矩形 ABCD

的面积最大,最大面积为 6.

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(2)由 A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知 y0 直线 AA1 的方程为 y= (x+3),① x0+3 -y0 直线 A2B 的方程为 y= (x-3),② x0-3
2 -y0 2 由①②得 y2= 2 (x -9).③ x0-9

x2 0 2 又点 A(x0,y0)在椭圆 C 上,故 y0=1- 9 .④ x2 2 将④代入③得 9 -y =1(x<-3,y<0). x2 2 因此点 M 的轨迹方程为 9 -y =1(x<-3,y<0).
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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角

(1)构造函数,利用函数与方程的思想探究其单调性、最
值;(2)设出变量,利用参数法确定点的轨迹方程,同时注明 x,y的取值范围.

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No.2

角度关键词:方法突破

应用参数法求轨迹方程时,首先要选择恰当的参数,参数 必须能刻画动点的运动变化,而且与动点坐标有直接的内在联

系.如果需要,还应顾及消去参数的方便,选定参数之后,即
可当作已知数,运用轨迹条件,求出动点的坐标,即得轨迹的 参数方程,消去参数即得轨迹的普通方程.

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经典演练提能

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1. 已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹 是( ) A. 双曲线 B. 双曲线左边一支

C. 一条射线
答案:C

D. 双曲线右边一支

解析:因为|PM|-|PN|=|MN|=4,所以动点P的轨迹是以 N(2,0)为端点向右的一条射线.

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1 1 2. [2013· 余姚模拟]已知点 F(4,0),直线 l:x=-4,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂 直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是( A. 双曲线 C. 圆 B. 椭圆 D. 抛物线 )

答案:D 解析:由已知:|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点M的轨迹

是以F为焦点,l为准线的抛物线,故选D.

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3. [2013·泉州模拟]已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆的 一个动点,如果M是线段F 1 P的中点,那么动点M的轨迹是 ( )

A. 圆
C. 双曲线的一支 答案:B

B. 椭圆
D. 抛物线

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解析:如图所示,由题知|PF1|+|PF2|=2a,设椭圆方程: x2 y 2 a2+b2=1(其中 a>b>0).连接 MO,由三角形的中位线可得: |F1M|+|MO|=a(a>|F1O|),则 M 的轨迹为以 F1、O 为焦点的 椭圆.
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4. [金版原创题]若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤1或 x≥4},则点M(b,c)的轨迹方程是( )

A. x+y=0
B. x+y=0(x>0) C. 4x+5y=0(x>0) D. 5x+4y=0(x>0)

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答案:C
b c 解析:由题意可知 a<0 且 1+4=-a,1×4=a,所以点 M 的轨迹方程为 4b+5c=0(b>0),故选 C.

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5. [2013·蚌埠模拟]已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点 P满足|PA|=2|PB|,那么点P的轨迹所围成的图形的面积等于

(

)
A. π C. 8π 答案:B
解析:设 P(x,y),由|PA|=2|PB|,得 ?x+2?2+y2 =

B. 4π D. 9π

2 ?x-1?2+y2,整理得 x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4,故 S=4π.
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