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高中数学 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系素材 新人教A版必修2


点、线、面典例解析 平面的基本性质与推论主要有:公理 1、公理 2 和公理 3、公理 4 及三个推论,它们是确 定平面、判定直线或交线的基本依据.为方便记忆,公理 1 可以简化成“两点定线” ,它是判 定一条直线是否在某个平面内的依据(只要在直线上找出两个点在该平面内即可) ;公理 2 可 简化为“窥一点知全线” ,它是寻找两个平面交线的依据;公理 3 可简化成“三点定面” (强 调不共线) ,它是确定平面的根本方法,后面的几个推论本质上都源于此.而公理 4 体现了直 线平行的传递性,且这种平行关系不受直线条数的限制,它是证明或判定两直线平行的主要 依据.应用公理 4 证明两条直线平行主要是要找出第三条直线与前两条直线平行. 例 1 已知 △ ABC 在平面 ? 外,且 AB ? ? P , AC ? ? R , BC ? ? Q ,求证: P,Q,R 三点共线. 解析:如图 1,只需要证明 P,Q,R 都在平面 ? 与 △ ABC 所在 平面的交线上即可. AB ? ? P , AB ? 平面 ABC ,则点 P ? 平面 ABC , 且 P ?? , 故点 P 在平面 ? 与平面 ABC 的交线 l 上, 即 P ?l . 同 理 可 证 Q,R 也 在 平 面 ? 与 平 面 ABC 的 交 线 上 , 即 Q ? l,R ? l , 因此 P,Q,R 三点共线(都在 l 上) . 例 2 如图 2, △ ABC 与 △A1B1C1 三条边对应平行,且两个三角 形不全等,证明三对对应顶点的连线相交于一点. 解析: A1B1 ∥ AB ,由推论 3 知 A ,AB 可确定平面 ? , 1B 1 同理 AC 1 1 ∥ AC,C1B 1 ∥CB , 则 C1B1,CB 和 AC ,AC 可分别确定平面?茁、?酌, 1 1 而且 △ ABC 与 △A1B1C1 不全等,则 A1B1 ? AB . 由 AA1 ? ? ,若 AA ,BB1 交点为 P , 1 则 P ? AA ,P ? BB1 . 1 又? ? ? CC1 , BB1 ? ? ,则 P ? ? ; AA1 ? ? ,则 P ? ? ; ? 上,即 P ? CC1 ,这样点 P 在 AA1,BB1,CC1 上,即三对对应顶点的 所以点 P 在 ? 连线相交于一点. 注:证明三条直线交于一点,可先设出两条直线的交点,然后证明此点在第三条直线上. 例 3 求证两两相交且不过一点的四条直线必在同一个平面内. 解析:可首先由两条相交直线确定一个平面,再证明其余直线都在该平面内即可,分两 类情况:有三条直线共点;任何三条直线都不共点. (1) 如图 3, 设直线 a,b,c 相交于点 O , 直线 d 和 a,b,c 分 别交于 A,B,C 三点,直线 a, b 确定平面为 ? , 则 a ? ? , b ? ? , O ?? , A ?? , B ?? , 由公理 1, A ? ?,B ? ? ,则 AB ? ? (即 d ? ? ) , C ? d ,则 C ? ? . 由 O ? ? , C ? ? ,则 OC ? ? ,则 c ? ? , 所以 a,b,c,d 都在平面 ? 内. (2)如图 4,若 a,b,c,d 中任何三条直线都不共点,设 a b ? A ,b c ? B ,c d ? C ,d a ? D,a c ? E , b d ? F , 直 线 a, b 确 定 平 面 为 ? , 则 a ? ? , b ? ? , A,D,E 都在 ? 内(即

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