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2013年浙江省高考数学试题及答案(文科)word解析版


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绝密★考试结束前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部 分 4 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 如果事件 A, B 互斥 ,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A, B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 P ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率
k k n ?k P (k ? 0,1, 2,..., n) n (k ) ? Cn p (1 ? p)

台体的体积公式

1 V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下面积, h 表示台体的高 柱体体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V ?

1 Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 3
2

球的表面积公式 S ? 4? R 球的体积公式 V ?

4 ? R 3 其中 R 表示球的半径 3
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一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 设集合 S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则 S∩T=( ) A.[-4,+∞) B.(-2,+∞) C.[-4,1] D.(-2,1] 2. 已知 i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)=( ) A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i 3. 若 α∈,则“α=0”是“sin α<cos α”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. , 设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,m∥β,则 α∥β C.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β 5. 已知某几何体的三视图(单位: cm)如图所示, 则该几何体的 体积是( ) B.100 cm3 C.92 cm3 D.84 cm3 ) 3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( 2 C.2π,1 D.2π,2 )

A.108 cm3

6. 函数 f(x)=sin xcos x+ A.π,1

B.π,2

7. 已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则(

A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 8. 已知函数 y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数 y=f′(x)的图像如图所示, 则该函数的图像是( )

x2 9.如图所示,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 4 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形, 则 C2 的离心率是( A. 2 ) C. 3 2 D. 6 2

B. 3

10. 设 a,b∈,定义运算“∧”和“∨”如下:
?a,a≤b, ?b,a≤b, ? ? a∧b=? a∨b=? 若正数 a, b, c, d 满足 ab≥4, c+d≤4, 则( ?b,a>b, ?a,a>b. ? ?

)

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A.a∧b≥2,c∧d≤2 C.a∨b≥2,c∧d≤2

B.a∧b≥2,c∨d≥2 D.a∨b≥2,c∨d≥2

非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. 已知函数 f(x)= x-1.若 f(a)=3,则实数 a= ________. 12. 从 3 男 3 女共 6 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等), 这 2 名都是女同学的概率等于________. 13.直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得的弦长等于________. 14.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于________.

? x ? 2, ? 15.设 z=kx+y, 其中实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 若 z 的最大值为 12, 则实数 k=______. ? 2 x ? y ? 4 ? 0. ?
16. 设 a,b∈R,若 x≥0 时恒有 0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则 ab=________. π |x| 17. 设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R,若 e1,e2 的夹角为 ,则 的最大 6 |b| 值等于________. 三、解答题 18.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asin B= 3b. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

19.在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an ; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|.

20.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD= 7,PA= 3, ∠ABC=120° ,G 为线段 PC 上的点. (1) 证明:BD⊥平面 APC; (2) 若 G 为 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值; PG (3) 若 G 满足 PC⊥平面 BGD,求 的值. GC

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21.已知 a ? R ,函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax. (1) 若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2) 若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.

22. 已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1). (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点,若直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M, N 两点,求|MN|的最小值.

2 0 0 9 0 4 2 3

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答案解析
选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.答案:D 解析:集合 S 与集合 T 都表示连续的实数集,此类集合的运算可通过数轴直观表示出

来. ,故 S∩T={x|-2<x≤1},故选 D. 2.答案:C 2 2 解析:(2+i)(3+i)=6+5i+i ,因为 i =-1,所以(2+i)(3+i)=5+5i,故选 C. 3.答案:A 解析:当 α =0 时,sin α <cos α 成立;若 sin α <cos α ,α 可取

π 等值,所以“α 6

=0”是“sin α <cos α ”的充分不必要条件.故选 A. 4.答案:C 解析:A 选项中直线 m,n 可能平行,也可能相交或异面,直线 m,n 的关系是任意的;B 选 项中,α 与 β 也可能相交,此时直线 m 平行于 α ,β 的交线;D 选项中,m 也可能平行于 β .故选 C. 5.答案:B 解析:由三视图可知,该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥,故几何体的体积是 6×3×6-

1 1 2 3 × ×3×4 =100(cm ).故选 B. 3 2

6.答案:A 解 析 : 由 y = sin xcos x +

1 3 3 cos 2x = sin 2x + cos 2x = 2 2 2 2π π? ? sin ? 2 x ? ? ,因为 ω =2,所以 T= =π ,又观察 f(x)可知振幅为 ? 3? ?
b ? 2 .所以 4a+ 2a

1,故选 A. 7.答案:A 解析:由 f(0)=f(4)知二次函数 f(x)=ax +bx+c 对称轴为 x=2,即 ?
2

b=0,又 f(0)>f(1)且 f(0),f(1)在对称轴同侧,故函数 f(x)在(-∞,2]上单调递减, 则抛物线开口方向朝上,知 a>0,故选 A.
8.答案:B 解析:由导函数图象知,函数 f(x)在[-1,1]上为增函数.当 x∈(-1,0)时 f′(x)由小到 大,则 f(x)图象的增长趋势由缓到快,当 x∈(0,1)时 f′(x)由大到小,则 f(x)的图象增长 趋势由快到缓,故选 B. 9. 答案:D 解析:椭圆 C1 中,|AF1|+|AF2|=2a=4,|F1F2|=2c= 2 3 .又四边形 AF1BF2 为矩形,∴∠

F1AF2=90°,∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,∴|AF1|= 2 ? 2 ,|AF2|= 2 ? 2 ,∴双曲线 C2
中,2c= 2 3 ,2a=|AF2|-|AF1|= 2 2 ,故 e ? 10.答案:C
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3 6 ,故选 D. ? 2 2

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解析:由题意知,运算“∧”为两数中取小,运算“∨”为两数中取大,由 ab≥4 知,正数 a,b 中至少有一个大于等于 2.由 c+d≤4 知,c,d 中至少有一个小于等于 2,故选 C. 非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.答案:10 解析:由 f(a)= a ? 1 =3,得 a-1=9,故 a=10. 12.答案:

1 5 3 1 ? . 15 5

解析:从 3 男,3 女中任选两名,共有 15 种基本情况,而从 3 女中任选 2 名女同学,则有 3 种基本情况,故所求事件的概率为 13.答案: 4 5 解析:圆的圆心为(3,4),半径是 5,圆心到直线的距离 d ?

| 2?3 ? 4 ? 3 | 22 ? 12

? 5 ,可知弦长

l ? 2 52 ? ? 5 ? 2 ? 4 5 . 9 14. 答案: 5
解析:该程序框图为循环结构.

1 3 = ; 1? 2 2 3 1 5 ? ; 当 k=2 时, S ? ? 2 2?3 3 5 1 7 ? ; 当 k=3 时, S ? ? 3 3? 4 4 7 1 9 9 ? ,循环结束,输出 S ? . 当 k=4 时, S ? ? 4 4?5 5 5
当 k=1 时,S=1+ 15.答案:2

? x ? 2, ? 解析: 满足条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 的区域 D 如图阴影部分所示, 且 A(2,3), B(4,4), C(2,0). 作 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
直线 l0:y=-kx,当 k>0 时,y=-kx 为减函数,在 B 处 z 最大,此时 k=2;当 k<0 时,

y=-kx 为增函数,当-k∈ ? 0, ? 时,在 B 处 z 取最大值,此
时 k=2(舍去);当-k>

? ?

1? 2?

1 9 时,在 A 处取得最大值, k ? (舍 2 2

去),故 k=2. 16.答案:-1 解析:令 x=1,得 0≤1-1+a+b≤0, 整理,得 a+b=0,① 令 x=-1,得 0≤1-(-1)-a+b≤0, 整理,得 a-b=2,② 解①②组成的方程组,得 ? 17.答案:2

?a ? 1, ∴ab=-1. ?b ? ?1.

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解析:因为 b≠0,所以 b=xe1+ye2,x≠0,y≠0.

| x |2 x2 1 ? ? 2 ,不妨设 2 2 2 y |b| x ? y ? 3xy y ? 3 ?1 x2 x 2 y 1 3 | x| 1 | x |2 2 ? t ,则 2 ? 2 ,当 t ? ? 时,t + 3 t+1 取得最小值 ,此时 取 x 4 2 |b| | b |2 t ? 3t ? 1 |x| 得最大值,所以 的最大值为 2. |b|
又 |b| = (xe1 + ye2) = x + y + 3 xy ,
2 2 2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.解:(1)由 2asin B= 3 b 及正弦定理 因为 A 是锐角,所以 A ?
2 2 2

a b 3 ? ,得 sin A= . sin A sin B 2

π . 3
2 2

(2)由余弦定理 a =b +c -2bccos A,得 b +c -bc=36.

28 . 3 1 7 3 由三角形面积公式 S= bcsin A,得△ABC 的面积为 . 2 3
又 b+c=8,所以 bc ? 19.解:(1)由题意得 5a3·a1=(2a2+2) , 2 即 d -3d-4=0. 故 d=-1 或 d=4. * * 所以 an=-n+11,n∈N 或 an=4n+6,n∈N . (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11.则当 n≤11 时, |a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=Sn= ?
2

1 2 21 n ? n. 2 2 1 2 21 n ? n +110. 2 2

当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=-Sn+2S11=

? 1 2 21 ? n ? n, n ? 11, ? ? 2 2 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|= ? ? 1 n 2 ? 21 n ? 110, n ? 12. ? ?2 2
20.解:(1)设点 O 为 AC,BD 的交点. 由 AB=BC,AD=CD,得 BD 是线段 AC 的中垂线. 所以 O 为 AC 的中点,BD⊥AC. 又因为 PA⊥平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD, 所以 PA⊥BD. 所以 BD⊥平面 APC. (2)连结 OG.由(1)可知 OD⊥平面 APC,则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG,所以∠OGD 是 DG 与 平面 APC 所成的角. 由题意得 OG= 在△ABC 中,

1 3 PA= . 2 2

AC= AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC
=2 3,

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所以 OC=

1 AC= 3 . 2

在直角△OCD 中,OD= CD2 ? OC 2 =2.

OD 4 3 . ? OG 3 4 3 所以 DG 与平面 APC 所成的角的正切值为 . 3 (3)连结 OG.因为 PC⊥平面 BGD,OG ? 平面 BGD,所以 PC⊥OG. 在直角△PAC 中,得 PC= 15 .
在直角△OGD 中,tan∠OGD= 所以 GC=

PG 3 AC ? OC 2 15 3 15 ? . .从而 PG= ,所以 ? GC 2 PC 5 5
2

21.解:(1)当 a=1 时,f′(x)=6x -12x+6, 所以 f′(2)=6. 又因为 f(2)=4,所以切线方程为 y=6x-8. (2)记 g(a)为 f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值. f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令 f′(x)=0,得到 x1=1,x2=a. 当 a>1 时, x 0 (0,1) 1 f′(x) + 0

(1,a) - 单调 递减

a
0 极小值 a2(3- a)

(a,2a) + 单调 递增

2a

f(x)

0

单调递增

极大值 3a-1

4a

3

比较 f(0)=0 和 f(a)=a (3-a)的大小可得 g(a)= ? 当 a<-1 时,

2

?0,1 ? a ? 3, 2 ?a ?3 ? a ?, a ? 3.
(1, -2a) + 单调递增 -2a -28a -24a
3 2

x f′(x) f(x) 得 g(a)=3a-1.

0 0

(0,1) - 单调递减

1 0 极小值 3a-1

?3a ? 1, a ? ?1, ? 综上所述,f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为 g(a)= ?0,1 ? a ? 3, ?a 2 ?3 ? a ?, a ? 3. ? p 2 22.解:(1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x =2py(p>0),则 ? 1 , 2
所以抛物线 C 的方程为 x =4y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1. 由?
2

? y ? kx ? 1, 2 消去 y,整理得 x -4kx-4=0, 2 ?x ? 4 y

所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4 k 2 ?1 .

y1 ? ? y ? x, x1 由? ? y ? x ? 2, ?
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解得点 M 的横坐标 xM ?

2 x1 ? x1 ? y1

2 x1 8 ? . 2 x1 4 ? x1 x1 ? 4

同理点 N 的横坐标 xN=

8 . 4 ? x2

所以|MN|= 2 |xM-xN| = 2

8 8 ? 4 ? x1 4 ? x2 x1 ? x2 x1 x2 ? 4? x1 ? x2 ? ? 16

=8 2



8 2 k 2 ?1 . | 4k ? 3 |

t ?3 . 4 25 6 当 t>0 时,|MN|= 2 2 2 ? ? 1>2 2 . t t
令 4k-3=t,t≠0,则 k ?

? 5 3 ? 16 8 ? 2. 当 t<0 时,|MN|= 2 2 ? ? ? ? ? t 5 ? 25 5 25 4 8 2. 综上所述,当 t ? ? ,即 k ? ? 时,|MN|的最小值是 3 3 5

2

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