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高中数学竞赛讲义7


高中数学竞赛讲义(七)
──解三角形

一、基础知识 在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各

边长,

为半周长。

1.正弦定理:

=2R(R 为△ ABC 外接圆半径) 。

推论1:△ ABC 的面积为 S△ ABC= 推论2:在△ ABC 中,有 bcosC+ccosB=a.

推论3:在△ ABC 中,A+B= ,解 a 满足

,则 a=A.

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论1,由

正弦函数定义,BC 边上的高为 bsinC,所以 S△ ABC=

;再证推论2,因为 B+C=

-A,所以 sin(B+C)=sinA,即 sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以2R 得 bcosC+ccosB=a;

再证推论3,由正弦定理

,所以

,即 sinasin( -A)=sin(

-a)sinA, 等价于

[cos( -A+a)-cos( -A-a)]=

[cos( -a+A)-cos( -a-A)], 等价于 cos( . 所以只有 -A+a= -a+A, 所以 a=A, 得证。

-A+a)=cos( -a+A), 因为0< -A+a, -a+A<

2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA 常用的结论。

,下面用余弦定理证明几个

(1)斯特瓦特定理:在△ ABC 中,D 是 BC 边上任意一点,BD=p,DC=q,则

AD2=

(1) ,

【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos

所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos 同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos 因为 ADB+ ADC= , ADC=0, ,

① ②

所以 cos

ADB+cos

所以 q×①+p×②得

qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q),即 AD =

2

2

2

2

注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式

( 2 ) 海 伦 公 式 : 因 为

b c sin A=

2 2

2

bc

2 2

(1-cos A)=

2

bc

2 2

[(b+c) -a ][a -(b-c) ]=p(p-a)(p-b)(p-c).

2

2

2

这里 所以 S△ ABC= 二、方法与例题 1.面积法。 例1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射线满足 , 另外 OP, OQ, 的长分别为 u, w, v, OR 这里 α, α+β∈(0, β, 则 P,Q,R 的共线的充要条件是 ),

【证明】P,Q,R 共线

(α+β)=

uwsinα+

vwsinβ

,得证。 2.正弦定理的应用。 例2 如图所示,△ ABC 内有一点 P,使得 ACB。 求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。 BPCBAC= CPACBA= APB-

【证明】 过点 P 作 PD

BC,PE

AC,PF

AB,垂足分别为 D,E,F,则 P,D, EDF=
0

C,E;P,E,A,F;P,D,B,F 三组四点共圆,所以 PBA= BPC0

PDE+

PDF= BAC+

PCA+ CBA+

BAC。由题设及 BAC= CPA-

BPC+ CBA=

CPA+ APB-

APB=360 可得 ACB=600。 BAC=BPsin

ACB=180 。 所以 所以 BPCEDF=600,同理 DEF=600,所以△ DEF 是正三角形。 ACB=APsin ABC,两边同时

所以 DE=EF=DF,由正弦定理,CDsin

乘以△ ABC 的外接圆直径2R,得 CP·BA=AP·BC=BP·AC,得证: 例3 如图所示,△ ABC 的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2相切,直线 GF 与 DE 交于 P,求 证:PA BC。

【证明】 延长 PA 交 GD 于 M,

因为 O1G

BC,O2D

BC,所以只需证

由正弦定理



所以

另一方面,



所以



所以 即 PA

,所以 PA//O1G, BC,得证。

3.一个常用的代换:在△ ABC 中,记点 A,B,C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z,则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例4 在△ ABC 中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y,则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.

4.三角换元。

例5 设 a, b, c∈R+,且 abc+a+c=b,试求

的最大值。

【解】 由题设

,令 a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,

则 tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤



当且仅当 α+β=

,sinγ=

,即 a=

时,Pmax=

例6 在△ ABC 中,若 a+b+c=1,求证: a2+b2+c2+4abc<

【证明】 设 a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β

.

因为 a, b, c 为三边长,所以 c<

, c>|a-b|,

从而

,所以 sin2β>|cos2α·cos2β|.

因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β

=

[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]

=

+

cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)

>

+

cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=

.

所以 a2+b2+c2+4abc< 三、基础训练题

1.在△ ABC 中,边 AB 为最长边,且 sinAsinB= __________. 2.在△ ABC 中,若 AB=1,BC=2,则

,则 cosAcosB 的最大值为

的取值范围是__________. tanCtanB,则△ ABC 的面积为

3.在△ ABC 中,a=4, b+c=5, tanC+tanB+ __________. 4.在△ ABC 中,3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1,则

=__________.

5.在△ ABC 中,“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件. 6.在△ ABC 中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,则角 A 的取值范围是__________.

7.在△ ABC 中,sinA=

,cosB=

,则 cosC=__________.

8.在△ ABC 中,“三边 a, b, c 成等差数列”是“tan 件. 9.在△ ABC 中,若 sinC=2cosAsinB,则三角形形状是__________.

”的__________条

10.在△ ABC 中,tanA·tanB>1,则△ ABC 为__________角三角形. 11.三角形有一个角是600,夹这个角的两边之比是8:5,内切圆的面积是12 个三角形的面积。 12.已知锐角△ ABC 的外心为 D,过 A,B,D 三点作圆,分别与 AC,BC 相交于 M, N 两点。求证:△ MNC 的外接圆半径等于△ ABD 的外接圆半径。 ,求这

13.已知△ ABC 中,sinC= 四、高考水平训练题

,试判断其形状。

1.在△ ABC 中,若 tanA=

, tanB=

,且最长边长为1,则最短边长为__________.

2.已知 n∈N+,则以3,5,n 为三边长的钝角三角形有________个. 3.已知 p, q∈R+, p+q=1,比较大小:psin2A+qsin2B__________pqsin2C. 4.在△ ABC 中,若 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,则△ ABC 为__________角三 角形.

5.若 A 为△ ABC 的内角,比较大小:

__________3.

6.若△ ABC 满足 acosA=bcosB,则△ ABC 的形状为__________. 7.满足 A=600,a= , b=4的三角形有__________个.

8.设 为三角形最小内角,且 acos2 __________.

+sin2

-cos2

-asin2

=a+1,则 a 的取值范围是

9.A,B,C 是一段笔直公路上的三点,分别在塔 D 的西南方向,正西方向,西偏北300 方向,且 AB=BC=1km,求塔与公路 AC 段的最近距离。 10.求方程 的实数解。

11.求证: 五、联赛一试水平训练题 1.在△ ABC 中,b2=ac,则 sinB+cosB 的取值范围是____________.

2.在△ ABC 中,若

,则△ ABC 的形状为____________.

3.对任意的△ ABC, ____________.

-(cotA+cotB+cotC),则 T 的最大值为

4.在△ ABC 中,

的最大值为____________. ,C,D 为动点,且

5.平面上有四个点 A,B,C,D,其中 A,B 为定点,|AB|=

|AD|=|DC|=|BC|=1。记 S△ ABD=S,S△ BCD=T,则 S2+T2的取值范围是____________. 6.在△ ABC 中,AC=BC, ABO=300,则 ACO=____________. ,O 为△ ABC 的一点, ,

7.在△ ABC 中,A≥B≥C≥ 最小值为__________.

,则乘积

的最大值为____________,

8. 在△ ABC 中, c-a 等于 AC 边上的高 h, 若 则 9.如图所示,M,N 分别是△ ABC 外接圆的弧

=____________. ,AC 中点,P 为 BC 上的动点,PM

交 AB 于 Q,PN 交 AC 于 R,△ ABC 的内心为 I,求证:Q,I,R 三点共线。 10 . 如 图 所 示 , P , Q , R 分 别 是 △ ABC 的 边 BC , CA , AB 上 一 点 , 且 AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证:AB+BC+CA≤2(PQ+QR+RP) 。 11.在△ ABC 外作三个等腰三角形△ BFC,△ ADC,△ AEB,使 BF=FC,CD=DA, AE=EB, ADC=2 BAC, AEB=2 ABC, BFC=2 ACB,并且 AF,BD,CE 交

于一点,试判断△ ABC 的形状。 六、联赛二试水平训练题 1.已知等腰△ ABC,AB=AC,一半圆以 BC 的中点为圆心,且与两腰 AB 和 AC 分别 相切于点 D 和 G,EF 与半圆相切,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,过 E 作 AB 的垂线,过 F

作 AC 的垂线,两垂线相交于 P,作 PQ B。

BC,Q 为垂足。求证:

,此处 =

2.设四边形 ABCD 的对角线交于点 O,点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点,点 H1, H2(不重合)分别是△ AOB 与△ COD 的垂心,求证:H1H2 MN。

3.已知△ ABC,其中 BC 上有一点 M,且△ ABM 与△ ACM 的内切圆大小相等,求证:

,此处

(a+b+c), a, b, c 分别为△ ABC 对应三边之长。 ABC= AED=900, BAC= EAD,BD 与 CE 交

4.已知凸五边形 ABCDE,其中 于点 O,求证:AO BE。

5.已知等腰梯形 ABCD,G 是对角线 BD 与 AC 的交点,过点 G 作 EF 与上、下底平 行,点 E 和 F 分别在 AB 和 CD 上,求证: AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS) 。 7.已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d,外接圆半径为 R,如果 a2+b2+c2+d2=8R2, 试问对此四边形有何要求? 8.设四边形 ABCD 内接于圆,BA 和 CD 延长后交于点 R,AD 和 BC 延长后交于点 P, A, B, C 指 的 都 是 △ ABC 的 内 角 , 求 证 : 若 AC 与 BD 交 于 点 Q , 则 AFB=900的充要条件是 AD+BC=CD。 PAQ= QAR= RAS,求证: 6.AP,AQ,AR,AS 是同一个圆中的四条弦,已知

9.设 P 是△ ABC 内一点,点 P 至 BC,CA,AB 的垂线分别为 PD,PE,PF(D,E, F 是垂足) ,求证:PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD),并讨论等号成立之条件。


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