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2014-2015学年河南省三门峡市陕州中学高三(下)第五次月考数学试卷(文科)


2014-2015 学年河南省三门峡市陕州中学高三(下)第五次月考 数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (2015 春?河南校级月考)已知集合 A={x|﹣3<x<3},B={x|x(x﹣4)<0},则 A∪B= ( ) A. (0,4) B.(﹣3,4) C. (0,3) D. (3,4) 考点: 并集及其运算

. 专题: 集合. 分析: 利用并集的性质求解. 解答: 解:∵集合 A={x|﹣3<x<3}, B={x|x(x﹣4)<0}={x|0<x<4}, ∴A∪B={x|﹣3<x<4}=(﹣3,4) . 故选:B. 点评: 本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题. 2. (2015 春?河南校级月考)已知复数 z= A. 四象限 第一象限 ,则 对应的点在( B.第二象限 )

C. 第三象限 D. 第

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 化简已知复数,可得其共轭复数 ,由复数的几何意义可得. 解答: 解:化简可得 z= = = =﹣2+i, ∴ =﹣2﹣i, 对应的点为(﹣2,﹣1) ,在第三象限, 故选:C 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,涉及复数的几何意义,属基础题. 3. (2014?南昌模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) 2 2 A. 命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

C. 命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0” D. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 考点: 命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 2 分析: 对于 A:因为否命题是条件和结果都做否定,即“若 x ≠1,则 x≠1”,故错误. 2 对于 B:因为 x=﹣1?x ﹣5x﹣6=0,应为充分条件,故错误. 2 对于 C:因为命题的否定形式只否定结果,应为?x∈R,均有 x +x+1≥0.故错误.由排除法 即可得到答案. 2 2 解答: 解:对于 A:命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1”.因为否命题 2 应为“若 x ≠1,则 x≠1”,故错误. 2 2 对于 B:“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件.因为 x=﹣1?x ﹣5x﹣6=0,应为充分 条件,故错误. 对于 C:命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0”. 2 因为命题的否定应为?x∈R,均有 x +x+1≥0.故错误. 由排除法得到 D 正确. 故答案选择 D. 点评: 此题主要考查命题的否定形式,以及必要条件、充分条件与充要条件的判断,对于 命题的否命题和否定形式要注意区分,是易错点.
2 2

2

2

4. (2015 春?河南校级月考)双曲线 A. B.

=1 的焦点到渐近线的距离为( C. 1 D.



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由 a =m, b =1, 利用 用点到直线的距离公式即可得出. 解答: 解:∵a =m,b =1,∴ 取渐近线 y= ∴右焦点 F x,即 x﹣ y=0. 到渐近线的距离 d= =1.
2 2 2 2

可得右焦点 F

. 取渐近线 y=

x. 利

=

.可得右焦点 F



故选:C. 点评: 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式,属于基础题. 5. (2014?东湖区校级模拟)执行如图的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p

的值是( A.

) 15 B. 105 C. 120 D. 720

考点: 程序框图. 专题: 计算题;图表型. 分析: 根据题中的流程图, 依次求出 p 和 k 的值, 根据 k 的值判断是否符合判断框中的条 件,若不符合,则结束运行,输出 p. 解答: 解:输入 N=6,则 k=1,p=1, 第一次运行 p=1×1=1,此时 k=1<6, 第二次运行 k=1+2=3,p=1×3=3; 第三次运行 k=3+2=5,p=3×5=15; 第四次运行 k=5+2=7,P=15×7=105; 不满足条件 k<6,程序运行终止,输出 P 值为 105, 故选 B. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,利用程序框图中框图的含义运行解答. 6. (2015 春?河南校级月考)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x) ,当 0< x< 时,f(x)=4 ,则 f(﹣ )=( A. ﹣
x

) B. ﹣ C . ﹣1 D.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇函数得 f( =﹣f( +1)=﹣f( ) ,进而求解. 解答: 解:因为函数的奇函数, 所以 f( )=﹣f( ) )=﹣f( ) ,再根据 f(x+1)=f(x) ,把)=﹣f( )

又 f( +1)=f( )= 所以 f(﹣ )=﹣ .

=



故选 A. 点评: 本题主要考查奇函数的性质、分段函数的性质,属于基础题. 7. (2014?黄山二模)已知函数①y=sinx+cosx,②y=2 ( ) A. 两个函数的图象均关于点(﹣ sinxcosx,则下列结论正确的是

,0)成中心对称 个单位即得②

B. ①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的 2 倍,再向右平移

C. 两个函数在区间(﹣



)上都是单调递增函数

D. 两个函数的最小正周期相同 考点: 两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的单调性;正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: ①函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数;②函数 解析式利用二倍角的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数,然后分别对各项判断即可. 解答: 解:①y=sinx+cosx= A、①中的函数令 x+ 中心; ②中的函数令 2x=kπ(k∈Z) ,解得:x= 本选项错误; B、①向右平移 误; C、①令﹣ (﹣ , +2kπ≤x+ ≤ +2kπ(k∈Z) ,解得:﹣ +2kπ≤x≤ +2kπ,故函数在区间 个单位,再纵坐标不变,横坐标扩大为原来的 倍,即得②,本选项错 (k∈Z) ,故(﹣ ,0)不是函数对称中心, sin(x+ ) ,②y=2 sinxcosx= sin2x, ,0)为函数对称

=kπ(k∈Z) ,解得:x=kπ﹣

(k∈Z) ,故(﹣

)上是单调递增函数; +2kπ≤2x≤ +2kπ(k∈Z) ,解得: ﹣ +kπ≤x≤ +kπ, 故函数在区间 (﹣ , )

②令﹣

上是单调递增函数,本选项正确; D、①∵ω=1,∴T=2π; ②∵ω=2,∴T=π,本选项错误, 故选 C 点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式, 二倍角的正弦函数公式, 正弦函数的单调 性及周期性,熟练掌握公式是解本题的关键. 8. (2012?天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0 与圆(x﹣1) +(y﹣1) =1 相切,则 m+n 的取值范围是( ) A. [1﹣ ,1+ ] B. (﹣∞,1﹣ ]∪[1+ ,+∞) C. [2﹣2 ,2+2 ] D. (﹣∞,2﹣ 2 ]∪[2+2 ,+∞) 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的标准方程找出圆心坐标和半径 r,由直线与圆相切时,圆心到直线的距离等 于圆的半径, 利用点到直线的距离公式列出关系式, 整理后利用基本不等式变形, 设 m+n=x, 得到关于 x 的不等式,求出不等式的解集得到 x 的范围,即为 m+n 的范围.
2 2

解答: 解:由圆的方程(x﹣1) +(y﹣1) =1,得到圆心坐标为(1,1) ,半径 r=1, ∵直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0 与圆相切, ∴圆心到直线的距离 d= =1,

2

2

整理得:m+n+1=mn≤ 设 m+n=x,则有 x+1≤
2 2

, ,即 x ﹣4x﹣4≥0,

∵x ﹣4x﹣4=0 的解为:x1=2+2 ,x2=2﹣2 , ∴不等式变形得: (x﹣2﹣2 ) (x﹣2+2 )≥0, 解得:x≥2+2 或 x≤2﹣2 , 则 m+n 的取值范围为(﹣∞,2﹣2 ]∪[2+2 ,+∞) . 故选 D 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,基本不等 式,以及一元二次不等式的解法,利用了转化及换元的思想,当直线与圆相切时,圆心到直 线的距离等于圆的半径,熟练掌握此性质是解本题的关键.

9. (2015 春?河南校级月考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=﹣3,a14= 12,则正整数 k=( A. ) 10 B.

=﹣

11 C.

12 D. 13

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件, 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程组, 由此能求出结 果. 解答: 解:设公差为 d 则 a14=a1+13d 即 解得 d=

即﹣12=﹣3k 解得 k=13 故选:D 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式的合理运用,是基础题,解题时要认真审题,注 意等差数列的通项公式的合理运用. 10. (2015 春?河南校级月考)如图所示,直线 y=m 与抛物线 y =8x 交与点 A,与圆(x﹣2) 2 2 +y =16 的实线部分交于点 B,F 为抛物线的焦点,则△ ABF 的周长的取值范围是( )
2

A. (8,10)

(6,8)

B.(4,6)

C. (8,12) D.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线定义可得|AF|=xA+2,由已知条件推导出△ FAB 的周长=6+xB,由此能求 出三角形 ABF 的周长的取值范围. 解答: 解:抛物线的准线 l:x=﹣2,焦点 F(2,0) , 由抛物线定义可得|AF|=xA+2, ∴△FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB﹣xA)+4=6+xB, 2 2 2 由抛物线 y =8x 及圆(x﹣2) +y =16, 得交点的横坐标为 2, ∴xB∈(2,6) ∴6+xB∈(8,12) ∴三角形 ABF 的周长的取值范围是(8,12) . 故选:C.

点评: 本题考查三角形的周长的取值范围的求法, 是中档题, 解题时要熟练掌握抛物线的 定义和简单性质. 11. (2014?武侯区校级模拟)已知函数 f(x)=|xe |,方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有 四个实数根,则 t 的取值范围为( ) A. ﹣2) ( D. ,+∞) B.(﹣∞,﹣ (2, ) ) C. (﹣ ,
x 2

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. x 分析: 函数 f(x)=|xe |化成分段函数,通过求导分析得到函数 f(x)在(0,+∞)上为 增函数,在(﹣∞,﹣1)上为增函数,在(﹣1,0)上为减函数,求得函数 f(x)在(﹣ ∞,0)上,当 x=﹣1 时有一个最大值 ,所以,要使方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有
2

四个实数根,f(x)的值一个要在(0, )内,一个在( 的图象及二次方程根的关系列式求解 t 的取值范围. 解答: 解:f(x)=|xe |=
x x x

,+∞)内,然后运用二次函数



当 x≥0 时,f′(x)=e +xe ≥0 恒成立,所以 f(x)在[0,+∞)上为增函数; x x x 当 x<0 时,f′(x)=﹣e ﹣xe =﹣e (x+1) , x 由 f′(x)=0,得 x=﹣1,当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)=﹣e (x+1)>0,f(x)为增函 数, x 当 x∈(﹣1,0)时,f′(x)=﹣e (x+1)<0,f(x)为减函数, 所以函数 f(x)=|xe |在(﹣∞,0)上有一个最大值为 f(﹣1)=﹣(﹣1)e = , 要使方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根, 令 f(x)=m,则方程 m +tm+1=0 应有两个不等根,且一个根在(0, )内,一个根在( +∞)内, 再令 g(m)=m +tm+1,因为 g(0)=1>0, 则只需 g( 解得:t<﹣ )<0,即( .
x 2 2 2 2 x
﹣1



) + t+1<0,

2

所以,使得函数 f(x)=|xe |,方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根的 t 的取值范 围是(﹣∞,﹣ ) .

故选 B. 点评: 本题考查了根的存在性及根的个数的判断, 考查了利用函数的导函数分析函数的单 调性, 考查了学生分析问题和解决问题的能力, 解答此题的关键是分析出方程 f (x) +tf (x) +1=0(t∈R)有四个实数根时 f(x)的取值情况,此题属于中高档题.
2 2

12. (2015 春?河南校级月考)已知函数 f(x)=

+ ax +2bx+c 的两个极值分别为 f(x1) 的取值范围为( )

和 f(x2) ,若 x1 和 x2 分别在区间(﹣2,0)与(0,2)内,则 A. +∞) (﹣2, ) D. B.[﹣2, ]

C. (﹣∞, ﹣2) ∪ ( ,

(﹣∞,﹣2]∪[ ,+∞)

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据极值的意义可知,极值点 x1、x2 是导函数等于零的两个根,根据根的分布建 立不等关系,画出满足条件的区域,明确目标函数的几何意义,即可求得结论. 2 解答: 解:求导函数可得 f'(x)=x +ax+2b

依题意知,方程 f'(x)=0 有两个根 x1、x2,且 x1∈(﹣2,0) ,x2∈(0,2) , 等价于 f'(﹣2)>0,f'(0)<0,f'(2)>0.



满足条件的(a,b)的平面区域为图中阴影部分,三角形的三个顶点坐标为 A(﹣2,0) , B(0,﹣2) ,C(2,0) ,

表示(a,b)与点(1,2)连线的斜率,由图可知故 A 点的斜率为 过 B 点的斜率为 ∴ =4,过 C 点的斜率为 =﹣2,

= ,

的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[ ,+∞) .

故选 D. 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值, 以及二元一次不等式 (组) 与平面区域, 属于中档题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. (2014?嘉定区校级二模)平行四边形 ABCD 中, 等于 4 . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件求得 ? 的值. =(1,0) , =(2,2) , = , = ﹣ 和 = 的值,再利用两个向量的数量积公式求得 =(1,0) , =(2,2) ,则 ?

解答: 解:平行四边形 ABCD 中,∵ ∴ = ﹣ =(1,2) , =

=(0,2) ,



?

=(1,2)?(0,2)=0+4=4,

故答案为:4. 点评: 本题主要考查两个向量的加减法的法则, 以及其几何意义, 两个向量的数量积公式, 两个向量坐标形式的运算,属于中档题. 14. (2015 春?河南校级月考)从集合 A={﹣2,﹣1,1}中随机选取一个数记为 k,从集合 B={﹣1,1,3}中随机选取一个数记为 b,则直线 y=kx+b 不经过第四象限的概率为 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 本题是一个古典概型,试验发生包含的事件(k,b)的取值所有可能的结果可以列 举出,满足条件的事件直线不经过第四象限,符合条件的(k,b)有 2 种结果,根据古典概 型概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件 k∈A={﹣2,﹣1,1}, b∈B={﹣1,1,3}, 得到(k,b)的取值所有可能的结果有: (﹣2,﹣1) ; (﹣2,1) ; (﹣2,3) ; (﹣1,﹣1) ; (﹣1,1) ; (﹣1,3) ; (1,﹣1) ; (1,1) ; (1,3)共 9 种结果. 而当 时,直线不经过第四限,符合条件的(k,b)有 2 种结果,

∴直线不过第四象限的概率 P= , 故答案为: . 点评: 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型, 古典概型要求能够列举出所有事件和 发生事件的个数,而不能列举的就是几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、体 积的比值得到,属于基础题.

15. (2014?碑林区校级一模)设函数 取值范围是 [0,+∞) .

,则 f(x)≤2 时 x 的

考点: 对数函数的单调性与特殊点;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数的表达式,解不等式即可,注意要对 x 进行分类讨论. 解答: 解:由分段函数可知,若 x≤1, 由 f(x)≤2 得, 2 ≤2,即 1﹣x≤1, ∴x≥0,此时 0≤x≤1, 若 x>1,
1﹣x

由 f(x)≤2 得 1﹣log2x≤2, 即 log2x≥﹣1,即 x ,

此时 x>1, 综上:x≥0, 故答案为:[0,+∞) . 点评: 本题主要考查分段函数的应用, 利用分段函数的表达式讨论 x 的取值范围, 解不等 式即可. 16. (2015 春?河南校级月考)已知函数 f(x)

=

(n∈N) ,则 f(1)﹣f(2)+f(3)

﹣f(4)+…+f(2013)﹣f(2014)+f(2015)= 1008 . 考点: 函数的值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据解析式依次求出 f(1) 、f(2) 、f(3) 、f(4)的值,归纳出 f(n)=n,f(1) ﹣f(2)=﹣1,f(3)﹣f(4)=﹣1,代入式子求值即可.

解答: 解: 由题意得, ( f x) =

(n∈N) ,

所以 f(1)=

=1, =3,

=2, =4,

依此类推得,f(n)=n,f(1)﹣f(2)=﹣1,f(3)﹣f(4)=﹣1,… 所以 f(1)﹣f(2)+f(3)﹣f(4)+…+f(2013)﹣f(2014)+f(2015) =﹣1×1007+2015=1008, 故答案为:1008. 点评: 本题考查分段函数及应用,考查数列的求和,三角函数的求值,考查基本的运算能 力和探究能力,属于中档题. 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 70 分. ) 17. (2015 春?河南校级月考)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC= (3a﹣c)cosB. (Ⅰ)求 cosB 的值. (Ⅱ)若 ,且 a=c,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形.

分析: (Ⅰ)在△ ABC 中,由条件利用正弦定理可得 sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB,由此求得 cosB 的值. (Ⅱ)由条件利用余弦定理求得 a=c 的值,再根据△ ABC 的面积为 ac?sinB,计算求的结

果. 解答: 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,∵bcosC=(3a﹣c)cosB,利用正弦定理可得 sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB, ∴sin(B+C)=sinA=3sinAcosB,∴cosB= . (Ⅱ)若 ,且 a=c,则由余弦定理可得 b =3=a +a ﹣2a?a?cosB,求得 a=c= , ac?sinB= × × = .
2 2 2

∴△ABC 的面积为

点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,诱导公式,属于基础题. 18. (2015 春?河南校级月考)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位: 万千瓦时) 与该河流上游六月份的降雨量 X (单位: 毫米) 有关, 据统计, 当 X=70 时, Y=460; X 每增加 10,Y 增加 5, 现已知近 20 年的 X 值为 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160, 160,200,140,110,160,220,140,160. (Ⅰ)求频率分布表中 a,b,c 的值,并求近 20 年降雨量的中位数和平均数; 近 20 年六月份降雨量频率分布 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 a b c

(Ⅱ) 假定 2015 年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同, 并将频率视为 概率,求 2015 年六月份该水力发电站的发电量不低于 505 万千瓦时的概率. 考点: 频率分布表. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据题目中的数据,求出 a、b、c 的值以及中位数和平均数; (Ⅱ)由题意设 Y= X+B,求出 B 的值,计算当六月份的发电量 Y≥505 时,降雨量 X 的取 值范围,求出降雨量的概率,即是发电量的概率. 解答: 解: (Ⅰ)由题目中的数据,得; a= ,b= ,c= = ;…(2 分)

∴中位数是 160,…(4 分) 平均数是 = (70+110×3+140×4+160×7+200×3+220×2)=156;…(6 分)

(Ⅱ)由已知设 Y= X+B, 当 X=70 时,Y=460,即 ×70+B=460,∴B=425,

∴Y= X+425; 当 Y≥505 时, X+425≥505,∴X≥160;…(8 分) ∴发电量不低于 505 万千瓦时包含降雨量 160,200 和 220 三类,它们彼此互斥;… ∴发电量不低于 505 万千瓦时的概率为 .…

点评: 本题考查了频率分布的应用问题以及相互独立事件的概率的计算问题,是基础题 目. 19. (2015 春?河南校级月考)已知等差数列{an}满足:a1+a5=14,a3+a9=26,其前 n 项和为 Sn . (1)求 an 和 Sn; (2)若 bn= (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
+

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出; (2)利用“裂项求和”即可得出. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a1+a5=14,a3+a9=26, ∴2a1+4d=14,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2, ∴an=3+2(n﹣1)=2n+1, Sn= (2) bn= = = , =n +2n.
2

∴Tn= = = .

+…+

点评: 本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、“裂项求和”,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

20. (2015?河南模拟)定圆 M: M 相切,记圆心 N 的轨迹为 E. (I)求轨迹 E 的方程;

=16,动圆 N 过点 F

且与圆

(Ⅱ)设点 A,B,C 在 E 上运动,A 与 B 关于原点对称,且|AC|=|CB|,当△ ABC 的面积 最小时,求直线 AB 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)因为|NM|+|NF|=4>|FM|,所以点 N 的轨迹 E 为椭圆,且 ,所以 b=1,从而可求求轨迹 E 的方程; (Ⅱ)分类讨论,直线 AB 的方程为 y=kx,代入椭圆方程,求出|OA|,|OC|,可得 S△ ABC=2S△ OAC=|OA|×|OC|,利用基本不等式求最值,即可求直线 AB 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)因为点 在圆 内,所以圆 N 内切 ,所以 b=1,

于圆 M,因为|NM|+|NF|=4>|FM|,所以点 N 的轨迹 E 为椭圆,且 所以轨迹 E 的方程为 .…(4 分)

(Ⅱ) (i)当 AB 为长轴(或短轴)时,依题意知,点 C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点) , 此时 |AB|=2.…

(ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k,直线 AB 的方程为 y=kx,

联立方程





所以|OA| =

2

.…(7 分)

由|AC|=|CB|知,△ ABC 为等腰三角形,O 为 AB 的中点,OC⊥AB,所以直线 OC 的方程为 ,



解得



=



,…(9 分)

S△ ABC=2S△ OAC=|OA|×|OC|=



由于 ,…(11 分)

,所以

当且仅当 1+4k =k +4,即 k=±1 时等号成立,此时△ ABC 面积的最小值是 , 因为 ,所以△ ABC 面积的最小值为 ,此时直线 AB 的方程为 y=x 或 y=﹣x.…

2

2

点评: 本题考查椭圆方程,考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查基本不等式的运用,考 查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

21. (2014?西城区二模)已知函数 f(x)=

,其中 a∈R

(Ⅰ)若 a=0,求函数 f(x)的定义域和极值; (Ⅱ)当 a=1 时,试确定函数 g(x)=f(x)﹣1 的零点个数,并证明. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数的定义域及其求法. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由分母不为 0,求出函数的定义域,利用导数的正负性,求出函数的单调区 间,从而求出极值; (Ⅱ)利用导数求出函数的单调区间,知函数是先增后减再增的,又极大值为 0,极小值小 于 0,从而判断函数有两面个零点. 解答: (Ⅰ)解:当 a=0 时,函数 f(x)= f′(x)= = , 的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) ,

令 f′(x)=0,得 x=0, 当 x 变化时,f(x)和 f′(x)的变化情况如下: x (﹣∞,﹣1) (﹣1,0) 0 (0,+∞) f′(x) ﹣ ﹣ 0 + f(x) ↘ ↘ 1 ↗ 故 f(x)的单调减区间为(﹣∞,﹣1) , (﹣1,0) ;单调增区间为(0,+∞) . 所以当 x=0 时,函数 f(x)有极小值 f(0)=1. (Ⅱ)解:结论:函数 g(x)存在两个零点. 证明过程如下: 由题意,函数 g(x)= ,



>0,

所以函数 g(x)的定义域为 R. 求导,得 g′(x)= 令 g′(x)=0,得 x1=0,x2=1, 当 x 变化时,g(x)和 g′(x)的变化情况如下: x (﹣∞,0) 0 (0,1) 1 2 g (x) + 0 ﹣ 0 g(x) ↗ ↘ ,

(1,+∞) + ↗

故函数 g(x)的单调减区间为(0,1) ;单调增区间为(﹣∞,0) , (1,+∞) . 当 x=0 时,函数 g(x)有极大值 g(0)=0;当 x=1 时,函数 g(x)有极小值 g(1)= ∵函数 g(x)在(﹣∞,0)单调递增,且 g(0)=0, ∴对于任意 x∈(﹣∞,0) ,g(x)≠0. ∵函数 g(x)在(0,1)单调递减,且 g(0)=0, ∴对于任意 x∈(0,1) ,g(x)≠0. ∵函数 g(x)在(1,+∞)上单调递增,且 g(1)= <0,g(2)= >0, .

∴函数 g(x)在(1,+∞)上仅存在一个 x0,使得函数 g(x0)=0, 故函数 g(x)存在两个零点(即 0 和 x0) . 点评: 本题考查了函数的定义域, 求极值, 利用函数的单调性和极值判断函数零点的个数 问题.属于中档题. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请 写清题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (2014?安阳模拟)如图,点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点,AD⊥BC 于点 D, 过点 B 作圆 O 的切线,与 CA 的延长线相交于点 E,点 G 是 AD 的中点,连接 CG 并延长 与 BE 相交于点 F,延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P. (1)求证:BF=EF; (2)求证:PA 是圆 O 的切线.

考点: 与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)利用平行线截三角形得相似三角形,得△ BFC∽△DGC 且△ FEC∽△GAC, 得到对应线段成比例,再结合已知条件可得 BF=EF; (2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角,得到∠FAO=∠EBO,结合 BE 是 圆的切线,得到 PA⊥OA,从而得到 PA 是圆 O 的切线. 解答: 证明: (1)∵BC 是圆 O 的直径,BE 是圆 O 的切线,∴EB⊥BC. 又∵AD⊥BC,∴AD∥BE. 可得△ BFC∽△DGC,△ FEC∽△GAC. ∴ ,得 .

∵G 是 AD 的中点,即 DG=AG. ∴BF=EF. (2)连接 AO,AB.

∵BC 是圆 O 的直径,∴∠BAC=90°. 由(1)得:在 Rt△ BAE 中,F 是斜边 BE 的中点, ∴AF=FB=EF,可得∠FBA=∠FAB. 又∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO. ∵BE 是圆 O 的切线, ∴∠EBO=90°,得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°, ∴PA⊥OA,由圆的切线判定定理,得 PA 是圆 O 的切线.

点评: 本题求证直线是圆的切线, 着重考查了直角三角形的性质、 相似三角形的判定与性 质和圆的切线判定定理等知识,属于中档题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (2015?上饶一模)在直角坐标系 xOy 中,l 是过定点 P(4,2)且倾斜角为 α 的直线; 在极坐标系(以坐标原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程,并将曲线 C 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C 与直线相交于不同的两点 M、N,求|PM|+|PN|的取值范围. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (I) 直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数) . 曲线 C 的极坐标方程 ρ=4cosθ

可化为 ρ =4ρcosθ.把 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入曲线 C 的极坐标方程即可得出. (II) 把直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 代入圆的方程可得: t +4 (sinα+cosα)
2 2

t+4=0.由于曲线 C 与直线相交于不同的两点 M、N,可得△ =16(sinα+cosα) ﹣16>0, 可得 .

利用根与系数的关系 t1+t2=﹣4(sinα+cosα) ,t1t2=4.及 |PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|= 解答: 解: (I)直线 l 的参数方程为
2

,即可得出. (t 为参数) .

曲线 C 的极坐标方程 ρ=4cosθ 可化为 ρ =4ρcosθ. 2 2 2 2 把 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入曲线 C 的极坐标方程可得 x +y =4x,即(x﹣2) +y =4. (II) 把直线 l 的参数方程为 t+4=0. (t 为参数) 代入圆的方程可得: t +4 (sinα+cosα)
2

∵曲线 C 与直线相交于不同的两点 M、N, ∴△=16(sinα+cosα) ﹣16>0, ∴sinαcosα>0,又 α∈[0,π) , ∴ .
2

又 t1+t2=﹣4(sinα+cosα) ,t1t2=4. ∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|= ∵ ∴ ,∴ . , ,

∴|PM|+|PN|的取值范围是 . 点评: 本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题,属于中档 题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24. (2015?保定二模)已知 a∈R,设关于 x 的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4 的解集为 A. (Ⅰ)若 a=1,求 A; (Ⅱ)若 A=R,求 a 的取值范围. 考点: 绝对值三角不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (I)利用绝对值的几何意义,化去绝对值,解不等式,可得结论; (II) 当 x≤﹣2 时, |2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4 成立, 当 x>﹣2 时, |2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4, 从而可求 a 的取值范围. 解答: 解: (I)若 a=1,则|2x﹣1|+|x+3|≥2x+4 当 x≤﹣3 时,原不等式可化为﹣3x﹣2≥2x+4,可得 x≤﹣3 当﹣3<x≤ 时,原不等式可化为 4﹣x≥2x+4,可得 3x≤0 当 x> 时,原不等式可化为 3x+2≥2x+4,可得 x≥2 综上,A={x|x≤0,或 x≥2}; (II)当 x≤﹣2 时,|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4 成立 当 x>﹣2 时,|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4 ∴x≥a+1 或 x≤ ∴a+1≤﹣2 或 a+1≤ ∴a≤﹣2 综上,a 的取值范围为 a≤﹣2. 点评: 本题考查绝对值不等式, 考查分类讨论的数学思想, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.


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