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选择填空题中的立体几何最值问题


20 年第 5 06 期

中学数学教学

2 1

广 ?1 下 : 1今 , : 月春 ! !、


一 解


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丁 洲

选择填空题 中的立体几何最值问题
广东省东莞高级中学 刘心华

, ‘

( 邮编:218 532)

近几年来,      高考数学试题的选择题和填空题中常 出现立体几何的最值问题: 由于这类题题型灵活、 形式 多变, 能较好地检测学生的思维和空间想象能力, 因而
正成为命题的热点. 本文结合近几年的高考试题 , 对选

(05 20 年江西)如 下 左 图, 直 三 棱 柱 在

A C ,  , A B -A B C 中,B=B ,  C二万 ,B = 2 LA C = B, , B 90 , 0, F分别为A ,, : E A,C B 的中点 , 沿棱柱的表面从 E 到 F两点的最短路径的长度为
山 E 滩

择题和填空题中的 立体几何最值问题进行分类探 究. 1 与距离相关的最值(      范围) 问题
例 1 2 6      0 年江西)如 下 左 图,在 直 棱 柱         (  0
A C ,  , 底面为直 角三角形 , C =  0 B -A B C 中, ,  乙A B  9 0

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 尸  


   洲

民祥 目 。

 I   C

 叭     E 




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 E  


 

A =-B c , C   C=c =涯 , 6 ,  P是B , C 上一动点, P  则C +
尸 的最小值为 八,
C                 

A  B  C     

 A
 ̄ 2

 通  



()        1

在 1 ) 解析 : 将三棱柱侧面、 底面展开有三种情形 : (.

A        ,\必夕。 特一 }

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万.             

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中, F = E

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2 2
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/ v+F F' X 2 Gz =

\              乙 j

解析 : △B C 沿 C 线展到面 A C B上 ,      C , B , 将 ,, 如上

1 +4 4 万



在 ( ) 中, F = 3 E

右图, 连结 A C A C即为C , ,, P 尸、 A 最小值, C作 过点 C〕 A,  1 土 C 延长线于 D点 , B C 为等腰直角三角 , A  , C
.  C D ,  , D  =  C 。 ,  ,  C . 形 , .  二 C D = 1 A,  A, 十 C D = 7 .A,

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3 」U 〕 L 王x 刀J 石 f 布-四 、注 七 二、。,二 。。二。二 - 产., 坦 下 口
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2  +万
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因 A  - ,当 少 此 -- 且 AB f> -  B  晋
2 +万 时, s cs c A?oB取得最大值      o 4

-   B= 二 , A=


1 2

当 且仅当A=B=共 时等号成立. .

I乙                                       

至此 ,      我有一种莫名的兴奋感涌上心头, 于是立即

证明完毕, 我又想 cs cs oA? oB的值其实受 s A ? i n s B值的牵制. i n 能不能将所求的 。s ? oB转化为已 oA cs 知的 s A s B呢? i n i n 沿着这种思路 , 我将 cs . oB进 oA cs 行转化, 用均值不等式做了一种别解:
B  由于 C为      △A C 中 的最 大 角 ,因 此 A, E B

将这些思考告诉了王同学, 他听了也十分惊喜 ! 我对上 述思路的获得感到十分庆幸, 因为如果没有王同学质 疑的那一句话, 也许我便不会对这道题进行这番思考, 也就不会获得这种认识. 教师若能在平时的教学中, 多 多引导学生质疑, 引导学生用多种方法求解, 这对培养 学生思维的广阔性、 深刻性 、 批判性等思维品质一定会 大有裨益, 对提高学生学习数学的兴趣和效果也会起 到事半功倍 的作用.

(, 、于是 0要 ,

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( 稿 日期 :0 6 0 - 6 收 2 0 -8 1 )

n n sn 1 s ' s '  2 iA ? iB + i A i B一 s n

万方数据

2 2

中学数学教学
例 3 2 5     0 年全国 l)   (0 将半径都为 1 个钢球 的4

20 年第 5 06 期

完全装人形状为正四面体的容器里, 这个正四面体的 高的最小值为( )

.. os = c a

万  2 +  派
3       

,. 、 2 。派
n‘ 万- . 宁一

2, c) 2一 o 一 ( 寻s t  0 一一 3 ‘ 1 2, c) 2一 o (备s t  0 
<, 合

c一 一 c s口          - o

乙                  

由 0 < 0 90得 一 1 cs 0 < 0, < oa

C+ .  4 攀



4 +2 万 派
3       

故 “兀 晋< < ?
O a, 7 t , 若直接运用极限思想 , 即当 S  ̄ A 时 , A

解析 : 4      个球的球心相连可形 将 成边长为 2 的正四面体 M, 目所求 题

原正四面体的高为下底 面上球 的半 A                                                    例 6 单位正方体 A C -A B C D 的面对角线      BD ,  ,  ,  , 径, 再加正 四面体 M 的高和最上边 A B上一点 P, A + D P取最小值时 , ,  ,  当 P  , D P与面
小球球心到顶点间距离的和 . 易知正 A  A, B B, 所成的角为

<几 当S A一十C I a 粤 不难得到粤 <。 O时,一 3                   . S

四体 的为2 (?) 普 ? 边 面M高丫一 万‘ 涯 上 2号 一 最
小球的球心 0到原正四面体 P B A C的顶点 P距离为 O 如图)E为 B P( . C的中点 , H为正 △A C的中心. D B; O

上P于 , E 冬 E 土P . t HE中 E D则H 一 A - 厂在RLP
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Oi D 1 月E  1 _. *。     二 。 卜。 _ . , ‘ _ 。。。

O                                                       

解析 : ,       D P与面AB ,  B A 所成的角为 Z  P , 】 D A,把 ,  平面 D C A! ,  与平而 A B展开摊平( B A,  如上右图) 则当

一C P       N B , ,

万 面=了, I V 仕K。Y U甲,n 。 s乙少 i
: 0尸 = 3 . 0D 一 。>n  ri」 J  / r blr ‘ 、口 f  ,任气 -育- . f ) ,

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故选 C .

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A - D 尸 取 最 小 值 时 三 点 D,P A 共 线 。所 以 P  , - I -  ,,
乙D P ,  A:今 匕 P A+ 匕A,  = 平 +粤 A, A P 4 石

J                                                             

‘      2 与角相关的最值( 范围) 问题

3 与面积相关的最值(      范围) 问题
例 7 2 6     0 年浙江) (0 正四面体 A C B D的棱长为 1 ,

仑 4 异面直线 ub      叨 ,夹角为 40。 a则直线 bc 0,土 , ,

夹角的范 围是 解析 :      通过平移 , 让直线 a 。 ,, 相 b

棱A / B  /平面a则正四面体上所有点在平面。 , 内的射
影构成的图形面积的取值范围是

交于点 P, 土 。ab 因a ,, 夹角为 40则 0, 直线 b 是在以“为轴的圆锥面上的母 川 斗  ̄八 、 线, 当直线 b 变动时易知直线 b。 ;夹角 小 _尹 碑, 的取值范围是[0, 0. 50 0 9] 例 5 正三棱锥 S B      -A C相邻两侧面所成的二面

叭 次

全 二

作 D土 解析: D/a 面积取最大值. D ‘ 。 当C / 时,
, D, t E O E上 C O为 A 中点)连结 O 在 RLO D D( B

角为 a 则 a的取 值范围是 ,

解析 : B      E土 S 作 A于E, C , 连 E 则C E土 S 乙B C a作 s 面 A, E =  , o土 A C于O. A B 连 O并延长交 B C于 D.







E 中. n O s 乙E D= f D i ) D
5    影 SA GR D

边 3

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一3 二? s ‘O C 艺田D _万 ‘
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 - .S -  .a

亚_I由对称性 S, , m .

设LA SD一)0 <9)正,之 人 ( <B 0, 0 0 资妥 汤

LC长一 A一 a A. 为 则。 粤, B 边 S A
= 勺 = 共 - 二, C s 勺 U - - 二 O 乙 口U = 下不 = - c s 干 o a}
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一 当 面 时S 一 , = . 要,。土 。 ,, Si  / . : v4 u v r 、 e 2
‘         

。    , a . , 、 F 3 

,, __ 、

B D

故所求图形面积的取值范围是[ 41 ]      涯/. 2. /
例8 20 年上海)      5  (0 有两个相同的直三棱柱, 高为

s 乙S D = i n B
:日 = “ . E

1寻。,L B 一 ?。 S 一而 A
I一 一 c '  - os u,

= 艺 S3 1 D

兰,面 角 的 边 分 为345a ) 底 三 形 三 长 别 aaa > 用 ,,( 0 ,


3       

它们拼成一个三棱柱或四棱柱, 在所有可能的情形中, 全面积最 小 的是一 个 四棱 柱, “的取 值 范 围是 则

件         

万方数据

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2 3

解析:      底面面积为62侧面积分别为681, a, ,, 拼成 0
三棱柱时为上下接合. 全面积为: X6' 00 十 2 a. 十2 +8 6; )当拼成 四棱柱时, 显然两侧 面面积最大者相接合 , 全面积最小为( +6 X  X 2由题意, ( 8 )  +4  a, 2 6 全面积最 小的是四棱柱 ,. X 2  X 0 +6 > . +6 :2  a +2  1 +8 ) ( 6 ( 8  )
-          一 ? , X+ Xa1二 二-< < 3 . 2  6,得  ̄一  ̄ 颐 4 -2 。 。 解

4 与体积相关的最值( 范围) 问题
例 1 1 已知 棱 长 为 1的正 方 体 容 器

A C -A BCD 在棱 A ,B ,, B D , ,  ,  , B B ,BC上的中点处各

有一个小孔E FG 若此容器可以任意放置, ,,, 则该容器 ’
可装水 的最大容积为

解析:      如果只考虑 E F G三点 ,  ,

例, 正三棱锥 P B      -A C的底面边长为 1 ,, 最大容积为 7 而沿 E G, , ,F E 邝, , B 三点
G H分别是P ,C,C P ,  A  B ,B的中点, A 四边形 E G 的 FH
面积为 5 则 S的取值范围是 , 所确定的平面截正方体 , 则容器装水

所 定的 面为截 则 器 水 确 平 面,容 装 的A

的最大容积为 1/ 2 相比较, 11 , 易知A

解析 :      由题意可知 P C工 A 因 B,
而 四边形 E GH 为矩形 , F 设正三棱锥

E办 之


的侧棱 P A二x 则 S ,

x         x



’ 二了 ’ 万



该容器装水的最大容积为 1/2 11. 例 1 已知三棱锥 S B      2 -A C的底面是正三角形 A在侧面 S C上的射影 H是 △S C的垂心 ,A  a B B S = 

显然 只 A大于 △A C 的外接 圆的半 B

则此三 体积的 大值为 棱锥 最

径 3即x / 3从而S 孙1, 的取值范围 万之, > - , 3 - / >抓 2故S
是( 万八2 +0) , 0. 例1 2 5     0 年重庆) 0  0  ( 有一塔形几何体由 若干个正方 1 -6
体构成, 构成方式如图所示, 上层正方体下底面的四个顶 点是下层正方体上底面各边的中点, 已知最底层正方体的 棱长为 2且该塔形的表面积( , 含最底层正方体的底面面
积) 超过 3, 9则该塔形中正方体的个数至少是(
( 4 A) ( )      6  1 5  3 (       7 C)  ( D) 

解1 :A一 -= SC H 析 s 1 。r  L ? UU s 专 S A - c i B c
-3

AH

-2

SB

。S ?s /B C c i n S



? B? ? i S ? i S S 压一 s 艺A H s 匕B C, n n

又△A C为正三角形,H上 面S C B: A B, : 当 匕A H 和 乙B C为直角时, AS . S S V B - C最大 , 此

. )

时S 二S A B= S C=“ V , “/. ,- 二 3  6 .    , 总之 选择题和填空题中的立体几何最值( 范围) 问题是近年来数学命题的一个新 的亮点, 不论运用代 数、 几何, 还是向量的方法来求解, 都需要在平时 的教 学中重视对基础知识的理解与掌握    , 加强对数学思想 与方法的理解与运用 , 等积变换 、 ( 如 射影公式 、 割补思

解析 : 由题意 , 各层正方体 的侧面积( 从

下而上) 依次构成等 比数列 , 公 比 4二 且 12故塔形几何体的表面积为 : /,

2 2 [2 万)+1+     2+( ’ 2 +2 "  X2+4 3] -



= 8+ 4?

, d
, n

想、 立体问题平面化 、 向量方法等)并注意与其他数学 , 知识的联系, 提高识图能力, 不断促进空间想象能力和
思维能力的发展. ,
( 收稿 日期 :0 6 0 - 2 20 - 8 1 )

即2> 3, n " 2 最小值为 6故选( ) . C

曰 .i曰 卜 " " . 卜 任 卜 ? 弓卜弓 卜 啥 洲 洲 洲 洲 洲 2 . 洲 洲 洲 洲 洲 洲 曰 洲 洲 洲 洲 洲 洲 洲 洲 目 曰 洲 洲 洲      "iti i .弓 弓?弓卜 . . . 弓 弓? ? ? ? , . 1 ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ‘ ? ? ? ? ? 卜" - 卜 卜弓 卜i -曰




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: 主要栏目: 焦点关注、 教育前沿、 管理科学、 改革创新、 素质教育、 教育艺术、 教学方法、 教学研究户 学科 个学、 职业教育、 幼儿教育。 ’ ?工
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