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浅谈简化和避免分类讨论的解题方法


浅谈简化和避免分类讨论的解题方法
【摘要】 :运用分类讨论的思想方法解题,可以化整为零,化复杂为简单,化全面解决 为局部解决,这是我们解题的一个重要策略;但在有些情况下,其过程较为繁琐,对使用者 的思维严谨性要求较高,因此也容易造成解题中的失误.故我们在掌握这一方法的同时,提 倡克服思维定势,学会简化或避免分类讨论的一些解法,以达到方法上的优势互补. 【关键词】 :分类讨论 思想方法 思维定势 回避讨论 解题方法 1.巧用公式,回避讨论 例 1.已知 cot? ? m, ? ? ?? ,2? ?, 求 cos? 的值. 分析:若选用公式 tan? ?

1 1 来求,必须对 ? ? ?? ,2? ? 分 , cos? ? ? cot? 1 ? tan2 ?

两部分 ? ? ? ? ,

? ?

3? ? ? 3? ? ?和? ? ? ,2? ? 分别讨论 cos?及m 的符号;若根据 ? ? ?? ,2? ? 的范 2 ? ? 2 ?

围,直接选用恰当的平方关系式,则可有效地避开讨论. 【解析】∵ ? ? ?? ,2? ? ,∴ sin ? ? 0, ∴ sin ? ? ?

1 1 ? cot2 ?

??

1 1 ? m2

,

故 cos? ? cot? ? sin ? ? ?

m 1 ? m2

.

【能力提升】 由于三角函数部分公式繁多, 解题中要尽量避免由于角的条件去讨论三角 函数的符号,因此选择恰当的公式,可回避讨论,化繁为简. 2.引参换元,回避讨论 例 2.解不等式

x 1? x2

?

x2 ?1 . x2 ?1

分析:本题按常规解法是去分母,两边平方去根号,而且需要讨论左右的正负情况,若 我们注意观察原不等式,引入参数,进行三角换元,可避免繁琐的解题过程. 【解析】令 x ? tan? , ? ? ? ?

? ? ?? , ? ,则原不等式可化为: 2 sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? 0. , 2 2? ?

解得 ?

? ? 3 1 ? ? 3 ?. ? , ?? ? sin ? ? 1, 故 - ? ? ? , tan? ? ? , 所以原不等式的解集为 ? ? 3 ? 2 6 2 3 ? ?

【能力提升】本例引入三角参数,转化为关于 sin ? 的一元二次不等式,使问题大大地 简化,一般情况下,若引入参变量,作为揭示变量间的内在联系的媒介,能帮助对运动变化 过程作出定量的刻画,消化难点,化难为易,因此解题中,尽可能地引入参变量. 3.分离参数,反客为主,回避讨论 例 3.若函数 y ? ?x ? 1?log3 a ? 6x log3 a ? x ? 1在 x ? ?0,1? 内恒正, 求 a 的取值范围.
2

分析:本题若用条件 y ? 0,即 ?x ? 1?log3 a ? 6x log3 a ? x ? 1 ? 0 在 x ? ?0,1? 内恒成
2

立 , 解 关于 a 的 不 等 式 ,再 利 用 0 ? x ? 1 , 求 a 的 取 值 范 围, 运 算 十分 复 杂 ,若 将

y ? ?x ? 1?log3 a ? 6x log3 a ? x ? 1看成直线,则可得如下简捷的解法.
2

【解析】 f ?x? ? log3 a ? 6 log3 a ? 1 x ? log3 a, 因为函数 y ? f ?x ? 在 x ? ?0,1? 内恒
2 2

?

?

正,所以 f ?x ? 表示的线段 AB 恒在 x 轴上方,即两端点在 x 轴上方.

? f ?0? ? 0, ?1 ? log3 a ? 0, ? 1 ? ∴ ? f ?1? ? 0, 即?? 6 log3 a ? 2 ? 0, ∴ ? a ? 3 3. 3 ?a ? 0, ?a ? 0, ? ?
2

【能力提升】本题通过变换主元,避免了复杂的分类讨论及繁琐的运算,同时,又把曲 线问题转化成直线问题,不仅避免了分类讨论,又使“考察对象”简单化了,值得很好地借 鉴.一般在含参数的方程或不等式中,若能通过适当的变形,使方程或不等式的一端只含有 参数的解析式,另一端是无参数的主变元函数,从而分离参数,反客为主,接下去需解有关 主变元函数的有关问题,往往可以回避讨论. 4.消除参数,回避讨论 例 4.设 0 ? x ? 1, a ? 0, a ? 0, 试比较

loga ?1 ? x?与loga ?1 ? x? 的大小.

分析:一般情况下比较大小我们采用作差 ? ? loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x? ,对底数 a 的 取值范围加以讨论脱去绝对值符号,因 a 是讨论因素,若能消去参数 a ,则可避免讨论,何 乐而不为呢!为此作商,运用换底公式,可得到明显的效果. 【解析】∵

log a ?1 ? x ?

log a ?1 ? x ?

? log ?1? x ? ?1 ? x ? ? ? log ?1? x ? ?1 ? x ? ? log ?1? x ?

1 , 1? x

又∵ 0 ? x ? 1 时,

1 1 ? 1 ? x, ∴ log ?1? x ? ? log ?1? x ? ?1 ? x ? ? 1, 1? x 1? x

∴ loga ?1 ? x? ? loga ?1 ? x? . 【能力提升】 这里用 “消参法” 避免了分类讨论, 使问题简单了, 此类方法是解题的 “高 层次”方法,需要在平时解题中加强观察、总结和训练. 5.整体化归,回避讨论 例 5.若函数 f ?x? ? a x ? loga ?x ? 1? 在 ?0,1? 的最大值与最小值之和为 a ,求 a 的值. 分析: 指数函数与对数函数的底都是待定参数 a , 一般情况下会想到用分类讨论的方法 求解, 但若注意到两个函数具有相同的单调性, 那么它们的最大值总是在一个闭区间的两个 不同端点处取得,由此出发可以避开讨论.
x 【解析】∵ a 与loga ( x ? 1) 有相同的增减性,∴ f ?x ? 是给定区间上单调函数. 0 由 a ? loga 1 ? a ? loga ?1 ? 1? ? a 得 loga 2 ? ?1 ,∴ a ?

1 . 2

【能力提升】将数学问题分成若干问题,逐个击破,分而治之固然重要,但有时若能有 意识的放大看问题的视线,将问题视为整体,去研究整体的形式与结构,可能会起到意想不

到的效果. 6.数形结合,回避讨论 例 6. 已知集合 A ? x | lg x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? lg 2 , B ? ?x | ?x ? a ??x ? 2? ? 0?, 若

?

?

?

?

A ? B ? R, 求 a 的范围.
分析:易求 A ? ?a ? 1, a ? 1? 但求 B 及处理 A ? B ? R 时,要对 a 的值讨论,若令

f ?x ? ? ?x ? a ??x ? 2? 利用数形结合的方法要简单的多.
【解析】按照不等式知识须分 a ? 0, a ? 0, a ? 0 分类讨论求出集合 B ,而用数形结合 来解就不必讨论. 由 A ? x | lg x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? lg 2 ,解得 A ? ?a ? 1, a ? 1? . 令 f ?x ? ? ?x ? a ??x ? 2? ? 0 ,不论 y ? f ?x ? 的 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0, 由 A ? B ? R ?

?

?

?

?

? f ?a ? 1? ? 0 ? 1 ? a ? 3. ? ? f ?a ? 1? ? 0
【能力提升】 利用函数图像、 几何图形的直观性能巧妙地将数量关系与空间图形有机的 结合起来,有时也可以回避问题的讨论. 7.巧用补集思想,不正则反,回避讨论 例 7.如果二次函数 y ? mx ? ?m ? 3?x ? 1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右
2

侧,试求 m 的取值范围. 分析:若从正面求解,必须要对“两交点均在原点右侧” , “一个交点在原点右侧另一个 交点在原点左侧”等情况进行分类讨论了;若从反面考虑问题,即先考虑两个交点都在原点 左侧时的 m 取值范围,问题就简单了. 【解析】由一元二次方程 mx ? ?m ? 3?x ? 1 ? 0 有两负根得:
2

? ?? ? ?m ? 3?2 ? 4m ? 0, ?m ? 9或m ? 1, ? ?3 ? m ? ? 0, ? ?m ? 0或m ? 3, ? m ? 9, ? ? m ?m ? 0 ? ?1 ? 0 ? ?m
取其补集得 m ? 9 ,且必须满足 ? ? 0与m ? 0 ,故二次函数图象与 x 轴的交点至少有 一个在原点右侧,则 m 的取值范围为 m ? 1且m ? 0. 【能力提升】有些问题,分类讨论比较麻烦,若用补集法去考虑问题的对立面,即从结 论的反面去思考和探索, 得出反面结论, 结合集合性质 A ? CU A ? U , 可以将题目化难为易,

化繁为简,开拓解题思路.


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