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高二数学单元质量检测题


高二数学单元质量检测题
不等式
说明:本试卷共 22 题,满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1. 设 a, b ? R ,且 a ? b ,则(
b B. ? 1 a



A. a ? b

2

/>2

C. lg(a ? b) ? 0 ) C. x 2 ? x ? 1 ? 0 )

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ? 2? ? 2?
D.
1 1 ?1 ? x x

a

b

2. 下列不等式中解集为实数集 R 的是( A. x ? 4 x ? 4 ? 0
2

B.

x2 ? 0

3. 不等式 (1 ? x)(1 ? x ) ? 0 的解集是( A. ?x 0 ? x ? 1?

B. ?x x ? 0, x ? ?1? C. ?x ? 1 ? x ? 1? ) C. 2 2 )

D. ?x x ? 1, x ? ?1?

4. 已知 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 4 y 的最小值为( A.8 B.6

D. 3 2

5. 已知 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则( A. a ? b ? a ? b 6. B. a ? b ? a ? b

C. a ? b ? a ? b

D. a ? b ? a ? b

已知 a, b ? R? ,且 a ? b ? 4 ,则 A.

1 1 ? ab 2

B.

1 1 ? ?1 a b

C.. ab ? 2

D.

1 1 ? 2 4 a ?b
2

7.

已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,则 b 2 ? 4ac 的值( ) A. 大于零 B. 小于零 C. 不大于零
2x ? 1 ? 1 的解集是( x?3 1 B. ( ,??) 2
2

D.不小于零

8. 不等式


1 C. (??,?3) ? ( ,??) 2

A. (4,??)

D. (??,?3) ? (4,??)

9. 不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A.
(??,2)

B. ?? 2,2 ?

C. ( ?2, 2?
1 ? ?b 的解是( x

D. (??,?2) )
1 1 D. x ? ? ,或 x ? b a

10. 已知 a ? 0 , b ? 0 则不等式 a ? A. ?
1 1 ?x? a b

B.

1 1 ?x?? a b

C. ?

1 1 ? x ? 0 ,或 x ? b a

11. 已知集合 A ? x ? x 2 ? 3x ? 10 ? 0 , B ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ? 1?,若 A ? B ? ? ,则 m 的取 值范围是( )

?

?

?1 ? A. ? ,4? ?2 ?

1 B. (??, ) ? (4,??) 2

C. ?2,4?

D. (2,4) ) D.

12. 不等式 a ? b 和 A. a ? b ? 0 二、

1 1 ? 同时成立的充要条件是( a b

B. a ? 0,b ? 0

C. b ? a ? 0

1 1 ? ?0 a b
.

填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
2

13. 函数 y ? log 1 ( x 2 ? x ? 2) 的单调递增区间是 14. 不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 的解集是 15. 若函数 f ( x) ?
1? x ,则不等式 f ?1 ( x) ? 1 的解集是 1? x

. . .

16. 设 x ? 1 ,则函数 y ?

( x ? 2)( x ? 3) 的最小值是 x ?1

三、 解答题(本大题共 6 小题, 共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17、 (本小题满分 8 分) 已知 ?1 ? a ? 0 , A ? 1 ? a 2 , B ? 1 ? a 2 , C ?
1 ,试比较 A、B、C 的大小. 1? a

18、 (本小题满分 8 分)
? 1 ? 若不等式 ax2 ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ?x ? x ? 2? ,求不等式 ax2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集. ? 2 ?

19、 (本小题满分 10 分)

设 a1 , a 2 , a3 均为正数,且 a1 ? a 2 ? a3 ? m ,求证

1 1 1 9 . ? ? ? a1 a2 a3 m

20、 (本小题满分 10 分)

(a ? 1) x 2 ? 2 ? x (a ? 0) . 解关于 x 的不等式 ax ? 1

21、 (本小题满分 12 分) 24 个劳力种 60 公顷地.这块土地适宜蔬菜、棉花和小麦,对这三种农作物每公顷所需 的劳力数及每公顷的收益预计如下: 项目 蔬菜 棉花 小麦 每公顷所需劳力数
1 2

每公顷收益数(万元) 0.6 0.5 0.3

1 3
1 4

请你设计一种方案,使全部劳力都有活做,且总的收益最大,并求出这个最大值.

22、 (本小题满分 12 分) 设 函 数 f ( x) 是 定 义在 ?? 1,1? 上 的 奇函 数 ,且 对 任意 a, b ? ?? 1,1? , 当 a ? b ? 0 时都 有
f (a) ? f (b) ? 0. a?b

(1) 证明:函数 f ( x) 是 ?? 1,1? 上的增函数; (2) 解不等式 f ( x ? 1 ) ?
2 1 f (x ? ) ; 4

(3) 证明:若 ?1 ? c ? 2 ,则函数 g ( x) ? f ( x ? c) 与 h( x) ? f ( x ? c 2 ) 存在公共定义域,并求 出这个公共定义域.

参考答案

一、

选择题: (每题 5 分,共 60 分)
2、C 8、D 3、D 9、C 4、C 10、D 5、B 11、C 6、B 12、B 16、6

1、D 7、A

二、

填空题: (每题 4 分,共 16 分
1 5? 14、 ? ?x ? x ? ? ? 2 2?

13、 (??,?1) 三、

15、 (??,?1) ? (?1,0)

解答题(共六个小题,满分 74 分)
2
4

17、不妨设 a ? ? 1 ,则 A ? 5 , B ? 3 , C ? 2 由此猜想 B ? A ? C
4

由 ?1 ? a ? 0 得 1 ? a ? 0
A ? B ? (1 ? a 2 ) ? (1 ? a 2 ) ? 2a 2 ? 0 得 A ? B
1 3? ? a ?(a ? ) 2 ? ? 1 a(a 2 ? a ? 1) 2 4? 2 ? C?A? ? (1 ? a ) ? ? ?? ? 0得 C 1? a 1? a 1? a

?A

即得 B ? A ? C
1 ?, 18、不等式 ax2 ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ? ? x ? x ? 2? ? 2 ?

则 a ? 0 ,且方程 ax2 ? 5 x ? 2 ? 0 的解是 x1 ? 由韦达定理 x1 ? x2 ?
1 5 ? 2 ? ? 得 a ? ?2 2 a

1 , x2 ? 2 2

1? 不等式 ax2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 可化为 ? 2 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0 ,其解集为 ? ?x ? 3 ? x ? ? ? 2?

19、 1 ? 1 ? 1 ? 1 (a1 ? a2 ? a3 )( 1 ? 1 ? 1 )
a1 a2 a3
m a1 a2 a3
a a a ? 1 a a a 1? 9 ?3 ? ( 1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ( 1 ? 3 )? ? (3 ? 2 ? 2 ? 2) ? m? a a a a a a m m ? 2 1 3 2 3 1 ? ?

?

当且仅当 a1 ? a 2 ? a3 ?

m 时,等号成立 3
ax ? 1
ax ? 1

2 2 2 20、原不等式可化为 (a ? 1) x ? 2 ? ax ? x ? 0 ,即 x ? x ? 2 ? 0

由 a ? 0 得 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 1 ) ? 0
a

当 ? 1 ? ?1,即 a ? 1 时
a
a a

x ? 2 或 ?1 ? x ? ? 1
a

当 ? 1 ? ?1 ,即 0 ? a ? 1 时 当 ? 1 ? ?1,即 a ? 1 时

x ? 2 或 ? 1 ? x ? ?1
a

x?2

1? 综上所述原不等式的解集是:当 a ? 1 时, ;? ? x x ? 2或 ? 1 ? x ? ? ? a? ?

1 ? 当 0 ? a ? 1 时, ? ? x x ? 2或 ? ? x ? ?1? ;当 a ? 1 时, ?x x ? 2? ? a ?

21、设蔬菜、棉花和小麦分别种 x 、 y 、 z 公顷,总收益为 t 万元,则
? x ? y ? z ? 60 ? x ? y ? 60 ? z z ? ? x ? 24 ? ? 即 得? ? 2 ? 3 ?x y z ? ? ? ? 24 ?3x ? 2 y ? 144 ? z ? ? y ? 36 ? 3 z 2 ? ?2 3 4 ?
? 2

由 x ? 0 和 y ? 0 ,得 0 ? z ? 24
t ? 0.6 x ? 0.5 y ? 0.3z ? 32.4 ? 0.15z ? 32.4

此时 z ? 0, x ? 24, y ? 36
答:蔬菜种 24 公顷、棉花种 36 公顷、不种小麦,总收益最大为 32.4 万元. 22 (1)证明:任取 x1 , x2 ? ?? 1,1? ,且 x1 ? x 2 ,则
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (? x1 ) ( x 2 ? x1 ) ? 0
x 2 ? ( ? x1 )

因此 f ( x) 在 ?? 1,1? 上是增函数
1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1 1 1 f ( x) 是 ?? 1,1? 上的增函数,不等式 f ( x ? ) ? f ( x ? ) 等价于 ? 1 ? 2 4 ?? 1 ? x ? ? 1 4 ? 1 1 ? ?x ? 2 ? x ? 4 ?

(2)?

解得 ?

(3)由 ?1 ? x ? c ? 1 得 c ?1 ? x ? c ?1 , g ( x) 的定义域为 ?c ? 1, c ? 1?, 同理, h( x) 的定义域为 c 2 ? 1, c 2 ? 1

1 5 ?x? 2 4

?

?

由 ?1 ? c ? 2 , 得 (c 2 ? 1) ? (c ? 1) ? (c ? 2)(c ? 1) ? 0 , 即 c 2 ? 1 ? c ? 1, 又 c 2 ? 1 ? c ? 1 所以 g ( x) 的 定义域和 h( x) 的定义域的交集非空. 当 ?1 ? c ? 0 或 1 ? c ? 2 时, c(c ? 1) ? 0 ,这时公共定义域为 c 2 ? 1, c ? 1 当 0 ? c ? 1 时, c(c ? 1) ? 0 ,这时公共定义域为 c ? 1, c 2 ? 1

?

?

?

?


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