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江西省上饶市广丰一中2016届高三数学上学期第一次月考试题 理


广丰一中 2015—2016 学年上学期第一次月考 高三数学(理)试卷
一、选择题(12×5=60) 1、若复数 z 满足

(A)i (B)-i (C)1-i (D) ?1 ? i 2 2、设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x ﹣2x﹣3≤0},则 A∩(?RB)=( ) A. (1,4) B. (3,4) C. (1,3) D. (

1,2)∪(3,4) 3、下列说法错误的是( ) A.若 p:? x∈R,x -x+1=0,则?p:? x∈R,x -x+1≠0 1 B.“sinθ = ”是“θ =30°”的充分不必要条件 2 C.命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0” D.已知 p:? x∈R,cosx=1,q:? x∈R,x -x+1>0,则“p∧(?q)”为假命题
2 4、已知 a ? 0 且 a ? 1 ,若函数 f ? x ? ? log a ax ? x 在[3,4]是增函数,则 a 的取值范围是( )
2 2 2

z2 z ? i ,其中 i 为虚数为单位,则 ( ) 2015 ? ( 2 1? i



?

?

A. (1, ??)

B. [ , ) ? (1,?? )

1 1 6 4

C. [ , ) ? (1,?? ) )

1 1 8 4

D. [ , )

1 1 6 4

5、执行下面的程序框图,则输出的 m 的值为( A.5 C.9 B.7 D.11

6 、已知函数 f ? x? ?

f ? ? x ? 的图象大致是( )

1 2 x ? cos x, f? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 4

A. B. C. 7、某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则该几何体 的体积不可能是( A. )

D.

1 3

B.

? 6

C.1

D.

2 3

8、已知函数 f(x)=logax(0<a<1)的导函数为 f ′(x),M=f ′(a),N=f(a+1)-f(a),P=f ′(a+1),

Q=f(a+2)-f(a+1),则 A,B,C,D 中最大的数是(
A.M C.P B.N D.Q

)

-1-

9、已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数 a 满足 f( log2 a )+

f( log 1 a )≤2f(2),则 a 的取值范围是( )
2

A.(-∞,4] 10、如图,已知双曲线 ﹣

B. (0,4]

C. (0, ]

1 4

D. [ , 4]

1 4

=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2, 在边

|F1F2|=4,P 是双曲线右支上的一点,F2P 与 y 轴交于点 A,△APF1 的内切圆 PF1 上的切点为 Q,若|PQ|=1,则双曲线的离心率是( ) A.3 C. B.2 D.

? x 2 ? 2 x, x ? 0 11 、 已知 函 数 f ( x) ? ? , 当 x ? [0,10] 时 ,关 于 x 的 f ( x ? 1 ) ? 1 , x ? 0 ? 1 f ( x ) ? x ? 的所有解的和为( ) 5
A.55 B.100 C.110 D.120





12、已知函数 y=f(x)为奇函数,且对定义域内的任意 x 都有 f(1+x)=-f(1-x).当 x∈(2,3)时,f(x) =log2(x-1).给出以下 4 个结论:其中所有正确结论的为 ( ) ①函数 y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称; ②函数 y=|f(x)|是以 2 为周期的周期函数; ③函数 y=f(|x|)在(k,k+1)(k∈Z)上单调递增; ④当 x∈(-1,0)时,f(x)=-log2(1-x). A.①②④ B.②③ C.①④ D.①②③④

二、填空题(本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卷相应位置上. )

?21? x , x ?1 13、设函数 f ( x) ? ? ,则不等式 f(x)≤2 的解集为 ?1 ? log 2 x, x ? 1
2



14、已知点 A(0,2),抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,线段 FA 交抛物线于点 B,过 B 作 l 的垂 线,垂足为 M,若 AM⊥MF,则 p=__________. x+x3 15.函数 f(x)= 4 的最大值与最小值之积等于________. x +2x2+1 16、设 m∈N,若函数 f(x)=2x-m 10-x-m+10 存在整数零点,则 m 的取值集合为______________. 三、解答题 2 2 17、(本小题满分 12 分)已知集合 A={x|x -5x+4≤0},集合 B={x|2x -9x+k≤0}. (1)求集合 A. (2)若 B? A,求实数 k 的取值范围.

18、 (本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD / / BC ,

-2-

?ADC ? 90? ,平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点,

PA ? PD ? AD ? AB ? 2, BC ? 1
(Ⅰ)求证:平面 PQB ⊥平面 PBC ; (Ⅱ)求二面角 Q ? PC ? B 的平面角的正弦值。

19、 (本题满分 12 分) 设函数 f(x)=a -(k-1)a (a>0 且 a≠1) 为 R 的奇函数. (1)求 k 值;

x

-x

是定义域

(2)若 f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式 f(x +tx)+f(4-x)<0 恒成立的 t 的取值范围.

2

20、 (本题满分 12 分)已知椭圆 T :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,过右焦点 F2 且与 x 轴垂直的直 2 a b 5 32 线被椭圆 T 截得的线段长为 。 5 (Ⅰ)求椭圆 T 的方程; (Ⅱ)设 A 为椭圆 T 的左顶点,过 F2 的动直线 l 交椭圆于 B, C 两点 (与 A 不重合) , 直线 AB, AC 的斜率分别为 k1 , k 2 , 求证:k1 ? k2 为定
值。

21、 (本题满分 12 分)已知函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x -x -3. (1)讨论函数 h(x)=

a x

3

2

f?x? 的单调性; x

(2)如果存在 x1、x2∈[0,2],使得 g(x1)-g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数 M; 1 (3)如果对任意 s、t∈[ ,2],都有 f(s)>g(t)成立,求实数 a 的取值范围. 2 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位 置答题,并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致。 22. (本小题满分 10 分)选修 4 — 1 :几何证明选讲. 如图,⊙ O 的半径为 6,线段 AB 与⊙ O 相交于点 C 、 D ,

AC =4 , ?BOD ? ?A , OB 与⊙ O 相交于点 E . (1)求 BD 长; (2)当 CE ⊥ OD 时,求证: AO ? AD .
23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

-3-

? x ? 3 ? 2 cos ? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ? (Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知 A(?2, 0), B (0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ?ABM 面积的最大值。
已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若 ?x ? R , f ( x) ? t 2 ?

7 t 恒成立,求实数 t 的取值范围。 2
座位号

广丰一中 2015—2016 学年上学期第一次月考 高三数学(理)答题卷 一、选择题 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

13、 14、 15、 三、解答题(共 70 分,第 17,18,19,20,21 题各 12 分, 17、

16、



线

18、



19、
-4-

20、

21、

-5-

22-24、选做题 我选做第( )题

第 22 题图

-6-

2015-2016 高三上学期第一次阶段考试理科数学参考答案 ABBAC ACDDB BA 13、[0,+∞)14、 2 15、-
2

1 4

16、{0,3,14,30}

17、[解析] (1)∵x -5x+4≤0,∴1≤x≤4,∴A=[1,4]. 81 (2)当 B=?时,Δ =81-8k<0,求得 k> . 8 ∴当 B≠?时,2x -9x+k=0 的两根均在[1,4]内, 81-8k≥0, ? ? 设 f(x)=2x -9x+k,则?f?1?≥0, ? ?f?4?≥0,
2 2

81 解得 7≤k≤ . 8

综上,k 的取值范围为[7,+∞). 18、 (2)

14 4

19、[解析] (1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=0,∴1-(k-1)=0,∴k=2, 当 k=2 时 f(x)=a -a (a>0 且 a≠1),
x
-x

f(-x)=-f(x)成立,
函数 f(x)是奇函数,∴k=2. 另解:∵f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴a -(k-1)a =-a +(k-1)a , 整理得(k-2)(a +a )=0, 又∵a +a ≠0,∴k=2. (2)f(x)=a -a (a>0 且 a≠1).
x
-x -x

x

x

-x

x

-x

x

-x

-7-

1 ∵f(1)<0,∴a- <0,又 a>0,且 a≠1,∴0<a<1.

a

∵y=a 单调递减,y=a 单调递增,故 f(x)在 R 上单调递减, 不等式化为 f(x +tx)<f(x-4), ∴x +tx>x-4,即 x +(t-1)x+4>0 恒成立, ∴Δ =(t-1) -16<0,解得-3<t<5.
2 2 2 2

x

-x

? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? c 3 ? 20、 (Ⅰ)设椭圆的右焦点为 F2 ? c,0? ,则由题意可知 ? e ? ? ,-----------------------------2 分 a 5 ? 2 ? 2b ? 32 ? 5 ? a ?a ? 5 ? 解得: ?b ? 4 ?c ? 3 ?

2 2















x y ? ? 1 ---------------------------------------------------------------4 分. 25 16 (Ⅱ)椭圆 T 的左顶点为 A?? 5,0? ,右焦点 F2 ?3,0? ,---------------------------------------------5 T:
分 设 B?x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,直线 l 的方程为 x ? ty ? 3 , 代入椭圆 T 的方程 16x 2 ? 25y 2 ? 400得: 25 ? 16t 2 y 2 ? 96ty ? 288 ? 0 , 所 以 y1 ? y2 ? ? 分 因为 x1 ? ty1 ? 3 , x2 ? ty2 ? 3 所以 k1 ? 分

?

?

96t 288 , y1 ? y2 ? ? , ---------------------------------------8 2 25 ? 16t 25 ? 16t 2

y2 y2 y1 y1 , k2 ? ,-----------------------------------------10 ? ? x1 ? 5 ty1 ? 8 x2 ? 5 ty2 ? 8

y1 ? y2 y1 y ? 2 ? 2 ty1 ? 8 ty2 ? 8 t y1 y2 ? 8t ? y1 ? y2 ? ? 64 ?288 4 ?288 ? ? ? (定值)----------------12 分 ? 2 2 25 (?288)t ? 8t ? ?96t ? ? 64 ? 25 ? 16t ? 64 ? 25
所以 k1 ? k2 ?
2 a 2a 1 x -2a 21、[解析] (1)h(x)= 2+lnx,h′(x)=- 3 + = 3 ,x∈(0,+∞), x x x x

①当 a≤0 时,由于 x>0 所以 h′(x)>0,函数 h(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当 a>0 时,h′(x)≥0? x≥ 2a,函数 h(x)的单调递增区间为( 2a,+∞);h′(x)≤0? 0<x≤ 2a, 函数 h(x)的单调递减区间为(0, 2a). (2)存在 x1、x2∈[0,2],使得 g(x1)-g(x2)≥M 成立, 等价于[g(x1)-g(x2)]max≥M. 2 3 2 2 ∵g(x)=x -x -3,∴g′(x)=3x -2x=3x(x- ), 3
-8-

当 x 变化时,g(x)和 g′(x)的变化情况如下表:

x g′(x) g(x)

0 0 -3

2 (0, ) 3 - 递减

2 3 0 85 极小值- 27

2 ( ,2) 3 + 递增

2

1

2 85 由上表可知:g(x)min=g( )=- ,g(x)max=g(2)=1, 3 27 112 [g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min= , 27 所以满足条件的最大整数 M=4. 1 (3)∵x∈[ ,2]时,g(x)的最大值为 1,∴问题等价转化为 2 1 a 当 x∈[ ,2]时,f(x)= +xlnx≥1 恒成立, 2 x 等价于 a≥x-x lnx 恒成立. 记 h(x)=x-x lnx,所以 a≥h(x)max.
2 2

h′(x)=1-2xlnx-x=(1-x)-2xlnx,h′(1)=0,
1 当 x∈[ ,1)时,1-x>0,xlnx<0,∴h′(x)>0, 2 1 2 即函数 h(x)=x-x lnx 在区间[ ,1)上递增, 2 当 x∈(1,2]时,1-x<0,xlnx>0,∴h′(x)<0, 即函数 h(x)=x-x lnx 在区间(1,2]上递减, ∴当 x=1 时,函数 h(x)取得极大值也是最大值 h(1)=1, 所以 a≥1. 22-24 答案、 22、解: (1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OAC=∠ODB. ∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC. ∵OC=OD=6,AC=4,∴ ∴
2

BD OD ? , OC AC

BD 6 ? ,∴BD=9.????????5 分 6 4 (2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A. ∴∠AOD=180?–∠A–∠ODC=180?–∠COD–∠OCD=∠ADO. ∴AD=AO ????????10 分
23.解: (1)圆 C 的参数方程为 ?
2

? x ? 3 ? 2 cos ? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?
2

所以普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 ---------------2 分

? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6 ? cos ? ? 8 ? sin ? ? 21 ? 0 ---5 分 (2)点 M ( x, y ) 到直线 AB x ? y ? 2 ? 0 的距离为-------6 分

-9-

d?

| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 | 2

-------------7 分

?ABM 的面积 S ?
------9 分

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | | 2 4

所以 ?ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2 ------------10 分

?? x ? 4, x ? ?1 ? 24. 解: (1) f ( x) ? ?3 x, ?1 ? x ? 2 ,-----2 分 ? x ? 4, x ? 2 ? 当 x ? ?1, ? x ? 4 ? 2, x ? ?6,? x ? ?6 2 2 当 ?1 ? x ? 2,3 x ? 2, x ? ,? ? x ? 2 3 3 当 x ? 2, x ? 4 ? 2, x ? ?2,? x ? 2 2 ? ? 综上所述 ? x | x ? 或x ? ?6 ? .----------------------5 分 3 ? ? 11 (2)易得 f ( x) min ? f (?1) ? ?3 ,若 ?x ? R , f ( x) ? t 2 ? t 恒成立, 2 7 3 则只需 f ( x) min ? ?3 ? t 2 ? t ? 2t 2 ? 7t ? 6 ? 0 ? ? t ? 2 , 2 2 3 综上所述 ? t ? 2 .------------------------------10 分 2

- 10 -


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