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1.2.1


1.2 集合之间的关系与运算

引入新课
(1)类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间 是否有类似的“大小”关系呢?

(2)星期一升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在
旗杆附近指定的区域内,一字排开,校长在讲话时,从 主席台向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一 下高一(5)班全体学生与高一

年级全体学生之间是怎样 的关系呢?

思考1 观察下面几组集合,集合A与集合B具有什
么关系? (1) A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形},B={菱形}. (4) A={x|x=k,k∈Z}, B={x|x=2k+1, k∈Z}. (5) A={马棚中的白马},B={马棚中的马}.

解答:两个集合所含元素范围存在 “大小”关系.

一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元 素,那么集合A叫做集合B的子集.记作:

A ? B(或B ? A) ,
读作:A包含于B,或B包含A. 用Venn图表示两个集合 间的“包含”关系:
B

A

如果集合P中存在着不是集合Q的元素,那么集合P不包 含于Q,或Q不包含P.分别记作 P ? Q 或 Q ? P. 由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论:

(1)任何一个集合是它本身的子集,即

A ? A.
(2)空集是任意一个集合的子集.也就是说,对任意集合A, 都有

? ? A.

要点归纳:空集是一个十分重要的集合,它具备“空集虽

空,但空有所为”的功能.在后面的集合学习中,会经常
遇到,由于其本身的特殊性在解题中很容易被忽视,因 此在解题时,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的 可能性,否则极易导致解题失误.比如:如果 A ? B , 则应分A= ? 与A ? ? 两种情况来进行讨论,这一点,必

须引起我们的高度重视.

思考2 包含关系{a}?A与从属关系a∈A有什么 区别? 解答:两者的区别是 (1)从符号上看,“?”表示的是两个集合之间的关系, “∈”表示的是元素与集合之间的关系; (2){a}是有一个元素的集合,而a通常表示一个元素;

(3){a}?A表示{a}是A的一个子集,而a∈A表示a是A的一个
元素.

思考3 对于一个集合A,在它的所有子集中,去掉集
合A本身和空集?,剩下的子集与集合A的关系是“真正的”

包含关系,这种包含关系我们该怎样来更精确的描述呢?
解答:可以引入“真子集”的概念来描述这种纯粹的包含

关系.

真子集:如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个

元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作:
A ? B(或B ? A). 读作:“A真包含于B”或“B真包含A”. 例如:A={1,2},B={1,2,3,4}, 由观察可知,A是B的子集,但3∈B,3 ? A,因此,A是B的真子

集,即A ? B.

思考4 数集N、R、N*、Z、Q 之间具有怎样的关系?
Q

R
Z

N N*

解答: N ?Z ? Q 更准确的应为: N* N*

1, 2, 3?

?

?R

0 ?1, ?2,?
0.1, 0.2,?

? N ? Z ? Q ? R

2,? ?

思考5 集合A={x|(x+1)(x+2)=0} 与集合 B={-1,-2}.之间具有怎样的关系? 解答:可以看出集合A与集合B的元素完全相同,只是表达 形式不同.

一般地,如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过 来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素,那么我们就

说集合A等于集合B, 记作A=B.

A? B

B? A

A?B
类似于a≥b,b≥a则a=b

思考6 集合的相等与集合的特征性质有什么关系? 以A={x|p(x)},B={x|q(x)}为例说明. 解答:若A=B,则p(x)

?

q(x).

【例1】写出集合A={1,2,3}的所有子集和真子集. 【分析】如何一个不漏的写出集合{1,2,3}的所有子集呢? 我们采用下面的步骤: (1)因为

? 是所有集合的子集,所以首先写出 ?



(2)写出所有由一个元素构成的子集:{1},{2},{3};

(3)写出所有由两个元素构成的子集:{1,2},{1,3},
{2,3}. (4)写出所有由三个元素构成的子集:{1,2,3}.

解:集合A的所有子集是:

? ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}
在上述子集中,除去集合A本身,即{1,2,3}剩下的都是 集合A的真子集.

方法归纳
(1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键. (2)写一个集合的子集时,按子集中元素个数多少,以一

定顺序来写不易发生重复和遗漏现象.
(3)集合中含有n个元素,则此集合有2n个子集,记住这个 结论可以提高解答速度,其中要注意空集 漏掉. 和集合本身易 ?

练习
有(

满足{a}?M ?{a,b,c,d}的集合M共
)

A.6个
C.8个

B.7个
D.15个

解:∵{a}?M, ∴M中至少含有一个元素a.

又∵M ?{a,b,c,d},
∴M中至多含有三个元素. 由此可知满足条件的集合M有:{a},{a,b},{a,c}, {a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d}共7个. 答案:B

【例2】说出下列每对集合之间的关系: (1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5}; (2)P={x|x2=1},Q={x||x|=1}; (3)C={x|x是奇数},D={x|x是整数}.

解:(1)B ? A ;(2)P=Q; (3)C ? D.

练习

判断下列关系是否正确. (2){1,2,3}={3,2,1}; (4)0∈{0}; (6)?={0}.

(1){a}?{a}; (3)? ?{0}; (5)?∈{0};

分析:牢记元素与集合之间的关系是∈ 或 的关系是

? 、? 、?

? ,集合间

、=.

解:(1)任何一个集合是它本身的子集,

因此,{a}?{a},正确;
(2)两个集合中的元素相同,故用“=”号,正确; (3)空集是任何非空集合的真子集,正确; (4){0}中只有一个元素0,0∈{0},正确; (5)?与{0}是两个集合,不能用∈连接; (6)?中没有任何元素,而{0}中有一个元素, 二者不相等;

【例3】判断下列集合A与B的关系:

(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数};
(2)A={x|x>3},B={x|x>5}; (3)A={x|x是矩形},B={x|x是一角为直角的平行四边形}.

解:(1)x是12的约数

? x是36的约数,

所以A ? B. (2)x>5

?

x>3, 所以B ? A.

(3)因为x是矩形
所以A=B.

? x是有一个角为直角的平行四边形,

b 2009 2010 2 {1,a, } ? {0,a ,a ? b} a ? b 【例4】 若集合 ,则 a
的值为_________.
[分析] 由题目可获取以下主要信息: ①两集合都含有3个元素且相等; ②解答本题可以特殊元素0着手,结合集合元素的特性求 解.

? b? ? ? ? 解:∵ 1,a, ?={0,a2,a+b}, ? a? ? ? ? b? ? ? ? ∴0∈ 1,a, ?. ? a? ? ?

∴b=0,此时有{1,a,0}={0,a2,a}, ∴a =1,a=〒1. 当 a=1 时,不满足互异性, ∴a=-1. ∴a2 009+b2 010=-1.
2

规律方法
(1)两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关, 但要注意检验,排除与集合元素互异性或与已知相矛盾 的情形. (2)若两个集合中元素均为无限多个,要看两集合的代表

元素是否一致,且看代表元素满足的条件是否一致,若
均一致,则两集合相等.

包含

子集 真子集 空集

真包含
相等


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