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上教版高二数学教案——向量8


平面向量的坐标运算(2)
教学目的:1.理解和掌握两个向量平行的充要条件(坐标形式) 2.学会定比分点公式的推导方法,理解定比分点公式,掌握中点坐标公式。 3.能利用定比分点公式根据向量的起点坐标、终点坐标、分点坐标以及定比中 的若干已知量求得其余的未知量。 教学重点:定比分点公式的推导 教学难点:定比分点公式的运用 教学过程: 一复习、平面向量的坐标运算: 若 a ?

( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , ?a ? (? x1 , ? y1 ) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 二、新课 例 1:已知非零向量 a, b ,且 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,求证: a ∥ b 的充要条件是

?
?

?

?

?

?

王新敞
奎屯

新疆

x1 y2 ? x2 y1

例 2:设 a ? (2k ? 2,4), b ? (8, k ?1) ,已知 a ∥ b ,求实数 k 的值。 解: a ∥ b ,∴ (2k ? 2)(k ?1) ? 32 ? (k ?1)2 ? 16 ? k1 ? 3, k2 ? ?5 发散:已知 a ? (4,5), b ? (3,6) ,求实数 k ,使 ka ? b 与 a ? 3b 平行。 解: ka ? b ? (4k ? 3,5k ? 6) , a ? 3b ? (?5, ?13) ∵ (ka ? b) ∥ (a ? 3b) ,∴ ?13(4k ? 3) ? ?5(5k ? 6) ? k ? ?

1 3

? 为任意实数,且 ? ? ?1 ) 例 3:已知 P 是直线 PP ,P 1 2 上一点,且 PP 1, P 2 的坐 1 ? ? PP 2(
标分别是 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,求点 P 的坐标 ( x, y ) 解: PP 1 ? ( x ? x1 , y ? y1 ), PP 2 ? ( x2 ? x, y2 ? y) ,由 PP 1 ? ? PP 2 得

? ?x ? ? x ? x1 ? ? ( x2 ? x) ? ? ? ? y ? y1 ? ? ( y 2 ? y) ?y ? ?

x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y 2 1? ?

把这个公式称为有向线段 PP 1 2 的定比分点公式。 注:1、 PP 1 ? ? PP 2 中涉及两个向量,其中第一各向量的终点与第二个向量的起点应是同一 点P , 这时第二个向量前的实数才能作为定比 ? 代入公式。 注意公式中的 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 分 别指第一个向量的起点坐标和第二个向量的终点坐标,不能只简单记公式。 如 PP 1 ? 2PP 2 ,此时不能直接代公式。要化为 PP 1 ? ?2PP 2 ,才能代入公式。

P 在线段 PP P 为线段 PP 2、当 ? ? 0 ,则 PP 1 2 内,称 1 2 的内分点; 1 , PP 2 方向相同,则 P 在线段 PP P 为线段 PP 当 ? ? 0 , PP 1 2 外,称 1 2 的外分点。 1 , PP 2 方向相反,则

? ? 0 , P 与 P1 重合。
细分: P1 P P2 P1 P2 P P P1 P2

λ >0(内分)

(外分) λ <0 (λ <-1)

( 外分)λ <0 (-1<λ <0)

x1 ? x 2 2 3、中点公式:若λ =1 , ,则 P 是 PP 1 2 中点。 y1 ? y 2 y? 2 x?
4、如: x, x1 , x2 , ? ,知三求一。 例 4:已知点 P PP2 , 1, P 2 , P 在同一直线上,点 P 1, P 2 的坐标分别是 (?2,3), (0,1) ,若 PP 1 2 ?2 求点 P 的坐标 ( x, y ) 。

?2 ? (?2) x ? 0? ? ? x ? ?1 ? 1? 2 ? 解: (法一)由 PP 得 得 ? 2 PP PP ? ? 2 P P ? ? 1 2 2 1 2 2 ? y?2 ? 1 ? 3 ? (?2) y ? ? 1? 2 ?2 ? 0 ? x ? ? ?1 ? ? 1?1 (法二)由已知 PP 1 2 ? 2PP 2 ,结合图形得 PP 1 ? PP 2 ,代入公式 ? ? y ? 3 ?1 ? 2 ? ? 1?1

(法三)据题 PP 1 2 ? (2, ?2) , PP 2 ? (? x,1 ? y) ,有 ? 三种方法体现了三个注意点:

? 2 ? 2 ? ( ? x) ? x ? ?1 ?? ??2 ? 2 ? (1 ? y) ? y ? 2

1、公式应用的代入注意点。2、通过图形来转化定比。3、解法的通用。 例 5:已知 PA ? ?

4 3 AB ,则 BP ? ? PA ,求实数 ? 。 ( ? ? )图形法 7 4

例 6:已知平面上三点 A, B, C 的坐标分别是 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ) ,G 是 ?ABC 的重心, 求点 G 的坐标。 由中点公式有 BC 中点 D 坐标为 (

x2 ? x3 y2 ? y3 , ) 2 2

设 G 坐标为 ( x, y ) ,有 AG ? 2GD ,由定比分点公式得

x ?x ? x1 ? 2 ? 2 3 x ? x ? x ? 2 ? 1 2 3 x? ? x ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 ? 1? 2 3 , ) ,即 G ( 1 ? y ? y 3 3 3 ? y ? 2? 2 ?y ? 1 2 ? y1 ? y2 ? y3 ? 1? 2 3 ?
三、小结:定比分点公式,中点公式 四、课后反思


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