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第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)


第二届(2010 年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案 全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案 第二届 全国大学生数学竞赛预赛试卷 (非数学类) 非数学类)
(150 分钟) 一、 (25 分,每小题 5 分) (1)设 xn = (1 + a )(1 + a ) L (1 + a ), 其中 | a |< 1, 求 lim xn .
2 2n
n →∞

? 1? (2)求 lim e ?1 + ? 。 x →∞ ? x?
?x

x2

(3)设 s > 0 ,求 I =





0

e ? sx x n dx(n = 1, 2,L) 。
?2 g ?2 g ?1? x 2 + y 2 , g ( x, y ) = f ? ? ,求 2 + 2 。 ?x ?y ?r?

(4)设函数 f (t ) 有二阶连续导数, r =

(5)求直线 l1 : ?

?x ? y = 0 x ? 2 y ?1 z ? 3 与直线 l2 : = = 的距离。 4 ?2 ?1 ?z = 0
2 2n 2 2n

解: (1) xn = (1 + a )(1 + a ) L (1 + a ) = xn = (1 ? a )(1 + a )(1 + a ) L (1 + a ) / (1 ? a ) = (1 ? a )(1 + a ) L (1 + a ) / (1 ? a ) = L = (1 ? a
2 2 2n 2n+1

) / (1 ? a)

∴ lim xn = lim(1 ? a 2 ) / (1 ? a ) = 1/ (1 ? a )
n →∞ n →∞

n+1

1 1 ln e? x (1+ ) x x 2 ln(1+ ) ? x ? 1? x x (2) lim e ?1 + ? = lim e = lim e x →∞ x →∞ x →∞ x? ?
2

x2

?x

令 x=1/t,则
(ln(1+ t ) ? t )

原式= lim e
t →0

t2

= lim e
t →0

1/(1+ t ) ?1 2t

= lim e
t →0

?

1 2(1+ t )

=e

?

1 2

∞ ∞ 1 ∞ 1 I n = ∫ e ? sx x n dx = (? ) ∫ x n de? sx = (? )[ x n e ? sx |∞ ? ∫ e ? sx dx n ] = 0 0 0 s 0 s (3) n ∞ ? sx n ?1 n n(n ? 1) n! n! ∫0 e x dx = s I n?1 = s 2 I n?2 = L = s n I 0 = s n+1 s

(4)略(不难,难得写) (5)用参数方程求解。答案好像是 14 二、 (15 分)设函数 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上具有二阶导数,并且

f ′′( x) > 0, lim f ′( x) = α > 0, lim f ′( x) = β < 0, 且存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) < 0 。
x →+∞ x →?∞

证明:方程 f ( x ) = 0 在 ( ?∞, +∞ ) 恰有两个实根。 解: (简要过程) 二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为 f(x)有小于 0 的值,所以只需在两边 找两大于 0 的值。 将 f(x)二阶泰勒展开

f ( x) = f (0) + f ' (0) x +

f '' (ξ ) 2 x 2

因为二阶倒数大于 0,所以
x →+∞

lim f ( x) = +∞ , lim f ( x) = ?∞
x →?∞

证明完成。

? x = 2t + t 2 三、 (15 分)设函数 y = f ( x) 由参数方程 ? (t > ?1) 所确定,其中ψ (t ) 具有二阶 ? y = ψ (t )
导数,曲线 y = ψ (t ) 与 y =



t2

1

e? u du +
2

3 在 t = 1 出相切,求函数ψ (t ) 。 2e

t2 d2y L 3 ?u2 解: (这儿少了一个条件 2 = )由 y = ψ (t ) 与 y = ∫ e du + 在 t = 1 出相切得 1 dx 2e

ψ (1) =

3 2 ' ,ψ (1) = 2e e

dy dy / dt ψ ' (t ) = = dx dx / dt 2 + 2t d 2 y d (dy / dx) d (dy / dx) / dt ψ '' (t )(2 + 2t ) ? 2ψ ' (t ) = = = =。。 。 dx 2 dx dx / dt (2 + 2t )3
上式可以得到一个微分方程,求解即可。 四、 (15 分)设 an > 0, S n =
+∞

∑ a , 证明:
k =1 k

n

(1)当 α > 1 时,级数

∑ Sα
n =1 n

an

收敛;

(2)当 α ≤ 1 且 sn → ∞( n → ∞ ) 时,级数 解: (1) an >0, sn 单调递增

∑ Sα
n =1 n

+∞

an

发散。



∑a
n =1



n

收敛时,Q

an an an a < α ,而 α 收敛,所以 n 收敛; α sn s1 s1 snα



∑a
n =1



n

发散时,

lim sn = ∞
n →∞

Q

sn dx sn dx an sn ? sn ?1 = =∫ <∫ α α α sn?1 s sn?1 xα sn sn n

所以,

∞ sn dx sn dx an a1 a1 < α +∑∫ ∑ s α s n=2 sn?1 xα = s α + ∫s1 xα n =1 n 1 1







sn

s1

s 1?α ? s11?α dx a1 a1 s 1?α = α + lim n = α + 1 = k ,收敛于 k。 xα s1 n→∞ 1 ? α s1 α ? 1

所以,

∑ s α 收敛。
n =1 n n →∞



an

(2)Q lim sn = ∞

所以

∑ an 发散,所以存在 k1 ,使得 ∑ an ≥ a1
n =1 n=2 k1 k1



k1

a k1 an an ∑ n 1 2 ≥ ≥ 于是, ∑ α ≥ ∑ sk1 2 2 sn 2 sn
依此类推,可得存在 1 < k1 < k2 < ...

使得

∑sα
ki n

ki+1

an



1 成立 2 1 2

所以

∑sα
1
n

kN

an

≥N?

当 n → ∞ 时, N → ∞ 所以

∑ s α 发散
n =1 n



an

五、 (15 分)设 l 是过原点、方向为 (α , β , γ ) , (其中 α 2 + β 2 + γ 2 = 1) 的直线,均匀椭球

x2 y2 z2 + + ≤ 1 ,其中( 0 < c < b < a, 密度为 1)绕 l 旋转。 a2 b2 c2
(1)求其转动惯量;

(2)求其转动惯量关于方向 (α , β , γ ) 的最大值和最小值。 解: (1)椭球上一点 P(x,y,z)到直线的距离

d 2 = (1 ? α 2 ) x 2 + (1 ? β 2 ) y 2 + (1 ? γ 2 ) z 2 ? 2αβ xy ? 2 βγ yz ? 2γα zx

Q ∫∫∫ xydV = ∫∫∫ yzdV = ∫∫∫ zxdV = 0
? ? ?
2 2 ∫∫∫ z dV = ∫ z dz ? ?c x2 a + 2 c

∫∫
y2 b ≤1? 2 z2 c2

dxdy = ∫ π ab(1 ?
?c

c

z2 2 4 ) z dz = π abc3 2 c 15

由轮换对称性,

∫∫∫ x dV = 15 π a bc, ∫∫∫ y dV = 15 π ab c
2 3 2 3 ? ?

4

4

I = ∫∫∫ d 2 dV = (1 ? α 2 )
?

4 4 4 π a3bc + (1 ? β 2 ) π ab3c + (1 ? γ 2 ) π abc3 15 15 15

4 π abc[(1 ? α 2 )a 2 + (1 ? β 2 )b 2 + (1 ? γ 2 )c 2 ] 15 (2)Q a > b > c 4 ∴ 当 γ = 1 时, I max = π abc(a 2 + b 2 ) 15 4 当 α = 1 时, I min = π abc(b 2 + c 2 ) 15 =
六、(15 分)设函数 ? ( x ) 具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C 上,曲线

积分

? ∫
c

2 xydx + ? ( x)dy 的值为常数。 x4 + y 2

(1)设 L 为正向闭曲线 ( x ? 2) 2 + y 2 = 1, 证明 (2)求函数 ? ( x ) ;

? ∫
c

2 xydx + ? ( x)dy = 0; x4 + y 2

(3)设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求

? ∫
c

2 xydx + ? ( x)dy 。 x4 + y 2

解: (1) L 不绕原点,在 L 上取两点 A,B,将 L 分为两段 L1 , L2 ,再从 A,B 作一曲线 L3 , 使之包围原点。 则有

? ∫
L

2 xydx + ? ( x)dy 2 xydx + ? ( x)dy 2 xydx + ? ( x)dy = ? 4 2 ∫L x 4 + y 2 ? ?? ∫ x +y x4 + y2 L1 + 3 L +L
2 3

(2) 令 P =

2 xy ? ( x) ,Q = 4 2 x +y x + y2
4

由(1)知

?Q ?P ? = 0 ,代入可得 ?x ?y

? ' ( x)( x 4 + y 2 ) ? ? ( x)4 x 3 = 2 x 5 ? 2 xy 2
上式将两边看做 y 的多项式,整理得

y 2? ' ( x) + ? ' ( x) x 4 ? ? ( x)4 x3 = y 2 (?2 x) + 2 x 5
由此可得

? ' ( x ) = ?2 x ? ' ( x) x 4 ? ? ( x)4 x3 = 2 x 5
解得: ? ( x) = ? x 2 (3) 取 L' 为 x 4 + y 2 = ξ 4 ,方向为顺时针

Q

?Q ?P ? =0 ?x ?y 2 xydx + ? ( x)dy 2 xydx + ? ( x)dy 2 xydx + ? ( x)dy = ? 4 2 ∫ ' x4 + y 2 + ? x4 + y 2 ∫? x +y c+L L'
L' ?

∴? ∫
c

=

1

ξ

4

? 2 xydx ? x dy = π ∫
2

(最后一步曲线积分略去,不知答案对不对)


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