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【走向高考】2014高考一轮复习课件:1-1集合的概念及其运算


走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章

集 与 用 辑 合 常 逻 用



第一章

集合与常用逻辑用语

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知识网络

第一章

集合与常用逻辑用语

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第一章

集合与常用逻辑用语

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第一章

集合与常用逻辑用语

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命题分析

第一章

集合与常用逻辑用语

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集合是中学数学最基本的概念之一,作为工具广泛运用 于函数、方程、不等式、三角函数及曲线、轨迹等知识中, 在高考中占有重要地位.近几年的高考试题中,集合的考查 通常以两种方式出现:(1)考查集合的概念、集合间的关系、 集合的运算;(2)与其他知识相联系,考查中学数学常见的数 学思想.一般以客观题的形式出现,难度不大,分值为5 分.有时也出“创新题”,比如近几年高考中的新定义问 题.

第一章

集合与常用逻辑用语

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常用逻辑用语也是高考的必考点,本部分内容高考侧重 从以下三个方面来考查:(1)考查命题的真假判断,对它的考 查一般会与后面的数学知识相联系;(2)考查充分必要条件的 判断或证明;(3)含有一个量词的命题的否定.一般以客观题 的形式出现,主要考查命题的转换、逻辑推理能力和分析问 题的能力,难度不大,分值为5分,但有时也会出现在解答题 中.

第一章

集合与常用逻辑用语

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复习建议

第一章

集合与常用逻辑用语

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1.重视对概念的理解,提高计算速度,强化书写的规范 性,注意解题中Venn图或数轴的应用.提高以集合的概念、 关系、运算等为考查对象的题目的得分率. 2.重视与函数、方程、不等式、三角函数、数列、解析 几何、立体几何等各类知识的融会贯通,可在一轮复习中, 循序渐进地提高解这类题目的能力和水平.

第一章

集合与常用逻辑用语

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3.对于四种命题的复习,要注意结合实际问题,明确等 价命题的意义,认真体会其中涉及的化归思想和等价转化思 想. 4.全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题的复 习,要遵循新课标及考纲的要求,理解要到位、判断要准 确,表达要合乎逻辑.

第一章

集合与常用逻辑用语

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5.充分条件、必要条件及充要条件的复习,要把握好 “若p则q”的命题中条件与结论之间的逻辑关系,真正弄懂 并善于应用它去分析和解决问题.

第一章

集合与常用逻辑用语

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第一章
第一节 集 的 念 其 合 概 及 运 算

第一章

集合与常用逻辑用语

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高考目标

3

课堂典例讲练

课前自主预习

4

思想方法点拨

5

课后强化作业

第一章

第一节

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高考目标

第一章

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考纲解读 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法) 描述不同的具体问题.

第一章

第一节

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2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的 子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.

第一章

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3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集 合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定 子集的补集. (3)能用Vn 图 达 单 合 的 系 运 e n 表简集间关及算 .

第一章

第一节

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考向预测 1.从考查内容上看,高考题仍以考查集合的概念和集合 的运算为主. 2.从能力要求上看,注重基础知识和基本技能的考查, 要求具备数形结合的思想意识,会借助Vn 图、数轴等工具 e n 解决集合运算问题,常与不等式关系、不等式的解集相联 系. 3.从考查形式上看,多以选择题、填空题的形式出现.

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课前自主预习

第一章

第一节

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知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性: 确定性 、 互异性 、

无序性.

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() 集 中 素 集 的 系 2 合元与合关 文字语言 属于 不属于 符号语言


?

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() 常 集 的 号 示 3 见合符表: 数 自然数 集 符 号 集 正整数集 整数 有理数 集 集 实数集 复数集

N

N+ (N*)

Z

Q

R

C

() 集合的表示法:列举法 、 描述法 、Venn图法 . 4

第一章

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2.集合间的基本关系
表示 关系 子集 真子集 文字语言 集合A中任意一个元素都是集合B 的元素 集合A是集合B的子集,并且A≠B 集合A的 任何一个元素 相等 都是
A?B且B?A

记法

集合 间的 基本 关系

A?B 或 B?A A? 或 B? B A

集合B的元素,集合B的任何一个 元素也都是集合A的元素

?A

=B

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空是 集 空 集 集

任何 集 的 合子

??A

空 是 任何非空集合 的 集 真集 子

?? B,且B≠?

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注意:(1)任何集合都是它本身的子集,即 A?A

.

(2)子集、真子集都有传递性,即若A?B,B?C,则 A?C

C ;若A? B,B? C,则 A?

.
n

(3)n个元素组成的集合的子集有 2 个,非空真子集有 2n-2个.

2n-1 个,真子集有

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3.集合的基本运算
集合的并集 符号 表示 图形 表示 A∪B A∩B 集合的交集 集合的补集 若全集为U,则集合A 的补集为?UA

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集合的并集

集合的交集 集合的补集

{x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A且 意义 x∈B}

{x|x∈U, 且x?A}

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4.集合的运算性质 (1)交集:①A∩B= B∩A ;②A∩A= A ;③A∩?= ? ; ④A∩B? A ,A∩B? B ;⑤A∩B=A?A? B. (2)并集:①A∪B= B∪A ;②A∪A= A ;③A∪?= A ; ④A∪B? A ,A∪B? B ;⑤A∪B=B?A ? B.

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() 交 、 集 补 的 系 3 集并、集关: ①A∩?UA= ? ;A∪?UA= U ; ②?U(A∩B)= (?UA) ∪(?UB);?U(A∪B)=(?UA)∩ (?UB).

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基 础 自 测
江西文,2)若全集U={x∈R|x2≤4},则集合A= ) B.{x∈R|0≤x<2} D.{x∈R|0≤x≤2}

1.(文)02 ( 1· 2

{x∈R||x+1|≤1}的补集?UA为( A.{x∈R|0<x<2} C.{x∈R|0<x≤2 }

[答案] C

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[解析]

本考一二不式绝值等解 题查元次等,对不式

法,补集运算等.全集U={x∈R|-2≤x≤2},A={x∈R|- 2≤x≤0},所以?UA={x∈R|< x≤2}, 类 目 合 轴 0 此题结数是 好办法.

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(理)02 ( 1· 2

江西理,1)若 合 A={-1,1},B={0,2},则 集 )

集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( A.5 C.3 B.4 D.2

[答案] C

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[解析]

本考了合概,已 题查集的念由知

x∈A,y∈B,

当x=-1,y=0时,z=-1;当x=-1,y=2时,z=1;当x =1,y=2,z=3,故选C.解答本题要注意集合中元素的互异 性.

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2.(文)集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2,3,4}, 则S∩(?UT)等于( A.{1,4,5,6} C.{} 4 ) B.{1,5} D.{1,2,3,4,5}

[答案] B

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[解析] 题.

该考集交 题查合

集与补集运算,属基础保分

?UT={1,5,6},∴S∩(?UT)={1,5}.

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(理)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集 合{5,6}等于( A.M∪N C.(?UM)∪(?UN) ) B.M∩N D.(?UM)∩(?UN)

[答案] D

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[解析]

本主考集的算 题要查合运.

(?UM)∩(?UN)={1,4,5,6}∩{2,3,5,6}={5,6}.

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3.(文)下列集合中表示同一集合的是( A.M={2 (,) 3} ,N={3 (,) 2}

)

B.M={3,2},N={3 2} , C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={1,2},N={2 (,) 1}

[答案] B

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[解析]

A选 中 元 为 , 不 同 点 项,素点且是一,

C,D选

项中的元素,一个为点,一个为数,都不可能为同一集合, 故B正确.

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(理)02 ( 1· 2

皖八第次考 南校一联

)已知集合A={x∈Z||x-

1|≤2},B={x|g o l ( ) A.0 C.5

2(x-1)≤1},则集合A∩B的元素个数为

B.2 D.8

[答案] B

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[解析]

A={-1,0,1,2,3},B={x|< x≤3},A∩B={2,3} 1

所以元素个数为2.

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4.(教材改编题)设集合A={k2+k,-2k},则实数k的取 值范围是( A.R B.k≠0 C.k≠-3 D.{k|k≠0,k≠-3,k∈R} )

[答案] D

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[解析]

根集元的异, 据合素互性有

k2+k≠-2k,解得

k≠0,k≠-3.

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5.(文)若全集U=R, 合 A={x|x≥1}∪{x|x≤0},则? 集
UA=________.

[答案] {x|< x<} 0 1 [解析] 全集U=R, 补 的 义 知 由集定可 {x|< x<} . 0 1 ?UA=

第一章

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(理)已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R, 则实数a的取值范围是______.
[答案] a≤1

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[解析]

本考集的单算数结的想 题查合简运及形合思.

将集合A、B分别表示在数轴上,如图所示.

要使A∪B=R,则a≤1.

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6.(文)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}, 若B?A,则实数m=________.

[答案] 1

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[解析]

若B?A,则m2=2m-1,即(m-1)2=0,

∴m=1.当m=1时,A={-1,3,1},B={3,1},显然B?A.

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(理)02 ( 1· 2

南一第次考 昌中一月

)已知集合A,B,C,且A

?B,A?C,若B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则集合A最多 会有________个元素.

[答案] 3

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[解析]

满足A?B,A?C且A中元素个数最多,则A=

{0,2,4},所以最多有3个元素.

第一章

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7.(02 21· a的值.

郑州模拟)已知A={a+2,2a2+a},若3∈A,求

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[解析]

∵3∈A,∴a+2=3或2a2+a=3.

() 若a+2=3,则a=1,此时2a2+a=3. 1 即a+2=2a2+a, 与 合 素 互 性 矛 , 这集元的异相盾 去. 3 () 若2a +a=3,则a=-2或a=1(舍去). 2
2

故舍

?1 ? 3 ? ? ? ,3?. a=-2时,A= 2 ? ? ? ?

3 综上,符合题意的a值为-2.

第一章

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课堂典例讲练

第一章

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集合的基本概念

[例1]

已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈

A,求实数a的值. [分析] ∵1∈A,则a+2,(a+1)2,a2+3a+3都可能

为1,则需分类讨论解决,且必须验证元素的互异性.

第一章

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[解析]

() 若a+2=1,则a=-1,此时,A={1,0,1}与 1

集合中元素的互异性矛盾(舍去). () 若(a+1)2=1,则a=0或a=-2. 2 当a=0时,A={2,1,3},满足题意; 当a=-2时,A={0,1,1}与集合中元素的互异性矛盾(舍 去). () 若a2+3a+3=1,则a=-1(舍去),或a=-2(舍去). 3 综上所述,a=0.

第一章

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[点评]

() 注 集 中 素 互 性 1 意合元的异

对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验 集合的元素是否满足互异性. () 常见集合的意义 2

第一章

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(文)若A={3} 2, ,4 合B的 素 数 元个为 A.2 C.4 (

,B={x|x=n· m,m,n∈A,m≠n}, 集 则 ) B.3 D.5

[答案] B
[解析] ∵2×3=6,2×4=8,3×4=12,∴B正确.

第一章

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(理)已知集合A是 方 由 程 ax2-3x+2=0的所有实根组成的 集合,若A是空集,求实数a的值范围.
[解析] 由 意 题 , a≠0,且方程ax2-3x+2=0无实根, 9 即Δ=9-8a<0,∴a> . 8 9 即a的取值范围是(8,+∞).

第一章

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集合间的关系

[例2]

已集 知 合 A={x|x2-3x-10≤0}.

() 若B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m的取值 1 范围; () 若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值 2 范围; () 若A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值 3 范围.

第一章

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[分析]

集间包、等系关是清 合的含相关,键搞

A、B两

集合谁是谁的子集,B?A说明B是A的子集,即集合B中元素 都在集合A中,注意B是?的情况.同样A?B,说明A是B的子 集,此时注意B是不是?,A=B,说明两集合元素完全相同.

第一章

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[解析]

() 由A={x|x2-3x-10≤0}, 1

得A={x|-2≤x≤5},∵B?A, ∴①若B=?,则m+1>2m-1, 即m<2,此时满足B?A. ②若B≠?,B?A在数轴上表示为:

第一章

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?m+1≤2m-1 ? 所以有?m+1≥-2 ?2m-1≤5 ?

.解得2≤m≤3.

由①②得,m的取值范围是(-∞,3]. () 2
?m-6=-2 ? 若A=B,则必有? ?2m-1=5 ?

,方程组无解,

即不存在m使得A=B.

第一章

第一节

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() 若A?B, 数 上 示 3 在轴 表为

?2m-1>m-6 ? 则依题意应有?m-6≤-2 ?2m-1≥5 ? ?m>-5 ? 解得?m≤4 ?m≥3 ?

.

,故3≤m≤4,

∴m的取值范围是[4 3 ,]


第一章 第一节

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[点评]

() 解 集 相 问 的 般 路 1 决合等题一思

若两个集合相等,首先分析已知元素在另一个集合中与 哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求解,要注 意挖掘题目中的隐含条件. () 判断两集合关系的常用方法 2 ①化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系; ②用列举法表示各集合,从元素中寻找关系.

第一章

第一节

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特别提醒:题目中若有条件B?A,则应分B=?和B≠?两 种情况讨论.

第一章

第一节

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设 合 M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4a2+4a+ 集 2,a∈R}, 下 关 正 的 则列系确是 A.M=N C.M? N [分 ] 析 便获. 可解 B.M? N D.M?N ( )

根集的示可将合简而看关 据合表法先集化,后其系

[答案] A

第一章

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[解析]

由x=5-4a+a2(a∈R),

得x=(a-2)2+1≥1,故M={x|x≥1}. 由y=4a2+4a+2(a∈R),得y=(2a+1)2+1≥1. 故N={y|y≥1},故M=N.故选A.

第一章

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[点评]

一地对两或个上合要断 般,于个两以集,判它

们之间的关系,应先将集合进行化简,弄清每一个集合中的 元素的个数或范围,然后判断集合间的关系.

第一章

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集合的运算

[例3]

若集合A={x|x2-2x-80 ,B={x|x-m<} . <} 0

() 若m=3,全集U=A∪B,试求A∩(?UB); 1 () 若A∩B=?,求实数m的取值范围; 2 () 若A∩B=A,求实数m的取值范围. 3

第一章

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[分析]

() 求A、B→确定A∪B,?UB→求得A∩(?UB); 1

() 明确A、B→建 有 2 立 关 m的关系式→得m的范围; () A∩B=A→A?B→得m的范围. 3

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[解析]

() 由x2-2x-80 ,得-2<x<4, 1 <

∴A={x|-2<x<} . 4 当m=3时,由x-m<0,得x<3, ∴B={x|x<} ,∴U=A∪B={x|x<} ,?UB= 3 4 {x|3≤x<} . 4 ∴A∩(?UB)={x|3≤x<} . 4

第一章

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() ∵A={x|-2<x<} ,B={x|x<m}, 2 4 又 A∩B=?,∴m≤-2. () ∵A={x|-2<x<} ,B={x|x<m}, 3 4 由A∩B=A,得A?B,∴m≥4.

第一章

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[点评]

在行合运时先清合元和 进集的算,看集的素所

满足的条件,再把所给集合化为最简形式,并合理转化求 解,必要时充分利用数轴、Vn 图、图像等工具,并会运用 e n 分类讨论、数形结合等思想方法,使运算更加直观,简洁. 注意:() 有关集合的运算,要特别注意元素的互异性, 1 其办法是将所得到的结果进行检验. () 要注意?的性质. 2

第一章

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() 已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B 1 ={x|x=2a,a∈A}, 集 则 合 ?U(A∪B)中元素的个数为( A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 )

第一章

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() 设M={(x,y)|y=x2+1,x∈R},N={(x,y)|y=x+ 2 1,x∈R},则M∩N=________. [分析] () 首 确 集 1 先定合 B中的元素,再求出A∪B,最

后确定?U(A∪B)的元素; () 依题意可知给定的两个集合表示的是点集,即求直线 2 与抛物线的交点.

[答案] () 1 B

()(1 20) {,

,(2 1) ,}

第一章

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[解析]

() ∵A={1,2},∴B={x|x=2a,a∈A}= 1

{2,4},∴A∪B={1,2,4}.因此,?U(A∪B)={3,5}, ∴集合?U(A∪B)中含有2个元素,故选B. () 2
?y=x2+1, ? 由? ?y=x+1, ? ?x=0, ? 解得? ?y=1, ? ?x=1, ? 或? ?y=2, ?

因此M∩N={1 (,) 0

,(2. 1) ,}

第一章

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集合在实际生活中的应用

[例4]

某班有36名 学 加 学 物 、 学 外 同参数、理化课探

究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物 理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理 小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参 加数学和化学小组的有________人. [分析] 设同参数和学组人,助 出时加学化小的数借

Vn 图列方程求解. e n

第一章

第一节

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[解析]

由意,时加个组人为 题知同参三小的数

0,设同

时参加数学和化学小组的人数为x,Vn 图 图 示 e n 如所:

∴(0 -x)+6+5+4+(9-x)+x=36,解得x=8. 2

[答案] 8

第一章

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[点评]

() 解 此 题 , 借 于 1 决类目常助

Vn 图利用方程的 e n

思想解决.利用Vn 图时,一定要分清Vn 图中每一部分代 e n e n 表的实际意义. () 求元素个数问题也常利用公式 2 cr (A∪B)=cr( a d a d cr( a d A)+cr( a d B)-cr( a d ) A∩B)来 . (其中 求

A)表示集合A中 元 个 的素数

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学举了次文赛某有 校办一语竞,班 了次学赛这班 一数竞,个有

8名 学 加 又 办 同参,举

1 名学加两均加同 2 同参,次参的学

有5人 在 两 比 中 这 班 有 少 同 参 ? .这次赛,个共多名学赛

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[解析] 有y人,

设参语竞的 只加文赛有

x人,只参加数学竞赛的

?x+5=8 ? 由已知得? ?y+5=12 ?

?x=3 ? ,解得? ?y=7 ?

.

∴所有参赛的同学有3+5+7=15(人).

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集合中的信息迁移题

[例5]

对集 于 合 M、N,定义M-N={x|x∈M且x?N},

M⊕N=(M-N)∪(N-M),设A={y|y=x2-3x,x∈R},B= {y|y=-2x,x∈R},求A⊕B. [分析] 充理 分 解 “M-N”与“M⊕N”两种运算法

则,然后把A,B两个集合化到最简,再代入进行计算.

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[解析]

由y=x2-3x(x∈R),

? 3?2 9 9 9 ?x- ? - ≥- ,得A={y|y≥- }; 即y= 2? 4 4 4 ?

∵y=-2x(x∈R),2x>0,∴-2x<0,∴y<0, ∴B={y|y<} , 0
? 9? ? ? ∴A-B={y|y≥0},B-A=?y|y<-4?, ? ? ? ?

∴A⊕B=(A-B)∪(B-A)
? 9? =?-∞,-4?∪[0,+∞). ? ?

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(文)定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈ B}.设集合A={1 0} , 为( ) A.0 C.1 2 B.6 D.1 8 ,B={3 2} , ,则集合A⊙B的所有元素之和

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[分析]

集合A⊙B特 性 描 为 征质述

A⊙B={z|z=xy(x+

y),x∈A,y∈B},它表示集合A⊙B是由集合A中元素x、B中 元素y具有性质z=xy(x+y)的所有元素构成的集合,此种表示 集合的方法称为特征性质描述法.

[答案] D

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[解析]

当x=0时 无 , 论 y为何值,都有z=0;当x=1,y

=2时,z=6;当x=1,y=3时,z=12.故A⊙B={0,6,12}, 元素之和为18.

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(理)对任意的两个实数对(a,b)和(c,d), 定 规 : (a,b) =(c,d),当且仅当a=c,b=d;运算“?”为:(a,b)?(c,d) =(ac-bd,bc+ad); 算 “⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+ 运 c,b+d).设p,q∈R,若(2 1) , q)等于( ) B.(2 0) , D.(0 2) , ?(p,q)=(0 5) , ,则(2 1) , ⊕(p,

A.(0,-4 ) C.(0 4) ,

[答案] D

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[解析]

∵(2 1) ,

?(p,q)=(0 5) ,
?p=1 ? 解得? ?q=-2 ?

=(p-2q,2p+q), , .

?p-2q=5 ? ∴? ?2p+q=0 ?

∴(2 1) ,

⊕(p,q)=(1+p,2+q)=(0 2) ,

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思想方法点拨

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1.做集合的运算题时要注意:①勿忘对空集的讨论;② 勿忘集合中元素的互异性;③对于集合A的补集运算,勿忘A 必须是全集的子集;④对于含参数(或待定系数)的集合问 题,勿忘对所求数值进行合理取舍.

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2.在集合运算过程中应力求做到“三化”: () 意义化:即首先分清集合的类型,是表示数集、点集 1 还是图形,是表示函数的定义域、值域还是方程或不等式的 解集. () 直观化:借助数轴、直角坐标平面、Vn 图等将有关 2 e n 集合直观地表示出来. () 具体化:具体求出相关集合中函数的定义域、值域或 3 方程、不等式的解集等;不能具体求出的,也应力求将相关 集合转化为最简单形式.
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