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江西省师大附中等五校2015届高三第一次联考数学文试题含解析


五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中)联考

文科数学学科试题
【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查; 侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容,如复数、简易逻辑试卷都有 所考查。在全面考查的前提下,高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、 导数、圆锥曲线、概

率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容,尤其是解答题,涉及内容均 是高中数学的重点知识。明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。 2.适度综合考查, 提高试题的区分度 本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性, 很多题目是由多个知 识点构成的,这有利于考查考生对知识的综合理解能力,有利于提高区分度,在适当的规划 和难度控制下,效果明显。通过考查知识的交汇点,对考生的数学能力提出了较高的要求, 提高了试题的区分度.

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
【题文】1.设复数 Z 满足(2+i)· Z=1-2i3,则复数 Z 对应的点位于复平面内 A 第一象限 B 第二象限
3





C 第三象限

D 第四象限

【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4 【答案解析】A 解析:∵ (2+i)?Z=1﹣2i , ∴ .

∴复数 Z 对应的点的坐标为(

) ,位于第一象限,故选:A.

【思路点拨】把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的除法运算化简,求得复数 Z 对应 的点的坐标,则答案可求.

1 ? ? 2 【题文】 2. 集合 P ? ? x | x ? ? 2, x ? Z ? , 集合 Q ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 P x ? ?

?

?

CRQ ?(



0? A ?-3 ,

-3 , -2 , - 1? B ?

-3 , -2 , - 1, 1? C ?
2

-3 , -2 , - 1, 0? D ?
2

【知识点】交、并、补集的混合运算.A1 【答案解析】C 解析:由 P 中不等式,当 x>0 时,变形得:x ﹣2x+1≤0,即(x﹣1) ≤0, 2 2 解得:x=1,当 x<0 时,变形得:x ﹣2x+1≥0,即(x﹣1) ≥0,此时 x<0, ∴ P={x∈Z|x=1 或 x<0},由 Q 中不等式变形得: (x﹣1) (x+3)>0, 解得:x>1 或 x<﹣3,即 Q={x|x>1 或 x<﹣3},∵ 全集为 R,∴ ?RQ={x|﹣3≤x≤1}, 则 P∩ ?RQ={﹣3,﹣2,﹣1,1}.故选:C. 【思路点拨】求出 P 中不等式的解集确定出 P,求出 Q 中不等式的解集确定出 Q,根据全集
1

R 求出 Q 的补集,找出 P 与 Q 补集的交集即可.
10 ^ 【题文】3.已知变量 x,y 之间具有线性相关关系,其回归方程为y=-3+bx,若 ?xi=20, i=1

i=1

?yi=30,则 b 的值为(
A.1 B.3

10

) C.-3 D.-1

【知识点】线性回归方程.I4 【答案解析】B 解析:∵ ,∴ =2, =3,∵ 回归方程为 =﹣3+bx, ?xi=20, ?yi=30,
i=1 i=1 10 10

∴3=﹣3+2b,∴b=3,故选:B. 【思路点拨】由样本数据可得, =2, =3,代入可求这组样本数据的回归直线方程. 【题文】4.已知数列{an}满足 a1=1, an ?1 ? an ? 2an ? 1
2

? n ? N *? ,则 a2014 =(
D -2014

)

A 1

B 0

C 2014

【知识点】数列递推式.D1 【答案解析】 B 解析: 由 an ?1 ? an ? 2an ? 1
2

? n ? N *? ,得 an?1 ? ? an ? 1?

2

,∵ a1=1, ∴ a2=0,

a3=1,a4=0,…∴数列{an}的所有奇数项为 1,偶数项为 0.∴ a2014 =0.故选:B. 【思路点拨】由数列递推式结合已知求得数列的前几项,得到数列{an}的所有奇数项为 1, 偶数项为 0.则答案可求.

?x ? y ?1 ? 0 ? 【题文】5.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x-3y 的最小值是( ?x ? 3 ?
A ?7 B-6 C ?5 D ?9 【知识点】简单线性规划.E5 【答案解析】B 解析:由 z ? 2 x-3 y 得 y ?



2 z x+ , 3 3

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分 ABC) :

2

平移直线 y ?

2 z 2 z 2 z x+ , 由图象可知当直线 y ? x+ 过点 C 时,直线 y ? x+ 截距最大, 3 3 3 3 3 3

此时 z 最小,由 ?

x?3 ?x ? 3 ,解得 ? ,即 C(3,4) .代入目标函数 z ? 2 x-3 y , ?x ? y ?1 ? 0 ?y ? 4 ?

得 z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6.∴ 目标函数 z=2x﹣3y 的最小值是﹣6.故选:B. 【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 【题文】 6. 对某市人民公园一个月(30 天)内每天游玩人数进行了统计, 得到样本的茎叶图(如 图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 ) D.45,47,53

【知识点】茎叶图;众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差.I2 I3 【答案解析】 A 解析: 由题意可知茎叶图共有 30 个数值, 所以中位数为: 数是 45,极差为:68﹣12=56.故选 A. 【思路点拨】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差即可. 【题文】 7 .如图三棱锥 V ? ABC , VA⊥VC , AB⊥BC , ?VAC ? ?ACB ? 30 若侧面
o

45 ? 47 ? 46 . 众 2

VAC ? 底面 ABC ,则其主视图与左视图面积之比为(
A. 4 : 3 C. 3 : 7 B. 4 : 7 D. 7 : 3


左视

V

A B
主视

C

【知识点】简单空间图形的三视图.G2

【答案解析】A 解析:主视图为 Rt△ VAC,左视图为以△ VAC 中 AC 的高 VD 为一条直角边,△ ABC 中 AC 的高 BE 为另一条直角边的直角三角形. 设 AC=X,则 VA=

1 3 3 3 x,VC= x,VD= x,BE= x, 2 2 4 4

则 S主视图:S左视图 ? ?

?1 3 1 ? ?1 3 3 ? ? 2 ? 2 x? 2 x? ?:? ? 2 ? 4 x? 4 x? ? ? 4 : 3 .故选:A. ? ? ? ?

【思路点拨】主视图为 Rt△ VAC,左视图为以△ VAC 中 AC 的高为一条直角边,△ ABC 中 AC 的

3

高为另一条直角边的直角三角形. 【题文】8.

cos 350o ? 2sin160o sin ? ?190 ?
o

?(

)

A. ? 3

B. ?

3 2

C.

3 2

D. 3

【知识点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用.C2 【答案解析】D 解析:原式=

= 故选:D.

=

=



【思路点拨】利用诱导公式化简,再利用两角差的正弦即可求值. 【题文】9.以下四个命题: ①若 A ? ?1, 2,3? , B ? x x ? A ,则 A ? B ; ②为了调查学号为 1、2、3、…、69、70 的某班 70 名学生某项数据,抽取了学号为 2、 12、22、32、42、52、62 的学生作为数据样本,这种抽样方法是系统抽样; ③空间中一直线 l ,两个不同平面 ? , ? ,若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? ∥ ? ; ④函数 y ? sin x ?1 ? tan x ? tan 其中真命题 的个数是( ... A.0 个 ) B.1 个 C.2 个 D.3 个

?

?

? ?

x? ? 的最小正周期为 ? . 2?

【知识点】命题的真假判断与应用.A2 【答案解析】B 解析:① A ? ?1,2,3?, B ? ?1,2,3? ,则 A ? B ;故是真命题. ② 学号本身有一定的规律,并没有随机编号,故不是系统抽样;假命题. ③ 空间中一直线 l ,两个不同平面 ? , ? ,若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? ∥ ? ;从正方体中很容易 找到反例;假命题. ④ 函数 y ? sin x ?1 ? tan x ? tan 故选 B. 【思路点拨】对四个命题逐一分析,第 2 与第 4 个命题较容易出错. x2 y2 【题文】10.以双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)中心 O(坐标原点)为圆心,焦矩为直径的圆与双 a b

? ?

x? ? ,在 x=0 时有意义,而在 x= ? 时无意义,故是假命题. 2?

4

曲线交于 M 点(第一象限) ,F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点,过点 M 作 x 轴垂线,垂 足恰为 OF2 的中点,则双曲线的离心率为( A. 3 ? 1 B. 3 ) C. 3 ? 1 D.2

【知识点】双曲线的简单性质.H6

? c 3c ? c 2 3c 2 【答案解析】C 解析:由题意 M 的坐标为 M ? , ?2 2 ? ? ,代入椭圆方程可得 4a 2 ? 4b 2 ? 1 ? ?
∴e ﹣8e +4=0,∴e =4+2 3 ,∴e= 3 +1.故选:C. 【思路点拨】由题意 M 的坐标为 M ? 曲线的离心率.
4 2 2

? c 3c ? ?2, 2 ? ? ,代入椭圆方程可得 e 的方程,即可求出双 ? ?

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 【题文】 11. 向量 a, b, c 在单位正方形网格中的位置如图所示, 则 a (b ? c ) = .

a
b

c

【知识点】平面向量数量积的运算.F2 【答案解析】3 解析: 如图建立平面直角坐标系,

则 =(1,3) , =(3,﹣1)﹣(1,1)=(2,﹣2) , =( (3,2)﹣(5,﹣1)=(﹣2, 3) ,∴ =(0,1) ,∴ =(1,3)?(0,1)=3.故答案为:3.

【思路点拨】首先以向量的起点为原点,分别以水平方向和竖直方向为 x 轴、y 轴建立坐标 系,将三个向量用坐标表示,再进行运算. 【 题 文 】 12 . 设 等 差 数 列 ?an ? 前 n 项 和 为 S n , 若 S m?1 ? ?1, S m ? 0, S m?1 ? 2 , 则

m ? ________.
【知识点】等差数列的前 n 项和.D2

5

【答案解析】3 解析:∵ 等差数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,满足 S m?1 ? ?1, S m ? 0, S m?1 ? 2 ,



,解得 m=3.故答案为 3.

【思路点拨】利用等差数列的前 n 项和公式即可得出。 【题文】13.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 图所示,则将 y ? f ( x) 的图象向左至少平移 后,得到的图像解析式为 y ? A cos ? x . 【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4

?
2

) 的部分图像如
个单位

3 3 2? 11 ? ? 解析:由函数的图象可得 A=1, T= ? = ? ﹣ ,∴ ω=2. 6 6 4 4 ? 12 ? ? ? 再根据五点法作图可得 2× +φ= ,∴ φ= ,∴ 函数 f(x)=sin(2x+ ) . 6 6 6 ? ? ? ? 把函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位,可得 y=sin[2(x+ )+ ]=cos2x 6 6 6 6
【答案解析】 的图象, 故答案为:

? . 6

【思路点拨】由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值, 可得函数的解析式.再根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 【题文】14.过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点作直线与椭圆相交,使弦长均为整数的所有直线 16 4
.

中,等可能地任取一条直线,所取弦长不超过 4 的概率为 【知识点】椭圆的简单性质.H5 【答案解析】

x2 y 2 5 ? ? 1 的左焦点作直线与椭圆相交,最小弦长为通径 解析:过椭圆 16 4 12

2b 2 =2、最大弦长为长轴长 8,弦长均为整数的所有直线中,等可能地任取一条直线,共有 a
2 ? 5 2 = 12 种情况,所取弦长不超过 4,有 4+1=5 种情况,∴ 所求概率为

5 . 12

6

故答案为:

5 . 12

【思路点拨】过椭圆

x2 y 2 2b 2 ? ? 1 的左焦点作直线与椭圆相交,最小弦长为通径 =2、最 a 16 4

大弦长为长轴长 8,即可得出结论. 【题文】 15. 若关于 x 的方程 2 x ? 1 ? x ? 1 ? m 有两个不同的实数根, 则实数 m 的取值范围为 【知识点】根的存在性及根的个数判断. B9


.

【答案解析】 m ? ?

3 解析:设 y=|2x﹣1|﹣|x+1|,则 y= 2



图象如图所示,

函数的最小值为 -

3 .∵ 关于 x 的方程 2 x ? 1 ? x ? 1 ? m 有两个不同的实数根, 2

m?? ∴

3 3 .故答案为: m ? ? . 2 2
3 ,即可求出实数 m 的取值范围. 2

【思路点拨】做出函数的图象,函数的最小值为 -

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】16. (本题满分 12 分) 为了增强中学生的法律意识,某中学高三年级组织了普法知识竞赛.并随机抽取了 A、B 两个班中各 5 名学生的成绩,成绩如下表所示: A班 87 88 91 91 93

7

B班

85

89

91

92

93

(1) 根据表中的数据,分别求出 A、B 两个班成绩的平均数和方差,并判断对法律知识的 掌握哪个班更为稳定? (2) 用简单随机抽样方法从 B 班 5 名学生中抽取 2 名,他们的成绩组成一个样本,求抽 取的 2 名学生的分数差值至少是 4 分的概率. 【知识点】古典概型及其概率计算公式;频率分布表;众数、中位数、平均数;极差、方差 与标准差.I2 I3 K2 【答案解析】 (1)A 班更为稳定(2) 解析: (1) X A ?

1 2

1 1 (87 ? 88 ? 91 ? 91 ? 93) ? 90 , X B ? (85 ? 89 ? 91 ? 92 ? 93) ? 90 ..1 分 5 5

1 24 2 SA ? ? (87 ? 90) 2 ? (88 ? 90) 2 ? (91 ? 90) 2 ? (91 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ? ? ,…3 分 ? ? 5 5 1 2 SA ? ? (85 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (91 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ? ? ? ? 8 …5 分 5
法律知识的掌握 A 班更为稳定……………6 分 (2).从 B 班抽取两名学生的成绩分数,所有基本事件有: (85,89) , (85,91) , (85,92) , (85,93) , (89,91) , (89,92) , (89,93) , (91,92) , (91,93) , (92,93) 共有 10 个…………………………8 分 基本事件;抽取的 2 名学生的分数差值至少是 4 分的有(85,89) , (85,91) , (85,92) , (85,93) , (89,93)5 个基本事件。………10 分

?P ?

5 1 ? …………12 分 10 2

【思路点拨】 (1)分别求出 A、B 两个班成绩的平均数和方差,由此能判断对法律知识的掌 握 A 班更为稳定. (2)从 B 班抽取两名学生的成绩分数,所有基本事件有 10 个,抽取的 2 名学生的分数差 值至少是 4 分的有 5 个基本事件, 由此能求出抽取的 2 名学生的分数差值至少是 4 分的概率. 【题文】17. (本题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且(2b- 3c)cos A- 3acos C=0. (1)求角 A 的大小; π (2)若角 B= ,BC 边上的中线 AM 的长为 7,求△ABC 的面积. 6 【知识点】正弦定理;余弦定理.C8

8

π 【答案解析】 (1)A= (2) 3 6 解析:(1)∵(2b- 3c)cos A= 3acos C,∴(2sin B- 3sin C)cos A= 3sin Acos C. ……2 分 即 2sin Bcos A= 3sin Acos C+ 3sin Ccos A.∴2sin Bcos A= 3sin B.∵sin B≠0,…… 4 分 ∴cos A= 3 π ,∵0<A<π,∴A= .……………………6 分 2 6

π 2π (2)由(1)知 A=B= ,所以 AC=BC,C= ,设 AC=x,则 MC 6 3 1 = x.又 AM= 7,在△AMC 中,由余弦定理得 AC2+MC2- 2 x ?2 x 2AC· MCcos C=AM2,即 x2+? · cos 120° =( 7)2,解得 ?2? -2x· 2 x=2,…… 10 分 1 2π 故 S△ABC= x2sin = 3.……12 分 2 3 A B C P F E D

【思路点拨】1)利用正弦定理把(2b- 3c)cos A= 3acos C 中的边换成角的正弦,进而利 π 用两角和公式进行化简整理求得 cosA,进而求得 A. (2)由(1)知 A=B= ,进而可知三 6 角形为等腰三角形和 C 的值,设 AC=x,进而用余弦定理建立等式求得 x,进而用三角形面 积公式求得答案. 【题文】18. (本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧棱 PA 丄底面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,E 为 PD 上 一点,AD=2AB=2AP=2,PE=2DE. (1)若 F 为 PE 的中点,求证 BF∥平面 ACE; P (2)求三棱锥 P﹣ACE 的体积. F E A B C D

【知识点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.G4 G7 【答案解析】 (1)见解析(2) 解析: (1)若 F 为 PE 的中点,由于底面 ABCD 为矩形,E 为 PD 上一点,AD=2AB=2AP=2, PE=2DE,故 E、F 都是线段 PD 的三等分点.设 AC 与 BD 的交点为 O,则 OE 是△ BDF 的 中位线, 故有 BF∥ OE, 而 OE 在平面 ACE 内, BF 不在平面 ACE 内, 故 BF∥ 平面 ACE. ………… 6分 (2)由于侧棱 PA 丄底面 ABCD,且 ABCD 为矩形,故 有 CD⊥ PA,CD⊥ AD,故 CD⊥ 平面 PAE.三棱锥 P﹣ACE 的体积 VP﹣ACE=VC﹣
PAE=

S△PAE?CD= ?( ?S△PAD)?AB= ( ? ?PA?PD)?AB

9

= ?PA?PD?AB= ?1?2?1= .…………………… 12 分 【思路点拨】 (1)由题意可得 E、F 都是线段 PD 的三等分点.设 AC 与 BD 的交点为 O,则 OE 是△ BDF 的中位线, 故有 BF∥ OE, 再根据直线和平面平行的判定定理证得 BF∥ 平面 ACE. (2) 由条件证明 CD⊥ 平面 PAE ,再根据三棱锥 P ﹣ ACE 的体积 VP ﹣ ACE=VC ﹣ PAE= S△PAE?CD= ( ? ?PA?PD)?AB= ?PA?PD?AB,运算求得结果. 【题文】19.(本题满分 12 分) 如图所示,程序框图的输出的各数组成数列 ?an ? . 开始
] [

i=1,a=1 输入 n

a=3a

i=i+1 否

输出 a

i>n?

是 结束

(1)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)已知 ?bn ? 是等差数列,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求数列 ?an ? bn ? 前 n 项和 Tn . 【知识点】数列的求和;程序框图.D4 L1 【答案解析】 (1) S n =

3 n 1 3 - 1 (2) Tn ? ? 81 ? ?10n ? 9 ? 3n +2 ? ? ? 2 4

(

)

解析: (1)由程序框图知 an ? 3an ?1 , ?an ? 是 a1 ? 3, q ? 3 的等比数列, ………… 4 分

? Sn ?
(2)

3 ?1 ? 3n ? 1? 3

?

3 n ? 3 ? 1? ;……………………6 分 2
……………8 分

?b1 ? 9 ? d ? 15 ? bn ? 15n ? 6 ? ?b3 ? 3 ? 9 ? 27 ? 39

?Tn ? 9 ? 31 ? 24 ? 32 ? 39 ? 33 ? 3Tn ?

? ?15n ? 6? ? 3n …………9 分 ? ?15n ? 21? ? 3n ? ?15n ? 6? ? 3n+1

9 ? 32 ? 24 ? 33 ? 39 ? 34 ?

由错位相减法可得: Tn ?

1 ?81 ? ?10n ? 9 ? 3n +2 ? ? …………12 分 4?

【思路点拨】 (1)由程序框图知 an ? 3an ?1 ,判断出 ?an ? 是 a1 ? 3, q ? 3 的等比数列,代入 公式求出通项公式及前 n 项和 Sn; (2)设公差是 d,由(1)和条件列出方程求出 d,求出等差数列{bn}的通项公式,再利用 错位相减法求出数列{an?bn}前 n 项和 Tn. 【题文】20. (本题满分 13 分)

10

如图所示, 作斜率为 ?

1 2 的直线 l 与抛物线 D : 2 y ? x 相交于不同的两点 B、 C, 点 A(2,1) 4
y

在直线 l 的右上方. (1)求证:△ABC 的内心在直线 x=2 上; (2)若 ?BAC ? 90 ,求△ABC 内切圆的半径.
o

A x

【知识点】抛物线的简单性质.H7 【答案解析】 (1)见解析(2) r =

O

B C

4 2 - 17 2

1 ? 1 ?y ? ? x ? t 解析:(1)设 BC 直线为 y ? ? x ? t , B ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y 2 ? ,由 ? 4 4 ?2 y 2 ? x ?

y 2 ? 2y ? 2t ? 0 ? y1 ? y2 ? ?2, y1 y2 ? ?2t …………………3 分

K AB ? K AC ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ? 2 y1 y2 ? 2?? y1 ? y2 ? ? 8t ? 4 ? ?4t ? 2 ?? ?2 ? ? 8t ? 4 ? ? ? ?0 x1 ? 2 x2 ? 2 ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

……………………………………………………5 分 ??BAC 的平分线为 x ? 2 ,即 ABC 内心在定直线 x ? 2 上………………6 分 (2)

? y ? x ?1 ?BAC ? 90o ,由(1)知直线 AB: y ? x ? 1 ,直线 AC: y ? 3 ? x ,由 ? 2 解得 ?2 y ? x

3 2 5 2 ?1 1? ?9 3? B ? , ? ? ,同理可得 C ? , ? ? ? AB ? , AC ? , BC ? 17 .………9 分 2 2 ?2 2? ?2 2?

SRt

ABC

AB ? AC 1 1 ……11 分 ? ? AB ? AC ? ? AB ? AC ? BC ? ? r ,? r ? 2 2 AB ? AC ? BC

3 2 5 2 ? 4 2 ? 17 2 2 ?r ? ? ………………………………………13 分 2 3 2 5 2 ? ? 17 2 2
【思路点拨】 (1)只要证明 kAB+kAC=0 即可; (2)利用三角形的面积计算公式和内切圆的 性质即可得出. 【题文】21. (本题满分 14 分) 已知 a , b 是正实数,设函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ?a ? x ln b .

11

(1)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 h( x) 的单调递减区间; (2)若存在 x0 ? [

a ? b 3a ? b b , ] 使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 的取值范围. 4 5 a

【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.B12 【答案解析】 (1) ? 0, ? (2)

? ?

b? e?

b <7 a
………2 分

解析:(1) h(x )=x ln x-x ln b+a, x ? (0,+?) ? h'(x )= ln x +1- ln b 由 h? ? x ? ? 0 得, 0 ? x ? (2)由

b ? b? ,………4 分? h ? x ? 的单调递减区间为 ? 0, ? , …5 分 e ? e?

3a +b a +b b ? 得 ?7 ………………………………6 分 a 5 4 a +b b 3a +b e b 3e b b ? ? ? ? (i)当 ,即 时, h(x )min =h( )= - +a 4 e 5 4-e a 5-e e e b b 3e b 由 - +a ? 0 得 ? e ,? e ? ? ………………………………8 分 a e a 5-e b a +b 4 -e a +b 3a +b b ? h(x )在[ , ]上 d (ii)当 < 时, a > 单调递增. e 4 e 4 5 4-e 3? b-b a +b a +b a +b a +b b 3a-b 3-e e h(x )min =h( )= (ln -lnb)+a ? (ln -lnb)+a = > = b> 0 4 4 4 4 e 4 4 e ? 不成立 ………………………………………………………………10 分 b 3a +b b 3e 5-e a +b 3a +b b ? h(x )在[ , ]上 d (iii)当 > ,即 > 时, a < 单调递减. e 5 a 5-e 3e 4 5 5-e 2? b-b 3a +b 3a +b 3a +b 3a +b b 2a-b 2-e h(x )min =h( )= (ln -lnb)+a < (ln -lnb)+a = < 3e = b<0 5 5 5 5 e 5 5 3e
………………………………………………………………12 分

b 3e 时恒成立. ………………………………13 分 ?当 > a 5-e b 综上所述, e ? <7 ………………………………14 分 a
【思路点拨】 (1)根据已知求出 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的解析式,求出其导函数,分别求出导 函数为正,为负时 x 的取值范围,进而可得 h(x)的单调区间; (2)根据区间的定义可得

b 3a +b a +b ? ,结合(1)中函数的单调性,分类讨论,最后综合讨论结果,可得 的取值 5 4 a
范围.

12

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