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四川省达州市2014-2015学年高一上学期期末检测数学试题


达州市 2014 年高一年级秋季期末检测

数学参考答案
一、选择题(共 50 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 B 8 B 9 D 10 D

二、填空题:5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.

1 4

12.

?

1 5

13. ( ,1]

3 4

14 ( ,2)

4 3

15 ②③

16.解: (1)由题意得:

A ? B ? {x .2 ? x ? 10}......... ....2分,
R

A ? {x x ? 3或x ? 7}
R

…………4 分



A) ∩ B ? {x 2 ? x ? 3或7 ? x ? 7}…………………6 分

(2)由 C ? B 得:

?a ? 2 ? ?a ? 1 ? 10

解得 2 ? a ? 9

…………………12 分

(写成 2 ? a ? 9 扣两分)

6分 17.解 1)原式= 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 4.......
(2)原式 ?

2 cos ? cos ? ? sin ? 2 = 1 ? tan ?
=? 2

……..8 分 ……..10 分 ……..12 分 ……..1 分

18.解:① 由图象得 A ? 1

T ? 4?(

?
12

?

?
6

)??
……..3 分

故? ? 2 将(

?
12

,1) 带入到 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 中得

sin(

?
6

? ?) ? 1

解得 ? ?

?
3
……..6 分

∴函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

)

② 函数 y ? sin x 的单调递增区间为 [?

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ], k ? Z

……7 分

解不等式 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? , k ? Z 得
……..11 分

?

5? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 12 12

故函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?

[?

5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z 12 12

3

) 的单调递增区间为:
……..12 分

(漏 k ? Z 和没有写成区间形式各扣 1 分) 19、解(1)①PQ=8- y ,EQ= x ? 4 ………………………………………1 分 ②在△EDF 中,

EQ EF ? PQ FD

所以

x?4 4 ? 8? y 2
1 x ? 10 ,定义域为 {x | 4 ? x ? 8} ………………. .6 分 2

所以 y ? ?

(2)设矩形 BNPM 的面积为 S,则

x 1 S ( x) ? xy ? x(10 ? ) ? ? ( x ? 10) 2 ? 50 2 2
所以 S ( x) 是关于 x 的二次函数,且其开口向下,对称轴为 x ? 10 所以当 x ? [4,8] , S ( x) 单调递增 所以当 x ? 8 米时,矩形 BNPM 面积取得最大值 48 平方米………………12 分

n ? 2?x n ? 2x ? ? 0, 20 解: (1)由 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,得 1 ? n ? 2?x 1 ? n ? 2 x
∴ n ?1 2 ? 2
2 x

?

??

?x

? ? 0 ,即 n
x

2

? 1,

∴ n ? ?1 …………………………4 分 (2)有已知有; g ( x) ? f ( x) ? [4 ? (m ? 1) ? 2 ? m]
x

1? 2x ? ? (2 x ? 1)(2 x ? m) ? (1 ? 2 x )(2 x ? m) x 1? 2

? ?(2 x ) 2 ? (1 ? m) ? 2 x ? m
x 2

……………6 分

令 t ? 2 , t ? [1,2],则得到函数 h(t ) ? ?t ? (1 ? m)t ? m, t ? [1,2] 函数 h(t ) 的对称轴为直线 t ?

1? m 且图象开口向下 2

……………7 分

讨论:① 当

1? m ? 1 即 m ? ?1 时,函数 h(t ) 在区间 [1,2] 上单调递减 2
……………8 分

故 t ? 1 时,此时 x ? 0 ,函数 h(t ) max ? h(1) ? 0 ②当

1? m ? 2 即 m ? ?3 时,函数 h(t ) 在区间 [1,2] 上单调递增 2
故 t ? 2 时,此时 x ? 1 ,函数 h(t ) max ? h(2) ? ?4 ? m ……………9 分

③当 1 ?

1? m ? 2 即 ? 3 ? m ? ?1 时, 2 1? m 1? m ] 上单调递增,在区间 [ ,2] 上单调递减 函数 h(t ) 在区间 [1, 2 2
1? m 1? m 1? m (m ? 1) 2 )? 时,此时 x ? log 2 函数 h(t ) max ? h( …11 分 2 2 2 4

故t ?

综上所述:当 m ? ?3 时,函数 g ( x) 的最大值为 ? 4 ? m 当 ? 3 ? m ? ?1 时,函数 g ( x) 的最大值为 当 m ? ?1 时,函数 g ( x) 的最大值为 0 21. 解: (1)由 f (x ? ) ? f ( ? x ? ) 得 m ? a , 又由函数图像过点 (0, 2a ? 1) 得 n ? 2a ? 1 ……………………………..3 分 (2)由(1)知 f (x) ? x ? ax ? 2a ?1 ,则
2

( m ? 1) 2 4
……………13 分

a 2

a 2

f (lnx) ln 2 x ? alnx ? 2a ? 1 g (x) ? ? , x ?[e,e2 ] 的最小值为 a ? 1 , ln x ? 1 ln x ? 1
2 令 t ? ln x ? 1 由 x ?[e,e ] 得 t ? [2,3] ,

原函数等价于 y ?

(t ? 1)2 ? a(t ? 1) ? 2a ? 1 a ? t ? ? a ? 2, t ? [2,3] 的 最 小 值 为 t t
……………………………..5 分

a ?1。
又因为 a ?0 ,所以函数 y?t?

a ? 2 a ? 1在[2,3] 上 单 调 递 增 , 故 当 t ? 2 时 , t
…………………………………….7 分

ym i n? 2 ?

a ?a ? 2 ? a 1 ? ,得 a ? ?2 2

(3)由 f (lnx1 ) ? (1 ? 4? )(ln x1 ? 1)sinx 2 ? 0

可变为

f (lnx1 ) ? (4? ? 1)sinx 2 …………………………………………………..8 分 ln x1 ? 1 f (lnx1 ) )min ? ((4? ? 1)sinx 2 )min , ln x1 ? 1
3 ],

由题意可知原不等式等价于 ( 其中 x1 ? [e, e ], x 2 ? [?
2

? 2?
6 ,

由(2)可知 a ? ?2时, x ? [e, e ], (
2

f (lnx1 ) ) min ? ?3 , ln x1 ? 1

则原不等式等价于 ((4? ?1)sinx 2 )min ? -3 ……………………………………….11 分, 令 F (x 2 ) ? (4? ? 1) sinx 2 , x 2 ? [ ?

? 2?
6 , 3

]

10 当 ? ?

? ? 7 F (? ) ? (4? ? 1)sin (? ) ? ?3 解得: ? ? 6 6 4 1 20 当 ? ? 时, F (x 2 ) ? 0 ,不符合题意。 4 1 ? 2? ] 30 当 ? ? 时 , F (x 2 ) ? (4? ? 1) sinx 2 在[ ? , 上 最 小 值 为 4 6 3 ? ? 1 F ( ) ? (4? ? 1)sin ( ) ? ?3 解得: ? ? ? 2 2 2 7 1 综上所述: ? ? 或 ? ? ? ……………………………………….14 分 4 2

1 4

时 ,

F (x 2 ) ? (4? ? 1) sinx 2 在[?

? 2?
6 , 3

]

上 最 小 值 为


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