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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第四章 4.3


数学

北(理)

§4.3 两角和与差的正弦、余 弦、正切
第四章 三角函数、解三角形

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1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β (Cα-β) cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β (Cα+β) sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β (Sα-β) sin(α+β)= sin αcos β+cos αsin β (Sα+β) tan α-tan β tan(α-β)= (Tα-β) 1+tan αtan β tan α+tan β tan(α+β)= (Tα+β) 1-tan αtan β
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2.二倍角公式 sin 2α= 2sin αcos α ;
2 2 2 2 cos α - sin α 2cos α - 1 1 - 2sin α ; cos 2α= = = 2tan α tan 2α= 1-tan2α .

3.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问 题:如公式的正用、逆用和变形用等.如 Tα±β 可变形为 β)(1?tan αtan β) , tan α± tan β= tan(α±
tan α-tan β tan α+tan β -1 1- tan ? α - β ? tan?α+β? = tan αtan β= .
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4.函数 f(x)=asin α+bcos α(a,b 为常数),可以化为 b 2 2 f(α)= a +b sin(α+ φ)(其中 tan φ=a)或 f(α)= a 2 2 a +b · cos(α-φ)(其中 tan φ=b).

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题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) × (5) √ (6) √

解析

C
B
17 2 50 10 - 5

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【例 1】

三角函数式的化简与给角求值
(1)化简: θ θ -cos ? 2 2
思维启迪 解析 思维升华

?1+sin θ+cos θ??sin 2+2cos θ (0<θ<π).

(2)求值: 1+cos 20° 1 -sin 10° ( -tan 5° ). 2sin 20° tan 5°

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【例 1】

三角函数式的化简与给角求值
(1)化简: θ θ -cos ? 2 2
思维启迪 解析 思维升华

?1+sin θ+cos θ??sin 2+2cos θ (0<θ<π).

(1)分母为根式,可以利用二 倍角公式去根号,然后寻求 分子分母的共同点进行约

(2)求值: 分; 1+cos 20° 1 -sin 10° ( -tan 5° ). 2sin 20° tan 5° (2)切化弦、通分.

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【例 1】

三角函数式的化简与给角求值
(1)化简:
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θ θπ θ θ (1)θ 由 θ ∈(0 π),得 0< <? ,∴cos >0. ?解 1+sin + cos θ, ??sin -cos 2 22 2 2 2+2cos θ θ 2θ 因此 2+2cos θ= 4cos 2=2cos 2. (0<θ<π). θ θ θ θ θ θ θ 又(1+sin θ+cos θ)(sin 2-cos 2)=(2sin 2cos 2+2cos22)(sin 2-cos 2) (2)求值: 1+cos 20° 1 θ -sin θ ). 2θ 10° 2θ ( - tan 5° = 2cos 2sin 20° 5° 2cos 2cos θ. 2(sin 2-cos tan 2)=-
θ -2cos cos θ 2 故原式= =-cos θ. θ 2cos 2
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【例 1】

三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

(1)化简: 2 2cos 10° cos 5° sin 5° θ θ 原式= ( - ) ?(2) 1+ sin θ+ cos θ??sin -10° cos-sin ? 10° sin 5° cos 5° 2× 2sin 10° cos 2 2 2+2cos θ 2 cos 5° -sin25° cos 10° cos 10° cos 10° =2sin · sin 5° -sin 10° · (0< θ<π) . -sin 10° 10° cos 5° =2sin 10° 1 sin 10° 2 (2)求值: 1+cos cos 10° 20° 1 cos 10° -2sin 20° cos 10° -2sin?30° -10° ? - sin 10° ( - tan 5° ) . = = 5° 2sin 10° = 2sin 20° tan 2sin 10° 2cos 10° 2sin 10°
1 3 cos 10° -2? cos 10° - sin 10° ? 2 2 3sin 10° 3 = = = . 2sin 10° 2sin 10° 2
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【例 1】

三角函数式的化简与给角求值
(1)化简:
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θ θ ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 2+2cos θ (0<θ<π).

(1)三角函数式的化简要遵循“三 看”原则,一看角,二看名,三 看式子结构与特征.
(2) 对于给角求值问题,往往所给

(2)求值: 角都是非特殊角, 解决这类问题的 1+cos 20° 1 ①化为特殊角的三角 -sin 10° ( -tan 5° ). 基本思路有: 2sin 20° tan 5° 函数值;②化为正、负相消的项,
消去求值;③化分子、分母出现公 约数进行约分求值.

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跟踪训练 1 (1)在△ABC 中,已知三个内角 A,B,C 成等差数列, A C A C 3 . 则 tan +tan + 3tan tan 的值为________ 2 2 2 2 2cos 10° -sin 20° (2) 的值是 ( ) sin 70° 1 3 A. B. C. 3 D. 2 2 2

解析 (1)因为三个内角 A,B,C 成等差数列,且 A+B+C=π, A+C 2π A+C π 所以 A+C= 3 , 2 =3,tan 2 = 3, A C A C 所以 tan 2 +tan 2 + 3tan 2 tan 2 ?A C?? A C? A C ? ? ? ? =tan 2 + 2 1-tan 2 tan 2 + 3tan 2 tan 2 ? ?? ? ? A C? A C ? ? = 3 1-tan 2 tan 2 + 3tan tan = 3. 2 2 ? ?
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跟踪训练 1 (1)在△ABC 中,已知三个内角 A,B,C 成等差数列, A C A C 3 . 则 tan +tan + 3tan tan 的值为________ 2 2 2 2 2cos 10° -sin 20° (2) 的值是 ( C ) sin 70° 1 3 A. B. C. 3 D. 2 2 2

2cos?30° -20° ?-sin 20° (2)原式= sin 70°
2?cos 30° · cos 20° +sin 30° · sin 20° ?-sin 20° = sin 70°

3cos 20° = cos 20° = 3.
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题型二 三角函数的给值求值、给值求角
思维启迪 解析 思维升华

π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π,且 2 ? ?α ? β? 1 2 ? ? ? ? cos?α-2?=- , sin?2-β?= , 9 ? ? ? ? 3 求 cos(α+β)的值; (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α 1 1 -β)= ,tan β=- ,求 2α-β 2 7 的值.

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题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π,且 2 ? α+β β? ? ? ?α ? β 1 2 ? ? ? ? (1) 拆 分 角 : = ?α-2? - 2 α - - β cos? =- , sin?2 ? ? ?= , 2? 9 ? ? ? ? 3 ?α ?

求 cos(α+β)的值;

? -β? ,利用平方关系分别求各 ?2 ?

(2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α (2)2α-β=α+(α-β); 1 1 -β)= ,tan β=- ,求 2α-β 2 7 α=(α-β)+β. 的值.

角的正弦、余弦.

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题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π,且 2 π π α π π β ? ? ? ? 解 ∵0<β1 < <α<π ,∴?- 2 < -β< , <α- <π, β? ? (1) ?α 2 4 2 2 4 2 cos?α-2?=- , sin?2-β?= , 9 ? ? ? ? 3 ?α ? ? ? 5 2 α ?= -β β) ∴ cos?α 1-sin ?2-β?= 3 , 求 cos( + 的值; 2 ? ? ? ?
? ? ? 4 β β (2)已知 α?,β∈(0,π),且 tan( α 5 2 ? ? ? ? sin α-2 = 1-cos α-2 = 9 , 1 ? ? 1 ? ? -β)= ,tan β=- ,求 2α-β 2 7 ? ? ?? ??

α+β β α ? ? ? ? ∴cos 2 =cos α-2 - 2-β?? ?? ? ? ?? 的值.

? ? β ? ?α ? β ? ?α ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ?

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题型二 三角函数的给值求值、给值求角
思维启迪 解析 思维升华

π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π,且 2 ? 1? 5 4 5 ?2 7 ? 5 ? ? ? ? β 1 2 = + × ?- × ? ?α= ? , 9? ?=- 3 , 9 sin?3 -β 27 α- cos?? ?= , 2? 9 ? ?2 ? 3
2α+β

49×5 239 ∴ cos(α α+ +β β) 2cos 2 -1=2× 729 -1=-729. 求 cos( )= 的值; tan?α-β?+tan β (2) 已知 α , β ∈ (0 , π) ,且 tan( (2)∵tan α=tan[(α-β)+β] = α 1-tan?α-β?tan β 1 1

-β)= ,tan β=- ,求 2α-β 7 12 1

- 2 7 1 π 的值. = = >0,∴0<α< , 1 1 3 2 1+ × 2 7
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题型二 三角函数的给值求值、给值求角
解析 思维升华

思维启迪 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π,且 2 1 ? ? ? ? β? 12tan α?α 2 2 3 ? ?×3 α- - β? = , cos =- , sin ?∵ ? ? 又 tan 2 α = = 2? 2 9-tan2?α 3 ? ? ?1 ? =4>0, 1
? ? 求 cos(α+ πβ)的值; ∴0<2α<2, (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α3+1 tan 21 α-tan β 4 7 1 ∴ tan(2 α- β)= - β) = , tan β=- ,求 2β α= -β 3 1=1. 1 + tan 2 α tan 2 7 1- ×

1-?3?2

4

7

的值.

1 π 3π ∵tan β=-7<0,∴2<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=- 4 .
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题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π,且 2 ? ?α ? β? 1 2 α+ β β α ? ? ? ? α - - β cos(1) =- , sin?2 ? 解题中注意变角,如本题中 ? = ,2 =(α-2)-(2 -β); 2? 9 ? ? ? ? 3

求 cos( α+β)的值; (2)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以
下原则: 已知正切函数值,选正切函数; ②已知正、余弦函 (2)已知 α,① β∈ (0,π),且 tan(α ? π? ? ? 1 1 0 , 数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是 ? ?,选正、余弦皆 -β)= ,tan β=- ,求 2α-β 2 ? ? 2 7

? π π? ? ? - , 可;若角的范围是 (0 , π) ,选余弦较好;若角的范围为 ? 2 2?, 的值. ? ?

选正弦较好.
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π π π 1 π β 跟踪训练 2 (1)若 0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - ) 2 2 4 3 4 2 3 β = ,则 cos(α+ )等于 ( ) 3 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 5 10 (2)已知 sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 5 10 等于 5π A. 12 ( π B. 3 π C. 4 π D. 6 )

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β π π β 解析 (1)cos(α+ )=cos[( +α)-( - )] 2 4 4 2 π π β π π β =cos( +α)cos( - )+sin( +α)sin( - ), 4 4 2 4 4 2 π π π 3π π 2 2 ∵0<α<2,则4<4+α< 4 ,∴sin(4+α)= 3 . π π π β π π β 6 又-2<β<0,则4<4-2<2,则 sin(4-2)= 3 . β π π β 故 cos(α+ )=cos[ +α-( - )] 2 4 4 2 π π β π π β =cos( +α)cos( - )+sin( +α)sin( - ) 4 4 2 4 4 2 1 3 2 2 6 5 3 =3× 3 + 3 × 3 = 9 ,故选 C.
答案 C
题型分类 思想方法 练出高分

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π π (2)∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< . 2 2
10 3 10 又 sin(α-β)=- 10 ,∴cos(α-β)= 10 .
5 2 5 又 sin α= 5 ,∴cos α= 5 ,
∴sin β=sin[ α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) 5 3 10 2 5 10 2 = 5 × 10 - 5 ×(- 10 )= 2 . π ∴β=4.
答案 C
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题型三 三角变换的简单应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已 知 函 数 f ( x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? sin?x+ ?+cos?x- ? ?,x∈R. 4 4 ? ? ? ? (1) 求 f(x) 的最小正周期和最小 值; 4 (2)已知 cos(β-α)= , cos(β+α) 5 4 π =- ,0<α<β≤ ,求证:[f(β)]2 5 2 -2=0.

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题型三 三角变换的简单应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已 知 函 数 f ( x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? sin?x+ ?+cos?x- ? ?,x∈R. 4 4 ? ? ? ? (1) 求 f(x) 的最小正周期和最小 值; 4 (2)已知 cos(β-α)= , cos(β+α) 5 4 π =- ,0<α<β≤ ,求证:[f(β)]2 5 2 -2=0.

(1)可将 f(x)化成 y=Asin(ωx +φ)的形式;

(2)据已知条件确定 β,再代 入 f(x)求值.

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题型三 三角变换的简单应用
解析 思维升华 思维启迪 【例 3】 已 知 函 数 f ( x) = ? ? 7π? ? 3π? ? ? ? ? ? ?7π π π? x + x - sin + cos , x ∈ R. ?解 4 ? f(x)=?sin?x4 ? -2π?+cos?x- - ? + (1) ∵ ? ? ? ?4 4 2? ? ? ?
? ? ? (1) 求 ? f(x) π的最小正周期和最小 π? π? =sin?x-4?+sin?x-4?=2sin?x-4?, ? ? ? ? ? ? 值; ∴T=2π,f(x)的最小值为- 2. 4 (2)已知 cos(β-α)= , cos(β+α) 4 5 (2)证明 由已知得 cos βcos α+sin βsin α=5, 4 π 4[f(β)]2 =- , 0< α < β ≤ ,求证: cos 5 βcos α-sin β2 sin α=-5,

两式相加得 2cos βcos α=0, - 2=0.

π π 2 2π ∵0<α<β≤2,∴β=2,∴[ f(β)] -2=4sin 4-2=0.
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题型三 三角变换的简单应用
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【例 3】 已 知 函 数 f ( x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? sin?x+ ?+cos?x- ? ?,x∈R. 4 4 ? ? ? ? (1) 求 f(x) 的最小正周期和最小 值; 4 (2)已知 cos(β-α)= , cos(β+α) 5 4 π =- ,0<α<β≤ ,求证:[f(β)]2 5 2 -2=0.

三角变换和三角函数性质相结 合是高考的一个热点,解题时 要注意观察角、 式子间的联系, 利用整体思想解题.

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π 跟踪训练 3 (1)函数 f(x)= 3sin x+cos( +x)的最大值为 (C ) 3 1 A.2 B. 3 C.1 D. 2 π (2)函数 f(x)=sin(2x- )-2 2sin2x 的最小正周期是________ π . 4 π π 解析 (1)f(x)= 3sin x+cos 3· cos x-sin 3· sin x 1 3 π = cos x+ sin x=sin(x+ ). 2 2 6 ∴f(x)max=1.

2 2 (2)f(x)= 2 sin 2x- 2 cos 2x- 2(1-cos 2x) 2 2 π = sin 2x+ cos 2x- 2=sin(2x+ )- 2, 2 2 4 2π ∴T= 2 =π.
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高频小考点3 高考中的三角变换问题

典 例 : (20 分 )(1) 若 tan 2θ = - 2 2 , π<2θ<2π , 则 2θ 2cos -sin θ-1 2 =________. π 2sin?θ+ ? 4 5 3 10 (2)已知锐角 α,β 满足 sin α= ,cos β= ,则 α+β 等 5 10 于 3π A. 4 π C. 4
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( π 3π B. 或 4 4 π D.2kπ+ (k∈Z) 4
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)

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高频小考点3 高考中的三角变换问题

3 (3)(2012· 大纲全国)已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= , 3 则 cos 2α 等于 5 5 5 5 A.- B.- C. D. 3 9 9 3 sin 47° -sin 17° cos 30° (4)(2012· 重庆) 等于 cos 17° 3 1 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 ( )

(

)

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高频小考点3
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高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

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高频小考点3
审 思题 维路 启线 迪图

高考中的三角变换问题
规 范 解 答
温 馨 提 醒

(1)注意和差公式的逆用及变形.
(2)可求 α+β 的某一三角函数值,结合 α+β 的范围求角.

(3)可以利用 sin2α+cos2α=1 寻求 sin α± cos α 与 sin αcos α 的联 系. (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.

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高考中的三角变换问题
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温 馨 提 醒

cos θ-sin θ 1-tan θ 解析 (1)原式= = , sin θ+cos θ 1+tan θ 2tan θ 2 又 tan 2θ= 2 =-2 2,即 2tan θ-tan θ- 2=0, 1-tan θ 1 解得 tan θ=- 或 tan θ= 2. 2
π ∵π<2θ<2π,∴2<θ<π.

1 1+ 2 1 ∴tan θ=- ,故所求= =3+2 2. 1 2 1- 2
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高频小考点3
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高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

5 3 10 (2)由 sin α= ,cos β= 且 α,β 为锐角, 5 10 2 5 10 可知 cos α= ,sin β= , 5 10 故 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 2 5 3 10 5 10 2 = × - × = , 5 10 5 10 2 π 又 0<α+β<π,故 α+β=4. (3)方法一 利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解.
3 1 2 ∵sin α+cos α= 3 ,∴(sin α+cos α) =3,
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高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

2 2 ∴2sin αcos α=- ,即 sin 2α=- . 3 3 3 又∵α 为第二象限角且 sin α+cos α= >0, 3 π 3 ∴2kπ+2<α<2kπ+4π(k∈Z),
3 ∴4kπ+π<2α<4kπ+ π(k∈Z), 2
∴2α 为第三象限角, 5 ∴cos 2α=- 1-sin22α=- 3 .
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题型分类·深度剖析
高频小考点3
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高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

方法二

利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解.

3 1 由 sin α+cos α= 两边平方得 1+2sin αcos α= , 3 3 2 ∴2sin αcos α=-3. ∵α 为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,
15 ∴sin α-cos α= ?sin α-cos α?2= 1-2sin αcos α= 3 . ? ? ?sin α= 3+ 15, ?sin α+cos α= 3, 3 6 ? ? 由? 得? 15 3- 15 ? ? sin α-cos α= 3 , cos α= . ? ? 6 ? ?
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题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪
2

高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

5 ∴cos 2α=2cos α-1=- . 3

(4)利用两角和的正弦公式化简.
sin?30° +17° ?-sin 17° cos 30° 原式= cos 17° sin 30° cos 17° +cos 30° sin 17° -sin 17° cos 30° = cos 17°
sin 30° cos 17° 1 = =sin 30° = . cos 17° 2

答案 (1)3+2 2
基础知识

(2)C
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(3)A

(4)C
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪

高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

三角变换中的求值问题要注意利用式子的特征,灵活应用 公式;对于求角问题,一定要结合角的范围求解 .

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思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.巧用公式变形: 和差角公式变形:tan x± tan y=tan(x± y)· (1?

方 法 与 技 巧

tan x· tan y);倍角公式变形:降幂公式 cos2α = 1+cos 2α 1-cos 2α 2 ,sin α= , 2 2 ? α α?2 cos2? , 配方变形:1± sin α=?sin2± ? ? 2α 2α 1+cos α=2cos 2,1-cos α=2sin 2.
2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.由 y =asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ)(其中 tan φ= b 2 2 ) 有 a + b ≥|y|. a

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

3. 重视三角函数的“三变”: “三变”是指“变

方 法 与 技 巧

角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽 可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可 能减少函数名称;变式:对式子变形一般要 尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解 决求值、化简、证明问题时,一般是观察角 度、 函数名、 所求(或所证明)问题的整体形式 中的差异, 再选择适当的三角公式恒等变形.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、 差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用, 要注意“1”的各种变通.

失 误 与 防 范

2 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)= 2 所对应的角 α+β 不 是唯一的.

3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π π 3 7 1.若 θ∈[ , ],sin 2θ= ,则 sin θ 等于 4 2 8 3 4 7 3 A. B. C. D. 5 5 4 4
3 解析 由 sin 2θ= 7和 sin2θ+cos2θ=1 得 8

( D )

3+ 7 2 3 7 (sin θ+cos θ) = 8 +1=( 4 ) , 3+ 7 π π 又 θ∈[ , ],∴sin θ+cos θ= . 4 2 4
2

3- 7 3 同理,sin θ-cos θ= 4 ,∴sin θ=4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

? ? π? 1 π? 2 2.已知 tan(α+β)= ,tan?β-4 ?= ,那么 tan?α+4 ?等于 ( C ) 5 ? ? 4 ? ? 13 13 3 1 A. B. C. D. 18 22 22 6

π π 解析 因为 α+ +β- =α+β, 4 4 ? π? π 所以 α+4=(α+β)-?β-4?, ? ?

所以

? ? ? π? π?? tan?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? ? ? ? ? ??

? π? tan?α+β?-tan?β-4? 3 ? ? = = . ? π? 22 1+tan?α+β?tan?β-4? ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.(2013· 重庆)4cos 50° -tan 40° 等于 2+ 3 A. 2 B. C. 3 2

( C ) D.2 2-1

4sin 40° cos 40° -sin 40° 解析 4cos 50° -tan 40° = cos 40° 2sin 80° -sin 40° 2sin?50° +30° ?-sin 40° = = cos 40° cos 40°
3sin 50° +cos 50° -sin 40° 3sin 50° = = = 3. cos 40° cos 40°
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 10 π π π 4.若 tan α+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为( A ) tan α 3 4 2 4 2 2 3 2 7 2 A.- B. C. D. 10 10 10 10

1 10 sin α cos α 10 解析 由 tan α+tan α= 3 得cos α+ sin α = 3 , 1 10 3 ∴ = ,∴sin 2α= . sin αcos α 3 5 π π π 4 ∵α∈( , ),∴2α∈( ,π),∴cos 2α=- . 4 2 2 5 π π π ∴sin(2α+4)=sin 2αcos 4+cos 2αsin 4 2 3 4 2 = 2 ×(5-5)=- 10 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan A· tan B,则 C 等于 π A. 3 ( A ) 2π B. 3 π C. 6 π D. 4

解析 由已知可得 tan A+tan B= 3(tan A· tan B-1),
tan A+tan B ∴tan(A+B)= =- 3, 1-tan Atan B
2 π 又 0<A+B<π,∴A+B= π,∴C= . 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7 π 3 - 25 6.若 sin( +θ)= ,则 cos 2θ=________. 2 5
π 3 解析 ∵sin(2+θ)=cos θ=5,
3 7 ∴cos 2θ=2cos2θ-1=2×(5)2-1=-25.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 π 7.若 tan α=lg(10a),tan β=lg a,且 α+β= ,则实数 a 的值为 4 1 或1 10 ________.
1 解析 tan α+tan β=lg(10a)+lg a=lg 10=1, π ∵α+β= , 4 tan α+tan β π 1 所以 tan =tan(α+β)= = =1, 4 1-tan αtan β 1-tan αtan β 1 ∴tan αtan β=0,则有 tan α=lg(10a)=0 或 tan β=lg a=0. 1 1 所以 10a=1 或 =1,即 a= 或 a=1. a 10
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3tan 12° -3 -4 3 8. =________. 2 ?4cos 12° -2?sin 12°

2 3sin 12° cos 12° -3 解析 原式= = 2 2?2cos 12° -1?sin 12°

?1 3? ?2sin ?

? 3 ? 12° - cos 12° ? 2 ? cos 12° 2cos 24° sin 12°

2 3sin?-48° ? -2 3sin 48° =2cos 24° =sin 24° sin 12° cos 12° cos 24°

-2 3sin 48° = =-4 3. 1 2sin 48°
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 5 π π 9.已知 tan α=- ,cos β= ,α∈( ,π),β∈(0, ),求 tan(α 3 5 2 2 +β)的值,并求出 α+β 的值.
5 π 2 5 解 由 cos β= ,β∈(0, ),得 sin β= ,tan β=2. 5 2 5 1 tan α+tan β -3+2 ∴tan(α+β)= = =1. 2 1-tan αtan β 1+ 3 π π π 3π ∵α∈(2,π),β∈(0,2),∴2<α+β< 2 ,
5π ∴α+β= 4 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知

?π ? α∈?2,π?,且 ? ?

α α 6 sin +cos = . 2 2 2

(1)求 cos α 的值;
?π ? 3 (2)若 sin(α-β)=- ,β∈?2,π?,求 cos β 的值. 5 ? ? α α 6 1 解 (1)因为 sin 2+cos 2= 2 ,两边同时平方,得 sin α=2. π 3 又2<α<π,所以 cos α=- 2 . π π π π π (2)因为2<α<π,2<β<π,所以-π<-β<-2,故-2<α-β<2. 3 4 又 sin(α-β)=-5,得 cos(α-β)=5. cos β=cos[ α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 4 3+3 3 4 1 ? 3? ? ? =- 2 ×5+2× -5 =- 10 . ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

2sin2α+sin 2α π 1 π 1.已知 tan(α+ )= ,且- <α<0,则 等于 ( A ) 4 2 2 π cos?α- ? 4 2 5 3 5 3 10 2 5 A.- B.- C.- D. 5 10 10 5

π tan α+1 1 1 解析 由 tan(α+4)= = ,得 tan α=-3. 1-tan α 2
π 10 又-2<α<0,所以 sin α=- 10 .
2sin2α+sin 2α 2sin α?sin α+cos α? 2 5 故 =2 2sin α=- 5 . π = 2 cos?α- ? 4 2 ?sin α+cos α?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
?a 2.定义运算? ?c ?

B组
2

专项能力提升
3 4 5

? b? 1 ? ? ?sin α sin β ? 3 3 =ad-bc,若 cos α= ,? ?= 14 , 7 d? cos α cos β ? ? ?

π 0<β<α< ,则 β 等于 2 π π A. B. 12 6

( π C. 4 π D. 3

)

3 3 解析 依题意有 sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)= 14 , π π 又 0<β<α< ,∴0<α-β< , 2 2 13 2 故 cos(α-β)= 1-sin ?α-β?= , 14 1 4 3 而 cos α= ,∴sin α= , 7 7
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
?a 2.定义运算? ?c ?

B组
2

专项能力提升
3 4 5

? b? 1 ? ? ?sin α sin β ? 3 3 =ad-bc,若 cos α= ,? ?= 14 , 7 d? cos α cos β ? ? ?

π 0<β<α< ,则 β 等于 2 π π A. B. 12 6

( D ) π C. 4 π D. 3

于是 sin β=sin[α-(α-β)]

=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
4 3 13 1 3 3 3 = 7 ×14-7× 14 = 2 , π 故 β= ,选 D. 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

3.设

? π? x∈?0,2?,则函数 ? ?

2sin2x+1 y= 的最小值为________. sin 2x

解析

方法一

2sin2x+1 2-cos 2x 因为 y= sin 2x = sin 2x ,
? ?

? 2-cos 2x π? 所以令 k= sin 2x .又 x∈?0,2?,

所以 k 就是单位圆 x2+y2=1 的左半圆上的动点 P(-sin 2x, cos 2x)与定点 Q(0,2)所成直线的斜率.

2sin2x+1 又 kmin=tan 60° = 3,所以函数 y= 的最小值为 3. sin 2x
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

3.设

? π? x∈?0,2?,则函数 ? ?

2sin2x+1 3 . y= 的最小值为________ sin 2x

2sin2x+1 3sin2x+cos2x 方法二 y= = sin 2x 2sin xcos x 3tan2x+1 3 1 = 2tan x =2tan x+2tan x. π ∵x∈(0, ),∴tan x>0. 2 3 1 3 1 ∴2tan x+2tan x≥2 2tan x· 2tan x= 3. 3 π (当 tan x= 3 ,即 x=6时取等号)
即函数的最小值为 3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π sin 2? -α?+4cos2α 2 1 4.已知 tan(π+α)=- ,tan(α+β)= . 3 10cos2α-sin 2α (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 tan β 的值.

1 1 解 (1)∵tan(π+α)=- ,∴tan α=- . 3 3 π sin 2?2-α?+4cos2α ∵tan(α+β)= 10cos2α-sin 2α
sin 2α+4cos2α 2sin αcos α+4cos2α = = 10cos2α-sin 2α 10cos2α-2sin αcos α
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π sin 2? -α?+4cos2α 2 1 4.已知 tan(π+α)=- ,tan(α+β)= . 3 10cos2α-sin 2α (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 tan β 的值.
2cos α?sin α+2cos α? sin α+2cos α tan α+2 = = = 2cos α?5cos α-sin α? 5cos α-sin α 5-tan α

1 -3+2 5 = 1 =16. 5-?-3?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π sin 2? -α?+4cos2α 2 1 4.已知 tan(π+α)=- ,tan(α+β)= . 3 10cos2α-sin 2α (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 tan β 的值.
tan?α+β?-tan α (2)tan β=tan[(α+β)-α]= 1+tan?α+β?tan α

5 1 16+3 31 = = . 5 1 43 1-16×3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数 期为 10π.

? π? ? f(x)=2cos?ωx+ ? ?(其中 6 ? ?

ω>0,x∈R)的最小正周

(1)求 ω 的值; (2)设
? ? π? 5 ? 5 ? 6 ? ? ? ? ? ? α,β∈?0, ?,f?5α+ π?=- ,f?5β- π? 2? ? 3 ? 6 ? 5 ? ? ?

16 = ,求 cos(α+β)的值. 17

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

2π 1 解 (1)由 T= ω =10π 得 ω= . 5 ?1? 5 ? π? 5 ? 6 6 ? ?? ? ? 5α+3π?=- , 2cos?5?5α+3π?+6?=-5, ?f? ? 5 ? ? ? ? ? ? (2)由? ? 得? ? ? ? ? ? ?f?5β-5π?=16 ?2cos?1?5β-5π?+π?=16, ?5? 6 ? 17 6 ? 6? ?? ? ? ? 17 3 ? ?sin α=5, ? π? 整理得? ∵α,β∈?0,2?, ? ? ?cos β= 8 . 17 ? 4 15 2 2 ∴cos α= 1-sin α=5,sin β= 1-cos β=17. 4 8 3 15 13 ∴cos(α+β)=cos αcos β -sin αsin β=5×17-5×17=-85.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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