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充分条件和必要条件 在现实生活中,我们经常用到“必要性”一词 例如“刻苦学习是成材的必要条件” “小明是一名高中生,他必然是一名学生”. 请你试着从数学的角度去分析这两句话的真实含义. 一、复习引入 1、四种命题 原命题: 若 p 则 q 逆命题: 若 q 则 p 否命题: 若 ? p则? q 逆否命题:若 ? q 则? p 2、写出命题“若a=0,则a· b=0”的逆命题,并判断真假。 逆命题:若a· b=0 ,则a=0 (假命题) 原命题:若a=0,则a· b=0 (真命题) a ?b ? 0 ? a ? 0 a ? 0 ? a ?b ? 0 二、新课讲授 p ? q 或q ? p 1、一般地:若p则q为真,记作: p?q 若p则q为假,记作: 例 如 (1)如果两个三形全等,那么两三角形面 积相等。 两个三形全等 (2)“若 x2 ? 1 2 ? 两三角形面积相等 则x ?1 ”为假命题 x ?1 ? x ? 1 练习一 用符号“? ”或“ ? (1)x=0 (2)xy=0 ”填空 ? ? xy=0 x=0 (3)两个角相等 ? 两个角是对顶角 两个角相等 (4)两个角是对顶角 (5) x ? 1 ? ? ? x ?2 动动 手 (6) X>-1 x ?1 二、新课讲授 2、充分条件与必要条件 一般地,如果已知 p ? q那么我们就说 p是q的充分条件, q是p的必要条件。 例 如 两个三形全等 ? 两三角形面积相等。 “两个三形全等”是“两三角形面积相 等”的充分条件 “两三角形面积相等”是“两个三形全 等 ”的必要条件 一般地,如果已知 p ? q,那么我们说, p是q的充分条件, q是p的必要条件。 注意: (1) p ? q即“若p则q”为真 是定义成立的唯一前提条件。 (2) p是q的充分条件可以理解为: 使q成立具备条件p就足够了。 (3)q为p的必要条件可以理解为: 由p ? q可知?q ? ?p, 所以q不成立则p一定不成立, 即q成立是p成立的必不可少的条件。 三、举例应用 例题 指出下列各组命题中,p是q 的什么条件,q是p的什么条件? (1) p : x ? y q: x ? y 2 2 2 2 p : x ? y ?0 (2) q:x? y ?0 2 2 x ? y ?x ? y (1)由 p ? q即 解 知: p是q的充分条件, q是p的 必要条件. (2) p是q的充分条件, q是p的 必要条件. (3) p是q的充分条件, q是p的 必要条件. (4) p是q的充分条件, q是p的 必要条件. (5) p是q的充分条件, q是p的 必要条件. (3)p:两个角是对顶角, q:两个角相等 (4)p:a· b=0 q:a=0 (5)p:两个三角形全等, q:两个三角形面积相等 练习二 指出下列各组命题中,p是q 的什么条件,q是p的什么条件? (1) p: x2=9 q: x= -3 (2) p: 三角形是直角三角形 答案 (1)p是q的必要条件q是p 的充分条件 不是必要条件 q:三角形有一个角等于60? (2)p不是q的充分条件也 (3) p:三角形的三条边相等 q:三角形的三个角相等 (3)p是q的充分条件q是p 的必要条件 反馈练习 指出下列各组命题中,p是q 的什么条件,q是p的什么条件? (1) (2) p : a ?Q q : a ? R p : a ? R q : a ?Q q:两直线平行

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