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在生成过程中理解教材的编写意图


在生成过程中理解教材的编写意图 ——函数概念教学思考 山西省教育科学研究院 薛红霞

对于函数概念,在课程标准的“内容与要求”中指出,要“通过 丰富实例, 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模 型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系 在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,??”在“说明与 建议”中指出, “函数概念的教

学要从实际背景和定义两个方面帮助 学生理解函数的本质??考虑到多数高中学生的认知特点, 为了帮助 他们对函数概念本质的理解,建议采用后一种方式,从学生已掌握的 具体函数和函数的描述性定义入手, 引导学生联系自己的生活经历和 实际问题,尝试列举各种各样的函数,构建函数的一般概念。 ” 课程标准的要求如何在课堂教学中实现,通过这次(2008 年 9 月 7 日) 在山西通宝育杰学校的同题课对比研究活动感触中具体而深 刻, 同时也认识到在教学实践过程中对教材的理解和执行过程中存在 着的问题。 一. 创造性的使用教材 教学设计的第一步就是教材的处理, 此时应该遵循的原则是将教 材的学术形态转化为教育形态。 我省选用的教材是普通高中课程标准 实验教科书数学(人民教育出版社 A 版) ,教材用了三个实例引入函 数的概念, 在讨论过程中教师认为这三个实例离学生的生活实际还是

比较远,不好理解,尤其是第三个实例( “八五”计划以来我国城镇 居民恩格尔系数变化情况)中的对应关系比较复杂,因为其中的恩格 尔系数本身也是一个变量,而在此例中他又作为年份的一个因变量。 与此同时大家还是怀念大纲教材中的编写方法。有趣的是,在执教的 二位老师中其中一人参加了新教材的培训,另一人因故未能参加,后 者在教学过程中就出现这样的提问: 能否判断 y=1 是不是一个函数? 通过讨论最后达成这样的共识: 大纲教材中的两个例子引入简洁 明了, 但是研究函数的目的难道就在于解决能否判断 y=1 是不是一个 函数,y=x 与 y=
x2 是不是同一个函数吗?显然不是,所以课标人教 x

A 版教材中的这 3 个实例, 更能反应出函数是描述客观世界变化规律 的重要模型,正是由于客观世界中大量存在这样的实际问题需要解 决,所以才将这一类问题的共性概括出来进行研究。 怎样才能用好实例, 帮助学生理解函数概念的本质呢?可以通过 置换实例实现,但是前提是要理解这 3 个实例肩负的教育功能:实例 1 是炮弹离地面的高度与时间的关系,代表的对应关系可以用解析式 表示,可以用学生熟悉的其他路程与时间的关系问题代替;实例 2 是 南极臭氧层空洞的面积与时间的关系, 代表的对应关系只能用图象表 示,可以用一天中的气温与时间的关系代替;实例 3 是“八五”计划 以来我国城镇居民恩格尔系数与年份的关系, 代表的对应关系只能用 表格表示, 对于这个实例用商品的售价与个数的关系代替就不能充分 体现原有实例的作用, 因为售价与个数的对应关系也可以用解析式或 者图象表示, 而用我国奥运健儿获得的金牌数与奥运会举办的届数之

间的对应关系就能体现表格法的应用。这些例子信手拈来,如果给学 生时间,他们一定还能类比这些实例举出更多的例子,这样对于激活 学生的已有经验,丰富感性认识,抽象概括获得函数的定义,理解函 数的本质,了解函数的广泛存在性都是非常有益的,有了这些例子做 铺垫,学生对于教材中例子的理解也会变的容易。所以教学过程中要 根据学生的认知特点进行教材的处理,减少人为设置的障碍。 二.注重衔接,更要注重衔接基础上的发展 函数概念教学过程中的一个难点是学生函数学习经验导致的负 迁移,在教学过程中要以初中函数为起点展开,因为这是学生的已有 知识经验,教学的发展方向是突破已有经验的束缚,用集合的语言描 述函数,充分理解其中的对应关系,全面了解函数的表示方法,用新 的函数概念为工具解决问题。 通过初中阶段的学习, 学生对函数三要素的认知是不全面的, 比 如,在义务教育课程标准中要求了解函数的三种表示,但是学生的已 有知识经验中却只留存了解析法者一种表达方法。 在两个班的教学过 程中,教师都要求学生回顾一下初中学过的函数,学生的回答都是: 一次函数,二次函数,正比例函数,反比例函数,没有学生提出用图 像法表示的函数和用表格法表示的函数,教师没有进一步追问,所以 不能判断在学生已有知识结构的某个被遗忘的角落里是否还残存着 对这两种方法的痕迹,但即使有也一定已经被厚厚的尘土覆盖了。所 以教材中用这三个实例引入, 先入为主的让学生全面认识函数的所有 表示方法,教学过程中在函数概念的教学的开始就给学生强烈的冲

击,打破原有的知识结构,让学生认识到其不足,认识到学习的必要 性,并通过实例的分析帮助学生建立全面的认识。 学生对函数三要素认知不全面还表现在对定义域认知的欠缺。 由 于在义教阶段对定义域 的要求比较弱,所以学生在研究函数问题时 缺乏对定义域的考虑,比如在两个班的教学过程中出现这样的现象: 练习 1

观察学生的解答,都是选择了(2)和(3) ,几乎没有选择(1) 。 为什么会出现这样的现象, 该如何应对呢?这个现象的出现是情理之 中的,原因是初中已有知识经验的负迁移,同时也说明学生没有掌握 今天学到的新型工具,对函数的新的定义的理解和应用还停留在表 层。就本题而言,学生是被 y= 的形式迷惑,没有考虑数集 A 与 B 中元素的特殊性。该如何应对呢?学生的需求就是教学的基点,因此 应该将它看作是教学展开,认知发展的契机。首先引导学生分析,判 断 y 是不是 x 的函数的依据是什么?当然是定义。 根据定义进行判断, 应该关注三要素,而不只是解析式。从初中进入高中关键是要解决范 围问题, 因此在解决问题的过程中要关注定义域和值域变化引起的变 化。 在其中一个班中还出现这样的现象: 练习 2
x 3

学生通过思考得到了正确答案, 选择 D。 但是对于为什么不选择 A 是这样解释的:当 x 取值到半径长度以外时,y 没有相应的值与之 对应。这种解释佐证了学生对函数的图象法表示掌握比较薄弱,对如 何确定 x 的取值范围不了解。据此可知在教学中,帮助学生建立正确 的关于函数各种表示法的全面认识, 对函数的三要素的全面认识是必 要的。 在初中阶段, 学生根据函数的定义进行判断时, 关键是对变量在 运动变化过程中的关系进行判断,是比较具体直观的。通过本课时的 学到的函数定义是采用集合语言表述的, 这样就提高了函数定义的抽 象性,从而使之具有更广范围的适用性。比如,y=1(x∈R)是不是 函数,在初中阶段对其作出的判断是不正确的,到本课时学习之后运 用集合的语言就可以做出正确的判断。 这就是进一步学习函数概念之 后认知得到的发展。 在教学过程中, 两位老师都注重利用初中的知识经验, 在此基础 上引入新课,但是在对二者进行对比研究时有所欠缺,主要是对本课 时学生在认知上的发展不够,可操作性的指导和强化不够。 三.抓住机遇,突破难点 在学习函数的定义时,有一处是学生比较难理解的,即“函数的 值域是集合 B 的子集” 。其中一节课中,在解决问题:仿照实例(1) 、 (2)描述实例(3)中恩格尔系数和时间(年)之间的关系时,有学 生的解答是:A={t|1991≤t≤2001,t∈N},B={y|37.9≤y≤53.8}。按照

表格给出的对应关系,是从集合 A 到 B 的一个函数。教师对此答案 进行了修改,用列举法写出集合 B1,那么二者就具有关系 B1 ? B。 因此在这个过程中, 学生给出的答案和最后修改得到的答案之间的关 系就很具体的解释了“函数的值域是集合 B 的子集” ,自然的突破了 这个难点。教学过程中就是要敏锐的捕捉这些源于学生的信息,及时 调整教学过程,达到对难点的突破。 四.如何理解和提高课堂教学的有效性 这是我省进入高中新课程第一次听课, 在研讨中大家都表现出对 将来高考的担心,对课标的不理解,甚至有老师坚定的表示“就是要 把不等式补充进去,就是要参考旧教材教课标教材” ,当然也有老师 建议未进入新课程的教师应该“参考课标教旧教材” 。对于课堂教学, 大家共同的担心是,如果注重过程,做题少,课堂效率不高,将来怎 么应对考试?这是一个普遍的问题, 但是其中对课堂教学的效率或者 说有效性的认识也普遍存在偏颇。 有很多人认为一节课上做题多就是 效率高,容量大就是效率高,这都是不正确的。数学课必然要做题, 但是在没有理解所学内容本质之前就开始做题,学生只会机械记忆、 被动模仿,学生迟早会被题海淹没,其常见的表现就是在考试中不怕 难题怕新题。 比如在这两节课的教学中出现的现象都反应了学生因为 对函数概念不理解导致的错误。反之,如果学生对所学知识的数学本 质认识到位,在此基础上进行的训练将是高效的。所以如何提高课堂 教学的有效性是一个值得探究的问题, 解决了这个问题师生才能达到 事半功倍,才能真正实现减负。

这两节课还有一个亮点就是体现了教师的合作与教师的个性特 点,他们共同研究做出相同的学案,但是在不同的课堂中又充分展示 了执教者的个性特点,这种教学研究的方式是值得肯定和推广的。 。 通过本次同题课研讨活动,从教师的教学、学生的学习,师生的 互动过程中理解了课标的要求,体会了教材编写者的意图,认识到进 一步需要改进之处,深刻的体会到只有真正实践才能深刻理解。

2008 年 9 月 11 日


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