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2014数学高考综合能力题选讲5三角恒等变换


2014 数学高考综合能力题选讲 5 三角恒等变换 题型预测 三角恒等变形是运用三角解题的基础.高考中对于三角部分的考 查,主要集中于三角恒等变换.难度一般控制在中、低档水平,复习 时要注重通法和常规题型的掌握. 范例选讲 2 sin 20? ? cos 10? ? tan 20 ? ? sin 10? . csc 40? ? cot 80? cos 10? cos 20

? ? sin 20? sin 10? 讲解 原式的分子 ? 2 sin 20? ? cos 20? cos 10? sin 40? ? cos 10? ? 2 sin 20? ? ? cos 20? cos 20? sin 40? ? sin 80? 2 sin 60? cos 20? ? ? ? 3, cos 20? cos 20? 1 cos 80? 2 cos 40? ? cos 80? ? ? 原式的分母= sin 40? sin 80? sin 80? cos 40? ? ?cos 40? ? cos 80?? cos 40? ? 2 cos 60? cos 20 ? ? ? sin 80? sin 80? cos 40? ? cos 20? 2 cos 30? cos 10? ? ? ? 3, sin 80? cos 10? 例1 求值: 所以,原式=1. 点评 三角函数式的化简和求值,是训练三角恒等变换的基本题 型,在化简和求值中,常用的方法有:切割化弦、异名化同名、角的 配凑、拆项、降幂与升幂等. 例2 已知 sin ? ? cos ? ? , cos ? ? sin ? ? ,求 cos? sin ? 的值. 3 5 4 5 讲解 由 条 件 直 接 解 出 c o ? s、 sin ? 的值是不可取的.由于 cos ? sin ? ? 1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? , 所以, 应该设法由已知求出 ? ? ? 及 2 ? ? ? 的三角函数值. 已知可以让我们联想到形如 sin ? ? sin ? ? m, cos? ? cos ? ? n 的式子, 但二者又不完全相同. 即后者可以直接和差化积, 前者则不然. 其实, 只要作一个变换,令 ? ? 解 1:令 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ,则可将本题转化为我们熟悉的问题. ? ? ,则原题等价于: 3 5 4 5 已知 sin ? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? ? ,求 cos ? cos ? 的值. 两式分别和差化积并相除得: tan ? ?? 2 ? 3 ,所以 4 2 ? ? ? ? 7 . 2 25 ? ? ? 1 分别将已知两式平方并求和得: cos ?? ? ? ? ? ? , 2 1 11 所以, cos ? cos ? ? ?cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ?? ? ? . 2 100 ? ? ?? 1 ? ? tan 2 ? cos?? ? ? ? ? ? ? ?? 1 ? ? tan 2 ? 在对式子 sin ? ? sin ? ? m, cos? ? cos ? ? n 进行变形的过程中, 我们不 难联想到,既然可以平方相加,为什么不能平方相减呢?尝试的结果 可以使我们得到下面的解法: n i ? ?c o s ? ? ,c o s ? ?s n i ? ? 平方相加得: sin ?? ? ? ? ? ? . 解 2: 由s 3 5 4 5 1 2 上述两式平方相

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