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黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学理试题


大庆实验中学 2015-2016 学年度第一学期期中考试

高二数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、已知 p, q 是简单命题,那么“ p ? q 是假命题”是“ ?p 为真命题”的( A、充分不必要条件 C、充要条件 2、下列命题中的假命题是( A、 ?x0 ? R, lg x0 ? 0 C、 ?x ? R, x 3 ? 0 3、下面程序运行的结果是( ) B、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件 ). B、 ?x0 ? R, tan x0 ? 0 D、 ?x ? R,2 x ? 0
开始 输入 p

).

A=5 B=8 X=A A=B B=X+A PRINT A,B END

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

S = S + 3n n ? n ?1

输出 n ,S 结束

(第 3 题) (第 6 题) A、5,8 B、8,5 C、 8,13 D、5,13 4、一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次。设事件 A 表示向上的一面出现奇数点,事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3,事 件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4,则( ). A、A 与 B 是互斥而非对立事件 B、A 与 B 是对立事件 C、B 与 C 是互斥而非对立事件 D、B 与 C 是对立事件 5、若在边长为 4 的等边三角形 OAB 的边 OB 上任取一点 P ,则使得 OA ? OP ? 6 的概率为 ( A、 ).

3 4
A、 n ? 4, S ? 30

B、

2 3

C、

1 3

D、

1 4
). D、 n ? 5, S ? 45

6、某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 24 ,则输出的 n, S 的值分别为( B、 n ? 5, S ? 30 C、 n ? 4, S ? 45

7、已知 x,y 取值如下表: x y 0 1 1 2 4 5 5 6 6 7 8 10.5
?

从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y ? 0.95x ? a ,则 a =(

).

A、1.30 B、1.45 C、1.65 D、1.80 8、如图,四边形 ABCD 为矩形,AB= 3,BC=1,以 A 为圆心,1 为半径作四分之一个圆弧 DE,在∠DAB 内任作射线 AP,则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为( A、 ).

1 4

B、

1 3

C、

1 2

D、

2 3
1 1 2 A 2 3 4 B

9、如图,在 A,B 两点间有 6 条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为 1,1,2,2,3,4 ,现从中任取三条且使每条网线通过最大信息量,则选取的三条网 线由 A 到 B 可通过的信息总量为 6 时的概率是( ). A、

1 4

B、

1 3

C、

1 2

D、

2 3

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上的任意一点,已知 a2 b2 2 2 ,则 ? ? ? 的最小值是( ) A(a, b)和B(a,?b) ,若 OP ? ?OA ? ?OB(O 为坐标原点) 1 1 1 1 A、 ab B、 C、 ab D、 4 2 4 2 b 1 ,? ) ,与 x 轴的交点 11、若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(ac ? 0) 的图像的顶点坐标为 ( ? 2a 4a
10 、设 P 是双曲线 C :

P, Q 位于 y 轴的两侧,以线段 PQ 为直径的圆与 y 轴交于 M (0,?4) ,则点 (b, c ) 所在曲线为
( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、线段

x2 y 2 ? 2 ? 1? b ? N * ? 的 两 个 焦 点 F1 , F2 , 点 P 是 双 曲 线 上 一 点 , 12 、 已 知 双 曲 线 4 b

OP ? 5, PF1 , F1F2 , PF2 成等比数列,则双曲线的离心率为( )
A、2 B、3 C、

5 3

D、

5 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,那么双曲 13、已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 25 9 a b
线的 渐近线方程为 .
2

14 、 若 命 题 “ ?a ? [2,4], 使 ax ? (a ? 3) x ? 3 ? 0 ” 是 真 命 题 , 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 .

15、曲线 C 是平面内到定点 F (0,2) 和定直线: y ? ?2 的距离之和等于 6 的点的轨迹,给出 下列四个结论:①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于 y 轴对称; ③若点 P ( x, y ) 在曲线 C ,

则 y ?2; ④若点 P ( x, y ) 在曲线 C , 则 PF 的最大值是 6 .其中, 所有正确结论的序号是 .

16 、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,设 P 为椭圆上一点, a2 b2

过点 F1 , F2 分别作 l 的垂线, 垂足分别为点 R, S , 当P在 ?F1 PF2 的外角平分线所在直线为 l , 椭圆上运动时, R, S 所形成的图形的面积为 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 10 分) 已知 p : x ?

3 7 若 ?p 是 ?q 的 ? ,q : x2 ? 4x ? 4 ? m2 ? 0(m ? 0) , 2 2

充分不必要条件,求实数 m 的取值范围。

18、 (本小题满分 12 分) 已知某单位有 50 名职工, 现要从中抽取 10 名 职 工,将全体职工随机按 1~50 编号,并按编号顺序 平均分成 10 组,按 各组内抽取的编号依次增加 5 进行系统抽样. (1)若第 5 组抽出的号码为 22,写出所有被抽出职工的号码; (2)分别统计这 10 名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的茎叶图 如图所示,从这 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤(≥73 公斤)的职工,求体重为 76 公斤的职工被抽取到的概率.
1?a 19、( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 命 题 p : 幂 函 数 y ? x 在 (0,??) 上 是 减 函 数 ; 命 题

q : ?x ? R, ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立.如果 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求实数 a 的取值
范围.

20、(本小题满分 12 分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以 0 为 起点,再从 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 A6 (如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两 个向量的数量积为 X ,若 X ? 0 就去打球,若 X ? 0 就去唱歌,若 X ? 0 就去下棋. (1)写出数量积 X 的所有可能取值; (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

21、 (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离 a 2 b2

y A

心率为

6 ,直线 l 与 x 轴交于点 E ,与椭圆 C 交于 A 、 B 两点. 当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 3 2 6 . 3

为椭圆 C 的右焦点时, 弦 AB 的长为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 E 的坐标为 (

3 , 0) ,点 A 在第一象限且横坐标为 3 , 2

连结点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P ,求 ?PAB 的面积;

22、 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点 a 2 b2

分别为 F1 , F2 ,上顶点为 B ,BF2 延长线交椭圆于点 A ,?ABF 且 BF 1 的周长为 8, 1 ? BA ? 0 . (1)求椭圆的方程; (2)过点 P(1,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M , N 两点,点 T (4,3) ,记直线 TM , TN 的斜率 分别为 k1 , k 2 ,当 k1 ? k 2 最大时,求直线 l 的方程.

大庆实验中学 2015-2016 学年度第一学期期中考试

高二数学(理)参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 D 5 D 6 B 7 B 8 B 9 A 16、 ?a 10 D
2

11 B

12 D

二、填空题 13、 y ? ? 3x 三、解答题 17.解:若 p 为真,?| x ? 14、 (?? ,?1) ? ( ,?? )

3 4

15、②④

3 7 7 3 7 |? ? ? ? x ? ? ? ?2 ? x ? 5 ????????(3 分) 2 2 2 2 2

若 q 为真,则 [ x ? (2 ? m)][x ? (2 ? m)] ? 0

? m ? 0,? 2 ? m ? 2 ? m ????????????????????????(6 分)

? ?p 是 ?q 的充分不必要条件,? ?p ? ?q,? q ? p ????(8 分)

?2 ? m ? ?2 ? m ? ?3 ????????????????????????(10 分) ?? ?2 ? m ? 5
18. 解 (1)由题意,第 5 组抽出的号码为 22. 因为 k+5×(5-1)=22,所以第 1 组抽出的号码应该为 2,抽出的 10 名职工的号码分别为 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)从 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工,共有 10 种不同的取法:(73,76), (73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),(78,81),(79,81). 记“体重为 76 公斤的职工被抽取”为事件 A, 它包括的事件有(73,76), (76,78), (76,79), (76,81) 4 2 共 4 个.故所求概率为 P(A)= = . 10 5 19.解 若命题 p 真,1-a<0?a>1,那么 p 假时,a≤1;???????(3 分)
?a>0, ? 若命题 q 真,则? 2 或 a=0?0≤a<4,???????(6 分) ? ?a -4a<0

那么 q 假时,a<0 或 a≥4. ∵p∧q 假,p∨q 真,∴命题 p 与 q 一真一假.???????(7 分)
?a>1, ? 当命题 p 真 q 假时,? ?a≥4. ???????(9 分) ?a<0或a≥4 ? ? ?a≤1, 当命题 p 假 q 真时,? ?0≤a≤1. ???????(11 分) ?0≤a<4 ?

∴所求 a 的取值范围是[0,1]∪[4,+∞).???????(12 分) 20. 解:(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1. (2)数量积为 ? 2 的有 OA2 ? OA 5 ,共 1 种; 数量积为 ? 1 的有 OA , OA2 ? OA6 , OA 1 ? OA 5 , OA 1 ? OA 6 , OA 3 ? OA 5 , OA 3 ? OA 4 ,共 6 2 ? OA 4 种; 数量积为 0 的有 OA 1 ? OA 3 , OA 1 ? OA 4 , OA 3 ? OA 6 , OA 4 ? OA 6 错误!未找到引用源。,共 4 种; 数量积为 1 的有 OA 1 ? OA 2 , OA 2 ? OA 3 , OA 4 ? OA 5 , OA 5 ? OA 6 错误!未找到引用源。,共 4 种. 故所有可能的情况共有 15 种.所以小波去下棋的概率为 P 1 ? 因为去唱歌的概率为 P2 ?

7 ; 15

4 11 ,所以小波不去唱歌的概率 P ? 1 ? P2 ? 15 15

21. 解: (1)由

c 6 2 2 ? ,设 a ? 3k (k ? 0) ,则 c ? 6k , b ? 3k , a 3

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,因直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点,即 9k 2 3k 2

xA ? xB ? 6k ,代入椭圆方程,解得 y ? ? k ,于是 2k ?
所以椭圆 C 的方程为 (2)将 x ? 3 代入

2 6 6 ,即 k ? , 3 3

x2 y 2 ? ? 1 ????????????5 分 6 2 x2 y 2 ? ? 1 ,解得 y ? ?1 ,因点 A 在第一象限,从而 A( 3,1) , 6 2

由点 E 的坐标为 (

3 2 2 3 , 0) ,所以 k AB ? ,直线 PA 的方程为 y ? (x ? ), 2 2 3 3

联立直线 PA 与椭圆 C 的方程,解得 B(?

3 7 ,? ) , 5 5

又 PA 过原点 O ,于是 P(? 3, ?1) , PA ? 4 ,所以直线 PA 的方程为 x ? 3 y ? 0 ,

?
所 以 点

B





线

PA







h?

3 7 ? 5 5 2

3 ? 3 3 5


1 3 3 6 3 ??????12 分 S?PAB ? ? 4 ? ? 2 5 5
22.解:(1)由椭圆的定义得 ?ABF 1 的周长为 4 a ,? 4a ? 8, a ? 2 , 又定点 B(0, b) , 焦点 F1 (?c,0) 和 F2 (c,0) , 且 BF 即 (?c,?b) ? (c,?b) ? 0, b ? c , 1 ? BA ? 0 , 又 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 4,?b ? c ? 分) (2)①当直线 l 的斜率为 0 时,容易求得 k1 ? k 2 ?

2 ,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ???????????? (4 4 2

3 ; 4

②当直线 l 的斜率不为 0 时,直线 l 的方程为 x ? m y ? 1 ,将 x ? m y ? 1 代入 整理得 (m ? 2) y ? 2my ? 3 ? 0, ? ? 16m ? 24 ? 0
2 2 2

x2 y2 ? ? 1, 4 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? ?

2m ?3 , y1 y 2 ? 2 ,又 2 m ?2 m ?2

x1 ? my1 ? 1, x2 ? my2 ? 1,

? k1k 2 ?

3 ? y1 3 ? y 2 3m 2 ? 2m ? 5 3 4m ? 1 , ? ? ? 2 4 ? x1 4 ? x2 4 8m 2 ? 12 4m ? 6
3 2t ? 2 4 t ? 2t ? 25
2 1 ? ,此时 25 4 t? ?2 t

令 t ? 4m ? 1 ,则? k1 k 2 ? 当 t ? 0 时,

2t 2t ? 0 ,当 t ? 0 时, 2 ? t ? 2t ? 25 t ? 2t ? 25
2

m ? 1, k1k 2 ? 1
综上,当 k1k 2 最大时,直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ????????(12 分)


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