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2.旋转体的表面积(讲课)


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2.旋转体的表面积

柱体、锥体的表面积 思考:面积是相对于平面图形而言的,体 积是相对于空间几何体而言的. 面

积:平面图形所占平面的大小 体积:几何体所占空间的大小 表面积:几何体表面面积的大小

怎样理解棱柱、棱锥的表面积?

一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和

表面积=侧面积+底面积

棱柱、棱锥的表面积

h'

棱柱、棱锥都是由多个平面图形围成的几何体,它 们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面积就是 计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

思考
?

求多面体的表面积可以通过求各个 平面多边形的面积和得到,那么旋 转体的面积该如何求呢?

r O?
l
O

2?r

c

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱侧面积 ? cl

=2?rl

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥侧面积

1 ? cl ? ?rl 2

圆柱、圆锥、圆台表面积
侧面展开图 侧面积
S侧 ? 2?r ? l ? 2?rl

表面积

S ? 2?r (r ? l )

1 S侧 ? ? 2?r ? l 2 ? ?rl

S ? ?r (r ? l )

问题:圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别和矩形、三角 形、梯形的面积有什么相似的地方?
空间体侧面展开图 空间体的侧面积 平面图形面积
矩 形 三 角 形

S侧 ? 2?r ? l ? 2?rl
1 S侧 ? ? 2?r ? l 2 ? ?rl

S ? ab
1 S ? ah 2

1 .已知圆柱的底面半径为3,母线长为6, 求该圆柱的全面积. 54 ?

2 .已知圆锥的底面半径为2,母线长为4, 求该圆锥的全面积以及侧面展开图的圆心角. 12 ?

圆柱的表面积
r O?

l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

圆锥的表面积
2?r

l

r

O
2

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )

例 2 、一个圆锥底面的半径为 2, 母线长为 4 , 求:(1)该圆锥的全面积. (2)侧面展开图的圆心角(课本130页)
解:(1)圆锥的侧面展开后是一个扇形,该扇形 的半径为l,扇形的弧长为2πr,
1 所以 S侧=2 ×2πr×l=πr l

又 S底=πr2

所以 S全 =πrl +πr2=π
× 2×4+π ×22=12π

(2)由弧长公式,有: 3600×π/8π=1800

l

r

球的表面积 例 3:已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离为 球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,求球的表面积。(课本130页) 解:如图 1,设截面圆心为 O′,连接 O′A,设球半径为 R,

2 3 2 3 则 O′A=3× 2 ×2= 3 . 在 Rt△O′OA 中,OA2=O′A2+O′O2, ?2 3?2 1 2 2 ? + R , ∴R =? 4 ? 3 ? 4 ∴R=3. 64 2 ∴S=4πR = 9 π.

图 1

已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为3cm。 扇形 。该图形的弧 它的展开图的形状为________ 4π 3 长为_____cm ,半径为______cm ,所以圆 2。 6π 锥的侧面积为______cm

扇形面积公式
1 S ? rl 2

小结: 柱体、锥体的表面积
圆柱 S ? 2?r (r ? l ) 圆柱、圆锥
圆锥 S ? ?r (r ? l )

棱柱、棱锥

展开图

各面面积之和

所用的数学思想: 空间问题“平面”化


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