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广东省韶关市2015届高三调研考试 数学文


广东省韶关市 2015 届高三调研考试

数学试题(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 1.锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面面积, h 为锥体的高. 3 2.柱体的体积公式 V ? sh ,其中 S 为柱体的底面面积, h 为柱体的高.
3. n 个数据 x1 , x2 , x3 ...xn 的平均数为 x ,这组数据的方差:
? ? ? ? 1 S 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ( x3 ? x) 2 ? ??? ? ( xn ? x ) 2 ] n
?

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 若集合 A ? {x | x ? 0} ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是( A. {1,2} B. {x | x ? 1} C. {?1,0,1} ) D. R

2. 已知 i 为虚数单位,复数 z ? A.1

2?i , z =( i

) D.3

B.

3

C. 5

3.下列函数中,在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是( ). A. y ? cos x

B. y ?

1 x

C. y ? lg x

D. y ? ex ? e? x

4 ,则 sin(? ? 2? ) ? ( ) 5 24 24 12 12 B. A. ? C. D. ? 25 25 25 25 5. 阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? 6.已知两条直线 a , b ,两个平面 ? , ? .给出下面四个命题: ( ① a // b, a // ? ? b // ? ; ③ a ? ? , a // b, b // ? ? ? // ? ; ) ② a ? ? , b ? ? ,? // ? ? a ? b ; ④ ? // ? , a // b, a ? ? ? b ? ? .

其中正确的命题序号为 ( ) A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 7.右图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本
0.1

频率 组距

的平均重量为( ) A. 10 B. 11

C. 12

D. 13

0.06

?y≥ x ? 8. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ≤ 2 ,则 z ? x ? 3 y 的最大值为( ? x ≥ ?2 ?
A. ?4 9. 过双曲线 B.4 C.3 D. ? 3


O 5 10 15 20 重量

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线, 交双曲线的渐近线 a 2 b2
)

于 A, B 两点,若 ?OAB ( O 为坐标原点)是等边三角形,则双曲线的离心率为 ( A.

3 3

B.

2 3 3

C. 3

D. 2

10. 记 ? x ?

表示不超过 x

的 最 大 整 数 , 例 如 [1.3] ? 1 , [?2.7] ? ?3 . 函 数

f ( x) ?


ax 1 ? (a > 且 ,在 0 a? 1 ) x ? 0 时恒有 ? f ( x)? ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 x 1? a 2
B. 0 ? a ? 1 C. a ?



A. a ? 1

1 2

D. 0 ? a ?

1 2

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 设 x ? R ,向量 a ? ( x,1) , b ? (1, ?2) ,且 a ? b ,则 a + b ? ___________. 12. 设曲线 y ? x ln x 在点 (e, e) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ————. 13.已知各项都是正数的等比数列 ?an ? 满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在不同的两项 am 和 an ,使 得 am ? an ? 16a1 ,则
2

1 4 ? 的最小值是__________. m n

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 圆 ? =4cos ? 的圆心到直线 ? ? 的距离是___. 15.(几何证明选讲选做题)
C E

?
6

( ? ? R)

A

D

O

B

如图,在半圆 O 中, C 是圆 O 上一点, 直径 AB ? CD ,垂足为 D ,

DE ? BC ,垂足为 E ,若 AB ? 6 , AD ? 1 ,则 CE ? BC ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos(2 x ?

?
3

) ? 3 sin 2 x

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值; (2) 设 ?ABC 的三内角分别是 A、 B、 C. 若 f (

C 1 且 AC ? 1, BC ? 3 ,求边 AB 和 )? , 2 2

sin A 的值.

17. (本题满分12分) 汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规定,从 2015 年开始,将对二氧化碳排 放量超过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽 取 5 辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km).

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 x乙 ? 120g / km . (1) 求表中 x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性; (2) 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超过

130 g / km 的概率是多少?
18.(本题满分14分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, ABEF 是矩形,平面 ABCD ? 平面 ABEF , G 为 EC 的中点. (1)求证: AC //平面 BFG ; (2)若三棱锥 C ? DGB 的体积为

9 ,求三棱柱 ADF ? BCE 的体积. 4

D

C

G A B

F

E

19.(本题满分14分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 an?1 1 , ? ? 0, n ? N * . 2 an?1 ? 1 an ? 1

(1)求证:数列 {

1 } 是等差数列; an ? 1

(2)设 bn ?

3 an ?1 ? 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项之和为 Sn ,求证: S n ? . 4 an

20.(本题满分14分)
2 设 A 、 B 是焦距等于 2 3 的椭圆 C1 : x ?

y2 ? 1(a ? 1) 的左、右顶点,曲线 C2 上的 a2

动点 P 满足 k AP ? kBP ? a ,其中 k AP 和 k BP 分别是直线 AP 、 BP 的斜率. (1)求曲线 C2 的方程; (2)直线 MN 与椭圆 C1 只有一个公共点且交曲线 C2 于 M , N 两点,若以线段 MN 为 直径的圆过点 B ,求直线 MN 的方程.

21.(本题满分14分)

1 3 a2 ?1 2 x ? a2 x ? a , x ? R , a ? R . 已知函数 f ( x) ? x ? 3 2
(1)若函数 f ( x) 在区间 [0, 2] 内恰有两个零点,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? ?1 ,设函数 f ( x) 在区间 [t , t ? 3] 上的最大值为 M (t ) ,最小值为 m(t ) ,记

F (t ) ? M (t ) ? m(t ) ,求函数 F (t ) 在区间 [?3,?1] 上的最小值.

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