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2016—2017学年度高一数学第一学期期中考试


2016—2017 学年度第一学期期中考试 高一数学
1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、学号、考试科目等按要求填涂在选择题答题 卡上;答第Ⅱ卷前,考生务必将自己的姓名、班别、学号等填写在密封线左边的空格内。 3.第Ⅰ卷的答案必须答在选择题答题卡上;第Ⅱ卷用黑色字迹的钢笔或签字笔按各题 要求答在答卷相应位置上。 4.考试结束时,将选择题答题卡和第Ⅱ卷答卷一并交回,试卷和草稿纸自行带走。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)

1、集合 A ? x ? Z ? 1 ? x ? 3 的元素个数是( A.1 B.2 C.3

?

?

) D.4

2、已知集合 M ? {x 0 ? x ? 2}, N ? {x x ? 1 }, 那么M ? N为( ) (A) {x 0 ? x ? 1 } (B) {x 1 ? x ? 2} (C) {x 1 ? x ? 2} (D) {x 1 ? x ? 2} 3、下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ? 1 , y ? C. y ? x , y ? )

x x
3

B. y ? x ?1 ? x ? 1 , y ?

x2 ?1

x3

D. y ? x , y ?

? x?

2

4、函数 y ? (2k ? 1) x ? 3 在(-∞,+∞)上是减函数,则( A.

)

k?

1 2

B. k ?

1 2

C. k ? ?

1 2
C. y ?

D. k ? ? )

1 2

5、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x2

1 x
)

D. y ? x 3

? (x≥2) ?2x-1 6.已知 f(x)=? 2 ,则 f(-4)+f(4)的值为( ?-x +3x (x<2) ?

A.-21

B.-32

C.-2

D.0

x ?1 7、函数 f ( x) ? a ? 2 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象一定经过点(

) D. (1,3)

A. (0,1)

B. (0,3)

C. (1,2)

8、计算 lg4+2lg5

的结果为 (

)
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A 2

B

4

C

5 )

D 10

9、设 a ? 0.31.2 , b ? 1.2 0.3 , c ? log3 0.6 ,则( A. b ? a ? c B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

D. a ? b ? c )

10、在同一坐标系中,函数 f ( x) ? xa ( x ? 0) , g ( x) ? loga x 的图象可能是(

11、已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? log2 x ,则 f ( x) 的零点所在区间为( A. (0,1) B. ( 1,2) C. (2,3)
2

) D. (3,4)

12.已知偶函数 f ( x) 的定义域为 R,且在 (??,0) 上是增函数,则 f (a ? a ? 1) 与 f ( ) 的 大小关系为(
2

3 4

)

(A) f (a ? a ? 1) < f ( ) (C)

3 3 2 (B) f (a ? a ? 1) ≤ f ( ) 4 4 3 3 f (a 2 ? a ? 1) > f ( ) (D) f (a 2 ? a ? 1) ≥ f ( ) 4 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13、计算

1 ( ) ?1 ? 27 3 ? log5 25 ? __________ ____; 4
3 x ?1 ? 9 中 x 的取值范围为___________________;

2

14、满足不等式

15、已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2 ) ,则此函数的解析式为____________; 16、已知函数 y ? f ( x), x ? N* , y ? N* ,对任意 n ? N* 都有 f [ f (n)] ? 3n ,且 f ( x) 是增 函数,则 f (3) ?

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三、解答题(本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17、 (本小题满分 10 分)已知集合 A ? {x 1 ? x ? 3} ,集合 B ? ?x 2m ? x ? 1 ? m? .

(1)若 U ? {x ? 3 ? x ? 10}, 求 Cu A ; (2)若 m ? ?1 时,求 A ? B , A ? B 。

18、 (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? log3 (3 ? x) ? log3 (3 ? x) . (1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

19、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 (Ⅰ)求 f(x)在区间[-3,2]上的最大值及最小值; (Ⅱ)用定义法证明 f(x)在(﹣∞,-1)上是减函数.

20、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a x?1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 ). (Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 的图象经过点 P(3,4) ,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值比最小值大

a ,求 a 的值。 2

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21、(本小题满分 12 分) 对于函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? ?b ?1? ( a ? 0 ) . (Ⅰ)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x) 的零点; (Ⅱ)若对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的零点,求实数 a 的取值范围。

22、(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 2
x?m

和函数 g(x)=x|x﹣m|+2m﹣8,其中 m 为参数,且满足 m≤5.

(1)若 m=2,写出函数 g(x)的单调区间(无需证明) ; (2)若方程 f(x)= 2 在 x∈[﹣2,+∞)上有唯一解,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意 x1∈[4,+∞) ,存在 x2∈(﹣∞,4],使得 f(x2)=g(x1)成立,求实 数 m 的取值范围.
m

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高一数学参考答案
一、 1 C 2 B 单项选择 3 C 4 D 5 D 6 A 7 D 8 A 9 C 10 D 11 B 12 B

二、填空题 13、 11 14、 x ? 3
?

15、 y ? x .
?

1 2

16、 6
1 2

1 1 解析: 15、 设幂函数 y ? f ( x) ? x , 由已知有 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ,? f ( x) ? x 2 2

?

16、 【解析】本题看起来很难,好像没处下手,事实上,我们只要紧紧抓住函数的定义,

从 n 的初始值开始,如 f ( f (1)) ? 3 ,首先 f (1) ? 1 ,否则 f ( f (1)) ? f (1) ? 1 不合题意, 其次若 f (1) ? 3 ,则 f ( f (1)) ? f (3) ? 3 ? f (1) 与 f ( x) 是增函数矛盾,当然 f (1) ? 3 更 不可能(理由同上),因此 f (1) ? 2 , f (2) ? f ( f (1)) ? 3 , f (3) ? f ( f (2)) ? 6 .

三、

解答题

17、 (本小题满分 10 分)已知集合 A ? ?x 1 ? x ? 3? ,集合 B ? ?x 2m ? x ? 1 ? m? .

(1)若 U ? {x ? 3 ? x ? 10}, 求 Cu A ; (2)若 m ? ?1 时,求 A ? B , A ? B 。
解: (1) Cu A = {x ? 3 ? x ? 1或3 ? x ? 10} -------------3 分

(2) 当 m ? ?1 时, B ? ?x ?2 ? x ? 2? ,----------4 分 则 A ? B ? ?x ?2 ? x ? 3? ------------7 分

A ? B ? {x 1 ? x ? 2} ----------10 分

18、 (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? log3 (3 ? x) ? log3 (3 ? x) . (1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由. 解: (1)根据题意可得 ?

?3 ? x ? 0 ,----------2 分 3 ? x ? 0 ?
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解不等式可得 ? 3 ? x ? 3 ,-------------4 分 ∴定义域为 (?3,3) .------------6 分 (2)∵定义域为 (?3,3) 关于原点对称,-----------8 分 ∵ f (? x) ? log3 (3 ? x) ? log3 (3 ? x) ? f ( x) ,-------------10 分 所以函数 f ( x) 为偶函数.-------------12 分

19、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 (Ⅰ)求 f(x)在区间[-3,2]上的最大值及最小值; (Ⅱ)用定义法证明 f(x)在(﹣∞,-1)上是减函数. 解: (1)二次函数的对称轴 x ? ?1 ,----------1 分 在区间 [?3,?1] 上为减函数,在区间 [?1,2] 上为增函数, ----------2 分 而 f (?1) ? ?2 , f (?3) ? 2 , f (2) ? 7 ,---------------4 分 故 在区间[-3,2]上的最小值为 ? 2 ,最大值为 7.------------5 分 -------------6 分

(2)在(﹣∞,-1)上任取 x1 ? x2 ? ?1
2 2

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ( x 2 ? 2 x 2 ? 1) ? ( x1 ? 2 x1 ? 1) ? ( x 2 ? x1 ) ? 2( x 2 ? x1 ) ? ( x 2 ? x1 )(x2 ? x1 ) ? 2( x 2 ? x1 ) -----------9 分 ? ( x 2 ? x1 )(x 2 ? x1 ? 2)
2 2

? x1 ? x2 ? ?1 ,? x2 ? x1 ? 0, x2 ? x1 ? 2 ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0,即f ( x2 ) ? f ( x1 )

-----------10 分

所以 f(x)在(﹣∞,-1)上是减函数。-------------12 分

20、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a x?1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 ).

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(Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 的图象经过点 P(3,4) ,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值比最小值大
解:(1) 由题知 a 3?1 ? 4 , a ? 2 ---------------2 分 (2)若 a ? 1 , y ? f ( x) 是增函数,---------3 分

a ,求 a 的值。 2

区间 [2,3] 上最大值为 f (3) ? a 2 ---------4 分 最小值为 f (2) ? a ,则 a 2 ? a ?

a 3 ,解得 a ? 2 2

-------------------7 分

若 0 ? a ? 1 , y ? f ( x) 是减函数,---------8 分

区间 [2,3] 上最大值为 f (2) ? a ---------4 分 最小值为 f (3) ? a 2 ,则 a ? a 2 ? 综上 a ?

a 1 ,解得 a ? 2 2

-------------------11 分

3 1 或 -----------12 分 2 2

21、(本小题满分 12 分)对于函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? ?b ?1? ( a ? 0 ) . (Ⅰ)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x) 的零点; (Ⅱ)若对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的零点,求实数 a 的取值范围。 解: (Ⅰ)当 a ? 1, b ? ?2 时,代入得 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 3 ,-------------1 分 所以由 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 可得 x ? 3, x ? ?1,--------------4 分 所以函数 f ( x) 的零点为 x ? 3, x ? ?1;--------------5 分 (Ⅱ)由题意可得 a ? 0 ,则 ? ? b2 ? 4a ?b ?1? ? 0 对于 b ? R 恒成立,----------7 分 即 b 2 ? 4ab ? 4 ? 0 恒成立;-------------8 分 所以 ?' ? 16a 2 ? 16a ? 0 ,-------------10 分 从而解得 0 ? a ? 1 .----------------12 分 考点: (Ⅰ)求函数零点; (Ⅱ)函数零点及恒成立.
x?m

22、(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 2 为参数,且满足 m≤5.
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和函数 g(x)=x|x﹣m|+2m﹣8,其中 m

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(1)若 m=2,写出函数 g(x)的单调区间(无需证明) ; (2)若方程 f(x)= 2 在 x∈[﹣2,+∞)上有唯一解,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意 x1∈[4,+∞) ,存在 x2∈(﹣∞,4],使得 f(x2)=g(x1)成立,求实 数 m 的取值范围.
m

解: (1)m=2 时,

,-------2 分

∴函数 g(x)的单调增区间为(﹣∞,1) , (2,+∞) , 单调减区间为(1,2) .-------------4 分 |m| (2)由 f(x)=2 在 x∈[﹣2,+∞)上有唯一解, 得|x﹣m|=|m|在 x∈[﹣2,+∞)上有唯一解.---------5 分 即(x﹣m)2=m2,解得 x=0 或 x=2m,-----------6 分 由题意知 2m=0 或 2m<﹣2, 即 m<﹣1 或 m=0. 综上,m 的取值范围是 m<﹣1 或 m=0.-------------8 分 (3)由题意可知 g(x)的值域应是 f(x)的值域的子集. ∵ ①m≤4 时,f(x)在(﹣∞,m)上单调递减,[m,4]上单调递增, ∴f(x)≥f(m)=1. g(x)在[4,+∞)上单调递增, ∴g(x)≥g(4)=8﹣2m, ∴8﹣2m≥1,即 .-------------10 分

②当 4<m≤5 时,f(x)在(﹣∞,4]上单调递减, m﹣4 故 f(x)≥f(4)=2 ,g(x)在[4,m]上单调递减, [m,+∞)上单调递增, 故 g(x)≥g(m)=2m﹣8 ∴2m﹣4≤2m﹣8, 解得 5≤m≤6. 又 4<m≤5, ∴m=5 综上,m 的取值范围是 -----------12 分

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