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23-3.2一元二次不等式及其解法(3)


一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像 y
y y

O

x1

x2

x

O

b ? 2a

x

O

x

/>
??0

??0

??0

复习一元二次函数:y=ax +bx+c(a≠0)
当a<0时图像 y ??0
x

一元二次函数 2
y

??0

y ??0

O

x1

x2

O

b ? 2a

x

O

x

一元二次不等式定义:
定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数
是二次的不等式叫做一元二次不等式. 形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)

问题:如何解一元二次不等式呢?

如何利用二次函数解二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0 呢?

归纳:

(1)先画出对应函数的图像

(2)确定不等式的解集:
ax2 ? bx ? c ? 0 的解集就是确定函数 y ? ax2 ? bx ? c

图像在X轴下方时,其x的取值范围
2 y ? ax ? bx ? c 的解集就是确定函数 ax ? bx ? c ? 0
2

图像在X轴上方时,其x的取值范围

一元二次不等式解集表(a>0)
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 x2+bx+c=0 的根 ⊿>0
y

⊿=0
y

⊿<0
y

x1

x2

x

x1(x2) x 无实根

x

有两个不等实 有两个相 根 等实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0(a>0) ﹛x|x<x1或x>x2﹜ ﹛x|x≠x1﹜ 的解集

R Φ

ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集

Φ

典例精讲:

例2:已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集是 x 3 ? x ? 4 ,求实数 a , b 的值.

?

?

2

例:解关于x的不等式: 2 2 x ? (2m ? 1) x ? m ? m ? 0
x1 ? m, x2 ? m ? 1

含参变量 的不等式

解:方程x 2 ? (2m ? 1) x ? m 2 ? m ? 0的解为:

? m ? m ?1
? 原不等式的解集为? x m ? x ? m ? 1?

例:解关于x的不等式:
解: 方程x ? (1 ? a) x ? a ? 0的解为: x1 ? ?1, x2 ? a

x 2 ? (1 ? a) x ? a ? 0
2

(1)当a ? ?1时, 原不式的解集为( a,?1); (2)当a ? ?1时, 原不式的解集为 ?
(?1, a) (3)当a ? ?1时, 原不式的解集为

解: 不等式恒成立,即解集为R
? a ? 0, ? ? 0

例:已知 ax ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 恒成立, 求a的取值范围。 y
2

? y ? ax2 ? (1 ? a) x ? 1 的大致图像如图:
O

x

由? ? (1 ? a)2 ? 4a ? 0解得: 3 ? 2 2 ? a ? 3 ? 2 2

又a ? 0

? a的取值范围为 3 ? 2 2 ? a ? 3 ? 2 2

一元二次方程 有两相异 有两相等实 ax2+bx+c=0 实根x1,x2 根 x1 = x2 没有实数根 b (a>0)的根 ( x1 < x2 ) ?? 2a ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 { x| x< x1 _______ 或 x> x2 } ________ { x| x1 _______ < x< x2 } _______ {x|x≠x1} __________ { x| x∈ R } _________ ______ ? ______ ?

2.用程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法过程为

1.设二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x<

则ab的值为
A.-6 B.-5 C.6 D.5

( C )

1 }, 3

1 解析 因x=-1, 是方程ax2+bx+1=0的两根, 3 b 1 b 2 1 1 ? ? ? ?1 ? ,? ? , 又 ? 1? ? , a 3 a 3 3 a
∴a=-3,b=-2,∴ab=6.

2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=? ? ,则实数a的取值范围
是 A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} 解析 B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4} ( D )

若a=0时符合题意,a>0时,相应二次方程中

的Δ =a2-4a≤0,解得0<a≤4,
综上得

a ?{a|0≤a≤4}.

含参数的一元二次不等式的解法
3已知不等式
ax ? 1 ? 0 (a∈R). x ?1

(1)解这个关于x的不等式;

(2)若x=-a时不等式成立,求a的取值范围. 思维启迪 讨论a的取值,首先看是否可化为一元二 次不等式,其次看根的大小.



(1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0.

①当a=0时,由-(x+1)>0,得x<-1;
1 ②当a>0时,不等式化为 ( x ? )( x ? 1) ? 0, a 1 解得x<-1或x> ; a 1 ③当a<0时,不等式化为 ( x ? )( x ? 1) ? 0; a 1 1 若 ? ?1, 即-1<a<0,则 ? x ? ?1; a a 1 若 ? ?1, 即a=-1,则不等式解集为空集; a 1 若 ? ?1, 即a<-1,则 ? 1 ? x ? 1 . a a

1 综上所述,a<-1时,解集为 {x | ?1 ? x ? }; a a=-1时,原不等式无解; 1 -1<a<0时,解集为{x | ? x ? ?1}. a a=0时,解集为{x|x<-1}; 1 { x | x ? ? 1 或 x ? }. a>0时,解集为 a (2)∵x=-a时不等式成立, ? a2 ?1 ? 0, 即-a+1<0, ∴ ? a ?1 ∴a>1,即a的取值范围为(1,+∞).

探究提高

(1)含参数的一元二次不等式可分为两种

情形:一是二次项系数为常数,参数在一次项或常数项
的位置,此时可考虑分解因式,再对参数进行讨论,若 不易分解因式,则要对判别式Δ分类讨论,分类应不重

不漏;二是二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是
否为0,然后再讨论二次项系数不为0的情形,以便确定 解集的形式.注意必须判断出相应方程的两根的大小, 以便写出解集. (2)含参数不等式的解法问题,是高考的重点内容,主

要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想.

一元二次不等式的恒成立问题

3已知不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)若对所有的实数x不等式恒成立,求m的取值范 围;

(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,
求x的取值范围. 思维启迪 (1)由于二次项系数含有字母,所以首 先讨论m=0的情况,而后结合二次函数图象求解. (2)转换思想将其看成关于m的一元一次不等式,

利用其解集为[-2,2],求参数x的范围.



(1)不等式mx2-2x-m+1<0恒成立,即函数f(x)=

mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.
当m=0时,1-2x<0, 1 即当x> 时,不等式恒成立,不满足题意; 3分 2 当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数, 需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,即

综上可知不存在这样的m.

?m ? 0 , 则m无解. ? ?? ? 4 ? 4m(1 ? m) ? 0
6分

(2)从形式上看,这是一个关于x的一元二次不等式,

可以换个角度,把它看成关于m的一元一次不等式,
并且已知它的解集为[-2,2],求参数x的范围. 设f(m)=(x2-1)m+(1-2x), 则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是直线, 由题意知该直线当-2≤m≤2时线段在x轴下方,
2 ? 2 x ? 2x ? 3 ? 0 ? f (?2) ? 0 ? ? ?? , 即? 2 ? ? f (2) ? 0 ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0

7分

① ②

9分

?1? 7 ?1? 7 解①, 得x ? 或x ? , 2 2 1? 3 1? 3 解②, 得 ? x? . 2 2 -1 ? 7 1? 3 由①②得 ? x? . 2 2 -1 ? 7 1? 3 ? x的 取 值 范 围 为 {x | ? x? }. 2 2

11分 12分

探究提高

(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自

变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变
量,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒 小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全

部在x轴下方.

思想方法

感悟提高

方法与技巧
1.解一元二次不等式时,首先要将一元二次不等式化 成标准型,即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的形式,其中 a>0.

如解不等式6-x2>5x时首先化为x2+5x-6<0.
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的形式(其 中a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系.

(1)知道一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以写出对

应不等式的解集;
(2)知道一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的 解集也可以写出对应方程的根. 3.数形结合:利用一元二次函数y=ax2+bx+c的图象可 以一目了然地写出一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+ bx+c<0的解集.

失误与防范
1.一元二次不等式的界定.对于貌似一元二次不等式 的形式要认真鉴别.如: 解不等式(x-a)(ax-1)>0,如果a=0它实际上是一个 一元一次不等式;

只有当a≠0时它才是一个一元二次不等式.
2.当判别式Δ <0时,ax2+bx+c>0 (a>0)解集为R; ax2+bx+c<0 (a>0)解集为? .二者不要混为一谈.


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