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第2节函数的单调性与最值 学生


函数的单调性和最值 1.(2012· 陕西文)集合 M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则 M∩N= ( ) A.(1,2) C.(1,2] B.[1,2) D.[1,2]

2.(2011· 安徽省“江南十校”高三联考)已知函数 f(x)是 R 上的 单调增函数且为奇函数,则 f(1)的值( A.恒为正数 C.恒为 0 ) B.恒为负数 D.

可正可负

3.(文)若 f(x)=x3-6ax 的单调递减区间是(-2,2),则 a 的取值 范围是( ) B.[-2,2] D.[2,+∞) )

A.(-∞,0] C.{2}

(理)函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( 3 A.(-∞,2] 3 C.(-1,2] 3 B.[2,+∞) 3 D.[2,4)

1 4.(文)(2012· 天津文)已知 a=21.2,b=(2)-0.8,c=2log52,则 a、 b、c 的大小关系为( A.c<b<a C.b<a<c ) B.c<a<b D.b<c<a )

1 - (理)(2012· 大纲全国理)已知 x=lnπ, y=log52, z=e 2 , 则( A.x<y<z C.z<y<x B.z<x<y D.y<z<x

1 1 5.给定函数①y=x2 ,②y=log2 (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1, 其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( A.①② C.③④ B.②③ D.①④ )

6. 已知偶函数 y=f(x)对任意实数 x 都有 f(x+1)=-f(x), 且在[0,1] 上单调递减,则(
?7? ?7? ?7? A.f?2?<f?3?<f?5? ? ? ? ? ? ? ?7? ?7? ?7? B.f?5?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?7? ?7? ?7? C.f?3?<f?2?<f?5? ?7? ?7? ?7? D.f?5?<f?3?<f?2?

)

7. (2012· 湖北八校联考)若函数 f(x)=loga(x2-ax+5)(a>0 且 a≠1) a 满足对任意的 x1、x2,当 x1<x2≤2时,f(x2)-f(x1)<0,则实数 a 的取值 范围为________. 8 . (2011· 德州月考)已知函数

??1?x x≤0, f (x ) = ? 2 ?log2?x+2? x>0.



f(x0)≥2,则 x0 的取值范围是____________.
-x ? ?e -2,x≤0, 9. (2011· 淮南一模)已知函数 f(x)=? (a 是常数且 ?2ax-1,x>0, ?

a>0).对于下列命题: ①函数 f(x)的最小值是-1;②函数 f(x)在 R 上是单调函数;③若

1 f(x)>0 在[2, +∞)上恒成立, 则 a 的取值范围是 a>1; ④对任意的 x1<0, x1+x2 f?x1?+f?x2? x2<0 且 x1≠x2,恒有 f( 2 )< . 2 其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). 10.(文)(2012· 南通市调研)经市场调查,某商品在过去 100 天内 的销售量和价格均为时间 t(天)的函数,且日销售量近似地满足 g(t) 1 112 1 =-3t+ 3 (1≤t≤100, t∈N). 前 40 天价格为 f(t)=4t+22(1≤t≤40, 1 t∈N),后 60 天价格为 f(t)=-2t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商 品的日销售额 S(t)的最大值和最小值. (理)(2012· 安徽名校联考 )已知一家公司生产某种商品的年固定 成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内 共生产该商品 x 千件并全部销售完, 若每千件的销售收入为 R(x)万元, 1 2 ? 10.8 - ? 30x , 且 R(x)=? 108 1000 ? ? x - 3 x2 , 0<x≤10, x>10.

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一商品的生产中所获得利 润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)

能力拓展提升 11.(2012· 陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y=x B.y=-x3 D.y=x|x| )

12.(文)若函数 y=f(x)的导函数 在区间[a,b]上是增函数,则函 ... 数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )

(理)如果函数 y=a-x(a>0,且 a≠1)是减函数,那么函数 f(x)= 1 loga 的图象大致是( x+1 )

13.已知函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线 y =2 某两个交点的横坐标分别为 x1、x2,若|x2-x1|的最小值为 π,则 该函数在区间( π? ? π A.?-2,-4?
? ?

)上是增函数.(

)
? π π? B.?-4,4? ? ? ?π 3π? D.?4, 4 ? ? ?

π? ? C.?0,2?
? ?

a 14.(文)若函数 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 在区间[1,2]上都是 x+ 1 减函数,则 a 的取值范围是________. (理)若函数 f(x)=x2+2x+alnx 在(0,1)上单调递减, 则实数 a 的取 值范围是________. 15.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明;

(3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

16.(文)已知函数 f(x)对任意的 a、b∈R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b) -1,且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3. (理)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a、b、c 为实数,且 a≠0),F(x)=
? ?f?x? ? ?-f?x? ?

x>0, x<0.

(1)若 f(-1)=0,曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(- 1))处的切线垂直于 y 轴,求 F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-1,1]时,g(x)=kx-f(x)是单调函数, 求实数 k 的取值范围; (3)设 mn<0, m+n>0, a>0, 且 f(x)为偶函数, 证明 F(m)+F(n)>0.

备用 1 1.(2012· 新课标全国文)当 0<x≤2时,4x<logax,则 a 的取值范围 是( ) 2 A.(0, 2 ) C.(1, 2) 2 B.( 2 ,1) D.( 2,2)

2.(2012· 山东聊城模拟)设函数 y=f(x)在 R 上有定义,对于给定
? ?f?x?,f?x?≤k, 的 正 数 k , 定 义 函 数 fk(x) = ? 若 函 数 f(x) = ?k,f?x?>k. ?
-x ? ?2 ,x≥0, 1 ? x 则函数 f2(x)的单调递减区间为( ?2 ,x<0, ?

)

A.(-∞,-1] C.[0,+∞)

B.(-∞,0] D.[1,+∞)

3.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1、x2∈(-∞, 0](x1≠x2),有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0,则当 n∈N*时,有( A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) 4. 已知函数 f(x)图象的两条对称轴 x=0 和 x=1, 且在 x∈[-1,0] 上 f(x)单调递增,设 a=f(3),b=f( 2),c=f(2),则 a、b、c 的大小 关系是( ) B.a>c>b D.c>b>a )

A.a>b>c C.b>c>a

1 5.函数 y=f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数 g(x)=f(log2x) 的单调减区间是( )

A.[1, 2] 2 B.[ 2 ,1]

C.(0,1]和[ 2,+∞) D.(-∞,1]和[ 2,+∞) [答案] C 6.(2013· 陕西西工大附中第三次适应性训练)已知可导函数 f(x)(x ∈R)满足 f ′(x)>f(x),则当 a>0 时,f(a)和 eaf(0)的大小关系为( A.f(a)<eaf(0) C.f(a)=eaf(0) B.f(a)>eaf(0) D.f(a)≤eaf(0) )

7.若函数 y=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,4] C.(-∞,-4)∪[2,+∞) ) B.(-4,4] D.(-4,2)

x 8.函数 y=sinx,x∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象中 的( )


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