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函数奇偶性的概念


1.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念

故宫殿堂建筑整齐对称,相映成趣, 给人以稳重、博大、 端庄的感觉!数学上有对称的函数图象吗?它们体现了 函数的什么性质?一起让我们来学习这个性质吧!

1.理解函数的奇偶性的含义.(难点) 2.掌握判断函数的奇偶性的方法.(重点、难点) 3.了解奇函数、偶函数的图象的对称性.<

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探究点1

偶函数的定义

已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1), f(-2),
f(2),及f(-x) ,并画出它的图象. 解: f(0)=0,f(-1)=(-1)?=1,f(1)=1, f(-2)=(-2)?=4, f(2)=4 f(-1)=f(1),f(-2)=f(2) f(-x)=(-x)?=x? f(-x)=f(x)

(-x,y)
f(-x)

y

( x,y)
f(x) x

-x

o

x

思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标

有什么关系?

函数图象关于y轴对称; 对定义域内任意的自变 量x都有

f (? x) ? f ( x)

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任
f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就 意一个x,都有___________ 叫做偶函数. 例如,下图:
对定义域内 任意的自变 量x都有
f (? x) ? f ( x)

探究点2

奇函数的定义

已知f(x)=x?, 求f(0),f(-1),f(1), f(-2),f(2)及f(-x),并画出它的图象. 解: f(0)=0,f(-1)=(-1)? =-1,f(1)=1, f(-2)=(-2)? =-8,f(2)=8. f(-1)= - f(1)
-x f(-x) y f(x)

f(-2)= - f(2)
f(-x)=(-x)? =-x? f(-x)= - f(x)

o

x

x

思考:奇函数中,函数图象上横坐标互为相反数的
点的纵坐标有什么关系? 提示:如图,f(-x)=-x3=-f(x),即横坐标互为相

反数的点的纵坐标互为相反数.
y f(x) -x f(-x)

o

x

x

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇 个x,都有____________ 函数.

根据图象判断下列函数哪个是偶函数,哪个 是奇函数? 偶函数

偶函数

奇函数

奇函数

【提升总结】奇函数与偶函数定义中的三性 (1)对称性:奇、偶函数的定义域关于原点对称; (2)整体性:奇偶性是函数的整体性质,是对定义域 内的每一个x都成立的;

(3)可逆性:f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函数,f(-x)=
f(x)?f(x)是偶函数.

例.判断下列函数的奇偶性:

(1) f ( x) ? x4 ;
(3 ) f ( x ) ? x ? 1 ;
x

(2) f ( x) ? x5 ;
x3-x2 (4) f(x)= . x-1

分析:只要按照函数奇偶性的定义,检验各个

函数是否符合即可.

解:(1)对于函数f(x)=x4,其定义域是 (??, ??) . 因为对定义域内的每一个x,都有

f (? x) ? (? x) ? x ? f ( x),
4 4

所以,函数f(x)=x4为偶函数。

(2)对于函数f(x)=x5,其定义域为 (??, ??) .
因为对定义域内的每一个x,都有

f (? x) ? (? x)5 ? ? x5 ? ? f ( x),
所以,函数f(x)=x5为奇函数.

1 (3)对于函数 f ( x) ? x ? x

,其定义域是{x|x≠0}.

因为对于定义域内的每一个x,都有
1 1 f (? x) ? ? x ? ? ?( x ? ) ? ? f ( x), ?x x

1 所以,函数 f ( x) ? x ? 为奇函数. x
(4)函数 f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点 对称,故函数 f(x)不具有奇偶性.

【变式练习】 (1)判断函数 f ( x) ? 1 x3 ? 5 x 的奇偶性.
1 3 (2)如图是函数 f ( x) ? x ? 5 x 图象的一部分,如何 3 3

画出函数在整个定义域上的图象?

1 3 解:(1)对于函数 f ( x) ? x ? 5 x ,其定义域 3 是 (??, ??) .由于对定义域内的任意x,都有
1 1 3 3 f (? x) ? (? x) ? 5(? x) ? ? x ? 5 x ? ? f ( x) 3 3

所以,函数f(x)是奇函数.

(2)由于奇函数的图象关于 坐标原点对称,只要在函数

图象上找点作出这些点关于
坐标原点的对称点,描点即 可作出函数在整个定义域上 的图象.如图

【提升总结】
用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是: (1)先求函数的定义域,由于在函数奇偶性的定义中都是 x和-x对应出现,故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关 于坐标原点对称,如果求出函数的定义域不是关于坐标原

点对称的,则这个函数不具备奇偶性.
(2)验证f(-x)=f(x) ,或者f(-x)=-f(x). (3)根据函数奇偶性的定义得出结论.

思考交流 1.函数不是奇函数就是偶函数吗?
答:函数按奇偶性分类:①有的函数为偶函数;②有的函 数为奇函数;③有的函数既是奇函数又是偶函数,如 f(x)=0; ④有的函数既不是奇函数也不是偶函数,如 y= x(x≥0).

2.具备奇偶性的函数图象有什么特点?
答:如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原 点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以 坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.

如果一个函数是偶函数, 则它的图象是以 y 轴为对称轴的 轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这 个函数是偶函数.

3.若函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则 f(0)的值能确定吗?
答:由奇函数的定义知 f(-0)=-f(0), 即 f(0)=-f(0), ∴f(0)=0.

1.函数f(x)=x2,x∈[-1,2]是( C )
A.奇函数 C.非奇非偶函数 B.偶函数 D.既奇又偶函数

【提示】∵x∈[-1,2],不关于原点对称.

2.如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)是偶 8 函数,则a=_______. 【解析】∵f(x)是偶函数,∴函数f(x)的定义域关于 原点对称,∴3-a+5=0,∴a=8

3.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图 补充完整。

解:

1 ? x2 4.设函数f ? x ? ? 1- x 2 ?1? 求它的定义域; ?2? 判断它的奇偶性; ?1? ?3? 求f ? ? ? f ? x ?的值. ? x?

? 2 ?由?1? 得函数的定义域关于原点对称,而f ? - x ? ?
1? x 2 = ? f ? x ? ; ? f ? x ? 为偶函数. 2 1- x 1 1? 2 2 1 x ?1 ? ? x ? 3? f ? ? ? 1 ? 2 ? - f ? x ? , x -1 ? x ? 1x2 ?1? ? f ? ? ? f ? x ? ? 0. ? x?

1 ? ?-x ? 1- ? - x ?

2



奇偶性

定义

图象特点

判断方法

人生最终的价值在于觉醒和思考的能力,

而不只在于生存。
——亚里士多德


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