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排列组合部分知识总结


计数原理

排列组合
标纲解读:1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。 2.会用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。 3.理解排列、组合的概念,区分它们的异同。 4.能利用计数原理推到排列数公式、组合数公式,能解决简单实际问题。 命题规律与趋势:排列组合是高考每年必考内容之一,一般有 1~2 道小题,且多为选择题、填

空 题。虽然在高考之中所占比重不大,但试题都具有一定得灵活性和综合性。高考对排列、组合内 容的考查一般以实际应用题形式出现,这是因为排列、组合的应用性比较强,并充满思辨性,解 决具有多样性,符合高考选择题的特点,易于考查学生理解问题的能力、分析和解决问题的能力 及分类讨论的思想。 突破方法: 1. 使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定,分类来完 成这件事时用分类计数原理,分步骤来完成这件事情时用分步计数原理。怎样确定是分类还 是分步呢?“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事情,而分“步骤”必须把各 步骤均完成才能完成所给事情,所以准确理解两个原理的关键在于明确分类计数原理强调完 成一件事情的几类办法互不干扰,彼此之间的交集为空寂,并集为全集,不论哪一类办法中 的那一种方法都能单独完成事件。分步计数原理强调各步骤之间缺一不可,需要一次完成所 有步骤才能完成事件,步与步之间互不影响,即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方 法。 2. 排列与组合定义相近,它们的却别在于是否与顺序有关。 3. 复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化,从而寻求解题途 径,由于结果的正确性难以直接检验,因而常需要用不同的方法求解来获得检验。 4. 按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步,是处理组合问题的基本思想方法,要 注意题设中“至少” “至多”等限制词的意义。
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5. 处理排列、组合的综合性问题,一般思想方法是先选元素(组合) ,后排列,按元素的性质“分 类”和按事件发生的连续过程“分步” ,始终是处理排列、组合问题的基本方法结合原理,通 过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能。 6. 运用分类计数原理时,要恰当选择分类标准,做到不重不漏。 7. 运用分步计数原理时,要确定好次序,并且每一步都是独立、互不干扰的,还要注意元素是 否可以重复选取。 8. 对于复杂问题,可同时御用两个基本原理或借助列表、画图的方法来帮助分析。 9. 在解决排列、组合综合性问题时,必须深刻理解排列与组合的概念,能够熟练确定一个问题 是排列问题还是组合问题,牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质。容易产生错误的是 重复和遗漏计数 解题技巧: 1.解决排列与组合综合问题的方法和规律. (1)排列与组合的应用题是高考常见题型,其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类 问题通常有三条途径: ① 以元素为主考虑,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; ② 以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; ③ 先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数. 前两种方法叫直接解法,后一种方法叫间接解法. (2)在求解排列与组合应用问题时,应注意: ① 把具体问题转化或归结为排列或组合问题; ② 通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; ③ 分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; ④ 列出式子计算并作答. 2.常见的解题策略有以下几种: (1) 特殊元素优先安排的策略 (2) 合理分类与准确分步的策略 (3) 排列、组合混合问题先选后排的策略 (4) 正难则反、等价转化的策略 (5) 相邻问题捆绑处理的策略 (6) 不相邻问题插空处理的策略 (7) 定序问题除法处理的策略 (8) 分派问题直排处理的策略
2

(9) “小集团”排列问题中先整体后局部的策略 (10) 构造模型的策略 3.解排列组合的应用题要注意以下几点: (1) 仔细审题,判断是排列问题还是组合问题。要按元素性质分类,按事件发生的过程进行分 步。 (2) 深入分析,严密周详,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏,辩证思维,多角度分析, 全面考虑。 (3) 对限制条件较复杂的排列组合应用题,要周密分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解 成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。 (4) 由于排列组合问题答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查所 设计的解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用多种不同的方法求解,看看结果是 否相同,在对排列组合问题分类时,分类标准应统一。 知识导学: 1.分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第 1 类办法中,有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中,有 m2 种不同的方法,??在第n类办法中,有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共 有 N= m1 + m2 +??+ mn 种不同的方法. 2. 分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第 1 步,有 m1 种不同的方法,做第 2 步,有 m2 种不同的方法,??做第n步,有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1 ×

m2 ×?× mn 种不同的方法.
排列数公式:
m An ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? ? ? (n ? m ? 1)

m An ?

n! (n ? m)!

(这里m、n∈ N ,且m≤n)

*

(2)组合数公式
m An n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? ? ? (n ? m ? 1) C ? m ? n Am m n
m Cn ?

n! m!(n ? m)!

(这里m、n∈ N ,且m≤n)

*

3

组合数的两个性质
m n ?m Cn ? Cn m m m?1 Cn ?1 ? Cn ? Cn 0 规定: Cn ?1

例 l、分类加法计数原理的应用 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个? 分析:该问题与计数有关,可考虑选用两个基本原理来计算,完成这件事,只要两位数的个 位、十位确定了,这件事就算完成了,因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类. 解法一:按十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类,在每一类中 满足题目条件的两位数分别是 8 个,7 个,6 个,5 个,4 个,3 个,2 个,l 个. 由分类加法计数原理知,符合题意的两位数的个数共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l = 36 个. 解法二:按个位数字是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成 8 类,在每一类中满足条件的两位数 分别是 l 个、2 个、3 个、4 个、5 个、6 个、7 个、8 个, 所以按分类加法计数原理共有 l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 个. 点评:分类加法计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法,每一类的各种 方法都是相互独立的,每一类中的每一种方法都可以独立完成这件事。解决该类问题应从简单分 类讨论入手,要做到不重不漏,尽量做到一题多解,从不同角度考虑问题. 例 2、分步乘法计数原理的应用 书架上的一格内有 6 本不同的书,现在再放上 3 本不同的书,但要保持原有书的相对顺序不 变,那么所有不同的放法共有多少种? 解析:把 3 本不同的书放入书架,需保持书架上原有书的相对位置不变. 完成这件事分为三个步骤,每一步各放 1 本. 第一步有 m1 = 7 种放法,第二步有 m2 = 8 种放法,第三步有 m3 = 9 种放法, 由分步乘法计数原理可知,共有 N = m1×m2×m3 = 7×8×9= 504 种放法. 例 3、两个计数原理的综合应用 有一项活动,需在 3 名老师,8 名男同学和 5 名女同学中选人参加. (l)若只需一人参加,有多少种不同方法? (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同选法? (3)若需一名老师和一名同学有多少种不同选法? 解析:(l)有三类选人的方法:3 名老师中选一人,有 3 种方法;8 名男同学中选一人,有 8 种方法;5 名女同学中选一人,有 5 种方法。 由分类加法计数原理,共有 3+8+5=16 种选法. (2)分三步选人:第一步选老师,有 3 种方法;第二步选男同学,有 8 种方法;第三步选 女同学,有 5 种方法.由分步乘法计数原理,共有 3×8×5 = 120 种选法.
4

(3)可分两类,每一类又分两步.第一类:选一名老师再选一名男同学,有 3×8 = 24 种选 法;第二类:选一名老师再选一名女同学,共有 3×5=15 种选法. 由分类加法计数原理,共有 24+15=39 种选法. 点评:在用两个计数原理处理具体问题时,首先要分清是“分类”还是“分步”,其次要清楚 “分类”或“分步”的具体标准.在“分类”时要遵循“不重、不漏”的原则,在“分步”时要 正确设计“分步”的程序,注意“步”与“步”之间的连续性.

例 4、排列的应用问题 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (l)甲不站两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间间隔两人; (5)甲、乙站在两端;(6)甲不站左端,乙不站右端. 分析:本题主要考查有限制条件的排列应用题的解法及分类讨论的思想和分析问题、解决问 题的能力. 解析:(l)方法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个,有 站法,然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 根据分步乘法计数原理,共有站法 种站法, 种

480 (种) 种站法,

方法二:由于甲不站两端,这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站,有 然后中间 4 人有 种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法 种站法,甲在两端共有 480(种) 480 (种)

方法三:若对甲没有限制条件共有

种站法,从总数中减去这

两种情况的排列数,即得所求的站法数,共有

(2)方法一:先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,有 全排列,有 种站法,根据分步乘法计数原理,共有

种站法,再把甲、乙进行

240 (种)站法. 种站法,再在 5 个空档中选出一个供 种方法,共有 240 (种)

方法二:先把甲、乙以外的 4 个人作全排列,有 甲、乙放入,有 种方法,最后让甲、乙全排列,有

(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的 4 个人 站队,有 站法为 种;第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中,有 = 480 (种). 种站法,由(2)知甲、乙相邻有 720-240=480(种).
5

种,故共有

也可用“间接法”,6 个人全排列有 站法,所以不相邻的站法有 -

240 种

(4)方法一:先将甲、乙以外的 4 个人作全排列,有 队,有 种,故共有 种站法.

种,然后将甲、乙按条件插入站

方法二:先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上,有 然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列有 进行排列,有 种方法,故共有 144 种站法.

种,

种方法,最后对甲、乙

(5)方法一:首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有 作全排列,有 种,根据分步乘法计数原理,共有

种,再让其他 4 人在中间位置 种站法.

方法二:首先考虑两个特殊位置,甲、乙去站有 下的 4 人去站,有

种站法,然后考虑中间 4 个位置,由剩 种站法. 种,且甲在左端而乙在右端的

种站法,由分步乘法计数原理共有 种,乙在右端的站法有 种站法.

(6)方法一:甲在左端的站法有 站法有 种,共有

方法二:以元素甲分类可分为两类:① 甲站右端有 乙不在右端有 例 5、组合的应用问题 种,故共有

种,② 甲在中间 4 个位置之一,而

=504 种站法.

课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、女生各指定一名队长,现从 中选 5 人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法? (1)只有一名女生;2)两队长当选;(3)至少有一名队长当选;(4)至多有两名女生当选; (5)既要有队长,又要有女生当选. 解析:(l)一名女生,四名男生.故共有 350 (种) =165 (种) (种) .

(2)将两队长作为一类,其他 11 人作为一类,故共有 (3) 至少有一名队长含有两类: 只有一名队长和两名队长. 故共有: 或采用间接法: 825 (种)

(4)至多有两名女生含有三类:有两名女生、只有一名女生、没有女生. 故选法为: (5)分两类:第一类女队长当选: 。 故选法共有: (种)
6

(种) ;第二类女队长不当选:

例 6、排列、组合的综合应用问题 从 1,3,5,7,9 五个数字中选 2 个,0,2,4,6,8 五个数字中选 3 个,能组成多少个无 重复数字的五位数? 分析: 从 5 个奇数中选出 2 个, 5 个偶数中选 3 个, 按有 0 与无 0 分成两类, 含 0 时, 从其余 4 个偶数中再选出 2 个;不含 0 时,从其余 4 个偶数中再选出 3 个,然后再排成五位 数. 解析:从 5 个奇数中选出 2 个,再从 2、4、6、8 四个偶数中选出 3 个,排成五位数,有 4800 个.从 5 个奇数中选出 2 个,再从 2,4,6,8 四个偶数中再选出 2 个, 将选出的 4 个数再选一个做万位数.余下的 3 个数加上 0 排在后 4 个数位上,有 =5760 个 . 由 分 类 加 法 计 数 原 理 可 知 这 样 的 五 位 数 共 有 =10560 个. (2010 全国卷 2 理数) (6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若 每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识,考察考生分析问题的能力. 【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种

种方法,共有

种,故选 B.

(2010 全国卷 2 文数) (9)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若 每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种

【解析】B:本题考查了排列组合的知识 ∵先从 3 个信封中选一个放 1,2 有 3 种不同的选法,再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封有
2 2 C4 ? 6 ,余下放入最后一个信封,∴共有 3C4 ? 18

(2010 重庆文数) (10)某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值班, 每天安排 2 人,每人值班 1 天 . 若 6 位员工中的甲不值 14 日,乙不值 16 日,则不同的安排方法 共有 (A)30 种 (B)36 种 (C)42 种 (D)48 种 解析:法一:所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日,再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排法
2 2 1 2 1 1 即 C6 C4 ? 2 ? C5 C4 ? C4 C3 =42

7

法二:分两类
2 甲、乙同组,则只能排在 15 日,有 C4 =6 种排法 1 1 2 甲、乙不同组,有 C4 C3 ( A2 ?1) =36 种排法,故共有 42 种方法

(2010 重庆理数)(9)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天, 若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排 方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种
2 1 4 解析:分两类:甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 2 ? A2 A4 A4 种方法

2 4 1 1 3 甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有 4 A2 ( A4 ? A3 A3 A3 ) 种方法

故共有 1008 种不同的排法 (2010 北京理数) (4)8 名学生和 2 位第师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为
8 2 (A) A8 A9 8 2 (B) A8 C9 8 2 (C) A8 A7 8 2 (D) A8 C7

答案:A (2010 四川理数) (10)由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶 数的个数是 (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 解析:先选一个偶数字排个位,有 3 种选法
2 2 ①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,3 A3 A2 =24 个 2 2 ②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3 A2 A2 =12 个

算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个 答案:C ( 2010 天 津 理 数 ) (10) 如 图 , 用 四 种 不 同 颜 色 给 图 中 的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条 线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法用 (A)288 种 (B)264 种 (C)240 种 (D)168 种 【答案】D 【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想,属于难题。
4 (1) B,D,E,F 用四种颜色,则有 A4 ?1?1 ? 24 种涂色方法;

(2) B,D,E,F 用三种颜色,则有 A4 ? 2 ? 2 ? A4 ? 2 ?1? 2 ? 192 种涂色方法;
3 3 2 (3) B,D,E,F 用两种颜色,则有 A4 ? 2 ? 2 ? 48 种涂色方法;

所以共有 24+192+48=264 种不同的涂色方法。

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【温馨提示】近两年天津卷中的排列、组合问题均处理压轴题的位置,且均考查了分类讨论思想 及排列、组合的基本方法,要加强分类讨论思想的训练。 (2010 全国卷 1 理数)(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门. 若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种

(2010 四川文数) (9)由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数 的个数是 (A)36 (B)32 (C)28 (D)24

2 2 解析:如果 5 在两端,则 1、2 有三个位置可选,排法为 2× A3 A2 =24 种 2 2 如果 5 不在两端,则 1、2 只有两个位置可选,3× A2 A2 =12 种

共计 12+24=36 种 答案:A (2010 湖北文数)6.现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座,名每同学可自由选择其中的 一个讲座,不同选法的种数是 A. 5
4

B. 6

5

C.

5? 6 ? 5? 4 ? 3? 2 2

D. 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2

(2010 湖南理数)7、在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一 个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上 的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15

9

(2010 湖北理数)8、现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每 人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能 从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 A.152 B.126 C.90 D.54 8. 【答案】B
2 3 【解析】分类讨论:若有 2 人从事司机工作,则方案有 C3 ? A3 ? 18 ;若有 1 人从事司机工作,

1 2 3 则方案有 C3 ? C4 ? A3 ? 108 种,所以共有 18+108=126 种,故 B 正确

(2010 浙江理数) (17)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活 量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复. 若上午不 测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有 ______________种(用数字作答). 解析:本题主要考察了排列与组合的相关知识点,突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察, 属较难题 (2010 江西理数)14.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会 的四个不同场馆服务,不同的分配方案有 【答案】 1080 【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识,重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组,
2 2 1 1 C6 C4 C2 C 考虑到有 2 个是平均分组,得 两个两人组 两个一人组 2 1 ,再全排列得: 2 A2 A2 2 2 1 1 C6 C4 C2 C1 4 ? ? A4 ? 1080 2 2 A2 A2

种(用数字作答) 。

(2010 全国卷 1 文数)(15)某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 种.(用数字作答) 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
1 2 【解析 1】 :可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C3 C4 种不同的选法;(2)A 2 1 类 选 修 课 选 2 门 ,B 类 选 修 课 选 1 门 , 有 C3 C4 种 不 同 的 选 法 . 所 以 不 同 的 选 法 共 有 1 2 2 1 C3 C4 + C3 C4 ? 18 ? 12 ? 30 种.

【解析 2】: C7 ? C3 ? C4 ? 30
3 3 3

二项式定理
一、知识导学

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1.二项式定理:
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? ? ? Cn a b ? ? ? ? ? Cn b ,n? N*

上列公式所表示的定理叫做二项式定理. 右边的多项式叫做 (a ? b) n 的二项展开式,它一共有n+1 项.
r 其中各项的系数 Cn (r ? 0,1,2,? ? ?, n) 叫做二项式系数. r n ?r r r n ?r r 式中的 Cn a b 叫做二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即 Tr ?1 = Cn a b .

2.二项式系数的性质: (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直接由公
m n ?m 式 Cn 得到. ? Cn r (2)增减性与最大值. 二项式系数 Cn (r ? 0,1,2,? ? ?, n) ,当r<

n ?1 时,二项式系数是 2

逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当n是偶数时,中间 的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和. (a ? b) n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 .
n

二、疑难知识导析 1.二项式定理是代数公式

(a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 和 (a ? b) 3 ? a 3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3 的概括和推广,它是以
乘法公式为基础,以组合知识为工具,用不完全归纳法得到的.同学们可对定理的证明不作要求, 但定理的内容必须充分理解. 2.对二项式定理的理解和掌握,要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开
r n ?r r 式.通项公式 Tr ?1 = Cn a b 在解题时应用较多,因而显得尤其重要,但必须注意,它是 (a ? b)
n

的二项展开式的第r+1 项,而不是第r项. 3.二项式定理的特殊表示形式 (1) (a ? b) ? Cn a ? Cn a
n 0 n 1
n

n?1

r n?r r n n b ? ? ? ? ? (?1) r Cn a b ? ? ? ? ? (?1) n Cn b . n ?r

这时通项是 Tr ?1 = (?1) Cn a
r n 1 1 2 2

br .
r r n

(2) (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? Cn x ? ? ? ? ? Cn x ? ? ? ? ? x .
r r 这时通项是 Tr ?1 = C n x .

11

0 1 2 r n (3) (1 ? 1) n ? Cn . ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn

即各二项式系数的和为 2 .

n

0 2 1 3 4.二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即 Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1

例 7、求二项展开式中的指定项

已知

的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.

(l)证明展开式中没有常数项; (2)求展开式中所有有理项. 分析:此类问题一般由通项公式入手分析,要注意系数和二项式系数、常数项和有理项的概 念区别.

解析:依题意,前三项系数的绝对值是 1,



且 (n=1 舍去)

,即

(1)若

为常数项,当且仅当

,即 3r=16,

,∴这不可能,∴展开式中没有常数项。

(2)若

为有理项,当且仅当 ,4,8,

为整数。

即展开式中的有理项共有三项,它们是

例 8、求二项展开式中系数最大的项 在 的展开式中,求:(l)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;

(3)系数最大的项. 分析:求二项式系数最大的项,利用性质考虑,展开式中的中间项(或中间两项),系数最 大的项,必须将 x、y 前的系数均考虑进去,包括“+、-”号. 解析:
12

(1)二项式系数最大的项是第 11 项。 。 (2)设系数绝对值最大的项是第 r+1 项,于是



化简得 所以 r=8,即

,解之得 是系数绝对值最大的项。

(3)由于系数为正的项为奇数项,故可设第 2r-1 项系数最大,于是



化简得 解之得 r=5,得 2×5-1=9 项系数最大。

点评: 二项式系数、 系数是两个不同的概念, 二项式系数最大的项一定是展开式中的中间项 (或 中间两项);而系数最大的项通过解不等式组的方法解决,且一定要考虑到系数前的符号.

例 9、求展开式中各项系数的和 若 (1) (2) 令 ,求: (3) 则

解析:(1)令 x = 0,则

(2)令 x=-1,则 ②



得:

13

(3)由

得:

例 10、整除或求余问题 (1)求证: (2)求证: 分析:(1) ,而 能被 25 整除; 能被 26 整除(n 为大于 1 的偶数) ,将此二项式展开后就会出现 ;

(2)先利用等比数列求和,然后应用类似(1)的方法。 解析:(1)原式

以上各项均为 25 的整数倍,故得证。

(2)因为



因为 n 为大于 1 的偶数,所以 所以 (2010 江西理数)6. A.-1 【答案】B B.0 能被 26 整除。

能被 26 整除。

? 2 ? x ? 展开式中不含 ..x 项的系数的和为(
8
4



C.1

D.2

【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质,重点考查实践意识和创新能力,体现正难则反。 采用赋值法,令 x=1 得:系数和为 1,减去 x 项系数 C8 2 (?1) ? 1 即为所求,答案为 0.
4

8

0

8

14

(2010 重庆文数) (1) ( x ? 1)4 的展开式中 x 的系数为
2

(A)4 (C)10
2 2 解析:由通项公式得 T3 ? C4 x ? 6x

(B)6 (D)20

(2010 全国卷 1 文数)(5) (1 ? x)4 (1 ? x )3 的展开式 x 的系数是
2

(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 5.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展开式的通项公式的 灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些基本运算 能力. 【解析】 (1 ? x) 4 (1 ?
1 3 ? ? 2 x ) ? ?1 ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x ? ?1 ? 3x ? 3x ? x 2 ? ? ? 3 2 3 4

x 2 的系数是 -12+6=-6
(2010 全国卷 1 理数)(5) (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

9 (2010 全国卷 2 理数) (14)若 ( x ? ) 的展开式中 x3 的系数是 ?84 ,则 a ?

a x



【答案】1 【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.
3 【解析】展开式中 x3 的系数是 C9 (?a)3 ? ?84a3 ? ?84,?a ? 1 .

(2010 辽宁理数) (13) (1 ? x ? x )( x ? ) 的展开式中的常数项为_________.
2 6

1 x

【答案】-5 【命题立意】本题考查了二项展开式的通项,考查了二项式常数项的求解方法
r r 6? 2 r 3 【解析】 ( x ? ) 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C6 (?1) x ,当 r=3 时, T4 ? ?C6 ? ?20 ,当 r=4
2

1 x

4 时, T5 ? ?C6 ? 15 ,因此常数项为-20+15=-5

(2010 全国卷 2 文数)(14)(x+1/x)9 的展开式中,x3 的系数是_________ 【解析】84:本题考查了二项展开式定理的基础知识

1 Tr ?1 ? C9r x 9? r ( ) r 3 x ,∴ 9 ? 2r ? 3, r ? 3 ,∴ C9 ? 84 ∵

15

(2010 四川理数) (13) (2 ?

3

1 6 ) 的展开式中的第四项是 x

.

解析:T4= C6 2 (?
3 3

1 3 160 ) ? ? 3 x x

答案:-

160 x

2 4 ) 的展开式中的常数项为______________(用数字作答) x 2 r r 4?r 解析:展开式的通项公式为 Tr+1= C4 x (? ) x
(2010 四川文数)(13)(x- 取 r=2 得常数项为 C42(-2)2=24 答案:24 (2010 湖北文数)11.在 (1 ? x 2 )10 的展开中, x 的系数为______。
4

【答案】45 【解析】 (1 ? x2 )10 展开式即是 10 个(1-x2)相乘,要得到 x4,则取 2 个 1-x2 中的(-x2)相乘,其
2 ? (? x2 )2 ? 45x4 ,故系数为 45. 余选 1,则系数为 C10

(2010 湖北理数)11、在(x+ 【答案】6

4

3 y ) 20 的展开式中,系数为有理数的项共有_______项。

r 20? r 4 r 4 【解析】二项式展开式的通项公式为 Tr ?1 ? C20 x ( 3y)r ? C20 ( 3)r x20?r yr (0 ? r ? 20) 要使系数为

有理数,则 r 必为 4 的倍数,所以 r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种,故系数为有理数的项共 有 6 项.

【模拟试题】
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 1、9 种产品中有 3 种是名牌,要从这 9 种产品中选出 5 种参加博览会,而且名牌产品要求全部 参加,那么不同的选法种数是( A、36 B、30 ) D、12 )

C、15

2、由数字 1、2、3、4、5 可以组成没有重复数字且比 15000 大的正整数( A、102 个 B、96 个 C、126 个 D、78 个

3、A、B、C、D、E 五个学生排成一列,甲必须排在乙的前面(可以不相邻)的排法共有(



A、

B、

C、

D、 )

4、以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有多少个( A、6 B、8 C、12 D、30

16

5、某班上午要上语文、数学、计算机、体育四门课,又体育老师因故不能上第一节和第四节, 则不同排课方案的种数是( A、6 6、若 A、 B、 ,且 x<55,则 B、 C、 D、 ) C、8 D、 等于( )

7、已知集合 M={1,2,3,?,10},A 是集合 M 含有 3 个元素的子集,且其中至少有 2 个偶 数元素,这样的子集有多少个( A、60 B、120 ) C、160 D、720 )

8、把 18 个人分成 3 排,每排 6 人,则不同排法的总数是(

A、

B、

C、

D、

9、 A、16 10、二项式 A、第 2n+1 项 C、第 2n 项

的展开式中,有理项的个数是( B、17 C、12 D、13



的展开式中系数最大的项为( B、第 2n+2 项



D、第 2n+1 项或第 2n+2 项

11、已知集合 M={1,2,3,4,5,6},N={6,7,8,9},从 M 中选 3 个元素,N 中选 2 个元 素组成一个含 5 个元素的新集合 C,则这样的集合 C 共有( A、126 个 B、120 个 C、90 个 )

D、26 个

12、A、B、C、D 四个人排一个四天的值日表,每人可以值多天或不值,但相邻两天不能由同 一个人值,那么值日表的总排法为( A、100 B、108 ) C、106 D、110

二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分) 13、有 50 件产品,其中有 25 件一等品、15 件二等品和 10 件次品,从中任取 10 件,则恰有两 件一等品和两件二等品的取法是__________。 14、要买台式电脑和笔记本电脑各一台,5 家商场均有出售,则到不同商场购买的方法总数为 __________。 15、由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 50000 的偶数共有_______个。 16、 展开式中不含 b 的项系数之和是__________。

三、解答题(共 6 个小题,共 74 分) 17、(12 分)用 1、2、3、4、5 五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个奇数夹在两 个偶数之间的五位数的个数是多少?
17

18、(12 分)平面内有 12 个点,其中有 4 点共线,此外再无任何 3 点共线,以这些点为顶点可 得到多少个不同的三角形? 19、(12 分)在 的展开式中,如果第 4r 项和第 r+2 项的二项式系数相等。

(1)求 r 的值;(2)写出展开式中的第 4r 项和第 r+2 项。 20、(13 分)一个口袋里有 4 个不同的红球,6 个不同的白球。 (1)从中任取 4 个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种? (2)若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,从中任取五个球,使总分不少于 7 分的取法 有多少种? 21、(13 分)某旅行社有导游 9 人,其中 3 人只会英语,2 人只会日语,其余 4 人既会英语又 会日语。现要从中选 6 人,其中 3 人做英语导游,另外 3 人做日语导游,则不同的选择方法有多 少种? 22、(12 分)从包含甲的若干名同学中选出 4 名分别参加数学、物理、化学和英语竞赛,每名 同学只能参加一科竞赛,且任 2 名同学不能参加同一科竞赛,若甲不参加物理和化学竞赛,则共 有 72 种不同的参赛方法,问一共有多少名同学?

1 ? ? 23. ? x ? ? 的展开式的第 3 项小于第 4 项,则求 x 的取值范围 3 x? ?
24.已知 (x
log 2x

10

∶ 2 ∶ 3,这三项是第几项?若展开式的 ? 1 )n的展开式中有连续三项的系数之比为 1

倒数第二项为 112 ,求 x 的值.

18

【试题答案】
1、C 6、B 11、C 13、 2、A 7、A 12、B 14、25 15、36 16、-32 3、D 8、B 4、C 9、B 5、D 10、A

17、解:满足要求的五位数分为三类: 偶奇偶奇奇: 奇奇偶奇偶: ; 。 奇偶奇偶奇: 共有 ; (个)。

18、解:该问题可看做一个组合问题,可考虑用直接法求解。 把从共线的 4 个点中取点的多少作为分类的标准。 第一类:共线的 4 点中有两点为三角形的顶点,共有: 第二类:共线的 4 点中有一点为三角形的顶点,共有 第三类:共线的 4 点中没有点作为三角形的顶点,共有: 由分类计数原理知,共有三角形: 答:可得到 216 个不同的三角形。 19、解:(1)展开式第 4r 项的二项式系数为 式系数的性质,当且仅当 或 ,第 r+2 项的二项式系数为 ,根据二项 (个); (个); (个)。 (个)。

时它们的二项式系数相等,解得

(舍),



(2)当 r=4 时第 4r 项是 ; 第 r+2 项是 。 20、解:(1)红球的个数要大于或等于白球的个数,当红球取 4 个时取法是 个、白球取一个时取法是 ,当红球取 2 个、白球取 2 个时取法是 (种) (2)可设取红球 x 个,取白球 y 个,满足以下关系 ,当红球取 3 ,∴取法共有

得 x≥2。
19

因此可分三类:第一类红球取 2 个、白球取 3 个共有 2 个共有 种;第三类红球取 4 个、白球取 1 个共有 (种)。 21、解:只会日语的 2 人都出场,有 只会日语的 2 人都不出场,有 种。

种;第二类红球取 3 个、白球取 种。因此所有取法有

种;只会日语的 2 人有 1 人出场,有

种;

∴共有 22、解:设共有 n 名同学,首先从这 n 名同学中选出 4 人。 然后再分别参加竞赛,按同学甲进行分类:

种选择方法。

第一类,不选甲,则从剩下的 n-1 名同学中选出 4 人分别参加 4 种竞赛,有 式; 第二类:选甲,首先安排甲,有 3 科竞赛,有 种方法,共有

种参赛方

种方法,再从剩下的 n-1 名同学中选出 3 人参加剩下的 种参赛方式。 种方法,根据题意,得

所以根据分类计数原理,一共有 ,解得 n=5

1 ? ? 23. 解:使 ? x ? ? 有意义,必须 x ? 0 ; 3 x? ?
?1? ?1? 3 7 (x )? C (x ) 依题意,有 T3 ? T4 ,即 C ?? ? ?. 10 3 3 x ?x ? ? ?
2 10 8 2 3

10



10 ? 9 10 ? 9 ? 8 1 x? ? (∵ x ? 0 ) . 2 ? 1 3 ? 2 ? 1 3x
85 648 . 9

解得 0 ? x ?

x 0?x? ∴ x 的取值范围是 ? ?
∴应填: 0? x ?

?

? 85 648 ?. 9 ?

85 . 648 9

20

24. 解 : 设 连 续 三 项 是 第 k 、 k ? 1 、 k ? 2 项 ( k ? N? 且 k ? 1 ), 则 有
k ? 1 k k ? 1 C C ∶ C 1 ∶ 2 ∶ 3 , n∶ n n ?



n ! n ! n ! . ∶ ∶ ? 1 ∶ 2 ∶ 3 ( k ? 1 )( n ? k ? 1 ) ! k ! ( n ? k ) ! ( k ? 1 )( n ? k ? 1 ) !
1 1 1 ∶ ∶ ? 1 ∶ 2 ∶ 3 . ( n ? k )( n ? k ? 1 ) k ( n ? k ) k ( k ? 1 )



k(n?k) 1 ? k 1 ? ? ? ? ? (n?k)( n?k? 1 ) 2 ? n?k? 1 2 ? ? ∴? ? 1 ) 2 1 ) 2 ? k(k? ? (k? ? ? ? ? k (n?k) 3 3 ? ? (n?k)
, k ? 5 所求连续三项为第 5 、 6 、 7 三项. ? n ? 14

x 又由已知, C 14

lo g x 13 2

log x ? 112 .即 x 2 ?8.

? ? 3, )? 3 两边取以 2 为底的对数, (log , log 2x 2x
2

∴ x ? 2 ,或 x ? 2? 3 .
3

随机事件与概率
新课标要求 1、理解事件,必然事件、不可能事件,随机事件、互斥事件、对立事件等概念。 2、会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。 3、理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布, 能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布 有关的概率的计算。 5、了解离散型随机变量的期望、方差与标准差的定义;并会利用它们的定义解决一些实际问题. 6、会根据离散型随机变量的分布列求出其期望与方差. 高考分析及预测 本讲内容在高考中所占比重不大,纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求 降低,但试题中具有一定的灵活性、机动性。 预测 09 年高考: (1)对于理科生来讲,对随机事件的考察,结合选修中排列、组合的知识进行考察,多以选择题、 填空题形式出现; (2)对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主,而以实际应用题出现的形 式多以选择题、填空题为主。 教学重点:离散型随机变量的分布列的概念 教学难点:求离散型随机变量的期望与方差 知识导学:
21

一、掌握随机事件的关系和运算。 1、 事件间的关系是指:事件的包含、相等、互斥、互逆关系。 2、 事件的运算是指:事件的和、积、差、逆。 要特别注意下述性质:

A ? B ? A ? AB , A? B ? A? B ,

A ? AB ? AB AB ? A ? B

二、理解概率的概念,掌握概率的性质,理解条件概率。 1、 概率是随机事件发生的可能性大小的度量。 包括主观概率 、 客观概率。 2、 概率的性质: ?0 (1) 非负性: P(A)

?1 , (2) 规范性: P(?)

P(?) ?0

(3) 可列可加性: 若A1,A2, ??两两互斥,则 P(

? Ai ) ? ? P( Ai )
i ?1 i ?1

?

?

? 3、 对事件 A、 B, 若 P(B)> 0 ,则 P(A B)

P(AB ) 为事件 B 发生的条件下 A 发生的概率。 P(B)

注意: P(A B) 与 P(A)及P(AB) 的联系和区别。 三、了解古典概型的条件,会求解简单的古典概型问题。 1、 古典概型的条件: (1) 有限性:随机试验的全部结果是有限个基本事件。 (2) 等可能性:每个基本事件发生的概率均等。 2、 古典概型的概率公式:

P( A ) ?

m n

m 是 A 所包含的基本事件个数,n 是基本事件总数。 四、熟练掌握概率的加法公式和乘法公式,掌握全概率公式。 ? P(A) ? P(B) ? P(AB ) (1) 加法公式: P(A ? B) 特别地,当 AB ? ? 时 (2) 乘法公式: 若 P(A1)>0 ,则 P(A1 A2) ? P(A1)P(A2 A1) 若 P(A1 A2)>0 ,则 P(A1 A2 A3) ? P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1 A2) (3) 全概率公式: 若 事件 A1,A2, ??,An 两两互斥, 且

P(A ? B) ? P(A) ? P(B)

?A
i ?1

n

i

? ? , P( Ai )>0,(i ? 1,2,??,n) ,则

22

P(B) ? ? P( Ai ) P( B Ai )
i ?1

n

五、理解事件独立性的概念,会求解简单的伯努里概型问题。 ? P(A)P(B) 1、 对两个事件 A、B,若 P(AB ) ,则称事件A与B相互独立。 2、 性质: (1) 必然事件与任何事件独立,不可能事件与任何事件独立。 (2) 若事件A与B相互独立,且 P(A)> 0,P(B)> 0 ,则

P(B A) ? P(B) ,

P(A B) ? P(A)

(3) 若事件A与B相互独立,则A与 B 相互独立, A 与B相互独立, A 与 B 相互独立。 3、 n 重伯努里概型:

? ? ;这一试验在相同的条件下独立重复 n 若一次实验的结果有两个:A和 A ,且 P(A)
次,则称此为 n 重伯努里概型。 n 重伯努里概型中结果A恰出现 k 次的概率为
k k Pn (k ) ?C n ? (1 ? ? ) n?k 。

六、期望 (1)概念 若离散型随机变量ξ 的概率分布为

则称 Eξ = x1p1+x2p2+…+xnpn+… 为ξ 的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称 期望,它反映了离散型随机变量取值的 平均水平. (2)性质 ①E(C)= C (C 为常数). ②若ξ 是随机变量,η =aξ +b,则 E(aξ +b)= aEξ +b . (3)Eξ 是一个实数,由ξ 的分布列唯一确定,即作为随机变量的ξ 是可变的,可取不同的值,而 E ξ 是不变的,它描述ξ 取值的平均状态 2.方差 如果离散型随机变量ξ 所有可能取的值是 x1, x2, …, xn, …, 且取这些值的概率分别是 p1, p2, …, pn,…,设 Eξ 是随机变量ξ 的期望,那么把 Dξ = (x1-Eξ )2· p1+(x2-Eξ )2· p2+…+(xn-E ξ )2· pn+…叫做随机变量ξ 的均方差,简称方差. 的算术平方根叫做随机变量ξ 的 标

准差,记作σ ξ .随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程 度.其中标准差与随机变量本身有相同的单位。

23

1.离散型随机变量的期望和方差 求离散型随机变量期望和方差的方法: (1)定义法:写出随机变量的分布列,用期望和方差的定义求解. (2)性质法:利用性质:E(aξ +b)=aEξ +b D(aξ +b)=a2Dξ 求解; (3)公式法:利用两点分布、二项分布的期望和方差公式求解. 2.期望和方差的性质 E(aξ +b)=aEξ +b E(ξ +η )=Eξ +Eη D(aξ +b)=a2Dξ 3.二项分布的期望和方差 若ξ ~B(n,p),则 Eξ =np,Dξ =np(1-p). 4.对于应用问题,首先要审好题,把实际问题转化为数学问题,设出随机变量,求出分布列,利 用定义计算随机变量的期望和方差. 例1、设有一批产品,其中 820 件是正品,180 件是次品,从中依次抽取 2 件,2 件都是次品的概 率是多少? 解:令 Ai ? 第i次抽到的是次品 因为

?

?

i ? 1,2

则所求概率为 P( A1 A2 )

P ( A1 ) ?

180 , 1000

P( A2 A1 ) ?

179 , 999

应用乘法公式可得:

P(A1 A2) ? P(A1)P(A2 A1)
? 180 179 ? ? 0.03225 1000 999

(i ? 1,2,3,4,5) ? 例2、有一张电影票,五个人依次抓阄,问第 i 个人得电影票的概率是多少
解:设 Ai ? 第i个人得到电影票 , i ? 1,2,3,4,5 则

?

?

P ( A1 ) ?

1 , 5

P ( A1 ) ?

4 。 5

若第 2 个人抓到票的话,必须第 1 个人没有抓到票,因此

P(A2) ? P(A1 A2) ? P(A1)P(A2 A1)
24

?

4 1 1 ? ? 5 4 5

若第 3 个人抓到票的话,必须第 1,2 个人没有抓到票,因此

P(A3) ? P(A1 A2 A3) ? P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1 A2)
?
类似地可得

4 3 1 1 ? ? ? 5 4 3 5 P ( A5 ) ? 1 5

P ( A4 ) ?

1 , 5

例3、设 1000 个男人中有 5 个色盲者,而 10000 个女人中只有 25 个色盲者。某社区有 3000 个男 人,2000 个女人,任检查一人,求此人是色盲的概率。 解:设 A1 ? 检查的人是男人 , 则 A1与A2 互斥 ,且 A1 ? A2 ? ?

?

?

? A2 ? ?检查的人是女人
2000 2 ? 。 5000 5

P(A1) ?

3000 3 ? , 5000 5

P(A2) ?

设 B ? 检查的人是色盲 , 则

?

?

P(B A1) ?
由全概率公式有

5 1 ? , 1000 200

P(B A2) ?

25 1 ? 10000 400

P(B) ? P(A1)P(B A1) ? P(A2)P(B A2)
? 3 1 2 1 ? ? ? ? 0.004 5 200 5 400

(2010 上海文数)10. 从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取 2 张,则“抽出的 2 张均为红 桃”的概率 为
3 (结果用最简分数表示) 。 51

2 C13 3 解析:考查等可能事件概率“抽出的 2 张均为红桃”的概率为 2 ? C52 51

(2010 湖南文数)11.在区间[-1,2]上随即取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为



1 【答案】 3
【命题意图】本题考察几何概率,属容易题。 (2010 辽宁文数) (13)三张卡片上分别写上字母 E、E、B,将三张卡片随机地排成一行,恰 好排成英文单词 BEE 的概率为 。 解析:填

1 3

题中三张卡片随机地排成一行,共有三种情况: BEE , EBE , EEB ,?概率为: .

1 3

(2010 重庆文数) 加工某一零件需经过三道工序, 设第一、 二、 三道工序的次品率分别为

1 1 、 、 70 69
25

1 ,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为____________ . 68
解析:加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率 p ? 1 ?

69 68 67 3 ? ? ? 70 69 68 70

(2010 重庆理数) (13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中 一次的概率为

16 ,则该队员每次罚球的命中率为____________. 25 16 3 2 解析:由 1 ? p ? 得p? 25 5
(2010 福建文数)将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图。若第一组至第六 组数据的频率之比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 等于 【答案】60 【 解 析 】 设 第 一 组 至 第 六 组 数 据 的 频 率 分 别 为 2 x,3x, 4 x,6 x, 4 x, x , 则 。

1 2 3 4 , , ,所以前三组数据的频率分别是 , 20 20 20 20 2n 3n 4n ? ? 故前三组数据的频数之和等于 =27,解得 n=60。 20 20 20
2 x ? 3x ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? ,解得 x ?1 x ?
【命题意图】本小题考查频率分布直方图的基础知识,熟练基本公式是解答好本题的关键。 (2010 湖北文数)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9.则服用这咱新药的 4 个病人中至 少 3 人被治愈的概率为_______(用数字作答) 。 【答案】0.9744
3 3 【解析】分情况讨论:若共有 3 人被治愈,则 P 1 ? C4 (0.9) ? (1 ? 0.9) ? 0.2916 ;

若共有 4 人被治愈,则 P2 ? (0.9)4 ? 0.6561 ,故至少有 3 人被治愈概率 P ? P 1 ? P 2 ? 0.9744 (2010 湖南理数)11.在区间 上随机取一个数 x,则 的概率为

(2010 湖南理数)已知一种材料的最佳入量在 110g 到 210g 之间。若用 0.618 法安排实验,则第 一次试点的加入量可以是 g

26

(2010 安徽理数)甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A 1, A 2和A 3 表示由甲罐取出的球是红球,白 球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结 论中正确的是________(写出所有正确结论的编号) 。 ① P ? B? ?

2 ; 5

② P ? B | A1 ? ?

5 ; 11

③事件 B 与事件 A 1 相互独立;

④ A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件; 关 【答案】.②④

⑤ P ? B ? 的值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中哪一个发生有

【解析】易见 A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件,而

P( B) ? P ? B | A1 ? ? P ? B | A2 ? ? P ? B | A3 ? ?

5 5 2 4 3 4 9 ? ? ? ? ? ? 。 10 11 10 11 10 11 22

【方法总结】本题是概率的综合问题,掌握基本概念,及条件概率的基本运算是解决问题的关键. 本 题 在 A1 , A ,2 A 是 两 两 互 斥 的 事 件 , 把 事 件 3 B 的 概 率 进 行 转 化

P(B) ? P ? B | A1 ? ? P ? B | A2 ? ? P ? B | A3 ? ,可知事件 B 的概率是确定的.
(2010 湖北理数)某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?
P

7 x

8 0.1 .

9 0.3

10 y

已知 ? 的期望 E ? =8.9,则 y 的值为 【答案】0.4 【解析】由表格可知: x ? 0.1 ? 0.3 ? y ? 9, 联合解得 y ? 0.4 .

7 x ? 8 ? 0.1 ? 9 ? 0.3 ? 10 ? y ? 8.9

(2010 福建理数)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答 出两个问题,即停止答题,晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ,且每个 问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 。 【答案】0.128
27

4 【解析】由题意知,所求概率为 C5 ? 0.82 ? 0.2 =0.128 。

2

【命题意图】本题考查独立重复试验的概率,考查基础知识的同时,进一步考查同学们的分析问 题、解决问题的能力。 (2010 江苏卷)盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜 色不同的概率是_ __. [解析]考查古典概型知识。 p ? 3 ? 1
6 2

(2010 浙江理数)如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而 下落 A 或 B 或 C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能 性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小 球落到 A,B,C,则分别设为 l,2,3 等奖. (I)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%, 90%. 记随变量 ? 为获得 k(k=1,2,3)等奖的折扣率,求随机变 量 ? 的分布列及期望 E? ; (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动, 记随机变量? 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次, 求 P(? ? 2) . 解析:本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念,同时考 查抽象概括、运算求解能力和应用意识。 (Ⅰ)解:由题意得ξ 的分布列为

3 16 3 3 7 3 则Ε ξ = ×50%+ ×70%+ 90%= . 16 8 16 4
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,获得 1 等奖或 2 等奖的概率为

ξ p

50%

70%

90%

3 8

7 16

3 3 9 + = . 16 8 16

9 ) 16 9 2 9 1701 2 则 P(η =2)= C3 ( ) (1)= . 16 16 4096
由题意得η ~(3, (2010 湖南文数) 为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若干人组成研 究小组、有关数据见下表(单位:人)

28

(I) (II)

求 x,y ; 若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这二人都来自高校 C 的概率。

(2010 全国卷 2 理数) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流能通过 T1,T2,T3 的概 率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知 T1,T2,T3 中至少有 一个能通过电流的概率为 0.999. (Ⅰ)求 p; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (Ⅲ) ? 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的元件个数,求 ? 的期望.

【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望, 考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】

29

【点评】概率与统计也是每年的必考题,但对考试难度有逐年加强的趋势,已经由原来解答题的 前 3 题的位置逐渐后移到第 20 题的位置,对考生分析问题的能力要求有所加强,这应引起高度重 视. (2010 全国卷 2 文数) (20) (本小题满分 12 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T 1 ,T 2 ,T 3 ,T 4 ,电源能通过 T 1 ,T 2 , T 3 的概率都是 P,电源能通过 T 4 的概率是 0.9,电源能否通过各元件相互独立。已知 T 1 ,T 2 , T 3 中至少有一个能通过电流的概 率为 0.999。 (Ⅰ)求 P; (Ⅱ) 求电流能在 M 与 N 之间通 过的概率。 【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率, (1)设出基本事件,将要求事件用基本事件的来表示,将 T1,T2,T3 至少有一个能通过电流用 基本事件表示并求出概率即可求得 P。 (2)将 MN 之间能通过电流用基本事件表示出来,由互斥事件与独立事件的概率求得。 (2010 江西理数)18. (本小题满分 12 分) 某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随机(即等 可能)为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3 号通道,则分
30

别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过 的通道, ... 直至走完迷宫为止。令 ? 表示走出迷宫所需的时间。 (1) 求 ? 的分布列; (2) 求 ? 的数学期望。 【解析】考查数学知识的实际背景,重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随 机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 (1) 必须要走到 1 号门才能走出, ? 可能的取值为 1,3,4,6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 P (? ? 1) ? , P(? ? 3) ? ? ? , P(? ? 4) ? ? ? , P(? ? 6) ? A2 ( ? ) ?1 ? 3 3 2 6 3 2 6 3 2 3
分布列为:

?
P

1

3

4

6

1 3

1 6

1 6

1 3

(2) E? ? 1?

1 1 1 1 7 ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 小时 3 6 6 3 2

(2010 重庆文数) (17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 在甲、 乙等 6 个单位参加的一次 “唱读讲传” 演出活动中, 每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2,??,6) ,求: (Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率; (Ⅱ)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

(2010 重庆理数) (17) (本小题满分 13 分, (I)小问 5 分, (II)小问 8 分) 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若 采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2,……6) ,求: (I)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; (II)甲、乙两单位之间的演出单位个数 ? 的分布列与期望。
31

(2010 山东文数) (19) (本小题满分 12 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一 个球,该球的编号为 n,求 n ? m ? 2 的概率.

(2010 北京理数)(17)(本小题共 13 分) 某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4 ,第二、第三 5

门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记 ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为
32

ξ

0

1

2

3

p

6 125

a

d

24 125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的值; (Ⅲ)求数学期望 E ξ。 解:事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩” , i =1,2,3,由题意知

P ( A1 ) ?

4 , P( A2 ) ? p , P( A3 ) ? q 5

(I)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ ? ? 0 ”是对立的,所以该生至 少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是

1 ? P(? ? 0) ? 1 ?
(II)由题意知

6 119 ? , 125 125

1 6 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? (1 ? p)(1 ? q) ? 5 125 4 24 P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? pq ? 5 125 6 , p ? q ?1 125 3 2 由 p ? q ,可得 p ? , q ? . 5 5
整理得

pq ?

(III)由题意知 a ? P(? ? 1) ? P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1A 2A 3) =

4 1 1 (1 ? p)(1 ? q) ? p(1 ? q) ? (1 ? p)q 5 5 5 37 ? 125

b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3)
=

58 125

E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2P(? ? 2) ? 3P(? ? 3)
=

9 5

(2010 四川理数) (17) (本小题满分 12 分) 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有 “奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
33
1 6

(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (Ⅱ)求中奖人数ξ 的分布列及数学期望 Eξ . 解: (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么 P(A)=P(B)=P(C)=
1 6
1 5 2 6 6 25 216 25 ??????????????6 分 216

P( A?B? C )=P(A)P( B )P( C )= ?( ) ?

答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 (2)ξ 的可能值为 0,1,2,3 P(ξ =k)= C3 ( ) ( ) ξ P Eξ =0×
k

1 6

k

5 6

3? k

(k=0,1,2,3)

所以中奖人数ξ 的分布列为 0
125 216

1
25 72

2
5 72

3
1 216

1 125 25 5 1 +1× +2× +3× = ??????????????????12 分 216 72 72 216 2

(2010 天津文数) (18) (本小题满分 12 分) 有编号为 A 1 , A 2 ,? A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm) ,得到下面数据: 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品。

(Ⅰ)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率。本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事 件数及事件发生的概率等基础知识,考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能 力。满分 12 分 【解析】 (Ⅰ)解:由所给数据可知,一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中,随机抽取一个

6 3 为一等品”为事件 A,则 P(A)= 10 = 5 .
(Ⅱ) (i)解:一等品零件的编号为 2 个,所有可能的结果有:

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 .从这 6 个一等品零件中随机抽取

?A1, A2?,?A1, A3?,?A1, A4? , ?A1, A5?,?A1, A6? , ? A2 , A3? ,
34

? A2 , A4?,?A2 , A5? , ?A2 , A6?,?A3 , A4?,?A3 , A5? , ?A3 , A6?,?A4 , A5?,?A4 , A6? , ? A5 , A6? 共有 15 种.

(ii)解: “从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等” (记为事件 B)的所有可能结果 有:

?A1, A4?,?A1, A6?,?A4 , A6? , ?A2 , A3?,?A2 , A5?,?A3 , A5? ,共有 6 种.
6 2 ? 所以 P(B)= 15 5 .

(2010 天津理数) (18).(本小题满分 12 分) 某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击的结果互不影响。 3

(Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率 (Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率; (Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射击中, 若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记 ? 为 射手射击 3 次后的总的分数,求 ? 的分布列。 【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相 互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力,满分 12 分。 (1)解:设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X ~ B ? 5, ? .在 5 次射击中,恰有 2 次 击中目标的概率

? ?

2? 3?

40 ? 2? ? 2? P( X ? 2) ? C52 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 243
(Ⅱ)解:设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai (i ? 1, 2,3, 4,5) ; “射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A ,则

2

2

P( A) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 )
? 2? ?1? 1 ? 2? 1 ?1? ? 2? = ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3? ? 3? 3 ? 3? 3 ? 3? ? 3?
=
3 2 3 2 3

8 81

(Ⅲ)解:由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3,6

1 ?1? P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27

3

35

P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A 2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )
2 ?1? 1 2 1 ?1? 2 2 = ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? 3 3 3 ?3? 3 9
2 1 2 4 P(? ? 2) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? 3 3 3 27
2 2

8 ? 2? 1 1 ?1? P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 27 8 ?2? P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27
所以 ? 的分布列是
3

2

2

(2010 广东理数)17.(本小题满分 12 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情 况, 随即抽取该流水线上 40 件产品作为样本算出 他们的重量(单位:克)重量的分组区间为 (490, 495? , (495, 500? ,……(510, 515? ,由 此得到样本的频率分布直方图,如图 4 所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率.

36

(2010 广东文数)17.(本小题满分 12 分) 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相 关的数据如下表所示: 文艺节目 20 至 40 岁 大于 40 岁 总计 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100

(2010 福建文数)18. (本小题满分 12 分) 设平顶向量 am = ( m , 1), bn = ( 2 , n ),其中 m, n ? {1,2,3,4}. (I)请列出有序数组( m,n )的所有可能结果; (II)记“使得 am ? ( am - bn )成立的( m,n ) ”为事件 A,求事件 A 发生的概率。

37

(2010 全国卷 1 理数)(18)(本小题满分 12 分) 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3. 各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望.

(2010 四川文数) (17) (本小题满分 12 分) 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有 “奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 (Ⅰ)求三位同学都没有中奖的概率; (Ⅱ)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.
1 6

38

P(? =4)=

3 1 2 1 1 2 3 1 1 11 ? ? + ? ? ? ? = , 4 2 3 4 2 3 4 2 3 24

所以 ? 的分布列为

?
P (? )

2

3

4

1 8 1 10 11 10 数学期望 E? = 2 ? + 3 ? +4 ? = 。 8 24 3 24

10 24

11 24

【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数 学期望的知识,考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。 (2010 湖南理数)17. (本小题满分 12 分) 图 4 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频率分布直方图 (Ⅰ)求直方图中 x 的值 (II)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样) ,求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望。

39

(2010 福建理数)

?
P 所以 E? = 0 ?

0

1

4

9

1 6

1 3

1 3

1 6

1 1 1 1 19 ? 1? ? 4 ? ? 9 ? ? 。 6 3 3 6 6
40

(2010 安徽理数)21、 (本小题满分 13 分)

品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出 n 瓶外观相同但 品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再 让其品尝这 n 瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排 序的偏离程度的高低为其评为。 现设 n ? 4 , 分别以 a1 , a2 , a3 , a4 表示第一次排序时被排为 1,2,3,4 的四种酒在第二次排序时的 序号,并令

X ? 1? a1 ? 2 ? a2 ? 3 ? a3 ? 4 ? a4 ,
则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述。 (Ⅰ)写出 X 的可能值集合; (Ⅱ)假设 a1 , a2 , a3 , a4 等可能地为 1,2,3,4 的各种排列,求 X 的分布列; (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有 X ? 2 , (i)试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立) ; (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由。

(2010 江苏卷)22.本小题满分 10 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率为 20%;乙产品的一等品率为 90%,二等品率为 10%。生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若是二等品则亏损 1
41

万元;生产 1 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等品则亏损 2 万元。设生产各种 产品相互独立。 (1)记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列; (2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。 [解析] 本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解能力。满分 10 分。 解: (1)由题设知,X 的可能取值为 10,5,2,-3,且 P(X=10)=0.8×0.9=0.72, P(X=2)=0.8×0.1=0.08, 由此得 X 的分布列为: X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 -3 0.02 P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=-3)=0.2×0.1=0.02。

(2)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4 ? n 件。 由题设知 4n ? (4 ? n) ? 10 ,解得 n ? 又 n ? N ,得 n ? 3 ,或 n ? 4 。
3 所求概率为 P ? C4 ? 0.83 ? 0.2 ? 0.84 ? 0.8192

14 , 5

答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。

统计
考纲导读 1.了解随机抽样,了解分层抽样的意义. 2.会用样本频率分布估计总体的概率分布. 3.会用样本平均数估计总体期望,会用样本的方差、标准差估计总体方差、标准差. 知识网络 统计

抽样的方法

总体分布估计

总体期望值 和方差的估计

简单随机抽样

分层抽样 频率分布条形 图 频率分布直方 图

抽签法

随机数表法

高考导航 “统计”这一章,是初中数学中的“统计初步”的深化和拓展.要求主要会用随机抽样,分 层抽样的方法从总体中抽取样本,并用样本频率分布估计总体分布.本章高考题以基本题(中、
42

低档题)为主,每年只出一道填空题,常以实际问题为背景,综合考查学生应用基础知识解决实 际问题的能力.高考的热点是总体分布的估计和抽样方法.知识的交汇点是排列、组合、概率与 统计的解答题.

第 1 课时
基础过关

抽样方法与总体分布估计

1.总体、样本、样本容量 我们要考察的对象的全体叫做_总体_,其中每个考察的对象叫_个体_.从总体中抽出的一部分个 体叫做样本_,样本中个体的数目叫做_样本容量__. 2.简单随机抽样 设一个总体由 N 个个体组成,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时,各个 个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样. 3.分层抽样 当已知总体由_______的几部分组成时,为了使样本更能充分地反映总体的情况,常将总体分成几 个部分,然后按照各部分所占的_______进行抽样,这种抽样叫做_______.其中所分成的各个部 分叫做_______. 4.总体分布和样本频率分布 总体取值的_______分布规律称为总体分布. 样本频率分布_______称为样本频率分布. 5.总体分布估计: 总体分布估计主要指两类.一类是用样本的频率分布去估计总体(的概率)分布.二类是用样本 的某些数字特征(例如平均数、方差、标准差等)去估计总体的相应数字特征. 6.频率分布条形图和直方图: 两者都是用来表示总体分布估计的. 其横轴都是表示总体中的个体. 但纵轴的含义却截然不同. 前 者纵轴(矩形的高)表示频率;后者纵轴表示频率与组距的比,其相应组距上的频率等于该组距 上的矩形的面积. 7.总体期望值 指总体平均数. 典型例题 例 1. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个,120 个,180 个,150 个销售点,公司为 了调查产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为①; 在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务等情况, 记这项调 查为②;则完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是 ( ) A.分层抽样,系统抽样 B.分层抽样,简单随机抽样法 C.系统抽样,分层抽样 D.简单随机抽样法,分层抽样法 解:B 变式训练 1:某单位有职工 100 人,不到 35 岁的有 45 人,35 岁到 49 岁的有 25 人,剩下的为 50 岁以上的人,用分层抽样的方法从中抽取 20 人,各年龄段分别抽取多少人( ) A.7,5,8 B.9,5,6 C.6,5,9 D.8,5,7 解:B ? 样本容量与总体个数的比为 20:100=1:5 ? 各年龄段抽取的人数依次为:
43

1 1 49 ? ? 9, 25 ? ? 5, 20 ? 9 ? 5 ? 6 (人) 5 5

例 2. 一批产品有一级品 100 个,二级品 60 个,三级品 40 个,分别采用系统抽样和分层抽样, 从这批产品中抽取一个容量为 20 的样本。 解:(1)系统抽样方法:将 200 个产品编号 1,2,?,200,再将编号分为 20 段,每段 10 个编号, 第一段为 1 ~ 10 号,?,第 20 段为 191 ~ 200 号.在第 1 段用抽签法从中抽取 1 个,如抽取了 6 号,再按预先给定规则,通常可用加间隔数 10,第二段取 16 号,第三段取 26 号,?,第 20 段 取 196 号,这样可得到一个容量为 20 的样本. (2)分层抽样方法:因为样本容量与总体的个体数的比为 20:200=1:10,所以一、二、三级品中分 别抽取的个体数目依次是 100 ?
1 1 1 ,60 ? , 40 ? 10 10 10

,即 10,6,4.

将一级品的 100 个产品按 00,01,02,?,99 编号,将二级品的 60 个产品按 00,01,02,?, 59 编号,将三级品的 40 个产品按 00,01,02,?,39 编号,采用随机数表示,分别抽取 10 个, 6 个,4 个.这样可得容量为 20 的一个样本. 变式训练 2:在 100 个产品中,一等品 20 个,二等品 30 个,三等品 50 个,用分层抽样的方法抽 取一个容量为 20 的样本. (1)简述抽样过程; (2) 用这种抽样方法可使总体中每个个体被抽到的概率是多少? 解:先将产品按等级分成三层,每一层:一等品 20 个,第二层:二等品 30 个,第三层:三等品
2 3 5 50 个,然后确定每一层抽取样品数.因为 20:30:50=2:3:5, ? 20 ? 4, ? 20 ? 6, ? 20 ? 10 . 10 10 10

所以在第一层中抽取 4 个,第二层中抽取 6 个,第三层中抽取 10 个.最后用简单随机抽样方法在 第一层中抽 4 个,第二层中抽 6 个,第三层中抽 10 个. (2)一等品被抽到的概率为
4 1 6 1 ? ,二等品被抽到的概率为 ? ,三等品被抽到的概率为 20 5 30 5

10 1 20 1 ? ,即每个个体被抽到的概率都是 ? 100 5 50 5

例 3. (2004 年高考-江苏) 某校为了了解学生的课外阅读情况 ,随机调查了 50 名学生,得到阅读所用时间的数据结果用条形图 20 表示如下,根据条形图,问这 50 名学生这一天平均每人的课外 10 5 阅读时间为多少? 0 0.5 1.0 1.5 2 解:由条形图知,在调查的 50 名同学中课外阅读时间 为 0h, 0.5h, 1.0h, 1.5h, 2.0h 的人分别为 5 人,20 人,10 人,10 人,5 人. 5? 0.9( h) h) 所以这一天中平均每人的课外阅读时间为 (5 ? 0 ? 20 ? 0.5 ? 10 ?1.0 ? 10 ?1.5 ? 5 ? 2.0) ?50 = 0.9( 变式训练 3:观察下面的频率分布表 分组 频数 频率 [3.95, 4.35) 2 [4.35, 4.75) 4 [4.75, 5.15) 14 [5.15, 5.55) 25 [5.55, 5.95) 45 [5.95, 6.35) 46 [6.35, 6.75) 39 [6.75, 7.15) 20 [7.15, 7.55) 4 [7.55, 7.95) 1
44

合计

200

(1) 完成上面的频率分布表 (2) 根据上表,画出频率分布直方图 (3) 根据表和图估计数据落在[4.75,7.15)范围内的概率约是多少?数据小于 7.00 的概率约是 多少? 解:(1) (略) (2)频率直方图(略) (3)根据上面的表和图可以估计,数据落在[4.75,7.15)内 的概率约为 0.945,数据小于 7.00 的概率约为 0.9375 例 4. 某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,以每人被抽取 的概率为 0.2,向该中学抽取一个容量为 n 的样本,求 n 的值. 解:一年级,二年级,三年级人数总和为 400+320+280=1000(人),则 n ? 0.2 ? n ? 200
1000

变式训练 4:一个总体有 6 个个体,要通过逐个抽取的方法从中抽取一个容量为 3 的样本,求: (1)每次抽取时各个个体被抽到的概率; (2)指定的个体 a 在三次抽取时各自被抽到的概率; (3)整个抽样过程中个体 a 被抽到的概率; 解:

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小结归纳 1.两种抽样方法的比较: 类别 共同点 不同点 联 系 适用范围 简单 从总体 抽样过 随机 中逐个 总体中的个体数较少 程中每 抽样 抽取 个个体 将总体 各层抽样时采用简单随机抽样 被抽取 分层 分成几 的概率 总体由差异明显的几部分组成 抽样 层进行 相等 抽取 2.简单随机抽样是一种不放回抽样,所取的样本没有被重复抽取的情况.分层抽样,分层时不要 求均分,但抽样时,要按各层中个体总数的比例在各层中抽取个体.以上两种抽样都是一种等概 率抽样(即抽样方法的公平性) .这种等概率抽样包含有两层含义,其一、每次从总体中抽取一个 个体时,各个个体被抽取的概率是相等的.其二、在整个抽样过程中,各个个体被抽取到的概率 相等. 3.注意以下几个概念的区别与联系:频数、频率、概率. 4.频率分布条形图是用高度来表示概率的,而概率分布直方图是用面积来表示概率的. 5.统计内容的实践性较强,其重点是如何用样本频率分布去估计总体分布,难点是对频率分布直 方图的理解和应用.

第 2 课时
基础过关

总体特征数的估计

1.在统计学中,我们是用样本的数字特征来估计总体相应的数字特征的. 2.样本平均数(也称样本期望值) x 1 1 n (1) x ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? ? xi 反映的是这组数据的平均水平. n n i ?1 (2)当 x1 , x2 ,?, xn 数值较大时,可将各个数据同时减去一个适当的数 a ,得 x1? ? x1 ? a, x2? = ? x2 ? a,?, xn? ? xn ? a
x1? ? x1 ? a, x2? ? x2 ? a,?, xn? ? xn ? a ,那么 x ? x? ? a

(3)如果 n 个数据中, x1 出现 n1 次, x2 出现 n2 次,?, xk 出现 nk 次,那么:

x1n1 ? x2 n2 ? ? ? xk nk n ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn x?
这里 n ? n1 ? n2 ?? nk 3.方差(1) S 2 ?
1 n ? xi ? x n i ?1

?

?

2

46

S 2 , S (S ? 0) 分别称为数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差和标准差,它们反映的是数据的稳定与波动,集中

与离散的程度.
2 1 2 2 2 (2) S 2 ? [( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? nx ] n (3) x1 , x2 ,?, xn 数值较大时,可以将各数据减去一个恰当的常数 a,得到 2 1 ?2 ? x2 ?2 ? ? ? xn ?2 )] ? nx? x1? ? x1 ? a, x2? ? x2 ? a,?, xn? ? xn ? a, 则 S 2 ? [( x1 n

典型例题 例 1.某班 40 人随机平均分成两组,两组学生一次考试的成绩情况如下表: 统计量 级别 第一组 第二组 平均 90 80 标准差 6 4

求全班的平均成绩和标准差. 解:设第一组 20 名学生的成绩为 xi (i ? 1, 2,? , 20) ; 第二组 20 名学生的成绩为 yi (i ? 1, 2,? , 20) ,
90 ? 80 ? 1 ( x1 ? x2 ? ? ? x20 ) 20 1 ( y1 ? y2 ? ? ? y20 ) 故全班平均成绩为: 20

1 ( x1 ? x2 ? ? ? x20 ? y1 ? y2 ? ? ? y20 ) 40 1 ? (90 ? 20 ? 80 ? 20) ? 85 40

又设第一组学生的成绩的标准差为 S1 ,第二组学生的成绩的标准差为 S2 ,则
S12 ? S2 2 ?
2 1 2 2 2 ( x1 ? x2 ? ? ? x20 ? 20 x ) 20 2 1 2 2 2 ( y1 ? y2 ? ? ? y20 ? 20 y ) 20

此处( x ? 90, y ? 80 ) 又设全班 40 名学生的标准差为 S,平均成绩为 Z (Z ? 85) 故有
S2 ? ?
2 1 2 2 2 2 2 2 ( x1 ? x2 ? ? ? x20 ? y1 ? y2 ? ? ? y20 ? 40 Z ) 40

2 2 2 1 2 (20 S12 ? 20 x ? 20 S 2 ? 20 y ? 40 Z ) 40 1 ? (62 ? 42 ? 902 ? 802 ? 2 ? 852 ) ? 51 2

S ? 51

变式训练 1:对甲乙的学习成绩进行抽样分析,各抽 5 门功课,得到的观测值如下: 甲:60 80 70 90 70 乙:80 60 70 80 75 问:甲乙谁的各科平均成绩好?谁的各门功课发展较平衡? 解:x甲 ? 74
x乙 ? 73
2 S甲 ? 104 2 S乙 ? 56 2 2 因为 x甲 ? x乙 ,S甲 . 所以甲的平均成绩较好, ? S乙

47

乙的各门发展较平衡. 例 2. 甲乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件,现在从中各抽测 10 个,它们的尺寸分别 为(单位:mm) 甲: 10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1 乙: 10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10 分别计算上面两个样本的平均数与方差.如果图纸上的设计尺寸为 10mm,从计算结果看,用 哪台机床加工这种零件较合适. 解: x甲 ? 1(10. 2+ 10. 1+ 10. 9+ ?+ 10. 1)= 10
10

x乙 ?
2 S甲 ?

1 (10.3 ? 10.4 ? 9.6 ? ? ? 10) ? 10 10

1 2 2 [ (10. 2- 10) +( 10. 1- 10) +? 10 2 +( 10. 1- 10) ] = 0. 228
1 [(10.3 ? 10)2 ? (10.4 ? 10)2 10 ?? ? (10 ? 10)2 ] ? 0.06
2 S乙 ?

2 2 ? x甲 ? x乙 ? 10 , S甲 ? S乙

所以乙比甲稳定,用乙较合适. 变式训练 2:假定下述数据是甲乙两个供货商的交货天数: 甲:10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 乙:8 10 14 7 10 11 10 8 15 12 估计两个供货商的交货情况,并问哪个供货商交货时间短一些,哪个供货商交货时间较具一致性 与可靠性.
x甲 ? 10.1
2 S甲 ? 0.49

x乙 ? 10.5
2 2 S乙 ? 6.05 ? S甲

从交货天数的平均值看来,甲供货商的供货天数短一些;从方差来看,甲供货商的交货天数较稳 定,因此是较具一致性与可靠性的供货商. 例 3. 个体户王某经营一家餐馆,下面是餐馆所有工作人员在某个月份的工资: 王某 3000 元 厨师 厨师 招待 招待 杂工 会计 甲 乙 甲 乙 450 元 400 元 320 元 350 元 320 元 410 元

(1)计算平均工资; (2) 计算出的平均工资能否反映帮工人员这个月收入的一般水平? (3)去掉王某工资后,再计算平均工资; (4)后一个平均工资能代表帮工人员的收入吗? (5)根据以上计算,从统计的观点看,你对(1) 、 (3)的结果有什么看法? 解:(1)平均工资 750 元; (2)因为帮工人员的工资低于平均工资,所以(1)中算出的平均工资不能反映帮工人员在这个月份 的月收入的一般水平;(3)去掉王某的工资后的平均工资 375 元;(4)(3)中计算的平均工资接近于
48

帮工人员月工资收入,所以它能代表帮工人员的收入;(5)从本题的计算可见,个别特殊值对平均 数具有很大的影响,因此在选择样本时,样本中尽量不要选特殊数据. 变式训练 3:甲乙两人在相同条件下,射靶 10 次,命中环数如下: 甲:8 6 9 5 10 7 4 8 9 5 乙:7 6 5 8 6 9 6 8 7 7 依上述数据估计 ( ) A.甲比乙的射击技术稳定 B.乙比甲的射击技术稳定 C.两人没有区别 D.两人区别不大 解:B 例 4. 为了科学地比较考试成绩,有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分,转化关系式 为:z=
x?x (其中 x 是某位同学的考试分数, x 是该次考试的平均分,s 是该次考试的标准差, s

z 称为这位学生的标准分) .转化为标准分后可能出现小数和负值,因此,又常常将 z 分数作线性 变换转化或其他分数,例如某次学生选拔考试采用的是 T 分数,试性变换公式是:T=40z+60, 已知在这次考试中某位考生的考试分数是 85,这次考试的平均分是 70,标准差是 25,则该考生 的 T 分数为多少? 解:84 分 变式训练 4:经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢” , “不喜欢”和“一般”三种态度,其 中执“一般”态度的比“不喜欢“的多 12 人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影, 如果选出的是:5 位“喜欢”摄影的同学,1 位“不喜欢”摄影的同学和 3 位执“一般”态度 的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的人数为多少? 解:设班里“喜欢”的 y 人, “一般”的 x 人, “不喜欢”的 x-12 人. ∴ 又
x ? 12 1 ? x 3 y 5 ? 18 3

∴x=18 ∴y=30

即全班“喜欢”摄影的人数为 30. 小结归纳 方差是反映稳定性程度的一个重要特征,在日常生活中常有体现,如两同学的总成绩都一样, 但是一个人有偏科现象,而另一个人没有,一般认为没有偏科现象(即方差小)的同学成绩要稳 定一些.

统计初步章节测试题
一选择题 1.某市为了分析全市 9 800 名初中毕业生的数学考试成绩,共抽取 50 本试卷,每本都是 30 份, 则样本容量是????????????????????????( ) (A)30 (B)50 (C)1 500 (D)9 800 2.有下面四种说法: (1)一组数据的平均数可以大于其中每一个数据; (2)一组数据的平均数可以大于除其中 1 个数据外的所有数据; (3)一组数据的标准差是这组数据的方差的平方; (4)通常是用样本的频率分布去估计相应总体的分布. 其中正确的有??????????????????????????( )
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(A)1 种

(B)2 种

(C)3 种

(D)4 种

3.已知样本数据 x1,x2,?,x10,其中 x1,x2,x3 的平均数为 a,x4,x5,x6,?,x10 的平均数 为 b,则样本数据的平均数为????????????????( )

a?b 3a ? 7b 7 a ? 3b a?b (B) (C) (D) 2 10 10 10 4 .已知样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差为 4 ,则数据 2x1 + 3 , 2x2 + 3 ,?, 2xn + 3 的方差
(A) 为……………………………………………………………………………………( (A)11 (B)9 (C)4 (D)16 )

5.同一总体的两个样本,甲样本的方差是 2 -1,乙样本的方差是 3 - 2 ,则(



(A)甲的样本容量小 (B)甲的样本平均数小 (C)乙的平均数小 (D)乙的波动较小 6.某校有 500 名学生参加毕业会考,其中数学成绩在 85~100 分之间的有共 180 人,这个分 数段的频率是……………………………………………………………………( ) (A)180 (B)0.36 (C)0.18 (D)500 7.某校男子足球队 22 名队员的年龄如下: 16 17 17 18 14 18 16 18 17 18 19 18 17 15 18 17 16 18 17 18 17 18 这些队员年龄的众数与中位数分别是……………………………………………( ) (A)17 岁与 18 岁 (B)18 岁与 17 岁 (C)17 岁与 17 岁 (D)18 岁与 18 岁 校六月份里 5 天的日用电量,结果如下(单位:kW) . 400 410 395 405 390 根据以上数据,估计这所学校六月份的总用电量为………………………………( (A)12 400 kW 【提示】 (B)12 000 kW (C)2 000 kW (D)400 kW



1 (400+410+395+405+390)=400,故 30×400=12000. 5

9.已知下列说法: (1)众数所在的组的频率最大; (2)各组频数之和为 1; (3)如果一组数据的最大值与最小值的差是 15,组距为 3,那么这组数据应分为 5 组; (4)频率分布直方图中每个小长方形的高与这一组的频数成正比例. 正确的说法是……………………………………………………………………( ) (A) (1) (3) (B) (2) (3) (C) (3) (4) (D) (4) 10 .近年来国内生产总值年增长率的变化情况如图.从图上看,下列结论中不正确的 是……………………………………………………………………………………( )

(A)1995 所~1999 年,国内生产总值的年增长率逐年减小 (B)2000 年国内生产总值的年增长率开始回升
50

(C)这 7 年中,每年的国内生产总值不断增长 (D)这 7 年中,每年的国内生产总值有增有减 二填空题 11. 一批灯泡共有 2 万个, 为了考察这批灯泡的使用寿命, 从中抽查了 50 个灯泡的使用寿命, 在这个问题中,总体是__________,样本容量是__________,个体是__________. 12.一个班 5 名学生参加一次演讲比赛,平均得分是 89 分,有 2 名学生得 87 分,两名学生 得 92 分,这组数据的众数是__________. 13.某次考试 A,B,C,D,E 这 5 名学生的平均分为 62 分,若学生 A 除外,其余学生的平 均得分为 60 分,那么学生 A 的得分是__________. 14.样本数据-1,2,0,-3,-2,3,1 的标准差等于__________. 15.把容量是 64 的样本分成 8 组,从第 1 组到第 4 组的频数分别是 5,7,11,13,第 5 组 到第 7 组的频率是 0.125,那么第 8 组的频数是__________,频率是__________. 16. 某班通过一次射击测试, 在甲、 乙两名同学中选出一名同学代表班级参加校射击比赛. 这 两位同学在相同条件下各射靶 5 次,所测得的成绩分别如下(单位:环) : 甲 9.6 9.5 9.3 9.4 9.7 乙 9.3 9.8 9.6 9.3 9.5 根据测试成绩,你认为应该由__________代表班级参赛. 三解答题: 17.近年来,由于乱砍滥伐,掠夺性使用森林资源,我国长江、黄河流域植被遭到破坏,土 地沙化严重,洪涝灾害时有发生.沿黄某地区为积极响应和支持“保护母亲河”的倡议, 建造了长 100 千米,宽 0.5 千米的防护林.有关部门为掌握这一防护林共约有多少棵树, 从中选出 10 块(每块长 1 千米,宽 0.5 千米)进行统计,每块树木数量如下(单位:棵) 65 100 63 200 64 600 64 700 67 300 63 300 65 100 66 600 62 800 65 500 请你根据以上数据计算这一防护林共约有多少棵树(结果保留 3 个有效数字) .

18.在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日.评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计,绘制了频率分布直方图如 下.已知从左至右各长方形的高的比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为 12,请解答 下列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比? (2)哪组上交的作品数量最多?有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,这两组哪组获奖率较高?

19.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中,各抽出 8 件产品,对其使用寿命进行跟踪 调查,结果如下(单位:年) 甲 3 4 5 6 8 8 8 10 乙 4 6 6 6 8 9 12 13 丙 3 3 4 7 9 10 11 12 三家广告中都称这种产品的使用寿命是 8 年.请根据调查结果判断厂家在广告中分别运
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用了平均数、众数、中位数中哪一种反映集中趋势的特征数.

20.已知数据 x1,x2,x3,x4,x5,其中每一个数均为非负整数且互不相等,中位数是 2, x =2. (1)求这组数据; (2)计算这组数据的标准差.

21. (15 分)某商店将甲、乙两种糖果混合销售,并按以下公式确定混合糖果的单价:单价 =

a1m1 ? a2 m2 (元/千克) ,其中 m1、m2 分别为甲、乙两种糖果的重量(千克) ,a1、 m1 ? m2

a2 分别为甲、乙两种糖果的单价(元/千克) .已知甲种糖果单价为 20 元/千克,乙种糖
果单价为 16 元/千克.现将 10 千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合(搅拌均匀)销售,售 出 5 千克后,又在混合糖果中加入 5 千克乙种糖果,再出售时,混合糖果的单价为 17.5 元/千克.这箱甲种糖果有多少千克?

统计初步章节测试题参考答案
一选择题 1. 【提示】抽取 50 本,每本 30 份,这说明什么? 【答案】C. 【点评】样本容量是样本个体的数量.注意: (A) 、 (B)错在未理解样本容量的意义, (D) 是总体中个体的数量. 2. 【提示】 (2) 、 (4)正确. 【答案】B. 【点评】本题涉及到平均数、方差、标准差、频率分布、用样本估计总体等知识点. 3. 【提示】前 3 个数据和为 3 a,后 7 个数据的和 7 b,样本平均数为 10 个数据的和除以 10. 【答案】B. 【点评】本题考查平均数的求法.注意不能把两个平均数的和相加除以 2 而误选为(A) . 2 4. 【提示】每一个数据都乘以 2,则方差变为 2 ×4=16,再把每一个数据加 3,不改变方差 的大小. 【答案】D. 5. 【提示】 2 -1=

1 1 , 3- 2= ,故 2 -1> 3 - 2 . 2 ?1 3? 2

【答案】D. 【点评】本题考查方差的意义,本题解题关键是方差的大小比较. 6. 【提示】

180 =0.36. 500

【答案】B. 7. 【答案】B. 8. 【提示】

1 (400+410+395+405+390)=400,故 30×400=12000. 5

【答案】B. 【点评】本题需用样本平均数估计总体平均数.注意本题要求的是全月的用电量. 9. 【答案】D.
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【点评】本题考查与频率分布有关的概念.判断(4)正确,是因为每一个小长方形的高等于

1 频率 = ×频数,故小长方形的高与频数成正比例. 组距 组距 ? 数据总数
10. 【提示】认真读懂统计图是关键. 【答案】D. 【点评】本题是图象阅读题,要注意分清横轴、纵轴意义还要注意本题纵轴反映的是增长率 的变化情况,而选择支中涉及的是国内生产总值. 二填空题 11. 【答案】2 万个灯泡使用寿命的全体,50,每个灯泡的使用寿命. 【点评】注意样本容量没有单位. 12. 【提示】设另一名学生得 x 分,则(92+87)×2+x=89×5,解得 x=87. 【答案】87. 【点评】本题关键是列方程求得另一名学生的成绩. 13. 【分析】设 A 得分为 x 分,其余 4 名学生得分的和为 60×4=240 分,则 240+x=62×5, x=70. 【答案】70 分. 14. 【提示】s 2=

1 (1+4+0+9+4+9+1)=4. 7

【答案】2. 【点评】求标准差一般先计算出样本方差,再取其算术平方根. 15. 【提示】64×0.125=8,故 64-5-7-11-13-8×3=4,

4 =0.062 5. 64

【答案】4,0.062 5. 【点评】注意应用各组频数之和等于样本容量、频率之和为 1 这两个性质. 16. 【提示】比较平均数与方差. 【答案】甲. 三解答题: 17【解】先计算出 x =

1 (65 100+63 200+64 600+64 700+67 300+63 300 10
+65 100+66 600+62 800+65 500)

=64 820. 于是, 可以估计这一防护林平均每块约有 64820 株树. 又 64 820×100=6 482 000≈6.48×106 (株) ,于是可以估计这一防护林大约共有 6.48×106 株树. 【点评】本例一方面要求学生有用样本估计总体的思想方法,另一方面要求学生有应用数学 的意识,这是今后中考命题发展的趋势. 18. 【解】 (1)依题意,可算出第三组的频率为

4 1 = , 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1 5
然后依据频率=

12 第三组的频数 ,知本次活动其参评的作品数= =60(件) ; 1 样本容量 5

(2)根据频率分布直方图,可看出第四组上交的作品数量最多,共有

60 ?

4 ? 18 (件) ; 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1
53

(3)易求得第四组获奖率为 第六组获奖率为

10 5 = , 18 9

2 6 = , 3 9

由此可知,第六组获奖率较高. 19. 【答案】甲:众数 乙:平均数 丙:中位数 20. 【解】 (1)因各数据互不相等,不妨设 x1<x2<x3<x4<x5,则 x3=2,故这组数据为 0, 1,2,3,4. (2)s=

1 (12+22+32+42+02-5×22)= 2 . 5

21. 【提示】本题要依题意找到其中的等量关系,列出方程以求解. 【解】设这箱甲种糖果有 x 千克,则有

20 x ? 160 (x+5)+80=17.5(x+10) . x ? 10
化简,得 2.5 x2-10 x-150=0, 即

x2-4 x-60=0.
解得

x1=10,x2=-6. 经检验,x1=10,x2=-6 都是原方程的根,但 x=-6 不合题意,舍去.
故这箱甲种糖果有 10 千克.

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