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立体几何二面角


1、如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,

(I)当λ =

时,求证 AB1 丄平面 A1BD;

(II)当二面角 A—A1D—B 的大小为 2、

-时,求实数λ 的值.

3、如图,菱形 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)若

与正三角形 平面



的边长均为 2,它们所在平面互相垂直, ; 的余弦值.

平面

,且



,求二面角

4、如图 ,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ 平面 ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E 是 PC 的中点. (1)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值. (2)求三棱锥 A-EBC 的体积. 5、在四棱锥 P﹣ABCD 中,已知 PB⊥底面 ABCD,BC⊥AB,AD∥BC,AB=AD=2,CD⊥BD, 异面直线 PA,CD 所成角等于 60° (1)求证:面 PCD⊥面 PBD; (2)求直线 PC 和平面 PAD 所成角的正弦值; (3)在棱 PA 上是否存在一点 E 使得二面角 A﹣BE﹣D 的余弦 值为 ? 6、已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形,AB∥CD,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD, 且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点.

(1)求异面直线 AC 与 PB 所成的角的余弦值; (2)求直线 BC 与平面 ACM 所成角的正弦值.

7、在四棱锥

中,



,平面

平面

, (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求二面角 平面

,且 ; 的余弦值.

.

8、如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明:B1C1⊥CE; (Ⅱ)求二面角 B1-CE-C1 的正弦值;

9、在如图所示的四棱锥

中,已知

平面 为 的中点.



(Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证:平面 (Ⅲ)求直线 11、如图,四棱锥 面 (1)证明: (2)若 ; 与平面

; 平面 ;

所成角的余弦值. 中,底面 为平行四边形, , , 底

,求二面角

余弦值. .

12、如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 丄底面 ABCD,∠APD= (I)求证:平面 PAB 丄平面 PCD; (II) 如果 AB=BC,PB=PC,求二面角 B﹣PC﹣D 的余弦值.

13、如图,在四棱柱 中, , 且 , 底面 , ,点 与棱

E 在棱 AB 上,平面
相交于点 F. (Ⅰ)证明: ∥平面 ; 的余弦值;

(Ⅱ)若 E 是棱 AB 的中点,求二面角 (Ⅲ)求三棱锥 的体积的最大值.

二、选择题
三、14、正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长为 为( ) B.45° C.60° ) D.90° A.30° A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C.若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α 16、下列说法正确的是 A.直线 a 平行于平面 M,则 a 平行于 M 内的任意一条直线 B.直线 a 与平面 M 相交,则 a 不平行于 M 内的任意一条直线 C.直线 a 不垂直于平面 M,则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线 D.直线 a 不垂直于平面 M,则过 a 的平面不垂直于 M ,底面边长为 ,E 为 SA 的中点,则异面直线 BE 和 SC 所成的角

15、已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法正确的是( B.若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n D.若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α





三、填空题
17、一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60°; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上四个命题中,正确命题的序号是 . 18、设α 和β 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若α 内的两条相交直线分别平行于β 内的两条直线,则α 平行于β ; (2)若α 外一条直线 l 与α 内的一条直线平行,则 l 和α 平行; (3)设α 和β 相交于直线 l,若α 内有一条直线垂直于 l,则α 和β 垂直; (4)若 l 与α 内的两条直线垂直,则直线 l 与α 垂直.上面命题中,其中错误的个数是 l? α ,m? β ,α ∥β ,则 l∥m;③若 l∥? α ,则 l∥α ④若α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l,则 l⊥γ ,其中真命题是 20、设 a,b 为两条直线,α ,β 为两个平面,给出下列命题: (1)若 a∥b,a⊥α ,则 b⊥α ; (2)若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b; (3)若 a⊥b,b⊥α ,则 a∥α ; .(填序号) . 19、已知 l、m、n 是三条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的平面,下列命题:①若 l∥m,n⊥m,则 n⊥l;②若

(4)若 a⊥α ,a⊥β ,则α ∥β . 其中正确命题的个数是 所成角的余弦值是 . . 21、如图在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线 A1B 与 AC

四、综合题
22、如图,四棱锥 , (1)求证: (2)求证: 面 ; . 中, , 是 底面 , , ,

的中点.

五、计算题
23、 且 如图,四棱锥 , 的底面为正方形,侧棱 分别是线段 的中点。 底面 ,

(1)求证: (2)求证: (3)求二面角

平面 平面

; ; 的大小。

参考答案
一、简答题

1、解:(Ⅰ)取

的中点为

,连结

在正三棱柱

中面



, , 故 平

为正三角形,所以 面 以 . 为坐标原点建立如图空间直角坐标系 则 . 所以 因为 所以 所以 (Ⅱ)由⑴得 设平面 平面 ,又 .―――-6 分 ,所以 的法向量 ,平面 , 的法向量 , , , , , , , , , ,

,――2 分 ,



由 同理可得平面

得平面

的一个法向量为 ,



的一个法向量



,解得

,为所 求.――――12 分

2、

3、解:(Ⅰ)如图,过点 平面 平面 平面 平面 于

作 ,

于 平面

,连接

.

平面 又 平面 ,

四边形

为平行四边形.

平面 平面 (Ⅱ) 连接



平面 ………5 分

由 (Ⅰ),得 分别以

为 为

中点,又



为等边三角形, .

轴建立如图所示的空间直角坐标系

则 , ,

设平面

的法向量为

.由





,得

.

设平面

的法向量为 .

.由





,得

故二面角 4、

的余弦值是

.

………………………10 分

(1)取 BC 的中点 F,连结 EF、AF,则 EF∥PB, 所以∠AEF(或其补角)就是异面直线 AE 和 PB 所成角. ∵∠BA C=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面 ABC, ∴AF= ,AE= ,EF= ;

cos∠AEF= ……………8 分



,所以异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为

.

(2)因为 E 是 PC 中点,所以 E 到平面 ABC 的距离为 …… ……12 分

PA=1,VA-EBC=VE-ABC=

×(

×2×2×

)×1=

.

5、【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(1)分别以 BA,BC,BP 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,由 CD⊥PD,得 C(0,4,0),异面直线 PA 和 CD 所成角等于 60°,得 P(0,0,2).求出平面 PCD 的法向量和平面 PBD 的法向量,由此能证明面 PCD⊥面 PBD. (2)求出 (3)设 =(0,4,﹣2)和平面 PAD 的法向量,由此能求出直线 PC 和平面 PAD 所成角的正弦值. =m +(1﹣m) =m(2,0,0)+(1﹣m)(0,0,2)=(2m,0,2﹣2m),0<m<1,求出平

面 ABE 的法向量和平面 DBE 的法向量,由已知条件利用向量法能求出 E(

,0,

).

【解答】(1)证明:分别以 BA,BC,BP 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(2,0,0),D(2,2,0),设 P(0,0,p),p>0,C(0,c,0), =(2,2﹣c,0), ∵CD⊥PD,∴ ? =(2,2,﹣p), =(2,2﹣c,0)?(2,2,﹣p)=4+2(2﹣c)=0,

解得 c=4,∴C(0,4,0). =(2,0,﹣p),∵异面直线 PA 和 CD 所成角等于 60°, ∴ =(2,0,﹣p)?(2,﹣2,0)=4= ,

由 p>0,解得 p=2,∴P(0,0,2). ∴ =(0,4,﹣2), =(2,2,﹣2), =(0,0,﹣2),

设平面 PCD 的法向量

=(x,y,z),

则 设平面 PBD 的法向量 =(a,b,c),

,取 y=1,得

=(1,1,2),

则 ∵ =1﹣1+0=0,

,取 a=1,得

=(1,﹣1,0),

∴面 PCD⊥面 PBD. (2)解:∵ 设平面 PAD 的法向量 =(0,4,﹣2), =(u,v,t), =(2,0,﹣2), =(0,2,0),

则 设直线 PC 和平面 PAD 所成角为θ ,

,取 u=1,得

=(1,0,1),

sinθ =|cos<

>|=

=

=



∴直线 PC 和平面 PAD 所成角的正弦值为 (3)解:设 平面 ABE 的法向量 设平面 DBE 的法向量 =m +(1﹣m) =(0,1,0), =(x1,y1,z1),

. =m(2,0,0)+(1﹣m)(0,0,2)=(2m,0,2﹣2m),0<m<1, ,

则 设二面角 A﹣BE﹣D 的平面角为α , ∵二面角 A﹣BE﹣D 的余弦值为 ,

,取 z=m,得

=(m﹣1,1﹣m,m),

∴cosα =
2

=

=



整理得 3m ﹣8m+4=0,由 0<m<1,解得 m= ∴E( ,0, ).



【点评】本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系,线面角、面面垂直、二面角的概念、求法等知识, 以及空间想象能力和逻辑推理能力. 6、【考点】直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角. 【专题】空间位置关系与距离;空间向量及应用. 【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用空间向量的数量积,求 AC 与 PB 所成的角的余弦值, (2)设 =(x,y,z)为平面的 ACM 的一个法向量,求出法向量,利用空间向量的数量积,直线 BC 与平面 ACM 所

成角的正弦值. 【解答】解:(1)以 A 为坐标原点,分别以 AD、AB、AP 为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(0,2,0),M(0,1, ),

所以

=(1,1,0), =2,

=(0,2,﹣1),|

|=

,|

|=



cos(



)=

=



(2)

=(1,﹣1,0),

=(1,1,0),

=(0,1,

),

设 =(x,y,z)为平面的 ACM 的一个法向量,则 令 x=1,则 y=﹣1,z=2, 所以 =(1,﹣1,2),

,即



则 cos<



>=

=

=



设直线 BC 与平面 ACM 所成的角为α , 则 sinα =sin[ ﹣< , >]=cos< , >= . 【点评】本小题考查空间中的异面直线所成的角、线面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.

7、解:(Ⅰ)证明: 作 , 又 平面 平面 平面 PAB, 又 , 平面



CE 与 AD 必相交, ,

. …………………5 分

(Ⅱ)(方法一:综合法)连 AC, 由已知得 AC=2, 从而 , ,

又 从而平面 PCD 作

, 平面 PAC 于 ,

平面





,连



设则所求的二 面角为





,所以

. (法二:向量法(略)) 8、方法一: 如图,以点 A 为原点,以 AD,AA1,AB 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,依题意得

A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1), E(0,1,0). …………………………………………………………………………………3 分
(1)证明 易得 · 所以 B1C1⊥CE. (2)解 =(1,0,-1), =0, ………………………………………………………………5 分 =(1,-2,-1). =(-1,1,-1),于是

设平面 B1CE 的法向量 m=(x,y,z),

则 =(-3,-2,1).



消去 x,得 y+2z=0,不妨令 z=1,可得一个法向量为 m

………………………………………………………… 8 分 =(1,0,-1)为平面 CEC1 的一个法向

由(1)知,B1C1⊥CE,又 CC1⊥B1C1,可得 B1C1⊥平面 CEC1,故 量.

……………………………………………………………………10 分

于是 cos〈m,

〉=



=-



……………………11 分

从而 sin〈m, 方法二 (1)证明

〉=

,所以二面角 B1-CE-C1 的正弦值为

.

………12 分

因为侧棱 CC1⊥底面 A1B1C1D1,B1C1? 平面 A1B1C1D1,所以 CC1⊥B1C1. 经计算可得 B1E=
2

,B 1C 1=

,EC1=



从而 B1E =B1C +EC , 所以在△B1EC1 中,B1C1⊥C1E,……………………2 分 又 CC1,C1E? 平面 CC1E,CC1∩C1E=C1,所以 B1C1⊥平面 CC1E, 又 CE? 平面 CC1E,故 B1C1⊥CE. ……………………5 分 (2)解 过 B1 作 B1G⊥CE 于点 G,连接 C1G.

由(1)知,B1C1⊥CE,故 CE⊥平面 B1C1G,得 CE⊥C1G,所以∠B1GC1 为二面角 B1-CE-C1 的平面 角. ……………………………………………………………………………………9 分

在△CC1E 中,由 CE =C1E=

,CC1=2,可得 C1G=

.

在 Rt△B1C1G 中,B1G=

,所以 sin ∠B1GC1=



即二面角 B1-CE-C1 的正弦值为

.

…………………………………………12 分

9、(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ) 【解析】 试题分析:(Ⅰ)根据中位线定理求证出四边形 MEBC 为平行四边形,再根据线面平行的判定定理即可证明; (Ⅱ)先证明线面垂直,再到面面垂直;(Ⅲ)找到∠ECF 为直线 EC 与平面 PAC 所成的角,再解三角形即可

试题解析:(Ⅰ)解:取 PA 的中点 M,连接 BM,ME



BC ∴ME

且 BC 且 ME=BC

∴四边形 MEBC 为平行四边形, ∴BME ∴CE CE,CE 面 PAB ⊥平面 , 面 PAB,BM 面 PAB,

(Ⅱ)证明:∵ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ 又 ⊥平面 ? 平面 , ⊥ ,

所以平面 (Ⅲ)解:取

⊥平面 中点 ,则 ∥ ,

由(Ⅱ)知 则 所以 ⊥平面

⊥平面

为直线

与平面

所成的角











即直线

与平面

所成角的正切值为

考点:直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定

10、(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ) 【解析】 试题分析:(Ⅰ)根据中位线定理求证出四边形 MEBC 为平行四边形,再根据线面平行的判定定理即可证明; (Ⅱ)先证明线面垂直,再到面面垂直;(Ⅲ)找到∠ECF 为直线 EC 与平面 PAC 所成的角,再解三角形即可

试题解析:(Ⅰ)解:取 PA 的中点 M,连接 BM,ME



BC ∴ME

且 BC 且 ME=BC

∴四边形 MEBC 为平行四边形, ∴BME ∴CE CE,CE 面 PAB ⊥平面 , 面 PAB,BM 面 PAB,

(Ⅱ)证明:∵ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ 又 ⊥平面 ? 平面 , ⊥ ,

所以平面 (Ⅲ)解:取 由(Ⅱ)知 则 所以 ⊥平面

⊥平面 中点 ⊥平面 ,则 ∥ ,

为直线

与平面

所成的角











即直线

与平面

所成角的正切值为

考点:直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定 11、解:(1)因为 又 (2)过 则 底面 作 为二面角 ,可得 交 于 , 所以 ,连接 ,故 面 ,因为 . 故 ,

底面

的平面角.



中,



所以



,在

中,



所以 12、解:(Ⅰ)证明:因为四棱锥 P﹣ABCD 的底面是矩形,所以 CD⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,所以 CD⊥PA.又∠APD= PAB,所以平面 PAB⊥平面 PCD..…………4 分 (Ⅱ)解:如 图,以 AB 为 x 轴,AD 为 y 轴建立空间直角坐标系 A﹣xyz. 设 AB=2,P(0,a,b)(a>0,b>0), 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0). 由 PA⊥PD, =(0,﹣a,﹣b),
2 2 2 2

,即 PA⊥PD,而 CD∩PD=D,所以 PA⊥平面 PCD.因为 PA? 平面

=(0,2﹣a,﹣b),得﹣a(2﹣a)+b =0.①
2 2

2

因为 PB=PC,所以 2 +a +b =2 +(2﹣a) +b .② 由(Ⅰ)知,

由①,②得 a=1,b=1..…………6 分

=(0,﹣1,﹣ 1)是面 PCD 的一个法向量.

设面 PBC 的一个法向量为 =(x,y,z),则 ?

=0, ?

=0,



=(2,﹣1,﹣1),

=(0,2,0),所以

取 =(1,0,2).…8 分

因为 cosá<

, >?=﹣

,又二面角 B﹣PC﹣D 为钝角, ...…………12 分 13、(Ⅰ)证明:因为 . 又因为平面 , 平面 ,平面 平面 是棱柱,所以平面 平面

所以二面角 B﹣PC﹣D 的余弦值为﹣

所以 所以



. . 底面

又因为

平面



平面



∥平面

(Ⅱ)解:因为 所以 坐标系. , , 则



, , , , 分别为 轴、 轴和 轴,如图建立空间直角

两两垂直,以 A 为原点,以 , ,

所以 设平面 由 的法向量为 , ,

,

.

得 .



,得

又因为平面

的法向量为



所以

, 的余弦值为

由图可知,二面角

的平面角为锐角,所以二面角

. (Ⅲ)解:过点 F 作 因为平面 平面 于点 , , 平面 ,所以 平面 ,

所以

. 因为当 F 与点 重合时, 取到最大值 2(此时点 E 与点 B 重合),

所以当 F 与点

重合时,三棱锥

的体积的最大值为

.

二、选择题
14、C 15、B 16、 B

三、填空题
17、 ①③ .

【考点】异面直线及其所成的角;异面直线的判定. 【专题】阅读型. 【分析】先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,再根据所给结论进行逐一判定即可. 【解答】解:把正方体的平面展开图还原成原来的正 方体如图所示,则 AB⊥EF,EF 与 MN 为异面 直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确. 故答案为①③

【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角,直线与直线的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证 能力,属于基础题. 18、2 . 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】综合题;数形结合;空间位置关系与距离;简易逻辑. 【分析】由面面平行的判定说明(1)正确;由线面平行的判定说明(2)正确;由题意得到α 与β 所成角可能是锐角、 直角或钝角说明(3)错误;由线面垂直的判定说明(4)错误. 【解答】解:(1)若α 内的两条相交直线分别平行于β 内的两条直线,由面面平行的判定可得α 平行于β ,(1)正 确; (2)若α 外一条直线 l 与α 内的一条直线平行,则由线面平行的判定说明 l 和α 平行,(2)正确; (3)设α 和β 相交于直线 l,若α 内有一条直线垂直于 l,则α 和β 垂直,错误,α 与β 所成角可能是锐角、直角或 钝角; (4)若 l 与α 内的两条直线垂直,则直线 l 与α 垂直,错误,只有 l 与α 内的两条相交直线垂直时,才有直线 l 与 α 垂直. ∴错误命题的个数是 2 个. 故答案为:2. 【点评】本题考查线面之间的位置关系,解题的关键是熟练应用线面平行和垂直的判定定理,是基础题.

19、

①④ .(填序号)

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】空间位置关系与距离;简易逻辑. 【分析】根据异面直线所成角的定义可判断①;利用面面平行的性质知两平面内直线平行或异面判断②;根据线面平 行的判定定理的条件判断③;借助图形,由面面垂直可得线面垂直,进而的线线垂直,再利用线面垂直的判定定理判 断④. 【解答】解:①若 l∥m,n⊥m,n 与 m 成 90°角,由异面直线所成角的定义可知,n 与 l 成 90°角,则 n⊥l,①为 真命题; ②若 l? α ,m? β ,α ∥β ,则 l∥m 或 l 与 m 异面,②是假命题; ③若 l∥m,m? α ,则 l∥α 或 l? α ,③是假命题; ④若α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l,如图, 在平面γ 内取点 O,过 O 在γ 内分别作 OA,OB 垂直于α 与γ 的交线和β 与γ 的交线, 则由面面垂直的性质得 OA⊥α ,OB⊥β ,得:OA⊥l,OB⊥l,∴有 l⊥γ ,故④正确 故答案为:①④.

【点评】 本题考查了面面垂直的判定与性质, 考查了面面平行的判定及线线垂直的判定, 考查了学生的空间想象能力, 是中档题. 20、2 个 . 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】证明题. 【分析】(1)由线面垂直的定义可得:若 a∥b,a⊥α ,则 b⊥α 是正确的.(2)若 a∥α ,b∥α ,则 a 与 b 可能 平行、可能相交或者可能异面.(3)若 a⊥b,b⊥α ,则 a∥α 或者 a? α .(4)由面面平行的定义可得此结论是 正确的. 【解答】解:(1)由线面垂直的定义可得:若 a∥b,a⊥α ,则 b⊥α 是正确的,所以(1)正确.

(2)若 a∥α ,b∥α ,则 a 与 b 可能平行、可能相交或者可能异面,所以(2)错误. (3)若 a⊥b,b⊥α ,则 a∥α 或者 a? α .所以(3)错误. (4)由面面平行的定义可得:若 a⊥α ,a⊥β ,则α ∥β 是正确的,所以(4)正确. 故答案为 2 个. 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握线线、线面、面面的平行或者垂直的判定定理、性质定理.

21、 . 【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题. 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 A1,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在三角形中再 利用余弦定理求出此角的余弦值. 【解答】解:∵A1C1∥AC, ∴异面直线 A1B 与 AC 所成角为∠BA1C1, 易求 ∴ ,



故答案为: 【点评】本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.

四、综合题

22、证明:(1) 又 面 (2)证明: 是 的中点,故 , ,故

底面

, ,故 面



,故

由(1)知 易知 ,故

,从而 面



,故

五、计算题

23、解法一:(1)证明:∵ 又∵ ∴ 平面 平面 。 ,



分别是线段 ,



的中点,∴



平面

(2)解,∵ 又∵ 又∵四边形 又∵ 又∵ 又∵ (3)∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 平面 平面



的中点,且 , 为正方形,∴ ,∴ 平面 。 平面 , , ,∵ 平面 , 平面 分别是线段 。∵ 平面 底面

,∴ ,∴ 。 。

, 。

底面

平面

,∴ ,∴

。 ,∴平面 平面 = 的中点, 平面 , 平面 , 平面 , , ,

平面

,∴ ,∴ 就是二面角

的平面角。

在 ∴

中, ,所以二面角

, 的大小为 , 。 , , 。

解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 ∴ (1)证明:∵ ∴ ∵ ∴ 平面 平面 ,且 。 , , 。 ∴ 又∵ (3) 设平面 ∴ 平面 。 , , 平面 ,

(2)解:



的法向量为

因为





则 又因为平面

取 的法向量为

。 ,

所以 ∴ ,所以二面角 的大小为

, 。


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