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第29届决赛训练题 第一套


第29届决赛训练题第一套
第一题(20 分) 我们假设汽车前进的阻力主要来源于滚动摩擦。假设地面很硬,轮胎被挤压变形。当正压力 为 N 时,轮胎接触面接触部分的长度为 ? ? kN (当然形变远小于半径) 。当轮胎滚动时, 支持力将作用在接触面的边缘处。考虑一个前轮驱动的汽车,最大牵引力矩为 M,最大功率 为 P。汽车的重力为 G,重心距离地面高度为 h,重心位于前后轮

的中点处,前后轮轴距离 l。正常行驶的时候,车轮和地面之间不发生相对滑动。 (1) 计算汽车匀速行驶时的最大速度, 以及前轮和后轮与地面之间的摩擦力, 并指明方向。 (2 计算汽车刚启动的时候最大加速度, 以及前轮和后轮与地面之间的摩擦力, 并指明方向。 (3)计算汽车能爬上的最大坡度 ? ,并在计算了在最大坡度时车轮与地面不滑动,求地面 与车轮之间的摩擦系数 ? 的最小值。

第二题(20 分)

在空间中存在轴对称分布的介质, 折射率随不同位置分布的函数为:n(r ) ?

a 其中 a 是常 r

数, r 是参考点到 z 轴的矩离。有一个点光源位于坐标为 (r0,0,0)的位置, 发射一束激光。 激光出射方向和 y-z 平面平行,与 x-y 平面夹角为 ? 。认为光线满足的折射定律,结果光 线刚好能走过一个螺旋线达 B 点(r0,0,h)(即光线距离 Z 轴的距离保持位 r0) 求常数 a 以及角度 ? 应当满足的条件。 (如果给定 ? ,不要求光走螺旋线,只是要求光能到达 B 点,则 a 应当满足什么条件?)

第三题(20 分) 气缸中填充有数密度为 n 气体,气体粒子静质量为 m0。气缸形状是边长为 l 的立方体。为 了简单起见, 我们假设粒子只能相对气缸沿着 x 正向或反向以速度 v 运动 (v 并非远小于光 速 c)。粒子与气缸壁之间做完全弹性碰撞。 (1)在相对于气缸沿着 y 方向,速度 u 运动的参照系中,计算因为粒子碰撞产生的压强。 (2)在相对于气缸沿着 x 方向,速度 u 运动的参照系中,计算因为粒子碰撞产生的压强。 (3)在相对于气缸沿着与 x 轴方向夹角 ? 方向,速度 u 运动的参照系中,计算因为粒子碰 撞产生的压强。

第四题(20 分) 找一个理想的电感 L,两个阻值为 R1 和 R2 的电阻,一个电动势为 ? 的直流电源,连接成如 图的电路。开关闭合后电感电流逐渐增大直到稳定。 (1)从开关闭合到电路达到稳定, R1 上流过的电量为多少?R1 上总发热为多少? (2)R1 上发热量达到 R1 上总发热一半的时候,求电源流过的电流。

第五题(20 分) 某人希望完成电能的分配, 于是模仿变压器造了如图所示的一个装置。 先用硅钢造成一个架 子(可以理解为三个对称的半框形支路连接起来),磁通量只能在硅钢内,即不会漏磁。一 条支路上密绕了 N3 扎线圈,接入一个交流电源 U ?t ? ? U0 cos ?t ,另两个支路分别密绕了

N1、N2 扎线圈,接入电阻 R1、R2。
系统达到稳定工作状态 (1 )求出两个绕有电阻的支路上磁通量的比值。

(2 )求出两个电阻上的功率比值。

第六题(20 分) 从赤道发射一个质量为 M 人造卫星,并配置了两级质量为 m1 和 m2 火箭推进(假设壳的质量 远小于燃料质量) 。我们把一级火箭喷火推进的过程简化为一次爆炸。第一次爆炸发生在地 面附近,燃烧了 m1 的燃料,每燃烧单位质量的燃料,释放的总动能为 ? ,m1 以一定的速度向 着斜下方喷出 (你可以认为所有喷出燃料速度相同) 。 第二次爆炸发生在同步轨道卫星高度, 燃烧了 m2 的燃料,将 m2 喷出后,卫星成为同步轨道卫星。地球半径 R=6371km,地面附近重 力加速度为 g=9.8ms ,一天 T=24h, ? ? 2 ?10 m s kg ,求出
-2

7

2 ?2

?1

m1 ? m2 的最小值。忽略 M

地球自转对初速度的影响,T 只用来确定同步轨道卫星的半径。

第七题(20 分) 如图四根杆铰接,长度比为 3:3:1:1。短杆长度为 l,两边吊着质量为 m 的重物,中间 放着原长为

2l 的弹簧,弹簧下端和短杆一起铰接在地面上,平衡的时候杆和水平角度为 2

45°。始终保持左右对称,求微小振动的时候系统的周期。重力加速度为 g。


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