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一 、预备知识 一)多项式的导数

(1)C ? ? 0

( 2)( x )? ? nx
n

n ?1

(2)(Cxn )? ? Cnxn ?1
?3

练习:( x )? ?

3x
3

2

(4 x 2 )? ?
2 4

8x

2 ( x )? ? ? 2 x ? ? 3 ( x )? ? x ( x 3 ? 5 x 2 )? ? 3 x 2 ? 10 x
?2

1

( x ? 5 x ? 5)? ?

2 x ? 20x

3

1 ?1 ( )? ? ( x )? x

1 ?? 2 x
( x )? ? 2 x
2

6 3 ?3 ?? 3 ( 2 )? ? ? 6 x x x
1 1 ( )? ? ? 2 x x ( x )? ? 1 2 x

特例:x? ? 1

二)几个函数及其边际函数:
C 1.成本函数: (q) ?可变成本+固定成本(q表示产量,以下同)

2.收入函数(收益函数): R(q) ? pq 即产量乘价格。

3.利润函数: L(q) ? R(q) ? C (q)
4.边际成本:成本函数的导数,用 C?(q)表示

5.边际收益(入):收入函数的导数,用R?(q)表示
6.边际利润:利润函数的导数,用L?(q)表示 也可以是边际收益-边际成本,即 L?(q) ? R?(q) ? C ?(q) C (q ) 平均成本函数:C (q ) ? q

例题: 1.已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q, 则当产量q = 50时,此时产品的平均成本为 3.6 . 2.已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p,其中p为 该商品的价格,则该商品的收入函数R(q) =

45q ? 0.25q 2

q ? 180? 4 p
p ? 45? 0.25q
R(q ) ? pq

? (45 ? 0.25q )q ? 45q ? 0.25q

2

3、某煤炭公司每天生产 q吨的总成本函数为 煤

C (q ) ? 2000? 450q ? 0.02q 2 , 如果每吨煤的销售价格 490元, 为 求:( )边际成本函数 ?(q ); 1 C ( 2)利润函数 (q )及边际利润函数 ?(q ) L L ( 3)边际利润为 时的产量。 0

解:() C (q ) ? 2000? 450q ? 0.02q 2 1? ? C ?(q) ? 450 ? 0.04q

(2) ? 总收入函数 (q) ? pq ? 490q R
?利润函数 (q ) ? R(q ) ? C (q ) L ? 490q ? ( 2000? 450q ? 0.02q 2 ) ? 40q ? 0.02q 2 ? 2000

边际利润 ?(q) ? 40 ? 0.04q L
(3)边际利润 ?(q) ? 40 ? 0.04q ? 0时q ? 1000 L

5.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产 品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为 q ? 1000 ? 10 p(其中q需求量, p价格) 试求:(1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大?

解 : (1)成本函数C (q) ? 60q ? 2000
因为q ? 1000? 10 p
所以p ? 100?

(2)利润函数L(q)=R(q)-C(q)=100q1 2 ? - q ? 40q ? 2000 10

1 1 2 所以收入函数R(q)=pq=(100- q)q ? 100q- q 10 1 10
10 q 2 ? 60q ? 2000

1 q 10

1 2 1 L ?(q) ? - q ? 40, 令L ?(q) ? 0即- q ? 40 ? 0得q=200 5 5

所以q=200时利润最大即产量为200吨时利润最大

4.设生产某种产品x个单位时的成本函数为

C ( x ) ? 100 ? 0.25 x ? 6 x(万元) 求:(1)当 x ? 10时的总成本、平均成本和边际成本;
2
,

(2)当产量x为多少时,平均成本最小? 解(1)因为总成本为 C ( x ) ? 100 ? 0.25 x 2 ? 6 x 所以,x=10时 成本为 C (10) ? 100 ? 0.25 ? 102 ? 6 ? 10 ? 185 平均成本为 C (10) ? 185 ? 18.5
10

边际成本函数为C ?( x ) ? 0.5 x ? 6

所以边际成本为 C ?(10) ? 0.5 ? 10 ? 6 ? 11

C ( x ) ? 100 ? 0.25 x 2 ? 6 x
(2)平均成本函数为 ( x ) ? C
? C ( x) ? ?
令C ( x ) ? 0 ?
100 ? 0.25 x ? 6 x

?

100 x
2

? 0.25

即?

100 x
2

? 0.25=0

得 x ? 20 x ? ?20 (舍去)
所以当x=20时平均成本最小

导数等于0的x值即为驻点

练习1:某厂每天生产某种产品

q

件的成本函数为

C (q ) ? 0.5q 2 ? 36q ? 9800(元) ,为使平均成本最低,

每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?
解:因为 (q ) ? 0.5q 2 ? 36q ? 9800 C

C (q ) 0.5q 2 ? 36q ? 9800 9800 所以C (q ) ? ? ? 0.5q ? 36 ? q q q

?

9800 9800 ? ? 0.5 ? 2 C (q ) ? (0.5q ? 36 ? ) q q

?

?

9800 令 C (q ) ? 0即0.5 ? 2 =0 q

?

?

?

得q ? 140或q ? ?140 (舍去)

所 q ? 140时 均 本 低 以 平 成 最
此时平均成本为 (140)=0.5 ? 140 ? 36 ? C 9800 =176元 140

练习2. 某厂每月生产q(单位:百件)产品的总成本为 C (q ) ? q 2 ? 2q ? 100 (单位 : 千元) ,若每百件的售价为4万元, 问产量为多少时,利润最大?最大利润是多少?
解:L(q ) ? R(q ) ? C (q ) ? 40q ? (q 2 ? 2q ? 100) ? 38q ? q 2 ? 100

L' (q) ? 38 ? 2q

令 L' (q ) ? 0, 得唯一驻点 ? 19(百件) q
L(19) ? 38 ? 19 ? 192 ? 100 ? 261(千元)

因此由实际问题可知,当产量为1900件时,利润最大, 最大利润为26.1万元。


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