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高中数学人教A版必修三课件:1.1.1算法的概念


高中新课程数学必修③
第一章 1.1 1.1.1 算法初步

算法与程序框图 算法的概念

问题提出

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t

1.用计算机解二元一次方程组

.exe
2.在上述解二元一次方程组的过程中, 计算机

是按照一定的指令来工作的,其 中最基础的数学理论就是算法,本节课 我们就来学习:

知识探究(一):算法的概念

思考1:在初中,对于解二元一次方程组 你学过哪些方法?
加减消元法和代入消元法
思考2:用加减消元法解二元一次方程组 2x+y=1 ②的具体步骤是什么? x-2y=-1 ①

思考2:用加减消元法解二元一次方程组
? x 2y = - 1 ? ? í 的具体步骤是什么? ? 2x + y = 1 ? ?

? x 2y = - 1 ? ? í ? 2 x + y = 1 ? ?
1 第二步, 解③,得 x ? . 5
1 5

① ②

第一步, ①+②×2,得 5x=1 .
x?



第三步,②-①×2,得 5y=3 .
3 第四步, 解④,得 y ? . 5
ì 1 ? ? x = ? 5 ? í ? 3 ? y = ? ? 5 ?



第五步,得到方程组的解为

.

思考3:参照上述思路,一般地,解方程 组
a1 x ? b1 y ? c1 ① (a1b2 ? a2b1 ? 0) 的基 a2 x ? b2 y ? c2 ②

本步骤是什么?

第一步,①× b2- ②× b1,得 第二步,解③ ,得

(a1b2 ? a2b1 ) x ? b2c1 ? b1c2 .
b2 c1 ? b1c2 x? a1b2 ? a2b1

③ .

第三步,②×a1 - ①×a2 ,得 第四步,解④

(a1b2 ? a2b1 ) y ? a1c2 ? a2c1 . ④
a1c2 ? a2 c1 ,得 y ? a1b2 ? a2b1

.
a1c2 ? a2 c1 a1b2 ? a2b1

第五步,得到方程组的解为

b2 c1 ? b1c2 x? a1b2 ? a2b1 y?

思考4:根据上述分析,用加减消元法解 二元一次方程组,可以分为五个步骤进 行,这五个步骤就构成了解二元一次方 程组的一个“算法”.我们再根据这一算 法编制计算机程序,就可以让计算机来 解二元一次方程组.那么解二元一次方程 组的算法包括哪些内容?

思考5:一般地,算法是由按照一定规则 解决某一类问题的基本步骤组成的. 你认为: (1)这些步骤的个数是有限的还是无限 的? (2)每个步骤是否有明确的计算任务?

思考6:有人对哥德巴赫猜想“任何大于4的 偶数都能写成两个质数之和”设计了如下操 作步骤:

第一步,检验6=3+3, 第二步,检验8=3+5, 第三步,检验10=5+5, ?? 利用计算机无穷地进行下去! 请问:这是一个算法吗?

思考7:根据上述分析,你能归纳出算法 的概念吗?

在数学中,按照一定规则解决某一 类问题的明确和有限的步骤称为算法.

知识探究(二):算法的步骤设计

思考1:如果让计算机判断7是否为质数,如 何设计算法步骤?
第一步,用2除7,得到余数1,所以2不能整除7. 第二步,用3除7,得到余数1,所以3不能整除7. 第三步,用4除7,得到余数3,所以4不能整除7. 第四步,用5除7,得到余数2,所以5不能整除7.

第五步,用6除7,得到余数1,所以6不能整除7.

因此,7是质数.

思考2:如果让计算机判断35是否为质数,如 何设计算法步骤?
第一步,用2除35,得到余数1,所以2不能整除35. 第二步,用3除35,得到余数2,所以3不能整除35. 第三步,用4除35,得到余数3,所以4不能整除35. 第四步,用5除35,得到余数0,所以5能整除35.

因此,35不是质数.

思考3:整数89是否为质数?如果让计算 机判断89是否为质数,按照上述算法需 要设计多少个步骤?
第一步,用2除89,得到余数1,所以2不能整除89. 第二步,用3除89,得到余数2,所以3不能整除89. 第三步,用4除89,得到余数1,所以4不能整除89.

……

……

……

……

第八十七步,用88除89,得到余数1,所以88不能 整除89.

因此,89是质数.

思考4:用2~88逐一去除89求余数,需要87个 步骤,这些步骤基本是重复操作,我们可以 按下面的思路改进这个算法,减少算法的步 骤. (1)用i表示2~88中的任意一个整数,并从 2开始取数; (2)用i除89,得到余数r. 若r=0,则89不 是质数;若r≠0,将i用i+1替代,再执行同 样的操作; (3)这个操作一直进行到i取88为止. 你能按照这个思路,设计一个“判断89是否 为质数”的算法步骤吗?

算法设计: 第一步, 令i=2; 第二步,用i除89,得到余数r; 第三步,若r=0,则89不是质数,结束算 法;若r≠0,将i用i+1替代;

第四步,判断“i>88”是否成立?若是, 则89是质数,结束算法;否则, 返回第二步.

思考5:一般地,判断一个大于2的整数是否 为质数的算法步骤如何设计? 第一步,给定一个大于2的整数n; 第二步,令i=2; 第三步,用i除n,得到余数r;

第四步,判断“r=0”是否成立.若是,则n 不是质数,结束算法;否则,将i 的值增加1,仍用i表示; 第五步,判断“i>(n-1)”是否成立,若是, 则n是质数,结束算法;否则,返回 第三步.

理论迁移

例 设函数f(x)的图象是一条连续 不断的曲线,写出用“二分法”求方程 f(x)=0的一个近似解的算法.

第一步,取函数f(x),给定精确度d.
a+b 第三步,取区间中点 m= . 2

第二步,确定区间[a,b],满足f(a)· f(b)<0.
第四步,若f(a)· f(m)<0,则含零点的区间 为[a,m],否则,含零点的区间为[m,b]. 将新得到的含零点的区间仍记为[a,b]; 第五步,判断[a,b]的长度是否小于d或f(m) 是否等于0. 若是,则m是方程的近似解; 否则,返回第三步.

对于方程 x ? 2 ? 0( x ? 0) ,给定d=0.005.
2

a 1 1 1.25 1.375 1.375 1.406 25 1.406 25 1.414 625 1.414 062 5

b 2 1.5 1.5 1.5 1.437 5 1.437 5 1.421 875 1.421 875 1.417 968 75

|a-b| 1 0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.031 25 0.015 625 0.007 812 5 0.003 906 25

小结作业
算法是建立在解法基础上的操作过程,算法 不一定要有运算结果,问题答案可以由计算机解 决.设计一个解决某类问题的算法的核心内容是 设计算法的步骤,它没有一个固定的模式,但有 以下几个基本要求:

(1)符合运算规则,计算机能操作;

(2)每个步骤都有一个明确的计算任务;
(3)对重复操作步骤作返回处理; (4)步骤个数尽可能少; (5)每个步骤的语言描述要准确、简明.

作业: P5练习:1,2.


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