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3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式


3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
整体设计 一、教学分析
“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上,进一步研究具有“二倍 角”关系的正弦、余弦、正切公式的,它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化,又为以后求 三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道,二倍角的内涵是:揭示 具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思 想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力、发 现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中 α、β 关系的特殊情形 α=β 时的简化,让学生在 探究中既感到自然、易于接受,还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系,同时也让学生学会怎样 发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为, 《数学课程标准》提出: “要让学生在参与特定的数学活动,在具体情境中初步认识对象的特征,获得一些体验”. 在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习,更不要再补充一些较为复杂的积化和 差或和差化积的恒等变换,否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.

二、教学目标

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1.知识与技能: 通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通 过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力. 2.过程与方法: 通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本 数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点,自觉地利用 联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力. 3.情感态度与价值观: 通过本节学习,引导学生领悟寻找数学规律的方法,培养学生的创新意识,以及善于发现和勇于探索 的科学精神.

三、重点难点
教学重点:二倍角公式推导及其应用. 教学难点:如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.

四、课 时安排
1 课时

五、教学设想
(一)导入新课 思路 1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式,并回忆这组公式的来龙去脉, 然后让学生默写这六个公式.教师引导学生:和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之 和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题, 请同学们思考一下,应解决哪些问题呢?由此展开新课. 思路 2.(问题导入)出示问题,让学生计算,若 sinα=

3 ? ,α∈( ,π),求 sin2α,cos2α 的值.学生会很容易看 5 2
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出:sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα 的,以此展开新课,并由此展开联想推出其他公式.
§K]

(二)推进新课、新知探究、提出问题

①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗?(请学生默 写出来,并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角 α、β 会有特殊关系 α=β 吗?此时公式变成什么形式? ③在得到的 C2α 公式中,还有其他表示形式吗? ④细心观察二倍角公式结构,有什么特征呢? ⑤能看出公式中角的含义吗?思考过公式成立的条件吗? ⑥让学生填空:老师随机给出等号一边括号内的角,学生回答等号另一边括号内的角,稍后两人为一 组,做填数游戏:sin( )=2sin( )cos( ),cos( )=cos2( )-sin2( ). ⑦思考过公式的逆用吗?想一想 C2α 还有哪些变形? ⑧请思考以下问题:sin2α=2sinα 吗?cos2α=2cosα 吗?tan2α=2tanα? 活动:问题①,学生默写完后,教师打出课件,然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式,提醒学生注 意公式中的 α,β,既然可以是任意角,怎么任意的?你会有些什么样的奇妙想法呢?并鼓励学生大胆试一 试.如果学生想到 α,β 会有相等这个特殊情况,教师就此进入下一个问题,如果学 生没想到这种特殊情况, 教师适当点拨进入问题②,然后找一名学生到黑板进行简化,其他学生在自己的座位上简化、教师再与学 生一起集体订正黑板的书写,最后学生都不难得出以下式子,鼓励学生尝试一下,对得出的结论给出解释. 这个过程教师要舍得花时间,充分地让学生去思考、去探究,并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的 思维空间,为学生将来遇到的 3α 或 3β 等角的探究附设类比联想的源泉. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ?sin2α=2sinαcosα(S2α); cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ?cos2α=cos2α-sin2α(C2α);
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tan(α+β)=

tan? ? tan ? 2 tan? ? tan2? ? (T2? ) 1 ? tan? tan ? 1 ? tan2 ?

这时教师适时地向学生指出,我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦,余弦,正切公式,并指导学 生阅读教科书,确切明了二倍角的含义,以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③,点拨学生结 合 sin2α+cos2α=1 思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.

这时教师点出,这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示).倍角公式给出了 α 的三角函数与 2α 的三 角函数之间的关系. 问题④,教师指导学生,这组公式用途很广,并与学生一起观察公式的特征与记忆,首先公式左边角是 右边角的 2 倍;左边是 2α 的三角函数的一次式,右边是 α 的三角函数的二次式,即左到右→升幂缩角, 右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式,余弦是多项式,正切是分式. 问题⑤,因为还没有应用,对公式中的含义学生可能还理解不到位,教师要引导学生观察思考并初步感 性认识到: (Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去; (Ⅱ)通过二倍角公式, 可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数; (Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况; (Ⅳ) 公式(S2α),(C2α)中的角 α 没有限制,都是 α∈R.但公式(T2α)需在 α≠ 一条件限制要引起学生的注意.但是当 α=kπ+

? ,k∈Z 时,虽然 tanα 不存在,此时不能用此公式,但 tan2α 是 2

1 ? ? kπ+ 和 α≠kπ+ (k∈Z)时才成立,这 2 4 2

存在的,故可改用诱导公式. 问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性,即二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍的形式,其他如 4α 是 2α 的二倍,

a a 3a a a ? ? a 是 的二倍,3α 是 的二倍, 是 的二倍, -α 是 - 的二倍等,所有这些都可以 2 4 2 3 6 2 4 2

应用二倍角公式. 例如:sin

a a a a a a =2sin cos ,cos =cos2 -sin2 等等. 2 4 4 3 6 6 1 a a a a a sin6α,4sin cos =2(2sin cos )=2sin , 2 4 4 4 4 2

问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用,这点教师更要提醒学生引起足够的注 意.如:sin3αcos3α=

2 tan 40? =tan80° ,cos22α-sin22α=cos4α,tan2α=2tanα(1-tan2α)等等. 1 ? tan2 40?
问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα. 若 sin2α=2sinα,则 2sinαcosα=2sinα,即 sinα=0 或 cosα=1,此时 α=kπ(k∈Z). 若 c os2α=2cosα,则 2cos2α-2cosα-1=0,即 cosα= 若 tan2α=2tanα,则

1? 3 1? 3 (cosα= 舍去). 2 2

2 tan a =2tanα,∴tanα=0,即 α=kπ(k∈Z). 1 ? tan 2 a

解答:①—⑧(略) (三)应用示例 思路 1 例 1 已知 sin2α=

5 ? ? , <α< ,求 sin4α,cos4α,tan4α 的值. 13 4 2

活动:教师引导学生分析题目中角的关系,观察所给条件与结论的结构,注意二倍角公式的选用,领 悟“倍角”是相 对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义,它是描述两个数量之间关系的.本题中的已 知条件给出了 2α 的正弦值.由于 4α 是 2α 的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解 题,目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用,理解二倍角的相对性,教师大胆放手,可让学生自己独立 探究完成.

? ? ? <α< ,得 <2α<π. 4 2 2 5 又∵sin2α= , 13
解:由 ∴cos2α= ? 1 ? sin 2 2a = ? 1 ? (

5 2 12 ) ?? . 13 13

120 5 12 × (? )= ? ; 169 13 13 119 5 cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2× ( )2= ; 13 129 sin 4 a 120 169 120 tan4α= =()× =? . cos 4 a 169 119 119
于是 sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2× 点评:学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法,但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的 解答过程,使问题的解答简捷、巧妙、规范,并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点. 变式训练 1.不查表,求值:sin15° +cos15° .? 解:原式= (sin15 ? cos15 ) ?
? ? 2

sin 2 15? ? 2 sin 15? ? cos2 15? ?

6 2

点评:本题在两角和与差的学习中已经解决过,现用二倍角公式给出另外的解法,让学生体会它们之 间的联系,体会数学变化的魅力. 2.(2007 年高考海南卷,9) 若

cos 2a sin(a ?

?
4

?? )

2 ,则 cosα+sinα 的值为……?( 2

)?

A. ?

7 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

7 2

答案:C 3.(2007 年高考重庆卷,6) 下列各式中,值为 A.2sin15° -cos15° 答案:B

3 的是( 2

) D.sin215° +cos215° ?

B.cos215° -sin215°

C.2sin215° -1

例 2 证明

1 ? sin 2? ? cos 2? =tanθ. 1 ? sin 2? ? cos 2?

活动:先让学生思考一会,鼓励学生充分发挥聪明才智,战胜它,并力争 一题多解.教师可点拨学生 想一想,到现在为止,所学的证明三角恒等式的方法大致有几种:从复杂一端化向简单一端;两边化简, 中间碰头; 化切为弦; 还可以利用分析综合法解决, 有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生, 教师点出:可否再添加一种,化倍角为单角?这可否成为证明三角恒等式的一种方法?再适时引导,前面 学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换,对“1”的妙用大家深有体会,这里可否在“1”上做做文 章? 待学生探究解决方法后,可找几个学生到黑板书写解答过程,以便对照点评及给学生以启发.点评时对 能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬;对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1” 的妙用很妙, 妙在它在三角恒等式中一旦出现, 在证明过程中就会起到至关重要的作用, 在今后的证题中, 万万不要忽视它. 证明:方法一: 左=

sin 2? ? (1 ? cos 2? ) 2 sin ? cos? ? (1 ? 1 ? 2 cos2 ? ) ? sin 2? (1 ? cos 2? ) 2 sin ? cos? ? (1 ? 2 cos2 ? ? 1)

=

sin ? cos? ? 1 ? cos2 ? sin ? cos? ? cos2 ? sin ? cos? ? sin 2 ? sin ? cos? ? cos2 ?

=

sin ? (cos? ? sin ? ) =tanθ=右. cos? (sin ? ? cos? )
所以,原式成立. 方法二: 左=

sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2? ? 2 sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? sin 2? ? 2 cos2 ?

=

2 sin ? (sin ? ? cos? ) =tanθ=右. 2 cos? (sin ? ? cos? )

方法三: 左=

(1 ? sin 2? ) ? cos2? (sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? ? cos? ) ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? (1 ? sin 2? ) ? cos2? (sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? ? cos? ) ? (cos2 ? ? sin 2 ? )

(sin? ? cos? ) 2 ? (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? ) = (sin? ? cos? ) 2 ? (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? )
=

(sin? ? cos? )(sin? ? cos? ? sin ? ? cos? ) (sin? ? cos? )(sin? ? cos? ? cos? ? sin ? ) (sin ? ? cos? ) ? 2 sin ? =tanθ=右. (sin ? ? cos? ) ? 2 cos?

=

点评:以上几种方法大致遵循以下规律:首先从复杂端化向简单端;第二,化倍角为单角,这是我们 今天刚刚学习的;第三,证题中注意对数字的处理,尤其“1”的代换的妙用,请同学们在探究中仔细体会这 点.在这道题中通常用的几种方法都用到了,不论用哪一种方法,都要思路清晰,书写规范才是. 思路 2 例 1 求 sin10° sin30° sin50° sin70° 的值. 活动:本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题,有一定难度,但也是训练学生思维能力的一道好 题.本题需要公式的逆用,逆用公式的先决条件是认识公式的本质,要善于把表象的东西拿开,正确捕捉公 式的本质属性,以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究,不要轻易告诉学生解法,可适 时点拨学生需要做怎样的变化,又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发 现,如果用诱导公式把 10° ,30° ,50° ,70° 正弦的积化为 20° ,40° ,60° ,80° 余弦的积,其中 60° 是特殊角,很容 易发现 40° 是 20° 的 2 倍,80° 是 40° 的 2 倍,故可考虑逆用二倍角公式. 解:原式=cos80° cos60° cos40° cos20° =

2 3 ? sin 20? cos20? cos40? cos80? 2 3 ? 2 sin 20?

sin 160? sin 20? 1 ? ? = ? 16sin 20 ? 16sin 20 16.
点评:二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一,又是解答许多数学问题的重要模型和工具,具有 灵活多变,技巧性强的特点 ,要注意在训练中细心体会其变化规律. 例 2 在△ ABC 中,cosA=

4 ,tanB=2,求 tan(2A+2B)的值. 5

活动:这是本节课本上最后一个例题,结合三角形,具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问 题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如 A+B+C=π,0<A<π,0<B<π,0<C<π,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究, 教师适时点拨.学生探究解 法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对 2A+2B 与 A,B 之间关系的看法不同 会产生不同的解题思路,所以学生会产生 不同的解法,不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本 质上没有区别.不论学生的解答正确与否,教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生 一起比较各种不同的解法,并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求 tan(2A+2B)

的值改为求 tan2C 的值. 解:方法一:在△ ABC 中,由 cosA= sinA= 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ?
2 2

4 ,0<A<π,得 5

4 5

3 . 5

sin A 3 5 3 = × = , cos A 5 4 4 3 2? 2 tan A 4 ? 24 tan2A= ? 2 3 7 1 ? tan A 1 ? ( )2 4
所以 tanA= 又 tanB=2, 所以 tan2B=

2 tan B 2? 2 4 ? ?? . 2 2 3 1 ? tan B 1 ? 2

24 4 ? tan 2 A ? tan 2 B 44 7 3 于是 tan(2A+2B)= ? ? . 24 4 1 ? tan2 A tan 2 B 177 1 ? ? (? ) 7 3 4 方法二:在△ ABC 中,由 cosA= ,0<A<π,得 5
sinA= 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ?
2 2

4 5

3 . 5

sin A 3 5 3 ? × = .又 tanB=2, cos A 5 4 4 3 ?2 tan A ? tan B 11 4 所以 tan(A+B)= ? ?? 3 1 ? tan A tan B 2 1? ? 2 4
所以 tanA= 于是 tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]

2 tan(A ? B) = ? 1 ? tan2 ( A ? B)

11 ) 2 ? 44 . 11 117 1 ? (? ) 2 2 2 ? (?

点评: 以上两种方法都是对倍角公式、 和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生 用 不同的思路去思考,以拓展学生的视野. 变式训练 化简:

1 ? cos 4a ? sin 4a . 1 ? cos 4a ? sin 4a

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2 cos2 2a ? 2 sin 2a cos 2a 解:原式= 2 sin 2 2a ? 2 sin 2a cos 2a
=

2 cos 2a(cos2a ? sin 2a) 2 sin 2a(sin 2a ? cos 2a)

=cot2α. (四)知能训练 (2007 年高考四川卷,17) 已知 cosα= (1)求 tan2α 的值; (2)求 β. 解:(1)由 cosα=

1 13 ? ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< , 7 14 2

1 ? 1 2 4 3 ,0<α< ,得 sinα= 1 ? cos2 a = 1 ? ( ) ? . 7 2 7 7

∴tanα=

sin a 4 3 7 2 tan a 2? 4 3 8 3 = ? =4 3 .于是 tan2α= ? ?? . 2 2 cos a 7 1 47 1 ? tan a 1 ? tan a

(2)由 0<α<β<

? ? ,得 0<α-β< . 2 2
13 13 2 3 3 2 ,∴sin(α-β)= 1 ? cos (a ? ? ) ? 1 ? ( ) ? . 14 14 14

又∵cos(α-β)= 由 β=α-(α-β),得

cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)= ∴β=

1 13 4 3 3 3 1 × + = . ? 7 14 7 14 2

? . 3

点评:本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算 能力. (五)课题小结 1.先由学生回顾本节课都学到了什么?有哪些收获?对前面学过的两角和公式有什么新的认识?对三 角函数式子的变化有什么新的认识?怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明. 2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导,明白从一般到特殊的思想,并要正确熟 练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,一个题目能给出多种解法,从中 比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目 的.


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