全国高中数学联赛模拟试题一

全国 2015 高中数学联赛模拟试题一 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）

1. 1、函数 A、2 B、 C、

的最大值是（ ） D、3

2. 已 知 （ ）

，定义

，则

A．

B．

C．

D．

3. 已知正三棱锥 P－ABC 的外接球 O 的半径为 1，且满足＋＋＝，则正三棱锥 P－ ABC 的体积为 （ ） A． B． C． D．

4. 已知双曲线 一点，当 A、 5. 已知

的左右焦点分别为 F1、F2，P 为双曲线右支上任意

取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（ ） B、3 C、 D、2 （ 则 a 的值有（ ） R），且

（A） 个

（B） 个

（C） 个

（D）无数个 。

6. 平面上有两个定点 A、B，另有 4 个与 A、B 不重合的的动点

若使 的好点对 （ ） A．不存在 B．至少有一个

则称（

）为一个好点对。那么这样

C．至多有一个 D．恰有一个

二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）

7. 不等式

的解集为

，那么 的值等于__________. 和 ， 且 ，

8. 定义在 R 上的函数 则 的值为_________.

， 对任意实数 ， 都有

9. 等差数列有如下性质：若

是等差数列，则通项为

的数列也是等

差数列．类比上述性质，相应地，若 _______________的数列也是等比数列．

是正项等比数列，则通项为

10. 在正三棱锥 S—ABC 中 M、N 分别是棱 SC，BC 的中点，且 MN⊥AM，若侧棱 SA=2 ，则此正三棱锥 S—ABC 外接球的表面积是

11. 如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最 多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 数字作答）． 种（用

12.已知点 A(0，2)和抛物线 y2＝x＋4 上两点 B、C 使得 AB⊥BC，求点 C 的纵坐标 的取值范围 三、解答题（本题满分 60 分，共 4 小题，每题各 15 分） 13. 在外接圆直径为 1 的△ ABC 中角 A 、 B 、 C 的对边分别为 设向量

(1) 求 （2）若

的取值范围; 试确定实数 的取值范围. ，A 为 PB 边上

14. 已知等腰梯形 PDCB 中（如图 1），PB=3，DC=1，PD=BC=

一点，且 PA=1，将△PAD 沿 AD 折起，使面 PAD⊥面 ABCD（如图 2）。（Ⅰ）证明： 平面 PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱 PB 上确定一点 M，使截面 AMC 把几何体分成的两部分 ；（Ⅲ）在 M 满足（Ⅱ）的情况下，判断直线 AM

是否平行面 PCD.

15. 设椭圆的方程为 垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 取值范围, 并用 表示直线 , 使

, 线段

是过左焦点

且不与

轴 的

为正三角形, 求椭圆的离心率

的斜率.

16. 在数列 （Ⅰ）试比较

中， 与 的大小；

（Ⅱ）证明：当 参考答案： 1.B

时，

.

2. 解：计算

可知 故选 C. 3.B 4.B

是最小正周期为６的函数。 即得

， 所以

＝

，

5. D 解：由题设知

为偶函数，则考虑在 ．

时，恒有

所以当

，且

时，恒有

．

由于不等式

的解集为

，不等式

的解集为

．因此当 . 故选（D）．

时，恒有

6.B 解：因为 [ ]， 三段，则

，所以

。将区间[0，1]分成

中至少有两个值落

在同一个小区间内（抽屉原理）。所以满足 好点对（ ）至少有一个。所以选 B.

的

7. 8. 9. 10. 36π 11. 390 ＝2005

12. 简解：设Ｂ点坐标为（y21–4,y1），Ｃ点坐标为(y2–4,y) 显然 y21–4≠０，故 kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于 AB⊥BC，所以 kBC=–(y1+2).从而 y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4 消 去 x ， 注 意 到 y≠y1

得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由 Δ≥0 解得：y≤0 或 y≥4. 当 y=0 时，点Ｂ的坐标为(–3,–1)；当 y=4 时，点Ｂ的坐标为(5,–3)，均满足题意。故 点Ｃ的纵坐标的取值范围是 y≤0 或 y≥4. 13. 【标准答案】 解：因为 所以 即 . (1) = 又 ，由正弦定理，得 所以 即 ，

因此

的取值范围是

(2)若

则

,

由正弦定理，得 设 = ,则 ,

所以

即 所以实数 的取值范围为

14. （I）证明：依题意知： （II） 由 （I） 知 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M，作 MN⊥AB，则 MN⊥平面 ABCD， 设 MN=h

则

要使 即 M 为 PB 的中点. （III）以 A 为原点，AD、AB、AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系

则 A（0，0，0），B（0，2，0）， C（1，1，0），D（1，0，0），

P（0，0，1），M（0，1，

）

由（I）知平面

，则 的法向量。

又

为等腰

因为

所以 AM 与平面 PCD 不平行. 15. 解： 如图, 设线段 足分别为 的中点为 ． 过点

、

、

分别作准线的垂线, 垂

、

、

, 则

． 假 设 存 在 点

， 则

， 且

， 即

，

所以，

．

于是，

， 故

． 若 (如图)，则

.

当

时, 过点

作斜率为

的焦点弦

, 它的中垂线交左准线

于

, 由上述运算知, 若 ，则由对称性得

． 故

为正三角形.

．

又

, 所以，椭圆

的离心率

的取值范围是

，

直线

的斜率为

． ，都有

16. 解：（Ⅰ）由题设知，对任意

，

（Ⅱ）证法 1：由已知得，

又

.

当

时，

设 则 ①-②，得

① ②

证法 2：由已知得， （1） 当 成立，即 时，由 ，那么 ，知不等式成立。假设当 不等式

要证 即证 因为 这就是说，当

，只需证 ，则只需证 ………………10 分 成立，所以 时，不等式仍然成立. ，且 ，都有 成立.

根据（1）和（2），对任意