全国 2015 高中数学联赛模拟试题一 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
1. 1、函数 A、2 B、 C、
的最大值是( ) D、3
2. 已 知 ( )
,定义
,则
A.
B.
C.
D.
3. 已知正三棱锥 P-ABC 的外接球 O 的半径为 1,且满足++=,则正三棱锥 P- ABC 的体积为 ( ) A. B. C. D.
4. 已知双曲线 一点,当 A、 5. 已知
的左右焦点分别为 F1、F2,P 为双曲线右支上任意
取得最小值时,该双曲线离心率的最大值为( ) B、3 C、 D、2 ( 则 a 的值有( ) R),且
(A) 个
(B) 个
(C) 个
(D)无数个 。
6. 平面上有两个定点 A、B,另有 4 个与 A、B 不重合的的动点
若使 的好点对 ( ) A.不存在 B.至少有一个
则称(
)为一个好点对。那么这样
C.至多有一个 D.恰有一个
二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
7. 不等式
的解集为
,那么 的值等于__________. 和 , 且 ,
8. 定义在 R 上的函数 则 的值为_________.
, 对任意实数 , 都有
9. 等差数列有如下性质:若
是等差数列,则通项为
的数列也是等
差数列.类比上述性质,相应地,若 _______________的数列也是等比数列.
是正项等比数列,则通项为
10. 在正三棱锥 S—ABC 中 M、N 分别是棱 SC,BC 的中点,且 MN⊥AM,若侧棱 SA=2 ,则此正三棱锥 S—ABC 外接球的表面积是
11. 如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最 多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 数字作答). 种(用
12.已知点 A(0,2)和抛物线 y2=x+4 上两点 B、C 使得 AB⊥BC,求点 C 的纵坐标 的取值范围 三、解答题(本题满分 60 分,共 4 小题,每题各 15 分) 13. 在外接圆直径为 1 的△ ABC 中角 A 、 B 、 C 的对边分别为 设向量
(1) 求 (2)若
的取值范围; 试确定实数 的取值范围. ,A 为 PB 边上
14. 已知等腰梯形 PDCB 中(如图 1),PB=3,DC=1,PD=BC=
一点,且 PA=1,将△PAD 沿 AD 折起,使面 PAD⊥面 ABCD(如图 2)。(Ⅰ)证明: 平面 PAD⊥PCD;(Ⅱ)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC 把几何体分成的两部分 ;(Ⅲ)在 M 满足(Ⅱ)的情况下,判断直线 AM
是否平行面 PCD.
15. 设椭圆的方程为 垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 取值范围, 并用 表示直线 , 使
, 线段
是过左焦点
且不与
轴 的
为正三角形, 求椭圆的离心率
的斜率.
16. 在数列 (Ⅰ)试比较
中, 与 的大小;
(Ⅱ)证明:当 参考答案: 1.B
时,
.
2. 解:计算
可知 故选 C. 3.B 4.B
是最小正周期为6的函数。 即得
, 所以
=
,
5. D 解:由题设知
为偶函数,则考虑在 .
时,恒有
所以当
,且
时,恒有
.
由于不等式
的解集为
,不等式
的解集为
.因此当 . 故选(D).
时,恒有
6.B 解:因为 [ ], 三段,则
,所以
。将区间[0,1]分成
中至少有两个值落
在同一个小区间内(抽屉原理)。所以满足 好点对( )至少有一个。所以选 B.
的
7. 8. 9. 10. 36π 11. 390 =2005
12. 简解:设B点坐标为(y21–4,y1),C点坐标为(y2–4,y) 显然 y21–4≠0,故 kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于 AB⊥BC,所以 kBC=–(y1+2).从而 y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4 消 去 x , 注 意 到 y≠y1
得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由 Δ≥0 解得:y≤0 或 y≥4. 当 y=0 时,点B的坐标为(–3,–1);当 y=4 时,点B的坐标为(5,–3),均满足题意。故 点C的纵坐标的取值范围是 y≤0 或 y≥4. 13. 【标准答案】 解:因为 所以 即 . (1) = 又 ,由正弦定理,得 所以 即 ,
因此
的取值范围是
(2)若
则
,
由正弦定理,得 设 = ,则 ,
所以
即 所以实数 的取值范围为
14. (I)证明:依题意知: (II) 由 (I) 知 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,则 MN⊥平面 ABCD, 设 MN=h
则
要使 即 M 为 PB 的中点. (III)以 A 为原点,AD、AB、AP 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角 坐标系
则 A(0,0,0),B(0,2,0), C(1,1,0),D(1,0,0),
P(0,0,1),M(0,1,
)
由(I)知平面
,则 的法向量。
又
为等腰
因为
所以 AM 与平面 PCD 不平行. 15. 解: 如图, 设线段 足分别为 的中点为 . 过点
、
、
分别作准线的垂线, 垂
、
、
, 则
. 假 设 存 在 点
, 则
, 且
, 即
,
所以,
.
于是,
, 故
. 若 (如图),则
.
当
时, 过点
作斜率为
的焦点弦
, 它的中垂线交左准线
于
, 由上述运算知, 若 ,则由对称性得
. 故
为正三角形.
.
又
, 所以,椭圆
的离心率
的取值范围是
,
直线
的斜率为
. ,都有
16. 解:(Ⅰ)由题设知,对任意
,
(Ⅱ)证法 1:由已知得,
又
.
当
时,
设 则 ①-②,得
① ②
证法 2:由已知得, (1) 当 成立,即 时,由 ,那么 ,知不等式成立。假设当 不等式
要证 即证 因为 这就是说,当
,只需证 ,则只需证 ………………10 分 成立,所以 时,不等式仍然成立. ,且 ,都有 成立.
根据(1)和(2),对任意