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6-4直线中的最值问题


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6-4 直线中的最值问题
一、知识回顾 1、 2、 3、 4、 二、精题演练 1、设-π≤α≤π,点 P(1, 1)到直线 xcosα+ysinα=2 的最大距离是 (A)2- 2 (B)2+ 2 (C)2 ( )

r />
(D) 2

2、点 P 为直线 x-y+4=0 上任意一点,O 为原点,则|OP|的最小值为( (A) 6 (B) 10 (C)2 2 (D)2



3、已知两点 P(cosα, sinα), Q(cosβ, sinβ),则|PQ|的最大值为( (A) 2 (B)2 (C)4

) (D)不存在

4、过点(1, 2)且与原点距离最大的直线方程是( (A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0

) (D)x-2y+3=0

(C)x+3y-7=0

5、已知 P(-2, -2), Q(0, 1), R(2, m),若|PR|+|RQ|最小,则 m 的值为( (A)



1 2

(B)0

(C)-1

(D)-

4 3


6、已知 A(8, 6), B(2, -2),在直线 3x-y+2=0 上有点 P,可使|PA|+|PB|最小,则点 P 坐标为( (A)(2, 0) (B)(-4, -10) (C)(-10, -4) (D)(0, 2) )

7、已知点 A(3, 0), B(0, 4),动点 P(x, y)在线段 AB 上运动,则 xy 的最大值为( (A)

12 5

(B)

144 49

(C)3

(D)4

8、过点 M(4, 6)且互相垂直的两直线 l1, l2 分别交 x 轴、y 轴于 A, B 两点,若线段 AB 的中点为 P,O 为原点, 则|OP|最小时,点 P 的坐标为( ) (A)(2, 3) (B)(3, 2) (C)(2, -3) (D)(-3, 2) 9、已知点 A(3,0) ,B(0,4)动点 P(x,y)在线段 AB 上运动,则 xy 的最大值是( A )

12 5

B

144 49

C 3

D 4
1

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10、已知 P(-2,-2) Q(0,-1) R(2 ,m),若|PQ|+|RQ|最小,则 m 的值为( A



1 2

B0

C -1

D ?

4 3
) D m=3,n=5 )

11、点M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9) ,则( A m=-3,n=10 B m=3,n=10 C m=-3,n=5

12、在直线 y=-2 上有一点 P,它到点 A(-3,1)和点 B(5,-1)的距离之和最小,则点 P 的坐标是( A (1,-2) B (3,-2) C(

19 , 2) ? 4

D (9,-2)

13、过点 M(4,6)且互相垂直的两直线 l1 ,l2 分别交 x 轴,y 轴于点 A,B 若线段 AB 的中点为 P,O 为原点,则 |OP|最小时 P 的坐标为( A(2,3 ) B (3,2) ) C (2,-3) D (-3,2)

15、已知 M(a,b)是直线 x+y-1=0 上的点且a ≥0 , 则

b 的最大值是_________ a ?1

16、已知点 A(1, 3), B(5, -2),在 x 轴上取点 P,使||PA|-|PB||最大,则点 P 坐标为

.

17、函数 y=

x2 ?1 ? x2 ? 4x ? 8 的最小值为

18、从点 P(3, -2)发出的光线,经过直线 l1: x-y-2=0 反射,若反射光线恰好通过点 Q(5, 1),则光线 l 所在 的直线方程是 .

19、已知直线 l:y=4x 和点 P(3,2),点 N 是 l 上在第一象限内的点,直线 NP 交 x 轴的正半轴

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于点 M,则⊿ OMN 的面积的最小值是

解析: 设 M(a,0)(a>0), PM 的方程为 2 x ? (a ? 3) y ? 2a ? 0. 与 y=4x 联立, N ( 则 得

a 4a 5 , )(a ? ). 2a ? 5 2a ? 5 2

1 4a 2a 2 ? . ∴OMN 的面积为 S ? ? a ? ⊿ 2 2a ? 5 2a ? 5
解得 S≥10(S≤0 舍).

? 2a 2 ? 2Sa ? 5S ? 0.

当 S=10 时,a=5,N(1,4).故最小值为 10.

20、点 P( x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x ? y 的最小值是________________
2 2

21、过点 P(4,1) 作直线 l 分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于点 A 、 B ,当 ?AOB ( O 为原点)的面积 S 最小时,求直线 l 的方程,并求出 S 的最小值

22、已知点 M(3,5) ,在直线: x ? 2 y ? 2 ? 0 和 y 轴上各找一点 P 和 Q,使 ?MPQ 的周长最小. 解析:可求得点 M 关于 l 的对称点为 M 1 (5,1) , M2 点 M 关于 y 轴的对称点为 M 2 (-3,5) ,则 Q P O M1

y
M

l

?MPQ 的周长就是 M 2Q ? QP ? PM1 ,连 M 2 M 1 ,
则直线 M 2 M 1 与 i 轴及直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的交点 P、Q 即为所求. 直线 M 1 直线 M 1

x

M 2 的方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 2 与 y 轴的交点坐标为 Q (0, ) ,
5 9 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 得交点 P ( , ) , 2 4 ?x ? 2 y ? 7 ? 0 7 2 7 2

由方程组 ?

∴ P ( , ) 、 Q (0, ) 即为所求。 点
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23、直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 交 x、y 轴于 A、B 两点,试在直线 y ? ? x 上求一点 P1,使 上求一点 P2,使 P2 A ? P2 B 最大,求出两最值及

P A ? P B 最小,在 y=x 1 1

P1 P2 值.

解析:A(3,0),B(0,2),点 B 关于直线 y ? ? x 的对称点 B1 (?2,0) ,直线 AB1 即 x 轴交 y ? ? x 于(0,0),即 P1 点.

P A ? P B ? P A ? P B1 ? B1 A ? 5 . 1 1 1 1

又 B 关于 y=x 的对称点 B2 (2,0) ,

P2 A ? P2 B ? P2 A ? P2 B2 ? AB 2 ? 1 ,当且仅当 P2 、 B2 、A 共线(又在 y=x 上)
即 P2 为 x 轴与 y=x 的交点(0,0)时, P2 A ? P2 B 最大为 1,故 P1,P2 重合.

? P P2 =0 1

24、已知点 A(1,1) , B (2, 2) ,点 P 在直线 y ?

1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得最小值时 P 点的坐标。 2

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