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七星关区燕子口中学2013-2014学年度第一学期高二数学期末考试试题


七星关区燕子口中学 2013—2014 学年度第一学期 高二年级数学期末考试试卷 考试时间:120 分钟 试题满分:150 分

一 、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1、直线 l : 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角 ? 为( ) A、 30 B、 60 C、 120

D、 150 )

2、已知直线 a 、b 及平面 ? ,且 a//? , b ? ? ,则直线 a 与 b 的位置关系是( A、平行 B、相交或异面 C、异面 D、平行或异面

3、已知两条直线 l1 : x ? 2ay ?1 ? 0, l2 : x ? 4 y ? 0 ,且 l1//l2 ,则满足条件 a 的值为 ( A、 ?
1 2

) B、
1 2

C、 ?2

D、 2

4 、从学号为 0~50 的燕中高二某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测 试,采用系统抽样的方法,则所选 5 名学生的学号可能是 ( ) B、 5,16,27,38,49 D、 4,13,22,31,40 ) D、 76(9)

A、 1,2,3,4,5 C、 2,4,6,8,10

5、下列各数中与 1010( 4) 相等的数是 ( A 、 1000100 ( 2) B、 103(8) ) 6、下列叙述中错误的是( A、若 P ??

C、 2111 ( 3)

? 且?

? ? l ,则 P ? l ;

B、三点 A, B, C 确定一个平面; C、若直线 a b ? A ,则直线 a 与 b 能够确定一个平面; D、若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? 。 7、给出下列四个命题: ① “三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事 件
1

②“当 x 为某一实数时可使 x 2 ? 0 ”是不可能事件 ③“明天燕子口要下雪”是必然事件 ④“从含有 5 个次品的 100 个灯泡中取出 5 个,5 个都是次品”是随机事件. 其中正确命题的个数是 A、 0 B、 1 ( ) C、2 D、3
2

8、某算法的程序框如图所示,若输出结果为 1 , 则输入的实数 x 的值是 A、 ? 3
2

( C、 5

) D、 4

B、 2

2

9、若 P ? 2, ? 1? 为圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则
2

直线 AB 的方程是( A、 x ? y ? 3 ? 0

) C、 x ? y ? 3 ? 0 D、 x ? y ? 3 ? 0

B、 x ? y ? 3 ? 0

10、从 1,2,3,4 这 4 个数中,不放回地任意取两个数,两个数都是奇数的概 率是( A、
1 3

) B、
1 4

C、

1 6

D、

1 2

11、半径为 R 的球内接一个正方体,则该正方体的体积是( A、
8 3R 3 9



B、

4 ? R3 3

C、 2 2 R3

D、

3 3 R 9

12、一个空间几何体的三视图如图 所示,则 该几何体的体积为( ) A、 2?

2

2

?2 3
2 3 3

B、 4?

?2 3
2 3 3
2

C、 4? ?

D、 2? ?

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

俯视图

2

选择题答题卡: (请将答案填入相应题号对应方框内) 题 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13、用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 2 x6 ? 3x5 ? 4 x 4 ? 5x3 ? 6x 2 ? 7 x ? 8 当 x ? 0.5 时的值时,需要做乘法和加法运算的次数和是 14、 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画 了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等 方面的关系,要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 80 人作进一步调查,则 在[1500,2000)(元)月收入段应抽出 人.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

频率

0.000 5 0.000 4 0.000 3 0.000 2 0.000 1

组距

月收入/元 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000

15、已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 和圆外一点 P(-2,-3),则过点 P 的圆的切线方程为

16、若 l 为一条直线, ? , ? , ? 为三个互不重合的平面,给出下面四个命题: ① ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ⊥ ? ;② ? ⊥ ? , ? ∥ ? ,则 ? ⊥ ? ;③ l ∥ ? , l ⊥ ? , 则 ? ⊥ ? . ④若 l ∥ ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线。其中正确命题的序号 是 . (把你认为正确命题的序号都 填上) ........

3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知直线 l 经过直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,且垂直于 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S .

18、(本小题满分 12 分) 从甲、 乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛,为此需要对他们的射箭水平进 行测试.现这两名学生在相同条件下各射箭 10 次,命中的环数如下: 甲 乙 8 10 9 9 7 8 9 6 7 8 6 7 10 9 10 7 8 8 6 8

(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差; (2)比较两个人的成绩,然后决定选择哪名学生参加射箭比赛.

4

19、(本小题满分 12 分) O 是正方形 ABCD 的中心, 如图, 四棱锥 ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, PO ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点. 求证: (1) PA ∥平面 BDE ; P (2)平面 PAC ? 平面 BDE .
E

D O A B

C

5

20、(本小题满分 12 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4 的四个球,现从甲、乙两 个盒子中各取出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (2)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率.

6

21、(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。

7

22、 (本小题满分 12 分) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 相切. 4 x ? 3y ? 29? 0 (1)求圆的方程; (2)设直线 ax ? y ? 5 ? 0 (a ? 0) 与圆相交于 A, B 两点,求实数 a 的取值范围; (3) 在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a ,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(?2, 4) ,若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

8

七星关区燕子口中学 2013—2014 学年度第一学期 高二年级数学期末考试试卷参考答案 一、 选择题 题 1 2 号 答 案 C D

3 C

4 B

5 A

6 B

7 D

8 B

9 A

10 C

11 A

12 D

二、 填空题 13、12 15、 x ? ?2 或 5 x ? 12y ? 26 ? 0 三、解答题 17、 (本小题满分 10 分) ?3x ? 4 y ? 2 ? 0, 解: (1)由 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0.

14、16 16 、 ②③

? x ? ?2, 解得 ? ? y ? 2.

所以点 P 的坐标为( ?2 ,2). 又直线 l 与 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直, 则可设直线 l 的方程为
2x ? y ? C ? 0 . 把 点 P 的 坐 标 代 入 得 :

2 ? ? ?2? ? 2 ? C ? 0 ,即 C ? 2 .故所求直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .
(2)由直线 l 的方程知它在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 ?1 、 ?2 ,
1 所以直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积 S ? ? 1? 2 ? 1 . 2

18、解:(1)计算得 x甲 =8, x乙 =8;s 甲≈1.41,s 乙≈1.10. (2)由(1)可知,甲、乙两名学生射箭命中环数的平均数相等,但 s 乙<s 甲, 这表明乙的成绩比甲更稳定一些. 故选择乙参赛更合适.
19、证明: (1)连结 OE .
P

∵ O 是 AC 的中点, E 是 PC 的中点, ∴ OE ∥ AP , 又∵ OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , ∴ PA ∥平面 BDE . (2)∵ PO ? 底面 ABCD , ∴ PO ? BD ,又∵ AC ? BD ,且 AC ? PO = O , ∴ BD ? 平面 PAC .而 BD ? 平面 BDE , ∴平面 PAC ? 平面 BDE .
A D O B

E

C

9

20、解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x,y. 用(x,y)表示抽取结果,则所有可能的结果有 16 种,即 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4). (1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件 A, 则 A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}. 事件 A 由 4 个基本事件组成,故所求概率 P(A)=
4 1 = . 16 4

(2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B, 则 B={(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3)} 事件 B 由 7 个基本事件组成,故所求概率 P(A)=
7 . 16

21、解: (1)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD

(2)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建 立空间直角坐标系 D- xyz ,则

A ?1,0,0? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。
AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)
设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 即
?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

?

? ?

?

令 y=1 得 n= ( 3,1, 3) 设平面 PBC 的法向量为 m,则

m ? PB ? 0 m ? BC ? 0 cos m, n ?
? 2 7 7

可取 m=(0,-1, ? 3 )

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为

10

22、 (本小题满分 12 分) 解: (1)设圆心为 M (m, 0) ( m ? Z ) .由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切, 且半径为 5 ,所以
4m ? 29 ? 5 ,即 4m ? 29 ? 25 .因为 m 为整数,故 m ? 1 . 5

故所求圆的方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 . (2)把直线 ax ? y ? 5 ? 0 即 y ? ax ? 5 .代入圆的方程,消去 y 整理,得

(a2 ? 1) x2 ? 2(5a ?1) x ? 1 ? 0 .
由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 交圆于 A, B 两点,故 ? ? 4(5a ?1)2 ? 4(a2 ? 1) ? 0 . 即 12a 2 ? 5a ? 0 ,由于 a ? 0 ,解得 a ? 所以实数 a 的取值范围是 (
5 , ? ?) . 12 1 , a 5 . 12

(3)设符合条件的实数 a 存在,由于 a ? 0 ,则直线 l 的斜率为 ?
1 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 4 , 即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 . a

由于 l 垂直平分弦 AB ,故圆心 M (1, 0) 必在 l 上. 所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ?
3 3 5 3 .由于 ? ( , ? ?) ,故存在实数 a ? ,使得 4 4 12 4

过点 P(?2, 4) 的直线 l 垂直平分弦 AB .

11


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