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高考数学课下练兵—— 三角函数的诱导公式


第三章

第二节

三角函数的诱导公式

课下练兵场
命 题 报 告 难度及题号 知识点 同角三角函数的关系 诱导公式 容易题 (题号) 1 2、3、4 中等题 (题号) 7、8、10 5、6、9 稍难题 (题号) 11、12

一、选择题 1. 若 ( ) A.sinα =sinβ sin

β 解析:法一:∵α 、β 终边关于 y 轴对称, ∴α +β =π +2kπ 或 α +β =-π +2kπ ,k∈Z, ∴α =2kπ +π -β 或 α =2kπ -π -β ,k∈Z, ∴sinα =sinβ . 法二:设角 α 终边上一点 P(x,y),则点 P 关于 y 轴对称的点为 P′(-x,y),且点 P 与点 P′到原点的距离相等设为 r,则 sinα =sinβ = . 答案:A 2. 已 知 A = ( ) A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2} sin(kπ +α ) cos(kπ +α ) + (k ∈ Z) , 则 A 的 值 构 成 的 集 合 是 sinα cosα B.cosα =cosβ C.tanα =tanβ D.sinα =- α 、 β 终 边 关 于 y 轴 对 称 , 则 下 列 等 式 成 立 的 是

y r

sinα cosα 解析:当 k 为偶数时,A= + =2; sinα cosα

k 为奇数时,A=
答案:C 3. ( ) 已 知

-sinα cosα - =-2. sinα cosα

tanx



sin(x



π 2

)





sinx



用心

爱心

专心

-1-

A.

-1± 5 2

B.

3+1 2

C.

5-1 2

D.

3-1 2

解析:∵tanx=sin(x+ ∴sinx=cos x,
2

π ),∴tanx=cosx, 2

∴sin x+sinx-1=0,解得 sinx= 答案:C 4. 已 知 α ∈ ( ( ) A.± 1 5 1 B.- 5

2

5-1 -1- 5 (或 <-1,舍去). 2 2

π 3π 3 , ) , tan(α - 7π ) = - , 则 sinα + cosα 2 2 4

的值为

1 C. 5

D.-

7 5

3 π 3 4 解析:tan(α -7π )=tanα =- ,∴α ∈( ,π ),sinα = ,cosα =- ,∴sinα 4 2 5 5 1 +cosα =- . 5 答案:B 5.已知 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x-β ), 其中 α 、 β、 a、 b 均为非零实数, 若 f(2010) = ( ) B.0 C.1 D.2 - 1 , 则

f(2011)





A.-1

解析:由诱导公式知 f(2010)=asinα +bcosβ =-1, ∴f(2011)=asin(π +α )+bcos(π -β )=-(asinα +bcosβ )=1. 答案:C sin(2π +θ )tan(π +θ )tan(3π -θ ) 6.已知 =1, π cos( -θ )tan(-π -θ ) 2 则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.6 3 2 2 sin θ +3sinθ cosθ +2cos θ 的 值 是

sin(2π +θ )tan(π +θ )tan(3π -θ ) 解析:∵ π cos( -θ )tan(-π -θ ) 2 = sinθ tanθ tan(π -θ ) -sinθ tanθ tanθ = -sinθ tan(π +θ ) -sinθ tanθ

=tanθ =1,
用心 爱心 专心 -2-

∴ =

3 2 sin θ +3sinθ cosθ +2cos θ
2

3sin θ +3cos θ 2 sin θ +3sinθ cosθ +2cos θ
2 2

2

2

3tan θ +3 3+3 = = =1. 2 tan θ +3tanθ +2 1+3+2 答案:A 二、填空题 7.若 cos(2π -α )= 5 π ,且 α ∈(- ,0),则 sin(π -α )= 3 2 5 π ,又 α ∈(- ,0), 3 2 1-( 5 2 2 ) =- . 3 3 .

解析:cos(2π -α )=cosα =

故 sin(π -α )=sinα =- 2 答案:- 3

4 8.(2009?北京高考)若 sinθ =- ,tanθ >0,则 cosθ = 5 4 解析:由 sinθ =- <0,tanθ >0 知 θ 是第三象限角. 5 3 故 cosθ =- . 5 3 答案:- 5 9. 已 知 sinα 是 方 程 5x - 7x - 6 = 0 的 根 , α
2

.

是第三象限 角,则

3 3 sin(-α - π )cos( π -α ) 2 2 2 ?tan π π cos( -α )sin( +α ) 2 2 (π -α )= .

3 2 解析:方程 5x -7x-6=0 的两根为 x1=- ,x2=2, 5 3 4 由 α 是第三象限角,∴sinα =- ,cosα =- , 5 5 3 3 sin(-α - π )cos( π -α ) 2 2 2 ∴ ?tan (π -α ) π π cos( -α )sin( +α ) 2 2

用心

爱心

专心

-3-

-sin(π + =

π π +α )cos(π + -α ) 2 2 2 ?tan α sinα cosα

π π - sin( +α )cos( -α ) 2 2 2 = ?tan α sinα cosα = -cosα sinα 2 ?tan α sinα cosα

3 2 (- ) 2 5 sin α 9 2 =-tan α =- 2 =- =- . cos α 4 2 16 (- ) 5 9 答案:- 16 三、解答题 5π sin( +α ) 2 2 5 10.已知 sinα = ,求 tan(α +π )+ . 5 5π cos( -α ) 2 解:∵sinα = 2 5 >0,∴α 为第一或第二象限角. 5
2

当 α 是第一象限角时,cosα = 1-sin α = 5π +α ) 2 cosα tan(α +π )+ =tanα + 5π sinα cos( -α ) 2 sin( = sinα cosα 1 5 + = = . cosα sinα sinα cosα 2
2

5 , 5

当 α 是第二象限角时,cosα =- 1-sin α =- 原式= 1 5 =- . sinα cosα 2

5 , 5

11.(1)若角 α 是第二象限角,化简 tanα 1-2sin130°cos130° (2)化简: . 2 sin130°+ 1-sin 130° 解:(1)原式=tanα 1-sin α =tanα 2 sin α
2

1 -1; 2 sin α

cos α 2 sin α

2

用心

爱心

专心

-4-



sinα cosα | |, cosα sinα

∵α 是第二象限角,∴sinα >0,cosα <0, ∴原式= ?

? ?sin ? ? 2sin ? ? ? 3 cos ? ? 2cos ?
2 2

sinα cosα sinα -cosα | |= ? =-1. cosα sinα cosα sinα

(2)原式=

sin 130°+cos 130°-2sin130°cos130° sin130°+ cos 130°
2



|sin130°-cos130°| sin130°-cos130° = =1. sin130°+|cos130°| sin130°-cos130° π π π , ),β ∈(0,π ),使等式 sin(3π -α )= 2cos( 2 2 2

12.是否存在角 α ,β ,α ∈(- -β ), 3cos

(-α )=- 2cos(π +β )同时成立?若存在,求出 α ,β 的值;若不存在,请说明理 由.

① ? ?sin ? ? 2sin ? 解:假设存在角 ? , ? 满足条件,则 ? ? ? 3 cos ? ? 2cos ? ② 由① +② 得 sin α +3cos α =2. 1 2 2 ∴sin α = ,∴sinα =± . 2 2 π π π ∵α ∈(- , ),∴α =± . 2 2 4 π 3 π 当 α = 时,cosβ = ,∵0<β <π ,∴β = ; 4 2 6 π 3 π 当 α =- 时,cosβ = ,∵0<β <π ,∴β = ,此时①式不成立,故舍去. 4 2 6 π π ∴存在 α= ,β= 满足条件. 4 6
2 2 2 2

用心

爱心

专心

-5-


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